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Intégrale Bac Math corrigé Ex n°4 Ex n°5 (1) .pdf



Nom original: Intégrale Bac Math corrigé Ex n°4 Ex n°5 (1).pdf
Auteur: mak

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Mr :Khammour.K
Année Scolaire : 2013/2014

Série n°8 : Intégrales

Niveau : 4èmeMath
Tél : 27509639

Exercice n°4 :
Soit la fonction f définie sur

par

1) Monter que f dérivable sur

.

et calculer sa fonction dérivée.

2) Soit U la suite définie sur IN par
a) Montrer que U est croissante.
b) Démonter les inégalités suivantes :

et

Solution :
Soit la fonction f définie sur
1)

par

.

continue sur IR\{-1} en particulier sur
dérivable sur

et

alors f est

.

2) a) Soit U la suite définie sur IN par

=
b)

donc U est croissante
or

On intègre sur]0,1] on obtient :

et par suite

Exercice n°5 :
Pour tout n de IN , on considère la fonction

définie sur [0,1[

par :

1) a) Vérifier que pour tout n de IN ,
définie et dérivable sur [0,1[.
b) Montrer que
est croissante sur [0,1[.
2) a) Calculer

.

b) En déduire que pour tout x de [0,1[ ;
c) En déduire que
limite.

.

admet une limite à gauche de 1.On note

cette

3) a) Vérifier que pour tout n IN* et pour tout x de [0,1[,on a :

b) A l’aide d’une intégration par partie , prouver que pour tout
IN* et pour tout x de [0,1[,on a :

c) Monter que pour tout n de IN* et pour tout x [0,1[ , on a :

4)a) Déduire que pour tout n de IN*
b) Calculer

et

.

.

n de

c) Montrer que pour tout n>0 :
Solution :
Pour tout n de IN , on considère la fonction

définie et dérivable sur [0,1[

par :

1) a)

définie et continue sur

en particulier sur [0,1[ donc

est définie et dérivable sur [0,1[.
b)

or

d’où

donc

croissante.
2) a)
b)

On a

on intègre sur [0,x] on obtient :

(car

Conclusion : pour tout
c)
3) a)

)

est

b)
Par intégration par partie on obtient;

c)

4) a) On a :
d’après 2) c) et
d’où
b)

;

c)(

;
Démonstration par récurrence)

 Pour n=1
 On suppose que
On a

et

(Vrai)
montrons que

Conclusion : pour tout n>0 on a :


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