somme .pdf


Nom original: somme.pdf

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par TeX / pdfTeX-1.40.14, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 17/01/2014 à 05:48, depuis l'adresse IP 70.30.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 802 fois.
Taille du document: 67 Ko (3 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


La somme des entiers positifs ou bienvenue dans
le monde de la math´
emagie!!!
Pour nous amuser, nous pouvons additionner les 100, 1000, 10000, n premiers
. Ce qui nous donne :
nombres avec la formule S = n(n+1)
2
S1,100 = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100 = 5050
S1,1000 = 500500
S1,10000 = 50005000
...
Le logique semble nous dire que si on somme tous les nombres jusqu’`a l’infini,
nous devrions obtenir un nombre infiniment grand. Ummmh.... c¸a fait du sens,
mais voyons ce que les maths ont `a dire. Prenons trois sommes infinies :
S1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1...

(1)

S2 = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − 10...

(2)

S3 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10...

(3)

Il est tr`es important de comprendre que ces trois sommes n’ont pas de fin.
On pourrait additionner des nombres pour le restant de nos jours et on ne serait
pas plus avanc´e qu’au d´ebut. C’est un peu comme une vis sans fin, mˆeme apr`es
1 000 000 000 000 tours, nous ne sommes pas plus pr`es de la fin qu’apr`es le
premier tour. Bon, une fois cela dit analyser les sommes. D’abord la premi`eres
sommes pour paraˆıtre ´etrange, car deux r´esultats semblent possibles. Voici les
2 d´eveloppements possibles.
S1

=(1 − 1)

+(1 − 1)

+(1 − 1)

...

(4)

S1

=0

+0

+0

...

(5)

S1

=0

(6)

Nous pouvons ´egalement obtenir
S1

=1

+(−1 + 1)

+(−1 + 1)

+(−1 + 1)

...

(7)

S1

=1

+0

+0

+0

...

(8)

S1

=1

(9)

´
Etrange!!
2 r´esultats pour la mˆeme somme c’est impossible. Effectivement,
cela l’est. Il faut comprendre que c’est deux d´eveloppements imposent une parit´e
a` la somme. Le premier impose qu’il y est un nombre paire de termes(2 par
paranth`ese) alors que le deuxi`eme exige un nombre impaire de nombres(2 par
paranth`ese + le premier). Comme la s´erie est infinie et qu’elle n’a donc pas de
fin, le fait de dire qu’elle est paire ou impaire n’a aucun sens math´ematique.
Donc, ces deux r´esultats sont faux. Alors quel est le bon r´esultat? Eh bien le
voici
1

2 ∗ S1

= 1−1 + 1 − 1 + 1 + 1 − 1 + 1...
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1...

(11)

2 ∗ S1

= 1+0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0...

(12)

2 ∗ S1
S1

=1
1
=
2

(10)

(13)
(14)

Je sais, j’ai fait une drˆ
ole d’op´eration, j’ai d´ecal´e la deuxi`eme somme avant
de l’additionner `
a la premi`ere. On peut penser que la premi`ere somme terminera
en premier et qu’il y aura un ±1 qui trainera `a la fin, mais non, car les sommes
sont infinies. Il est donc impossible qu’elles manquent de termes. Nous aurions
pu commencer `
a additionner la deuxi`eme somme `a partir du millioni`eme terme
et ¸ca n’aurait rien changer. Maintenant passons `a la prochaine s´erie. Avec la
mˆeme technique on obtient
2 ∗ S2

= 1−

2 ∗ S2

= 1−
1
=
2
1
=
4

2 ∗ S2
S2

2 + 3 − 4 + 5 − 6...

(15)

1 − 2 + 3 − 4 + 5...

(16)

1 + 1 − 1 + 1 − 1...

(17)
(18)
(19)

Avec ce r´esultat, nous pouvons obtenir la valeur de la derni`ere somme.
S3 − S2

= 1 + 2 + 3 − 4 + 5 + 6...

(20)

−(1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6...)

(21)

S3 − S2

= 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + 0 + 16 + 0 + 20...

(22)

S3 − S2

= 4(1 + 2 + 3 + 4 + 5...)

(23)

S3 − S2 = 4 ∗ S3
−1
∗ S2 = S3
3
−1 1
−1
S3 =
∗ =
3
4
12

(24)
(25)
(26)

Et voil`
a le travail. Avant de continuer `a lire, il peut ˆetre bien de relire depuis
le d´ebut et de juger cette d´emonstration. Ensuite descendre quelques pages pour
voir la suite.

2

En r´ealit´e ce r´esultat n’est pas encore compl`etement accepter dans le milieu math´ematique et physique. Quoique de nombreuses m´ethodes permettent
d’obtenir le mˆeme r´esultat. Certaines d’entre elles repose sur des hypoth`eses
qui semblent vraies, mais qui n’ont toujours pas de preuve formel. De plus, ce
r´esultat est utilis´e en physique pour ´elaborer la th´eorie des cordes. Cette th´eorie
quoi qu’int´eressante, est ”en contruction” depuis plus de 40 ans. Sans vouloir
la d´enigrer, c’est la seule branche de la physique qui utilise ce r´esultat et cette
th´eorie est loin de faire l’unaminit´e. De plus, en multipliant la s´erie par 3 et en
d´ecalant de 1 `
a chaque fois avant de faire la l’addition. Comme nous avons fait
plusieurs fois (je ne ferai pas le d´eveloppements), on obtient
3∗S =1+3∗S

(27)

1
on voit que ce r´esultat est incoh´erent. Pour le
En remplacant S par − 12
d´eveloppements peut se faire de fa¸con tr`es rigoureuse.

3


Aperçu du document somme.pdf - page 1/3

Aperçu du document somme.pdf - page 2/3

Aperçu du document somme.pdf - page 3/3




Télécharger le fichier (PDF)


somme.pdf (PDF, 67 Ko)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP Texte



Documents similaires


somme
recom yahya hamidoune
2 analyserisque
me moire licence 3 green nudge
6 td statistiques
cours1 prob et stoch sma s6

Sur le même sujet..




🚀  Page générée en 0.009s