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Résumé Primitive .pdf


Nom original: Résumé Primitive.pdf
Auteur: khammour

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Mr :Khammour.K

4ème

Résumé :Primitive

Notion de primitive :
Définition : f est une fonction définie sur un intervalle I.
Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que pour tout x

I, F’(x) = f(x).

Exemples : 1) Les fonctions définies sur IR par F(x) = 3x – 1 et G(x) = 3x + 1 sont des primitives de la
fonction f définie sur IR par f(x) = 3.
2) La fonction définie sur IR par F(x) =

x² est une primitive de la fonction f définie sur IR par

f(x) = 5x.
Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Propriétés :
 Addition : Si F et G sont des primitives respectives, sur un intervalle I, des fonctions f et g.
Alors (F + G) est une primitive sur I de (f + g).
 Si F est une primitive de f sur un intervalle I et si est une constante réelle fixée,
alors F est une primitive sur I de f.
Ensemble des primitives d’une fonction
Théorème : f est une fonction définie sur un intervalle I.
1. Si F est une primitive de f sur I, alors toutes les fonctions x F(x) + k, où k est un réel
quelconque, sont des primitives de f sur I.
2. Si F et G sont deux primitives de f sur I, alors il existe un réel k tel que pour tout x de I,
G(x) = F(x) + k.

Primitive prenant une valeur donnée en un point donné
Théorème : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Soit x0 un réel appartenant à I et y0 un réel quelconque, il existe une primitive F et une seule de f
telle que F(x0) = y0.

Exercice :
Soit la fonction f définie sur IR par f(x) = 2x + 3.
a) Donner une primitive de f sur IR .
b) Donner toutes les primitives de f sur IR.
c) Donner la primitive G de f sur IR telle que G(-1) = 0.
Solution :
a) Soit F la primitive de f sur IR alors F(x)=x2+3x
b) Toutes les primitives de f est la fonctions G tel que G(x)=F(x)+k avec k IR
c) G(-1)=0 équivaut à F(-1)+k=0 équivaut à (-1)2+3.(-1)+k=0 équivaut à k=2 d’où G(x)= x2+3x+2

Primitives de fonctions usuelles
On obtient des primitives de fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées. Dans les tableaux
suivants, k désigne un réel quelconque.
Fonction f définie par

Primitives F de f définie par

f(x)=c ou c est une constante
f(x) = xn
(n IN*)

F(x)=cx+k

sur I

I = ]0 , + [
ou
I = ]- , 0[
]0 , + [

IN*

Dans ce deuxième tableau, on note Du le domaine de définition de la fonction u, et Dv celui de v.
Fonction
u
u’+v’
u’ un avec

Primitive
u’+k k
u’+v’+k

Domaine
Du
Du Dv
Du si n > 0
Du\{x tels que u(x) = 0} si n<0
Du\{x tels que u(x) 0}

\{-1}

Dvou
Application :
Soit g la fonction définie sur ]0,

[ par g(x)=

.

1) Calculez la dérivée de g sur ]0,
[
2) soit f la fonction définie sur ]0,
[par f(x)=
.
Déduisez de la première question une primitive de f sur ]0,

[ sachant que F(1)=1

Solution :
1) g dérivable sur ]0,
2)

[ et

f est continue sur ]0,

[ alors elle admet une primitive F sur ]0,

d’après 1)
F(1)=1

F(x)
donc F(x)=

[


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