M EA SRE JMF 2 .pdf



Nom original: M-EA-SRE-JMF-2.pdf
Auteur: Jean-Michel Ferrard

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´matiques
Exercices de Mathe
´ries entie
`res. Rayons de convergence et sommes (II)
Se
´
Enonc´
es

´
Enonc´
es des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Rayon de convergence, et somme, de la s´erie enti`ere

P

an z n , avec ∀n ∈ N, an = (2 + (−1)n )n .

Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Rayon de convergence R et somme S de la s´erie enti`ere

xn
.
n≥0 2n + 1
P

Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Rayon de convergence, et somme sur l’intervalle ouvert de convergence, de

P cos nθ n
x .
n
n≥1

Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Rayon de convergence R et somme S de la s´erie enti`ere

P

an xn o`
u an =

n≥1

π
1
π
cos
+n .
n
4
2

NB : on donnera deux m´ethodes diff´erentes.
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
P
On consid`ere une s´erie enti`ere
an xn , de rayon de convergence 1, de somme S(x).
P
P
On suppose que la s´erie
an est convergente, et on veut montrer que la s´erie
an xn est
uniform´ement convergente sur le segment [0, 1].
1. Traiter le cas particulier o`
u les an sont tous positifs ou nuls.
2. Traiter le cas o`
u an = (−1)n λn , la suite (λn ) ´etant d´ecroissante et convergente vers 0.
+∞
P
3. Traiter le cas g´en´eral. On pourra poser rn =
ak pour tout entier n.
k=n+1
+∞
+∞
P
P
4. Que peut on en d´eduire pour S(x) =
an xn sur [0, 1], et notamment pour
an ?
n=0

n=1

Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]
On pose a0 > 0, et ∀n ∈ N, an+1 = ln(1 + an ).
1. D´eterminer le rayon de convergence R de la s´erie enti`ere

P

an x n .

2. Montrer que la s´erie enti`ere converge en x = −1.
1
1
3. Montrer que lim

. En d´eduire que lim nan = 2. Conclusion ?
n→∞ an+1
n→∞
an

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´matiques
Exercices de Mathe
´ries entie
`res. Rayons de convergence et sommes (II)
Se
Indications, r´esultats

Indications ou r´
esultats
Indication pour l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
+∞
P
x
1
1
an x n =
Le rayon de convergence est ´egal `a . On trouve
+
.
2
3
1−x
1 − 9x2
n=0
Indication pour l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
On a R = 1. Poser T (x) = xS(x√2 ) et calculer T 0 (x).
1
1+ x
√ sur ]0, 1[. Sur ] − 1, 0[, consid´erer U (x) = xS(−x2 ).
En d´eduire S(x) = √ ln
2 x 1− x
Indication pour l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
+∞
P
cos θ − x
(xeiθ )n
. Montrer que U 0 (x) =
un (x) =
.
Poser un (x) = Im
n
1 − 2x cos θ + x2
n=1
1
Obtenir finalement ∀x ∈] − 1, 1[, U (x) = − ln(1 − 2x cos θ + x2 ).
2
Indication pour l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]

∞ 1
P
1+i P
1+i n
√ i . Montrer que T (x) =
bn x n = √
(ix)n .
n 2
2 n=1 n
n=1
D´eriver T (x), puis int´egrer les parties r´eelle et imaginaire de T 0 (x).
+∞

P
1
En d´eduire
an xn = − √ (arctan x + ln 1 + x2 ).
2
n=1
– Calculer a2p et a2p+1 . S´eparer en deux s´eries et reconnaˆıtre deux s´eries classiques.

– On a an = Re bn , avec bn =

Indication pour l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
p
p−1
P
P
3. V´erifier que Sn,p (x) =
ak xk = rn xn+1 +
rk (xk+1 − xk ) − rp xp .
k=n+1
Pk=n+1n
Montrer que la s´erie
an x converge uniform´ement sur [0, 1].
+∞
+∞
P
P
4. On en d´eduit
an = lim
an x n .
n=0

x→1− n=0

Indication pour l’exercice 6 [ Retour `a l’´enonc´e ]
1. Montrer que la suite (an ) est convergente vers ` = 0. En d´eduire R = 1.
2. Pour x = −1, utiliser le crit`ere sp´ecial des s´eries altern´ees.
a2n

3. Montrer que an − ln(1 + an ) n→∞ .
2
1
1
Utiliser la convergence au sens de C´esaro pour un =

.
an an−1

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´ries entie
`res. Rayons de convergence et sommes (II)
Se
Corrig´es

Corrig´
es des exercices
´ de l’exercice 1 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
Si n = 2p, alors an = a2p = 32p . Si n = 2p + 1, alors an = a2p+1 = 1.
X
X
X
X
P
an xn est donc la somme de
a2p x2p =
(3x)2p et de
a2p+1 x2p+1 =
x2p+1 .
p≥0

p≥0

p≥0

La premi`ere converge si |3x| < 1, diverge sinon, et sa somme est

p≥0

1
.
1 − 9x2

Quant `a la seconde, elle converge si |x| < 1, diverge sinon et sa somme est
Le rayon de convergence R de la s´erie

P

an est donc ´egal `a

x
.
1 − x2

1
, minimum des deux rayons.
3

+∞
X
1
x
1
Conclusion : pour |x| < on a
an x n =
+
.
2
3
1−x
1 − 9x2
n=0

´ de l’exercice 2 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
1
an+1
Avec an =
, on a lim
= 1 donc R = 1.
n→∞ an
2n + 1
+∞
X
x2n+1
2
.
Sur ] − 1, 1[, posons T (x) = xS(x ) =
2n + 1
n=0
0

Par d´erivation on trouve, ∀x ∈] − 1, 1[, T (x) =

+∞
X
n=0

x

2n

1
1 1
1
=
=
+
.
1 − x2
2 1+x 1−x

Puis, par int´egration terme `a terme :
1
1 1+x
∀x ∈] − 1, 1[, xS(x2 ) = T (x) = (ln(1 + x) − ln(1 − x)) = ln
.
2
2 1−x

1+ x
1
√ .
On en d´eduit : ∀x ∈]0, 1[, S(x) = √ ln
2 x 1− x
Pour obtenir l’expression de S(x) sur ] − 1, 0[, il faut poser U (x) = xS(−x2 ).
+∞
X
(−1)n x2n+1
2
Ainsi pour tout x de ] − 1, 1[, U (x) = xS(−x ) =
= arctan x.
2n + 1
n=0

1
arctan −x. Notons d’autre part que S(0) = 1.
On en d´eduit : ∀x ∈] − 1, 0[, S(x) = √
−x
On a ainsi obtenu S sur tout ] − 1, 1[. Deux expressions sont n´ecessaires suivant qu’on se place
sur ]0, 1[ ou sur ] − 1, 0[ mais on ne doit pas oublier que S (en tant que somme d’une s´erie
enti`ere r´eelle de rayon de convergence 1) est de classe C ∞ sur tout l’intervalle ] − 1, 1[.
Les sommes partielles de la s´erie d´efinissant S donnent le d´eveloppement limit´e de S `a tout
x x2 x3 x4
ordre en 0. On trouve ainsi `a l’ordre 4 : S(x) = 1 + +
+
+
+ O(x5 ).
3
5
7
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´ries entie
`res. Rayons de convergence et sommes (II)
Se
Corrig´es

´ de l’exercice 3 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
cos nθ n
einθ n (xeiθ )n
Pour x r´eel, posons un (x) =
x = Im (zn (x)), avec zn (x) =
x =
.
n
n
n
P
P
Les deux s´eries enti`eres
un (x) et
zn (x) ont le mˆeme rayon de convergence R.
+∞
n
X
Pt
, c’est-`a-dire 1. x 7→ Z(x) =
zn (x) est donc C ∞ sur ] − 1, 1[.
C’est celui de
n
n=1
On peut d´eriver terme `a terme et on obtient :
+∞
X
(1 − xe−iθ )eiθ
eiθ
eiθ − x
∀x ∈] − 1, 1[, Z 0 (x) = eiθ
(xeiθ )n−1 =
=
=
.

2
iθ |2
1

xe
1

2x
cos
θ
+
x
|1

xe
n=1
On prend la partie r´eelle et on trouve, pour tout x de ] − 1, 1[ :
+∞
X
cos θ − x
1 (1 − 2x cos θ + x2 )0
U 0 (x) =
un (x) =
=

.
2
2
1

2x
cos
θ
+
x
2
1

2x
cos
θ
+
x
n=1
+∞
P cos nθ n
1
Avec U (x) = 0, on obtient : ∀x ∈] − 1, 1[, U (x) =
x = − ln(1 − 2x cos θ + x2 ).
n
2
n=1
´ de l’exercice 4 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
– Premi`
ere m´
ethode : on va passer par les nombres complexes.


1


1+i
On pose bn = exp
+n
= √ in . Pour tout entier n, on a : an = Re bn .
n
4
2
n 2
n
P
P
Pz
est 1. Il en est donc de mˆeme de
bn xn et de
an x n .
Le rayon de
n


X
1+iX 1
(ix)n .
Pour tout x de l’intervalle ] − 1, 1[, posons T (x) =
bn x n = √
2 n=1 n
n=1


i−1 1
i−1X
i − 1 1 + ix
On d´erive : ∀x ∈] − 1, 1[, T 0 (x) = √
(ix)n−1 = √
= √
2 n=1
2 1 − ix
2 1 + x2

i−1
On int`egre : ∀x ∈] − 1, 1[, T (x) = √ (arctan x + i ln 1 + x2 )
2
+∞

P
1
On prend la partie r´eelle : ∀x ∈] − 1, 1[,
an xn = − √ (arctan x + ln 1 + x2 )
2
n=1
– Deuxi`
eme m´
ethode
On ´evalue an suivant les diff´erentes valeurs de n et on s´epare en deux s´eries distinctes.
π



1
1 (−1)p
1
1 (−1)p+1
On a : a2p =
cos
+ pπ = √
et a2p+1 =
cos
+ pπ = √
2p
4
2p + 1
4
2 2p
2 2p + 1
On reconnait deux s´eries classiques. Pour tout x de ] − 1, 1[ :
+∞
+∞
+∞
X
1 X (−1)p+1 2 p
1 X (−1)p 2p+1
ln(1 + x2 ) arctan x

an x n = − √
(x ) − √
x
=−
− √
p
2p
+
1
2
2
2
2
2
2
n=1
p=1
p=0

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Se
Corrig´es

´ de l’exercice 5 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
1. Si les an sont tous positifs, alors : ∀x ∈ [0, 1], |an xn | = an |x|n ≤ an .
P
La s´erie
an xn est donc normalement (donc uniform´ement convergente) sur [0, 1].
2. Ici an = (−1)n λn xn et on applique le crit`ere des s´eries altern´ees pour tout x de [0, 1].

P


Ainsi ∀n ∈ N, |Rn (x)| =
ak xk ≤ |an+1 xn+1 | ≤ λn+1 → 0 quand n → ∞.
k=n+1

La suite des restes Rn (x) converge donc uniform´
ement vers 0 sur [0, 1], ce qui traduit la
P
n
convergence uniforme sur [0, 1] de la s´erie
an x .
3. Dans le cas g´en´eral, soit n un entier positif ou nul quelconque.
p
P
On cherche `a majorer Sn,p (x) =
ak xk uniform´ement sur [0, 1].
k=n+1
p
P

Sn,p (x) =

ak x k =

k=n+1

=

p−1
P

p
P
k=n+1

rk xk+1 −

k=n

p
P

p
P

(rk−1 − rk )xk =

rk−1 xk −

k=n+1

rk xk = rn xn+1 +

k=n+1

p−1
P

p
P

rk x k

k=n+1

rk (xk+1 − xk ) − rp xp

k=n+1

On se donne un r´eel ε > 0. On sait que la suite de terme g´en´eral (rn ) converge vers 0.
Il existe donc un entier n0 tel que n ≥ n0 ⇒ |rn | ≤ ε.
On en d´eduit, en choisissant p ≥ n ≥ n0 , et pour tout x de [0, 1] :


p−1
P


|Sn,p (x)| = rn xn+1 +
rk (xk+1 − xk ) − rp xp
k=n+1

≤ |rn | xn+1 +

p−1
P

|rk | (xk − xk+1 ) + |rp | xp

k=n+1



≤ε x

n+1

+

p−1
P

k

(x − x

k+1

)+x

p



= 2εxn+1 ≤ 2ε

k=n+1

Avec n ≥ n0 et x ∈ [0, 1] fix´es, on fait tendre p vers +∞.

+∞

P
ak xk ≤ 2ε.
On trouve : ∀n ≥ n0 , ∀x ∈ [0, 1],
k=n+1
P
Cela signifie que la s´erie de fonctions
an xn converge uniform´ement sur [0, 1].
+∞

+∞
X
P
P
n
4. La CVU ⇒ S(x) =
an x est continue sur [0, 1] donc en 1 :
an = lim
an x n .
n=1

n=0

x→1−

n=0

Exemples :
+∞
X
(−1)n−1
(−1)n−1 xn

= lim
= lim ln(1 + x) = ln 2.
x→1−
x→1−
n
n
n=1
n=1
+∞
P

+∞
X
(−1)n
(−1)n x2n+1
π

= lim
= lim arctan x = .
x→1−
x→1−
2n + 1
4
n=0 2n + 1
n=0
+∞
P

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´ de l’exercice 6 [ Retour `a l’´enonc´e ]
Corrige
1. On sait que pour tout x > 0, on a : 0 < ln(1 + x) < x.
On en d´eduit, 0 < a1 < a0 , puis par une r´ecurrence ´evidente : ∀n ∈ N, 0 < an+1 < an .
Ainsi la suite (an )n≥0 est d´ecroissante et `a termes positifs.
On en d´eduit qu’elle est convergente dans R+ . Posons ` = lim an .
n→∞

Si on passe `a la limite dans an+1 = ln(1 + an ) on trouve ` = ln(1 + `) et donc ` = 0.
∼ an .
Ce r´esultat permet d’´ecrire an+1 = ln(1 + an ) n→∞


an+1
P
= 1 : le rayon de convergence de la s´erie
an xn est ´egal `a 1.
Ainsi lim
n→∞
an
P
2. Pour x = −1, la s´erie s’´ecrit (−1)n xn .
C’est une s´erie convergente en vertu du crit`ere sp´ecial des s´eries altern´ees.
2
1
an − ln(1 + an )
∼ an .
=
. Or an → 0 ⇒ an − ln(1 + an ) n→∞
an+1 an
an an+1
2
1
1
1
∼ an . On en d´eduit
∼ .
De mˆeme an+1 n→∞

an+1 an n→∞ 2
n
1
1
1
1X
1
Posons un =

. Puisque lim un = on a lim
uk = (C´esaro).
n→∞
n→∞
an an−1
2
n k=1
2
n
1 1
1 ∼ 1
1X
∼ 2.
Or
uk =

. On en d´eduit lim nan = 2, c’est-`a-dire an n→∞
n→∞
n→∞
n k=1
n an a0
nan
n
P
Conclusion : la s´erie enti`ere
an xn est divergente en x = 1.

3. On a

1



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