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Intégrale Bac Math (2) .pdf



Nom original: Intégrale Bac Math (2).pdf
Auteur: mak

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Mr :Khammour.K
Année Scolaire : 2013/2014

Niveau : 4èmeMath

Série n°8 : Intégrale

Rappel :
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné I. Soient a et b deux réels de
I. F est la primitive de f sur I.
On appelle intégrale de f a à b de f le nombre réel noté :

Propriétés :
 Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné I. Alors :
;
 Relation de Chasles :
 Positivité :Si f est continue et positive sur [a,b] et

alors :

Intégrale d’une égalité :
Soient f et g deux fonctions continues sur [a,b] avec

alors :

sur [a,b]
Parité :
Soit f une fonction continue sur un intervalle symétrique [-a,a] :
 Si f est paire alors

.

 Si f est impair alors
Intégration par partie :
Soit U et V deux fonctions dérivables sur [a,b] alors :

Mr:Khammour.Khalil

Tél:27509639

Théorème :
Soit f une fonction continue sur I et g une fonction continue sur J telle que
g(J) I .Alors la fonction F définie sur J par

est dérivable

sur J et
Valeur moyenne :
Soit f une fonction continue sur [a,b] :On appelle valeur moyenne de f sur [a,b]
le réel ,noté

Inégalité de la moyenne :
Soit f une fonction continue sur [a,b] (a<b).Soit M et m deux réels ,si pour tout x
de [a,b]
alors
Calcul d’aires :
Soit f une fonction continue et positive sur [a,b] .L’aire
par :

et

du domaine définie

est

Exercice n°1 :
Calculer l’intégrale I :
1)

; 2)

; 3)

4)

; 5)

; 6)

Exercice n°2 :
Calculer au moyen d’intégration par partie, l’intégrale I.

Mr:Khammour.Khalil

Tél:27509639

1)

2)

4)

3)

5)

6)

Exercice n°3 :
Soient I et J les intégrales suivantes :

et

1) Calculer I+J.
2) En déduire I et J.
Exercice n°4 :
Soit la fonction f définie sur
1) Monter que f dérivable sur

par

.

et calculer sa fonction dérivée.

2) Soit U la suite définie sur IN par
a) Montrer que U est croissante.
b) Démonter les inégalités suivantes :

et

c) En déduire que U est majoré et par suite ,convergente.
Exercice n°5 :
Pour tout n de IN , on considère la fonction

définie et dérivable sur [0,1[

par :

1) a) Vérifier que pour tout n de IN ,
définie et dérivable sur [0,1[.
b) Montrer que
est croissante sur [0,1[.
Mr:Khammour.Khalil

Tél:27509639

2) a) Calculer

.

b) En déduire que pour tout x de [0,1[ ;
c) En déduire que
limite.

.

admet une limite à gauche de 1.On note

cette

3) a) Vérifier que pour tout n IN* et pour tout x de [0,1[,on a :

b) A l’aide d’une intégration par partie , prouver que pour tout
IN et pour tout x de [0,1[,on a :

n de

*

d) Monter que pour tout n de IN* et pour tout x [0,1[ , on a :

4)a) Déduire que pour tout n de IN*
b) Calculer

et

.

.

c) Montrer que pour tout n>0 :
Exercice n°6 :
1) Calculer pour tout réel x positif

.

2) Soit la suite définie sur IN* par :

.

a) Trouver une relation de récurrence entre
b) Que devient cette relation pour

Mr:Khammour.Khalil

et

?En déduire

.
et

Tél:27509639

Exercice n°7 :
Soit la fonction f définie par :
1) Etudier la dérivabilité de f sur [0 ,1].Dresser son tableau de variations.
2) a)Montrer que f est une bijection de I sur un intervalle J que l’on
précisera .On note g sa fonction réciproque .
b)Etudier la dérivabilité de de g sur J .
3) Tracer dans un repère orthonormé

Cf et Cg.

4) Expliciter g(x) pour tout x de J.
5) Calculer l’aire délimitée par Cf et Cg.

Mr:Khammour.Khalil

Tél:27509639


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