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Fiches de révision de chimie 4ème année

LE DIPÔLE RC
FICHE DE REVISION
I

Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension
1 Dipôle RC

C

R

Le dipôle RC est constitué d’un condensateur associé en série avec
un résistor (conducteur ohmique).

K

2 Echelon de tension

u(V)

u tension aux bornes du dipôle RC
Pour t<0 ; u =0

E

Pour t ≥ 0 ; u = E.
t(s)
C

E

3 Relation entre i(t) et uc(t) R
C
i

+q

-q

i=

d(Cuc )
du
dq
avec q = C.uc donc i =
= C. c
dt
dt
dt

uC

4 Equation différentielle
(on doit représenter les flèches des tensions avant d’établir l’équation
différentielle).
Le condensateur est initialement déchargé, à la date t=0, on ferme
l’interrupteur K.
d’après la loi des mailles :
uR + uc = E avec uR =Ri
Ri + uc = E avec

RC

1

i = C.

duc
dt

duc
+ uc = E
dt
, on pose τ=RC

τ

duc
duc uc E
+ uc = E
+ =
dt
τ τ
ou dt

5 Solution de l’équation différentielle

a- Un peu de maths : La fonction exponentielle f(x) = ex.
f : ¡ 
→¡ +
x 
→ ex La fonction exponentielle est une fonction puissance,



elle a les mêmes propriétés que les fonctions puissances.

e− a =

1
ea

lim e−x = 0

e = 2,718
e ≈ 0,37 e = 1 e .e = e
(donc la fonction ex ne s’annule jamais pour des valeurs définies de x).
• La dérivée de eax :
(eax )’ = a.eax.
• La réciproque de la fonction ex est ln(x) :
Ln(ex) = x et eln(x) = x.
1

-1

0

a

b

a+b

x →+∞

b- Solution de l’équation différentielle :


L’équation différentielle précédente a pour solution
Avec τ=RC.

uc = E(1 − e )

6 Expression de uR(t) et de i(t)
Expression de uR(t)


t

τ
uR = E – uc = E - E(1 − e ) = E –E + E e



t
τ

d’où

Expression de i(t)

u
i= R
R donc

7 Graphes de uc(t), uR(t) et de i(t)

E − τt
i= e
R

t
τ

uR =E e



t
τ

.



t

uc = E(1 − e τ )

uR =E e



t
τ

i=

uR(V)

uc
E=URmax

E − τt
e
R

i(A)

E

Imax =

E
R

t(s)
t(s)
EXERCICES DE SYNTHESE
Exercice 1EXERCICES DE SY

0

t(s)
uc(V)

0
0

+∞
E

t(s)
uR(V)

0

0

0
E

+∞
0

t(s)

0

+∞

i(A)

E
R

0

8 La constante de temps

a- Définition :

La constante de temps τ est une grandeur caractéristique du dipôle
RC, elle nous renseigne sur la rapidité avec laquelle s’effectue la
charge ou la décharge d’un condensateur.
b- Unité de τ :

u
V
R = R donc R est en
V A.s
i
A
τ = RC avec {
d'où τ est en .
=s
q
A.s
A V
C= or q =I.t donc C est en
uc
V

(seconde) donc τ est un temps.

c- Détermination de τ :
• Par calcul :

Ayant les valeurs de R(en Ω) et de C(en F), on peut calculer
directement τ(en s) .
• Graphiquement :
o 1ère méthode (utilisation de la tangente à l’origine) : on
peut montrer que τ est l’abscisse du point d’intersection de
la tangente à la courbe de uc (t)[de même pour uR(t), i(t) et
q(t)] à la date t=0 avec l’asymptote (lorsque t→+∞).

o 2ème méthode (lecture graphique) :
1er cas : à partir du graphe de uc(t)
Pour t=τ, quelle est la valeur de uc ?
−τ

uc(τ) = E(1 − e τ ) = E(1 − e −1) ; 0, 63.E car e −1 ; 0, 37
Exemple :
On a E= 4 V d’où 0,63.4 =2,52 V donc l’abscisse du point d’ordonnée
uc(V)
2,52 V est égale à τ
4

2,52
uR(V)

0

2ème cas : à partir du graphe de uR(t)

t(s)
4

Pour t=τ, quelle est la valeur de uR ?
−τ

uR(τ) = E.e τ = E.e −1 ; 0, 37.E

1,48
t(s)

Exemple :
0
On a E= 4 V d’où 0,37.4 =1,48 V donc l’abscisse du point d’ordonnée
1,48 V est égale à τ.
9 Durée de charge d’un condensateur

On peut considérer qu’un condensateur est complètement chargé
lorsque sa tension uc = 0,99E ce qui donne une durée de charge t≈5τ =

5RC
Le temps de charge augmente avec R et avec C.
Pour t < 5τ, on a le régime transitoire.
Pour t ≥ 5τ, on a le régime permanent.
Remarque :
• la réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension est la charge
progressive du condensateur : c’est un phénomène transitoire.
• Charge d’un condensateur par une tension créneaux.

Voie YB

uG

Voie YA

uc

T
Pour 5τ < 2 , pendant une demi-période la tension uc peut atteindre sa
valeur finale donc on observe les courbes suivantes (les deux voies ont
la même sensibilité verticale) :

u(V)
Um
uc
uG
t(s)
T
2

5

T

T
Pour 5τ > 2 , pendant une demi-période la tension uc ne peut pas
atteindre sa valeur finale donc on observe les courbes suivantes :
u(V)

uG

uc

C

t(s)

0

R

5

T
2

T
II

La décharge d’un condensateur

1- Equation différentielle :
(on doit garder la même orientation du circuit).
K
Le condensateur est initialement chargé, à la date t=0, on ferme
l’interrupteur K.
uR
i
d’après la loi des mailles :
uR + uc = 0 avec uR =Ri
i
Ri + uc = 0 avec

i = C.

duc
dt

duc
RC dt + uc = 0 , τ=RC
du
duc uc
τ c + uc = 0
+ =0
dt
τ
ou dt

uC

2- Solution de l’équation différentielle :
L’équation différentielle précédente a pour solution
Avec τ=RC.

uc = Ee



t
τ

.

3- Expression de uR(t) et de i(t) :
Expression de uR(t)
uR = 0 – uc = − Ee



t
τ

Expression de i(t) :

d’où

i=

uR = − E e

uR
R donc



t
τ

i=

-E − τt
e
R

4- graphes de uc(t), uR(t) et de i(t) :

uc = Ee



t
τ

uR = − E e

uc(V)

t
τ

-E − τt
i= e
R

uR(V)

E=Ucmax

0

t(s)

0



URmax = − E

i(A)
t(s)

t(s)

0

Imax = −

E
R

LE DIPÔLE RL

FICHE DE REVISION
I

L’induction magnétique
1 La bobine

Une bobine est un dipôle constitué de l’enroulement d’un fil
conducteur, recouvert d’une gaine isolante, sur un support cylindrique.
2 L’induction magnétique
Toute variation de champ magnétique à proximité d’une bobine en
circuit fermé produit un courant induit. Le phénomène s’appelle
induction magnétique.
L’élément qui crée le champ magnétique est l’inducteur et la bobine est
l’induit.
3 La Loi de Lenz
Le sens du courant induit est tel qu’il s’oppose par ses effets à la
cause qui lui a donné naissance.
4 La f.e.m induite
Le courant induit est dû à une f.e.m délocalisée appelée f.e.m induite.
I

L’auto-induction
1 L’auto-induction

• lorsque la bobine est à la fois l’inducteur et l’induit le phénomène

s’appelle auto-induction.
• Une bobine traversée par un courant électrique variable est le siège
d’une auto-induction.

E
R0

• L’auto-induction traduit l’opposition d’une bobine à toute variation de
courant.

2 La f.e.m d’auto-induction
* di en A
* dt en s
*L enhenry (H)
* e en V

e = −L

di
dt

avec

3 La tension aux bornes d’une bobine

uB = L
i

di
+ ri
dt

L,r

i

uB

• L’inductance L est une grandeur qui ne dépend que des

i
caractéristiques
de la bobine, elle caractérise la faculté de la bobine
d’emmagasiner de l’énergie magnétique.
• Pour une bobine idéale ou inductance pure (r=0), la tension aux
uB
uBuR0
= uL = L

di
dt .

bornes de la bobine est
4 L’énergie magnétique emmagasinée dans une bobine

1 2
en
Li avec Li en
2
pour avoir ELouEm enJ

EL = Em =

I

A
H

Réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension
K
1 Le dipôle RL
R0
Le dipôle RL est constitué d’une bobine associée
en sérieL,r
avec un
résistor (conducteur ohmique).
2 L’équation différentielle

Conseil : on doit représenter les
flèches des tensions avant
.d’établir l’équation différentielle
A la date t=0, on ferme l’interrupteur K.
d’après la loi des mailles :

uR0 + uB = E avec uR =Ri

R 0i + L
L

di
+ ri = E
dt

di
+ (R0 + r)i = E
dt
, on pose R=R0 + r
di
L + Ri = E
dt
on divise l’équation par R
L
L
L di
E
τ= =
+ i=
R R0 + r
R dt
R on pose
τ

di
E
+ i=
dt
R

Remarque :
On peut avoir l’équation différentielle régissant les variations de

d(

uR0
• uR0 en remplaçant i par R0 , on trouve
τ duR0 uR0 E
+
=
R0 dt
R0 R

τ

uR0
)
R0
u
E
+ R0 =
dt
R0 R

en multipliant l’équation par R0 :

τ

duR0
RE
+ uR0 = 0
dt
R

3 Solution de l’équation différentielle
La solution de l’équation différentielle
−αt

L

di
+ Ri = E
dt
s’écrit sous la

forme i(t) = A + Be
avec A, B et α sont des constantes positives
qui dépendent des caractéristiques du circuit.
Déterminons A, B et α :
• A t=0, on ferme le circuit donc à cette date l’intensité du courant est
nulle d’où i(0) = 0

A + Be0 = 0 A + B =0

A = - B.

i(t) = A − Ae −αt .
• Cette solution vérifie l’équation différentielle :

L

d(A − Ae−αt )
+ R(A − Ae −αt ) = E
dt

L(0 + Aαe −αt ) + RA − RAe −αt = E
LAαe −αt + RA − RAe−αt = E
(Lα − R)Ae−αt + RA = E cette égalité est valable quelque soit t.

→ +∞ ;
Lorsque t 

Ae −αt 
→ 0 d’où 0 + RA = E donc
E
E
A= =
R R0 + r

En remplaçant A par son expression, on aura :

(Lα − R)

E −αt
E
e + R =E
R
R

(Lα − R)

E −αt
E
e + E = E d'ou(Lα − R) e −αt = 0
R
R

E −αt
e ≠ 0 d'ou Lα − R = 0
R
α=
Donc

i(t) =

R R0 + r 1
=
=
L
L
τ

−t
−t
E
E
L
L
(1 − e τ ) =
(1 − e τ )
τ= =
R
R0 + r
R R0 + r
avec

4 Expression de uR0(t) et de uB(t)

a- Expression de uR0(t) :
−t
−t
R0E
R0E
RE
τ
(1 − e ) =
(1 − e τ )
URomax = 0 < E
R
R0 + r
R0 + r
UR0(t) = R0i(t) =
avec

b- Expression de uB(t) :
uB = E – uR0
−t
R0E
(1 − e τ )
R +r
=E- 0
on va mettre les deux quantités au même dénominateur

−t
(R0 + r)E R0E

(1 − e τ )
R0 + r
R0 + r
=
−t
τ

R0E + rE − R 0E(1 − e )
R0 + r
=
−t

R0E + rE − R 0E + R 0Ee τ )
R0 + r
=
−t

rE + R0Ee τ
R0 + r
=

uB (t) =

−t
R0
rE
+
Ee τ
R 0 + r R0 + r

5 graphes de i(t), uR0(t) et de uB(t)
t

E
i=
(1 − e τ )
R0 + r

t

RE
uR0 = 0 (1 − e τ )
R0 + r

i(A)

uB (t) =

uR0 (A)

E
R0 + r

−t
R0
rE
+
Ee τ
R0 + r R0 + r

uB(V)

E

E

R0E
R0 + r

t(s)
t(s)

0

rE
R0 + r

t(s)

0

0

t(s)
i(A)

0

+∞

t(s)

0

0

E
R0 + r

uR0(V)

0

+∞
R0E
R0 + r

t(s)

0

+∞

uB (A)

E

rE
R0 + r

6 La constante de temps

a- Définition :

La constante de temps τ est une grandeur caractéristique du dipôle
RL, elle nous renseigne sur la rapidité avec laquelle s’effectue
l’établissement du courant dans le circuit.
b- Unité de τ :

u
V
*R = R donc R est en
L
i
A
τ = avec {
d'où τ est en
uB uB.dt
V.s
R
*L = =
donc L est en
di di
A
dt

Vs
A =s
V
A
(seco

nde) donc τ est un temps.

c- Détermination de τ :
• Par calcul :

Ayant les valeurs de R(en Ω) et de L(en H), on peut calculer
directement τ(en s).
• Graphiquement :
o 1ère méthode (utilisation de la tangente à l’origine) : on
peut montrer que τ est l’abscisse du point d’intersection de
la tangente à la courbe de i(t)[de même pour uR(t) et uB(t) ] à
la date t=0 avec l’asymptote (lorsque t→+∞).

uB(V)

Tangente

E

i(A)

Tangente

Imax

Asymptote
Asymptote

Point d’intersection

0

t(s)

t(s)

Point d’intersection

0

o 2ème méthode (lecture graphique) :
à partir du graphe de i(t)
Pour t=τ, quelle est la valeur de i ?
−τ
E
E
E
E
i(τ) = (1 − e τ ) = (1 − e −1) ; 0, 63. = 0, 63
= 0, 63 Imax
R
R
R
R0 + r

Exemple :
On a Imax= 4 mA d’où 0,63.4 =2,52 mA donc l’abscisse du point
d’ordonnée 2,52 mA est égale à τ

i(mA)
4

2,52

t(s)

0

7 Durée de l’établissement du courant dans le dipôle RL
On peut considérer que le courant s’établit dans le dipôle RL lorsque i=

E
L
=5
R0 + r ce qui donne une durée t≈5τ=
R0 + r
0,99Imax
La durée de l’établissement de courant augmente :
• R0 ou r diminue.
• L augmente.
= 0,99

Pour t < 5τ, on a le régime transitoire.
Pour t ≥ 5τ, on a le régime permanent.
Remarque :
• la réponse d’un dipôle RL à un échelon de tension E est un
E
Imax =
R qui ne s’établit pas
courant continu d’intensité
instantanément à cause de l’inductance L de la bobine( la
bobine s’oppose à l’établissement du courant dans le circuit).
Avant d’atteindre le régime permanent, on passe par un régime
transitoire.
• On peut déterminer l’expression de Imax en utilisant l’équation
différentielle en régime permanent :
en régime permanent i=Imax =constante et l’équation différentielle
dI
dI
L max + RImax = E or max = 0car Imax est cons tan te
dt
dt
est
, d’où :
E
Imax =
R
• Dans le cas où la bobine est une inductance pure (on remplace dans
les expressions précédentes r par 0).

L
τ=
R0

t

E
τ
i=
(1 − e )
R0



t

uR0 = E(1 − e τ )

uB = E e



t
τ

et le graphe de uB(t) est :
uB(V)
E

t(s)

0

OSCILLATIONS ELECTRIQUES LIBRES

FICHE DE REVISION

A-LES OSCILLATIONS ÉLECTRIQUES LIBRES AMORTIES
I

Production des oscillations libres amorties

On place l’interrupteur sur la position 1 pour charger le condensateur
puis on le place sur la position 2 pour avoir les oscillations électriques
libres amorties ( en cas de résistance R faible).
Avant la décharge, la charge initiale du condensateur est Q0=C.E
R

uR

Cette décharge s’appelle décharge oscillante car elle s’effectue dans
une bobine.
uc

Avec R=30 Ω(faible), on obtient le graphe suivant :
uc(V)

T
II

L,r uB

E

T est la pseudo période

Influence de l’amortissement

On répète la même expérience en augmentant la valeur de la
résistance R, on obtient les graphes suivants :

R=50 Ω

Régime
pseudopériodique

R=100


Régime
apériodique

Régime
apériodique

R=200 Ω

Pour un amortissement faible, on obtient le régime pseudopériodique,
en augmentant l’amortissement (la résistance R) :
- Le nombre d’oscillations diminue.
- La pseudo période augmente.
- On passe du régime pseudopériodique au régime apériodique.
Remarque : le régime critique correspond au passage le plus rapide de
uC vers sa valeur nulle et sans oscillations.
II

Equation différentielle

D’après la loi des mailles(K est en position 2) :
uB + uR + uC =0

di
+ ri + Ri + uc = 0
dt
di
q
L + ri + Ri + = 0
dt
C

L

L

di
q
dq
di d2q
+ (R + r)i + = 0
i=
et
=
dt
C
dt
dt dt 2 donc :
avec

L

d2 q
dq q
+ (R + r)
+ =0
2
dt
dt C

d2 q (R + r) dq q
+
+
=0
dt 2
L dt LC

ou
c’est l’équation différentielle qui régit les variations de la charge q(t) du
condensateur en régime libre amorti.
Remarque : on peut établir l’équation différentielle régissant les
variations de la tension uc aux bornes du condensateur en remplaçant
q=Cuc

d2 (Cuc )
d(Cuc ) Cuc
+ (R + r)
+
=0
2
dt
dt
C
d2u
du
LC 2c + (R + r)C c + uc = 0
dt
dt
divisons cette équation par LC

L

d2uc (R + r) duc uc
+
+
=0
dt 2
L
dt LC

III

Non conservation de l’énergie totale d’un circuit RLC série

L’énergie totale E = Ec + EL avec
Ec : énergie électrique emmagasinée dans le condensateur.
EL : énergie magnétique emmagasinée dans la bobine.

E=

1 2 1 2
cuc + Li
2
2

Rappel : pour faire l’étude de variation d’une fonction (en maths
.) on calcule sa dérivée
De même ici pour voir comment varie l’énergie totale E, on doit

dE 1 d(uc2 ) 1 d(i2 )
= C
+ L
2
dt
2 dt
calculer sa dérivée : dt
avec uc(t) et i(t) sont deux fonctions de temps(et non pas des valeurs
constantes).

(f 2 (t))' =

d(f 2 )
= 2f(t)f '(t)
dt
: Rappel : dérivée d’une fonction carré

d(uc2 )
du
du
d(i2 )
di
dE 1
1
di
= 2uc c
= 2i
= C2uc c + L2i
dt
dt et dt
dt
dt 2
dt
2
dt
du
du
dE
di
di
dE
di
= uc i + Li
i(uc + L )
= uc C c + Li
C c =i
dt
dt
dt or
dt
dt =
dt
donc dt
di
uc + L = −(R + r)i
dt
d’après la loi des mailles
dE
= i( −(R + r)i) = − (R + r)i2
dt
dE
< 0 donc E est décroissante.
dt
L’énergie totale d’un circuit RLC série diminue au cours du temps.

Ec, EL et E (en J )

t(en ms )

E (l’énergie totale du circuit diminue au cours du temps )

EL (quand EL est maximale Ec est nulle )

Ec (quand Ec est maximale EL est nulle )

IV

Calcul de l’énergie perdue pendant une durée t=t2 – t1

Exemple : on prend t1 = 0 s et t2 = 35 ms. En ces deux dates, uC est
maximale donc Ee est maximale d’où EL est nulle (car lorsque uc est

duc
du
i=C c
dt donc i=0 d’où EL = 0).
maximale dt = 0 or
1 2
1 2
Cu1
Cu2
A t1 , E1 = Ee(t=t1) = 2
et à t=t2 on a E2 = Ee(t=t2) = 2
donc
l’énergie dissipée par effet joule dans (R + r) ou perdue est égale à

1
C(u12 − u22 )
2
Edissipée = E1 – E2 =
.

u1

u2

t1

t2

B- LES OSCILLATIONS LIBRES NON AMORTIES
I

Production des oscillations électriques libres non amorties
1 L’interrupteur K1 est fermé, K2 est ouvert

i

On considère le circuit électrique schématisé ci-dessous, lorsque le
condensateur se charge complètement, sa charge est maximale Qmax.
D’après la loi des mailles :
uG – uC = 0

E−

Qmax
=0
C
Qmax = CE

K1

L’énergie électrique emmagasinée par le condensateur
est
E
C

2
max

1Q
1
Ee =
= CE2 avec E : f.e.m
2 C
2

K22

uC

2 L’interrupteur K1 est ouvert, K2 est fermé
Le condensateur se décharge dans une inductance pure, on obtient
des oscillations électriques libres non amorties( oscillations
sinsoïdales). Voila les variations de la tension uc aux bornes du
condensateur :
T0
uc
Ucmax
T0

t(s)

0

T0
Avec T0 est la période propre du circuit LC.

II

Equation différentielle

d’après la loi des mailles ( K1 est ouvert et K2 est fermé) : la décharge
du condensateur dans une inductance pure.
uc + uL = 0

q
di
dq
di d2q
+ L = 0 or i =
donc
=
C
dt
dt
dt dt 2
q
d2q
+L 2 = 0
C
dt

L

uL

d2 q q
+
=0
dt 2 LC
Equation différentielle des oscillations électriques libres non amorties de

1
LC et de période propre
pulsation propre ω0 tel que

T0 =
= 2π LC
ω0
ω02 =

III

Solution de l’équation différentielle

L’équation différentielle précédente a pour solution :

q(t) = Qmax sin( ω0 t + ϕq )

avec :
Qmax : amplitude.
ω0t + ϕq : phase de la charge q(t) à la date t.
ϕq : phase initiale de la charge q(t).( phase à t=0)
On peut avoir de même l’expression de

i(t) =

dq
dt :

.Rappel maths : dérivée des fonctions sinus et cosinus

( Sin ( ax

π
+ b ) ) ’ = acos ( ax + b ) or cosα = sin( α + )
2
π

= asin  ax + b + ÷
2

.(Cos(ax + b))’ = - asin(ax + b)

q(t) = Qmax sin(ω0t + ϕq )

i(t) =

dq
dt

i(t) = ω0Qmax cos(ω0t + ϕq ) =ω0Qmax sin(ω0t + ϕq + π/2).
Or i(t) comme toute fonction sinusoïdale elle s’écrit sous la forme

i(t) = Imax sin(ω0 t + ϕi )

Donc

Imax =ω0Qmax
π
i
q +
2

{ ϕ =ϕ

q(C),i(A)
Qmax
Imax

Avec q=/2
t(s)

q(t)
i(t)

-Imax
-Qmax

D’après le graphe, on remarque que lorsque :

q = ± Qmax ; i = 0 et i = ± Imax ; q = 0 càd lorsque :




le condensateur est complètement chargé, la bobine est vide.
le condensateur est vide, le courant dans la bobine atteint sa valeur
maximale.
IV

Solution de l’équation différentielle

E = Ee + EL , l’énergie électrique peut être notée Ee ou Ec.

q2
Li2
+
2
= 2C
2
Q max
1
2
sin2 ( ω0 t + ϕq ) + Lω02Qmax
cos2 ( ω0 t + ϕq )or ω02 =
LC
= 2C
Q2max
1 2
sin2 (ω0 t + ϕq ) + L
Qmax cos2 ( ω0 t + ϕq )
LC
= 2C
2
Q
= max (sin2 (ω0 t + ϕq ) + cos2 ( ω0 t + ϕq ))
2C

E=

1 2
Qmax
2C

1
L
2
= Lω02
E = ω02Qmax
2
or C
donc
et comme Imax=ω0Qmax d’où :
1 2
E = LImax
2

V

Graphes des énergies
1 Graphes de Ee(t), EL(t) et E(t)

Ee =

2
Qmax
LI2
sin2 ( ω0 t + ϕq ) EL = max sin2 ( ω0 t + ϕi )
2C
2
,

E=

2
1 Qmax
1 2
= LImax
= cons tan te
2 C
2

Avec q=/2

E(J)
E=Eemax =ELmax

Ee
EL
E
t(s)

0

2 Graphes de Ee(i), EL(i) et E(i)

EL (i) =



Li2
= ai2 = f(i)
2
donc EL est une fonction parabolique de
coefficient (a>0)



Ee (i) = E − EL =

2
2
LImax
Li2
Li2 LImax

=−
+
= −ai2 + b
2
2
2
2
donc

Ee=g(i) est une fonction parabolique(-a<0)

E=Eemax =ELmax
Ee
EL
E
i(A)

0

3 Graphes de Ee(i2), EL(i2) et E(i2)



EL (i2 ) =

Li2
= ai2
2
donc EL est une fonction linéaire croissante (a>0).



Ee (i2 ) = E − EL = −

2
Li2 LImax
+
= −ai2 + b
2
2
donc Ee est une

fonction affine décroissante (-a<0).
E(J)
Ee
EL
E

uG

i2(A)
0
uB
uc

uR

L,r

LES OSCILLATIONS ELECTRIQUES
FORCEES EN REGIME SINUSOÏDAL
FICHE DE REVISION
I

Production des oscillations électriques forcées

On alimente le circuit RLC série avec un générateur basse fréquence
(G.B.F) délivrant une tension sinusoïdale u(t)=Umsin(ωt+ϕu) et on
visualise les tensions uR(t) sur la voie Y1 et u(t) sur la voie Y2 d’un
oscilloscope, on obtient les oscillogrammes suivants(à titre
d’exemple) :

T

uR , u (en V)

t(s)

T

En faisant varier la fréquence du G.B.F, on peut remarquer, en utilisant
les oscillogrammes, que les deux tensions u et uR ont la même période
(même fréquence) on dit que les oscillations de la tension uR sont
imposées par le générateur, l’oscillateur n’est pas libre et les oscillations
sont dites forcées.
II

Equation différentielle

D’après la loi des mailles :
uB + uR + uc = u avec u(t)=Umsin(ωt+ϕu).
L

du
duc
di
i
1
+ ri + Ri + uc = u
i=C c ;
=
d'où uc = ∫ i.dt
dt
dt
dt
C
C
avec
donc
di
1
L + (r + R)i + ∫ i.dt = u
dt
C
Equation différentielle

des oscillations électriques forcées
III

Solution de l’équation différentielle

L’équation différentielle précédente a pour solution i(t) =Imsin(ωt+ϕi).

Remarque : La pulsation ω de la tension excitatrice est la même
que celle de l’intensité de courant qui circule dans le circuit : le
rythme d’oscillations du courant est imposé par le générateur donc
.ces oscillations sont dites forcées
Pour avoir une solution complète de i(t) on doit avoir l’expression de Im
et celle de ϕi.
Il est très difficile de résoudre mathématiquement cette équation
différentielle, on va utiliser la méthode de résolution de Fresnel

(physicien français, 10/05/1788-14/07/1827 ;
http://fr.wikipedia.org/wiki/Augustin_Fresnel).

IV

Construction de Fresnel

A une fonction sinusoïdale Fresnel fait correspondre un vecteur :

i( t)

r
= Im sin( ωt + ϕi ) → V(Im , ϕi )

Im

r
V

i

Axe des phases =0
Dans notre équation différentielle on a quatre fonctions sinusoïdales,
on doit associer à chacune d’elles un vecteur de rFresnel :
1ère fonction : (R + r)i = (R + r)Im sin(ωt + ϕi ) → V1((R + r)Im ; ϕi ) .
r
di
π
π
L = LωIm sin(ωt + ϕi + ) 
→ V2 (LωIm ; ϕi + )
ème
2
2
2 fonction : dt
r
I
I
1
π
π
idt = m sin(ωt + ϕi − ) → V3 ( m ; ϕi − )

ème

2

2
3 fonction : C
r
u(t) = Um sin( ωt + ϕu ) 
→ V(Um ; ϕu )
4ème fonction :
r
r
r
r
di
1
On a (R + r )i + L + ∫ idt = u donc V1 + V2 + V3 = V
dt C
Trois cas sont possibles :
LωIm <

Im 
;
→ ω < ω0
¬ 


Circuit capacitif

LωIm =

Im 
;
→ ω = ω0
¬ 


Circuit résistif

LωIm >

Im 
;
→ ω > ω0
¬ 


Circuit inductif

ϕ u=0

rIm

rIm

rIm

+
LIm
RIm
Um

Im

i
u=0

i -+u
LIm
u=i
RIm

i

u(t) et uR(t) sont en
phaseIavec
(de même
m
pour
u(t)
et
i(t)).
Um


u=0

u<i

u(t) est en retard de phase
par rapport à uR(t) (càd à
i(t)).

u(t) est en avance de
phase par rapport à uR(t)
(càd à i(t)).

Tensions (V)

uR (t)

Tensions (V)

t(s)

t
uR (t)

u

uR

u

t(s)

Tensions(V)

u(t)

V

L’amplitude Im et le déphasage
1 L’amplitude Im
Um

Im =

(R + r)2 + (Lω −

1 2
)


2 Le déphasage =u - i
tg∆ϕ = tg(ϕu − ϕi ) =

1

R+r .

Lω −

Remarque : Quelque soit la nature du circuit, l’expression de
.tg(ϕu - ϕi) ne varie pas
VI

L’impédance Z
Z=

VI

rIm

+

Um U 2 U
1 2
=
= = (R + r)2 + (Lω −
)
Im
I

I 2

La résonance d’intensité

A la résonance d’intensité Im est maximale :
1 2
(R + r)2 + (Lω −
) est minimale


, or R + r est constante d’où
1 2
1
1
(Lω −
) est minimale,donc Lω −
= 0; Lω =



1
1
Lω =
si gnifie ω2 =
; ω = ω0

LC
.



Um=(R+r)Im, Z est minimale Z= R + r.



ϕu =ϕi, ∆ϕ = 0 u(t) et i(t) sont en phase.

LIm
RIm
Um



i=C

On a
=ϕi donc

Im

i
u

duc
π
=0
,d'où ϕi = ϕuc +
dt
2 or à la résonance d’intensité ϕu
ϕu = ϕuc +

π
2

π
2.
A la résonance d’intensité, uc est en quadrature retard par rapport à u(t).
ϕuc = ϕu −

La courbe de variation de I=f(N), (Courbe de résonance).

N0

N(Hz)

I(A)


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