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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Développements limités.
N.TSOULI

25 juin 2012

Développements limités

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Dans ce chapitre, on suppose que x0 ∈ R et n ∈ N.
Definition
Soit f une fonction défine au voisinage de x0 .
On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL)
à l’ordre n en x0 (ou au voisinage de x0 ) s’il exixte des réels
a0 , a1 , .., an et une fonction définie au voisinage de x0 (sauf
peut être en x0 )tels que pour tout x voisinage de x0 :

f (x) =

n
X

ak (x − x0 )k + (x − x0 )n (x), avec lim (x) = 0.
x→x0

k =0

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Dans ce chapitre, on suppose que x0 ∈ R et n ∈ N.
Definition
Soit f une fonction défine au voisinage de x0 .
On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL)
à l’ordre n en x0 (ou au voisinage de x0 ) s’il exixte des réels
a0 , a1 , .., an et une fonction définie au voisinage de x0 (sauf
peut être en x0 )tels que pour tout x voisinage de x0 :

f (x) =

n
X

ak (x − x0 )k + (x − x0 )n (x), avec lim (x) = 0.
x→x0

k =0

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Dans ce chapitre, on suppose que x0 ∈ R et n ∈ N.
Definition
Soit f une fonction défine au voisinage de x0 .
On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL)
à l’ordre n en x0 (ou au voisinage de x0 ) s’il exixte des réels
a0 , a1 , .., an et une fonction définie au voisinage de x0 (sauf
peut être en x0 )tels que pour tout x voisinage de x0 :

f (x) =

n
X

ak (x − x0 )k + (x − x0 )n (x), avec lim (x) = 0.
x→x0

k =0

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Dans ce chapitre, on suppose que x0 ∈ R et n ∈ N.
Definition
Soit f une fonction défine au voisinage de x0 .
On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL)
à l’ordre n en x0 (ou au voisinage de x0 ) s’il exixte des réels
a0 , a1 , .., an et une fonction définie au voisinage de x0 (sauf
peut être en x0 )tels que pour tout x voisinage de x0 :

f (x) =

n
X

ak (x − x0 )k + (x − x0 )n (x), avec lim (x) = 0.
x→x0

k =0

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Dans ce chapitre, on suppose que x0 ∈ R et n ∈ N.
Definition
Soit f une fonction défine au voisinage de x0 .
On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL)
à l’ordre n en x0 (ou au voisinage de x0 ) s’il exixte des réels
a0 , a1 , .., an et une fonction définie au voisinage de x0 (sauf
peut être en x0 )tels que pour tout x voisinage de x0 :

f (x) =

n
X

ak (x − x0 )k + (x − x0 )n (x), avec lim (x) = 0.
x→x0

k =0

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Dans ce chapitre, on suppose que x0 ∈ R et n ∈ N.
Definition
Soit f une fonction défine au voisinage de x0 .
On dit que f admet un développement limité (en abrégé un DL)
à l’ordre n en x0 (ou au voisinage de x0 ) s’il exixte des réels
a0 , a1 , .., an et une fonction définie au voisinage de x0 (sauf
peut être en x0 )tels que pour tout x voisinage de x0 :

f (x) =

n
X

ak (x − x0 )k + (x − x0 )n (x), avec lim (x) = 0.
x→x0

k =0

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
.
1/ Avec la notation de Landau, cela peut s’écrire :
f (x) =

n
X

ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ).

k =0

Remarque
2/ Si lim f (x) = ±∞ ou bienf n’admet pas de limite en x0 alors f
x→x0

ne possède pas de DL en x0 .
Remarque
3/ Le polynôme P(x) =

n
X

ak (x − x0 )k est appelé la partie

k =0

principale du DL de f au voisinade de x0 (en abrégé DL(x0 ))et
le terme (x − x0 )n (x) est appelé le reste du DL(x0 ).
N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
.
1/ Avec la notation de Landau, cela peut s’écrire :
f (x) =

n
X

ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ).

k =0

Remarque
2/ Si lim f (x) = ±∞ ou bienf n’admet pas de limite en x0 alors f
x→x0

ne possède pas de DL en x0 .
Remarque
3/ Le polynôme P(x) =

n
X

ak (x − x0 )k est appelé la partie

k =0

principale du DL de f au voisinade de x0 (en abrégé DL(x0 ))et
le terme (x − x0 )n (x) est appelé le reste du DL(x0 ).
N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
.
1/ Avec la notation de Landau, cela peut s’écrire :
f (x) =

n
X

ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ).

k =0

Remarque
2/ Si lim f (x) = ±∞ ou bienf n’admet pas de limite en x0 alors f
x→x0

ne possède pas de DL en x0 .
Remarque
3/ Le polynôme P(x) =

n
X

ak (x − x0 )k est appelé la partie

k =0

principale du DL de f au voisinade de x0 (en abrégé DL(x0 ))et
le terme (x − x0 )n (x) est appelé le reste du DL(x0 ).
N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
.
1/ Avec la notation de Landau, cela peut s’écrire :
f (x) =

n
X

ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ).

k =0

Remarque
2/ Si lim f (x) = ±∞ ou bienf n’admet pas de limite en x0 alors f
x→x0

ne possède pas de DL en x0 .
Remarque
3/ Le polynôme P(x) =

n
X

ak (x − x0 )k est appelé la partie

k =0

principale du DL de f au voisinade de x0 (en abrégé DL(x0 ))et
le terme (x − x0 )n (x) est appelé le reste du DL(x0 ).
N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
.
1/ Avec la notation de Landau, cela peut s’écrire :
f (x) =

n
X

ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ).

k =0

Remarque
2/ Si lim f (x) = ±∞ ou bienf n’admet pas de limite en x0 alors f
x→x0

ne possède pas de DL en x0 .
Remarque
3/ Le polynôme P(x) =

n
X

ak (x − x0 )k est appelé la partie

k =0

principale du DL de f au voisinade de x0 (en abrégé DL(x0 ))et
le terme (x − x0 )n (x) est appelé le reste du DL(x0 ).
N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
.
1/ Avec la notation de Landau, cela peut s’écrire :
f (x) =

n
X

ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n ).

k =0

Remarque
2/ Si lim f (x) = ±∞ ou bienf n’admet pas de limite en x0 alors f
x→x0

ne possède pas de DL en x0 .
Remarque
3/ Le polynôme P(x) =

n
X

ak (x − x0 )k est appelé la partie

k =0

principale du DL de f au voisinade de x0 (en abrégé DL(x0 ))et
le terme (x − x0 )n (x) est appelé le reste du DL(x0 ).
N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Proposition
(unicité du DL)
Si f admet un DL(x0 ) à l’ordre n ∈ N (en abrégé DLn (x0 ))alors il
existe un polynôme unique P de degré ≤ n tel que au voisinage
de x0
f (x) = P(x) + (x − x0 )n (x).

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Proposition
(unicité du DL)
Si f admet un DL(x0 ) à l’ordre n ∈ N (en abrégé DLn (x0 ))alors il
existe un polynôme unique P de degré ≤ n tel que au voisinage
de x0
f (x) = P(x) + (x − x0 )n (x).

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Proposition
(unicité du DL)
Si f admet un DL(x0 ) à l’ordre n ∈ N (en abrégé DLn (x0 ))alors il
existe un polynôme unique P de degré ≤ n tel que au voisinage
de x0
f (x) = P(x) + (x − x0 )n (x).

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Preuve :
Si f est paire (resp. impaire) alors P est paire (resp. impaire) et
ne contient que des puissances paires (resp. impaires).

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Proposition
Si f admet un DLn (x0 ) alors f admet un DLp (x0 ) pour tout entier
naturel p ≤ n, obtenu par troncature. Plus précisément :comme
f (x) =

n
X

ak (x − x0 )k + (x − x0 )n (x)

k =0

alors
f (x) =

p
X

ak (x − x0 )k + (x − x0 )p 0 (x).

k =0

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Proposition
Si f admet un DLn (x0 ) alors f admet un DLp (x0 ) pour tout entier
naturel p ≤ n, obtenu par troncature. Plus précisément :comme
f (x) =

n
X

ak (x − x0 )k + (x − x0 )n (x)

k =0

alors
f (x) =

p
X

ak (x − x0 )k + (x − x0 )p 0 (x).

k =0

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Proposition
1/ Pour que f admette un DL0 (x0 ) il faut et il suffit que f soit
continue en x0 .
Ce DL0 (x0 ) s’écrit nécessiarement f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ).
2/ Pour que f admette un DL1 (x0 ) il faut et il suffit que f soit
dérivable en x0 .
Ce DL1 (x0 ) s’écrit nécessiarement
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 ) (x − x0 ).
Preuve :

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Proposition
1/ Pour que f admette un DL0 (x0 ) il faut et il suffit que f soit
continue en x0 .
Ce DL0 (x0 ) s’écrit nécessiarement f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ).
2/ Pour que f admette un DL1 (x0 ) il faut et il suffit que f soit
dérivable en x0 .
Ce DL1 (x0 ) s’écrit nécessiarement
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 ) (x − x0 ).
Preuve :

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Proposition
1/ Pour que f admette un DL0 (x0 ) il faut et il suffit que f soit
continue en x0 .
Ce DL0 (x0 ) s’écrit nécessiarement f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ).
2/ Pour que f admette un DL1 (x0 ) il faut et il suffit que f soit
dérivable en x0 .
Ce DL1 (x0 ) s’écrit nécessiarement
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 ) (x − x0 ).
Preuve :

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Proposition
1/ Pour que f admette un DL0 (x0 ) il faut et il suffit que f soit
continue en x0 .
Ce DL0 (x0 ) s’écrit nécessiarement f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ).
2/ Pour que f admette un DL1 (x0 ) il faut et il suffit que f soit
dérivable en x0 .
Ce DL1 (x0 ) s’écrit nécessiarement
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 ) (x − x0 ).
Preuve :

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Proposition
1/ Pour que f admette un DL0 (x0 ) il faut et il suffit que f soit
continue en x0 .
Ce DL0 (x0 ) s’écrit nécessiarement f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ).
2/ Pour que f admette un DL1 (x0 ) il faut et il suffit que f soit
dérivable en x0 .
Ce DL1 (x0 ) s’écrit nécessiarement
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 ) (x − x0 ).
Preuve :

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
En revanche un DLn (x0 ) où n ≥ 2 n’implique pas que f soit deux
fois dérivable en x0 . Un contre-exemple est donné par
l’aplication
si x , 0
f (x) = x 3 sin( x1 )
0
si x = 0.

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Proposition
(Formule de Taylor-Young.)
Si f est de classe C n au voisinage de x0 , alors l’égalité de
Taylor-Young prouve l’existence du DLn (x0 ).Ce DL s’écrit :
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
1
f ”(x0 )(x − x0 )2
+
2
1
+ .............. f (n) (x0 )(x − x0 )n + (x − x0 )n (x − x0 ).
n!
Corollaire
Si f est de C ∞ au voisinage de x0 ,alors f admet un DLn (x0 ) pour
tout n ∈ N.

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Proposition
(Formule de Taylor-Young.)
Si f est de classe C n au voisinage de x0 , alors l’égalité de
Taylor-Young prouve l’existence du DLn (x0 ).Ce DL s’écrit :
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
1
+
f ”(x0 )(x − x0 )2
2
1
+ .............. f (n) (x0 )(x − x0 )n + (x − x0 )n (x − x0 ).
n!
Corollaire
Si f est de C ∞ au voisinage de x0 ,alors f admet un DLn (x0 ) pour
tout n ∈ N.

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Proposition
(Formule de Taylor-Young.)
Si f est de classe C n au voisinage de x0 , alors l’égalité de
Taylor-Young prouve l’existence du DLn (x0 ).Ce DL s’écrit :
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
1
+
f ”(x0 )(x − x0 )2
2
1
+ .............. f (n) (x0 )(x − x0 )n + (x − x0 )n (x − x0 ).
n!
Corollaire
Si f est de C ∞ au voisinage de x0 ,alors f admet un DLn (x0 ) pour
tout n ∈ N.

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Proposition
(Formule de Taylor-Young.)
Si f est de classe C n au voisinage de x0 , alors l’égalité de
Taylor-Young prouve l’existence du DLn (x0 ).Ce DL s’écrit :
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
1
+
f ”(x0 )(x − x0 )2
2
1
+ .............. f (n) (x0 )(x − x0 )n + (x − x0 )n (x − x0 ).
n!
Corollaire
Si f est de C ∞ au voisinage de x0 ,alors f admet un DLn (x0 ) pour
tout n ∈ N.

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Proposition
(Formule de Taylor-Young.)
Si f est de classe C n au voisinage de x0 , alors l’égalité de
Taylor-Young prouve l’existence du DLn (x0 ).Ce DL s’écrit :
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )
1
+
f ”(x0 )(x − x0 )2
2
1
+ .............. f (n) (x0 )(x − x0 )n + (x − x0 )n (x − x0 ).
n!
Corollaire
Si f est de C ∞ au voisinage de x0 ,alors f admet un DLn (x0 ) pour
tout n ∈ N.

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
Tout les développement ci-dessous sont valables à l’origine,et
peuvent être obtenue par la formule de Taylor-Young ( ou par
d’autre méthodes qui seront exposées plus loins.)
ex = 1 + x +

sinx = x −

x2 x3
xn
+
+ .. +
+ x n (x).
2!
3!
n!

x3 x5
x 2n+1
+
+ .. + (−1)n
! + x 2n+2 (x).
3!
5!
(2n + 1)

cosx = 1 −

x2 x4
x 2n
+
+ ... + (−1)n
+ x 2n+1 (x).
2!
4!
(2n)!

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
Tout les développement ci-dessous sont valables à l’origine,et
peuvent être obtenue par la formule de Taylor-Young ( ou par
d’autre méthodes qui seront exposées plus loins.)
ex = 1 + x +

sinx = x −

x2 x3
xn
+
+ .. +
+ x n (x).
2!
3!
n!

x3 x5
x 2n+1
+
+ .. + (−1)n
! + x 2n+2 (x).
3!
5!
(2n + 1)

cosx = 1 −

x2 x4
x 2n
+
+ ... + (−1)n
+ x 2n+1 (x).
2!
4!
(2n)!

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
Tout les développement ci-dessous sont valables à l’origine,et
peuvent être obtenue par la formule de Taylor-Young ( ou par
d’autre méthodes qui seront exposées plus loins.)
ex = 1 + x +

sinx = x −

xn
x2 x3
+
+ .. +
+ x n (x).
2!
3!
n!

x3 x5
x 2n+1
+
+ .. + (−1)n
! + x 2n+2 (x).
3!
5!
(2n + 1)

cosx = 1 −

x2 x4
x 2n
+
+ ... + (−1)n
+ x 2n+1 (x).
2!
4!
(2n)!

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
Tout les développement ci-dessous sont valables à l’origine,et
peuvent être obtenue par la formule de Taylor-Young ( ou par
d’autre méthodes qui seront exposées plus loins.)
ex = 1 + x +

sinx = x −

xn
x2 x3
+
+ .. +
+ x n (x).
2!
3!
n!

x3 x5
x 2n+1
+
+ .. + (−1)n
! + x 2n+2 (x).
3!
5!
(2n + 1)

cosx = 1 −

x2 x4
x 2n
+
+ ... + (−1)n
+ x 2n+1 (x).
2!
4!
(2n)!

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
Tout les développement ci-dessous sont valables à l’origine,et
peuvent être obtenue par la formule de Taylor-Young ( ou par
d’autre méthodes qui seront exposées plus loins.)
ex = 1 + x +

sinx = x −

xn
x2 x3
+
+ .. +
+ x n (x).
2!
3!
n!

x3 x5
x 2n+1
+
+ .. + (−1)n
! + x 2n+2 (x).
3!
5!
(2n + 1)

cosx = 1 −

x2 x4
x 2n
+
+ ... + (−1)n
+ x 2n+1 (x).
2!
4!
(2n)!

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
Tout les développement ci-dessous sont valables à l’origine,et
peuvent être obtenue par la formule de Taylor-Young ( ou par
d’autre méthodes qui seront exposées plus loins.)
ex = 1 + x +

sinx = x −

xn
x2 x3
+
+ .. +
+ x n (x).
2!
3!
n!

x3 x5
x 2n+1
+
+ .. + (−1)n
! + x 2n+2 (x).
3!
5!
(2n + 1)

cosx = 1 −

x2 x4
x 2n
+
+ ... + (−1)n
+ x 2n+1 (x).
2!
4!
(2n)!

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
shx = x +

x3 x5
x 2n+1
+
+ .. +
! + x 2n+2 (x).
3!
5!
(2n + 1)

chx = 1 +

x2 x4
x 2n
+
+ ... +
+ x 2n+1 (x).
2!
4!
(2n)!

tgx = x +

x 3 2x 5
+
+ x 6 (x).
3
15

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
shx = x +

x3 x5
x 2n+1
+
+ .. +
! + x 2n+2 (x).
3!
5!
(2n + 1)

chx = 1 +

x2 x4
x 2n
+
+ ... +
+ x 2n+1 (x).
2!
4!
(2n)!

tgx = x +

x 3 2x 5
+
+ x 6 (x).
3
15

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
shx = x +

x3 x5
x 2n+1
+
+ .. +
! + x 2n+2 (x).
3!
5!
(2n + 1)

chx = 1 +

x2 x4
x 2n
+
+ ... +
+ x 2n+1 (x).
2!
4!
(2n)!

tgx = x +

x 3 2x 5
+
+ x 6 (x).
3
15

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
thx = x −

x 3 2x 5
+
+ x 6 (x).
3
15

1
= 1 − x + x 2 − x 3 + ... + (−1)n x n + x n (x).
1+x
1
= 1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n + x n (x).
1−x

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
thx = x −

x 3 2x 5
+
+ x 6 (x).
3
15

1
= 1 − x + x 2 − x 3 + ... + (−1)n x n + x n (x).
1+x
1
= 1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n + x n (x).
1−x

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
(1+x)α = 1+αx+

α(α − 1) 2
α(α − 1)...(α − n + 1) n n
x +...+
x +x (x).
2!
n!

Log(1 + x) = x −

x2 x3
xn
+
+ ... + (−1)n+1
+ x n (x).
2
3
n

Log(1 − x) = −x −

x2 x3
xn

− ... −
+ x n (x).
2
3
n

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
(1+x)α = 1+αx+

α(α − 1) 2
α(α − 1)...(α − n + 1) n n
x +...+
x +x (x).
2!
n!

Log(1 + x) = x −

x2 x3
xn
+
+ ... + (−1)n+1
+ x n (x).
2
3
n

Log(1 − x) = −x −

xn
x2 x3

− ... −
+ x n (x).
2
3
n

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Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
(1+x)α = 1+αx+

α(α − 1) 2
α(α − 1)...(α − n + 1) n n
x +...+
x +x (x).
2!
n!

Log(1 + x) = x −

x2 x3
xn
+
+ ... + (−1)n+1
+ x n (x).
2
3
n

Log(1 − x) = −x −

xn
x2 x3

− ... −
+ x n (x).
2
3
n

N.TSOULI

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque

arctgx = x −

x3 x5
x 2n+1
+
+ ... + (−1)n
+ x 2n+2 (x).
3
5
2n + 1

arcsinx = x +

1 x3 1 3 x5 1 3 5 x7
+
+
+ ... + x 2n+2 (x).
2 3
24 5
246 7
arccosx =

N.TSOULI

π
− arcsinx.
2

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque

arctgx = x −

x3 x5
x 2n+1
+
+ ... + (−1)n
+ x 2n+2 (x).
3
5
2n + 1

arcsinx = x +

1 x3 1 3 x5 1 3 5 x7
+
+
+ ... + x 2n+2 (x).
2 3
24 5
246 7
arccosx =

N.TSOULI

π
− arcsinx.
2

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque

arctgx = x −

x3 x5
x 2n+1
+
+ ... + (−1)n
+ x 2n+2 (x).
3
5
2n + 1

arcsinx = x +

1 x3 1 3 x5 1 3 5 x7
+
+
+ ... + x 2n+2 (x).
2 3
24 5
246 7
arccosx =

N.TSOULI

π
− arcsinx.
2

Développements limités.

Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
A l’aide du changementde variable t = x − x0 , on note
l’équivalence suivante :
f(x) admet un DLn (x0 ) ⇐⇒ f (t + x0 ) admet un DLn (0),
et à l’aide du changement de varible t =
l’équivalence suivante :

1
x

, on note

1
f(x) admet un DLn (∞) ⇐⇒ f ( ) admet un DLn (0).
t

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Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développement limité Notion de développeme

Remarque
A l’aide du changementde variable t = x − x0 , on note
l’équivalence suivante :
f(x) admet un DLn (x0 ) ⇐⇒ f (t + x0 ) admet un DLn (0),
et à l’aide du changement de varible t =
l’équivalence suivante :

1
x

, on note

1
f(x) admet un DLn (∞) ⇐⇒ f ( ) admet un DLn (0).
t

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Développements limités.


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