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Cours eqdf .pdf



Nom original: Cours-eqdf.pdf
Titre: Equations differentielles

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Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Equations di erentielles

Université Mohammed I
Faculté des Sciences

Département de Mathématiques
Oujda.

Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Plan
1

Introduction

2

Equation Di érentielles du premier ordre
Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

3

Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Résponsable du cours : Pr. NAJIB TSOULI.

Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

1

Introduction

2

Equation Di érentielles du premier ordre
Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

3

Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)

Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Introduction

Une équation di érentielle (ED) d'ordre n est une équation faisant
intervenir une fonction y ainsi que ses dérivées y (k ) jusqu'à l'ordre
n.
Par exemple : y 0 = 2y et y = 21 x 2 y ” − 5x , où y est une fonction à
pour variable x.

Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Introduction
De nition

.
L'équation di érentielle d'ordre n s'écrit sous la forme :
F (x , y , y 0 , y ”, ..., y (n) ) = 0 (E)
où F est une fonction de (n+2) variables.
Une solution à une telle équation di érentielle sur l'intervalle I ⊂ R
est une fonction y de classe C n (I ) à valeur dans R telle que
∀x ∈ I :
F (x , y , y 0 , y ”, ..., y (n) ) = 0

Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

1

Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

Introduction

2

Equation Di érentielles du premier ordre
Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

3

Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)

Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

De nition

Ondit qu'une équation di érentielle est du premier ordre si n = 1
dans l'équation (E).

Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

Plan
1

Introduction

2

Equation Di érentielles du premier ordre
Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

3

Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

Equation Di érentielles à variables séparées
De nition

Une équation di érentielle du premier ordre est dite à variables
séparées si elle peut s'écrire sous la forme :
f (y )y 0 = g (x )(EVS )
Proposition

Une solution de (EVS) véri e la formule suivante
F (y ) = G (x ) + c te
où F (resp. G) est une primitive de f (resp. g).
Remarque

Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

Plan
1

Introduction

2

Equation Di érentielles du premier ordre
Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

3

Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

Equation Di érentielles du premier ordre
De nition

Une équation di érentielle linéaire du premier ordre est une
équation du type :
a(x )y 0 + b(x )y = c (x )(E )
où a,b,c sont des fonctions continues sur un intervalle I ⊂ R, et
que a(x ) 6= 0∀x ∈ I.
l'équation homogène associée à (E), notée (Eh ), est l'équation sans
second membre suivante :
a(x )y 0 + b(x )y = 0(Eh )
Remarque

Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

Equation Di érentielles du premier ordre
Proposition

(Résolution de (Eh ))
On considère
1

2
3

a(x )y 0 + b(x )y = 0(Eh )

les solutions de cette équation sur I où a(x ) 6= 0, forment un
espace vectoriel
de dim un dont une base est B = {exp G (x )}
R b(x )
où G (x ) = − a(x ) dx .
si l'on suppose que y (x0 ) = y0 alors cette solution est unique.
si y (x0 ) = 0 alors y=0 sur I (solution trivial).
Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

Equation Di érentielles du premier ordre

Proposition

(Résolution de (E))
Soit yp une solution particulière de (E).
1 si yh est une solution de (Eh ) alors yp + yh est une solution de
(E).
2 Inversement, si y est une solution de (E) alors y − yp est une
solution de (Eh ).

Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

Equation Di érentielles du premier ordre
Remarque
1

Pour chercher une soultion de (E), on peut appliquer la
méthode de la variation de la constante, en cherchant une
solution de la forme
y (x ) = K (x ) exp G (x )

2

où yh (x ) = exp G (x ) est une solution de (Eh ) et
K 0 (x ) = ca((xx )) exp −G (x ).
Equation di érentielle à coe cient constants :
ay 0 + by = c (x ) (E)
On peut trouver une solution particulière de (E) sans passer
par le procédé de la variation de la constante.
Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

Plan
1

Introduction

2

Equation Di érentielles du premier ordre
Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

3

Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

Equation de bernoulli
De nition

Ce sont des équations di érentielles du premier ordre de la forme
y 0 = a(x )y + b(x )y α (E )
(α ∈ R)

Remarque
1
2
3

si α = 0 ou α = 1, on se trouve en présence d'une équation
linéaire.
α 6= 0, α 6= 1 et y 6= 0, on se ramène à une équation
di érentielle linéaire du première ordre.
y = 0 est en fait une solution si α > 0.
Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

Plan
1

Introduction

2

Equation Di érentielles du premier ordre
Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

3

Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

Equation de Ricati
De nition

Ce sont des équation di érentielle du premier ordre de la forme
y 0 = a(x )y 2 + b(x )y + c (x )(E )
Remarque
1
2

si a(x ) = 0, l'equation (E) est linéaire.
si a(x ) 6= 0 ; il est nécessaire de trouver une solution
particulière. Posons alors
y (x ) = yp (x ) + z (x )
Mars 2012

Introduction
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants

Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

Equation de Ricati

où z (x ) est une fonction inconnue à déterminer

z 0 (x ) = a(x )z 2 (x ) + [2a(x )yp (x ) + b(x )]z (x ).
Ainsi on se ramène à une équation de Bernoulli.

Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

1

Introduction

2

Equation Di érentielles du premier ordre
Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

3

Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)

Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

De nition

On appelle équation di érentielle du second ordre à coe cients
constants toute équation de type :
ay ” + by 0 + cy = d (x )(E )
où a,b,c sont des constantes réelles avec a 6= 0.

Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

Plan
1

Introduction

2

Equation Di érentielles du premier ordre
Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

3

Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

Equation homogène
De nition

On appelle équation homogène ( ou équation sans second membre)
associée à (E) l'equation
ay ” + by 0 + cy = 0(Eh )
et l'équation

ar 2 + br + c = 0
l'equation caractéristique associée à (Eh ).

Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

Equation homogène
Proposition

Soit ay ” + by 0 + cy = 0(Eh ) une équation di érentielle linéaire du
second ordre à coe cients constants, et soit l'équation
ar 2 + br + c = 0(∗)
l'equation caractéristique associée à (Eh ).
On note ∆ = b2 − 4ac le discriminant de (*).
1 si ∆ 6= 0 alors y = A exp (r1 x ) + B exp (r2 x ) est une solution
de (Eh ) pour tout A,B ∈ R, où r1 et r2 sont les racines
distinctes de (*).
2 si ∆ = 0 alors y = A exp (rx ) + Bx exp (rx ) est une solution de
(Eh ) pour tout A,B ∈ R, où r est la racine double de (*).
Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

Plan
1

Introduction

2

Equation Di érentielles du premier ordre
Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

3

Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

Equation avec second membre
Proposition

Soit

ay ” + by 0 + cy = d (x )(E )
une équation di érentielle linéaire du second ordre à coe cients
constants, et soit yp une solution particulière de (E).
1 si yh est une solution de (Eh ) alors yp + yh est solution de (E).
2 si y est une solution de (E ) alors y − yp est une solution de
(Eh ).

Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

Plan
1

Introduction

2

Equation Di érentielles du premier ordre
Equation Di érentielles à variables séparées
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation de bernoulli
Equation de Ricati

3

Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants
Equation homogène
Equation avec second membre
solution particulière de (E)
Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

solution particulière de (E)

On va étudier trois cas.
1er cas :
Si d (x ) = P (x ) exp λx , où P est un pôlynome et λ est une
constante réelle ou complexe. On cherche une solution
yp = Q (x ) exp λx .

Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

solution particulière de (E)
Proposition
1

Si λ n'est pas racine de l'equation caractéristique, alors
∃yp (x ) = Q (x ) exp λx

2

Si λ est l'une des racines distinctes de l'equation
caractéristique (*), alors
∃yp (x ) = Q (x ) exp λx

3

avec d Q = d P .

avec d Q = d P + 1.

Si λ est la racine double de l'equation caractéristique (*), alors
∃yp (x ) = Q (x ) exp λx

avec d Q = d P + 2.

Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

solution particulière de (E)
2me cas :
Principe de superposition.
Proposition

On suppose que y1 (resp.y2 ) est une solution de l'équation
di érentielle linéaire du second ordre à coe cients constants
ay ” + by 0 + cy = d1 (x )(E1 )
(resp.ay ” + by 0 + cy = d2 (x )(E2 )). Alors y1 + y2 est une solution
de l'équation di érentielle linéaire du second ordre à coe cients
constants
ay ” + by 0 + cy = d1 (x ) + d2 (x )(E3 ).
Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

solution particulière de (E)
3me cas :
Oscillation linéaire libres.
Proposition

On considère l'équation di érentielle linéaire du second ordre à
coe cients constants
y ” + 2my 0 + ω02 y = 0 sur R+ (E ).
avec m ≥ 0 et ω0 > 0.
m se comporte comme un paramètre d'amortissement, et ω0 se
comporte comme un paramètre de pulsation propre.
Soit r 2 + 2mr + ω02 = 0 l'equation caractéristique, et soit
∆ = 4(m2 − ω02 ) le discriminant.
Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

solution particulière de (E)

1- cas où m = 0 (amortissement nul)

y (x ) = C1 cos(ω0 x ) + C2 sin(ω0 x ) = A cos(ω0 x + φ)
c'est un amortissement périodique d'Amplitude A et de période
T0 = 2ωπ0 .

Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

solution particulière de (E)

2- cas où ∆ < 0 (amortissement faible)
Soit ω = ω02 − m2 > 0 alors ∆ = (2i ω)2 ,
ainsi y (x ) = [C1 cos(ω x ) + C2 sin(ω x )] exp(−mx ),
c'est un mouvement pseudo-périodique
T = 2ωπ avec T > T0 = 2ωπ0 .
q

Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

solution particulière de (E)

3- cas où ∆ = 0 (amortissement critique)

y (x ) = (xC1 + C2 ) exp(−mx ),
c'est un mouvement apériodique critique.

Mars 2012

Introduction
Equation homogène
Equation Di érentielles du premier ordre
Equation avec second membre
Equation di érentielle du second ordre à coe cients constants solution particulière de (E)

solution particulière de (E)
4-cas où ∆ > 0 (amortissement fort)
Soit ω = m2 − ω02 > 0, où (−m + ω) et (−m − ω) sont les deux
racines de l'equation caractéristique :
q

y (x ) = [C1 exp(ωx ) + C2 exp(−ωx )] exp(−mx )
= [D1 ch(ω x ) + D2 sh(ω x )] exp(−mx ),

c'est un mouvement apériodique.

Mars 2012


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