AF BEA~2 .pdf

---

À propos / Télécharger Aperçu

---

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par LaTeX with Beamer class version 3.31 / pdfTeX-1.40.13, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 18/01/2014 à 13:39, depuis l'adresse IP 41.248.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 801 fois.
Taille du document: 393 Ko (51 pages).
Confidentialité: fichier public

Aperçu du document

---

 †A ® Jƒ@
éË@X
H@YK

@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖÏ@
Qå•AJË@ ð YÒm× PñJ»YË@
y
17/01/2014
L´
egende
k k∞
x

k k2
k k1

 †A ® Jƒ@
éË@X
H@YK

@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖÏ@
Qå•AJË@ ð YÒm× PñJ»YË@
y
17/01/2014
L´
egende
k k∞
x

k k2
k k1

éJë Q.Ó

 ð éK
YK
@Q Ë@ éË@YË@
†A ® ƒB@
H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖÏ@
ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

 †A ® Jƒ@
éË@X
H@YK

@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖÏ@
Qå•AJË@ ð YÒm× PñJ»YË@
y
17/01/2014
L´
egende
k k∞
x

k k2
k k1

éJë Q.Ó

 ð éK
YK
@Q Ë@ éË@YË@
†A ® ƒB@
H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖÏ@
ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

 †A ® Jƒ@
éË@X
H@YK

@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖÏ@
Qå•AJË@ ð YÒm× PñJ»YË@
y
17/01/2014
L´
egende
k k∞
x

k k2
k k1

éJë Q.Ó

 ð éK
YK
@Q Ë@ éË@YË@
†A ® ƒB@
H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖÏ@
ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

 †A ® Jƒ@
éË@X
H@YK

@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖÏ@
Qå•AJË@ ð YÒm× PñJ»YË@
y
17/01/2014
L´
egende
k k∞
x

k k2
k k1

éJë Q.Ó

 ð éK
YK
@Q Ë@ éË@YË@
†A ® ƒB@
H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖÏ@
ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

 †A ® Jƒ@
éË@X
H@YK

@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖÏ@
Qå•AJË@ ð YÒm× PñJ»YË@
y
17/01/2014
L´
egende
k k∞
x

k k2
k k1

éJë Q.Ó

 ð éK
YK
@Q Ë@ éË@YË@
†A ® ƒB@
H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖÏ@
ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

Théorème

Yg. ñK
éKA ¯ ,

:
]a, b[

 ð
úΫ é® J‚Ó

[a, b]


@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖ Ï @ H@YK

 JÓ éË@X

úΫ éʒ

f : [a, b] → R
:


m'.
IJ

@ X@
I KA¿

c ∈]a, b[

f (b) − f (a) = f 0 (c) (b − a)

 †A ® Jƒ@
éË@X

:

H@YK

@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖÏ@

1/9

Théorème

Yg. ñK
éKA ¯ ,

:
]a, b[

 ð
úΫ é® J‚Ó

[a, b]


@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖ Ï @ H@YK

 JÓ éË@X

úΫ éʒ

f : [a, b] → R
:


m'.
IJ

@ X@
I KA¿

c ∈]a, b[

f (b) − f (a) = f 0 (c) (b − a)

6
5
4
3
2
1
a

−2

−1

0

−1

1

c

2

b

3

4

5

6

−2
−3

 †A ® Jƒ@
éË@X

:

H@YK

@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖÏ@

1/9

Théorème

:

 ÉJ.® K ð
úΫ †A ® JƒB@

[a, b]


@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖ Ï @ H@YK

 JÓ éK XY« éË@X
 f : [a, b] → R I KA¿
@ X@
ÈAj.ÖÏ@ úΫ éʒ




m'. c ∈]a, b[ XY« Yg. ñK
éKA ¯ ]a, b[
IJ

f (b) − f (a) = f 0 (c) (b − a)

.
àAëQK

Démonstration

 †A ® Jƒ@
éË@X

:

H@YK

@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖÏ@

2/9

Théorème

:

 ÉJ.® K ð
úΫ †A ® JƒB@

[a, b]


@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖ Ï @ H@YK

 JÓ éK XY« éË@X
 f : [a, b] → R I KA¿
@ X@
ÈAj.ÖÏ@ úΫ éʒ




m'. c ∈]a, b[ XY« Yg. ñK
éKA ¯ ]a, b[
IJ

f (b) − f (a) = f 0 (c) (b − a)

.
àAëQK

Démonstration

g(x ) = f (x ) − ` · (x − a)

 †A ® Jƒ@
éË@X

:

H@YK

@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖÏ@

ð

`=

f (b)−f (a)
b−a

©’ JË

∗

2/9

Théorème

:

 ÉJ.® K ð
úΫ †A ® JƒB@

[a, b]


@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖ Ï @ H@YK

 JÓ éK XY« éË@X
 f : [a, b] → R I KA¿
@ X@
ÈAj.ÖÏ@ úΫ éʒ




m'. c ∈]a, b[ XY« Yg. ñK
éKA ¯ ]a, b[
IJ

f (b) − f (a) = f 0 (c) (b − a)

.
àAëQK

Démonstration

g(x ) = f (x ) − ` · (x − a)
g(b) = f (b) −

 †A ® Jƒ@
éË@X

:

H@YK

@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖÏ@

f (b)−f (a)
b−a

· (b − a) = f (a)

ð

ð

`=

f (b)−f (a)
b−a

g(a) = f (a)

©’ JË
AJK
YË à X@

∗
∗

2/9

Théorème

:

 ÉJ.® K ð
úΫ †A ® JƒB@

[a, b]


@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖ Ï @ H@YK

 JÓ éK XY« éË@X
 f : [a, b] → R I KA¿
@ X@
ÈAj.ÖÏ@ úΫ éʒ




m'. c ∈]a, b[ XY« Yg. ñK
éKA ¯ ]a, b[
IJ

f (b) − f (a) = f 0 (c) (b − a)

.
àAëQK

Démonstration

g(x ) = f (x ) − ` · (x − a)
g(b) = f (b) −

.

 †A ® Jƒ@
éË@X

:

f (b)−f (a)
b−a

g 0 (c) = 0

H@YK

@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖÏ@


m'.
IJ

· (b − a) = f (a)

c ∈]a, b[

ð

`=

f (b)−f (a)
b−a

©’ JË
AJK
YË à X@

ð g(a) = f (a)
 XY« Yg ñK ÈðP éJë QÓ I‚k
ù
®J
®k
.

. .

∗
∗
∗

2/9

Théorème

:

 ÉJ.® K ð
úΫ †A ® JƒB@

[a, b]


@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖ Ï @ H@YK

 JÓ éK XY« éË@X
 f : [a, b] → R I KA¿
@ X@
ÈAj.ÖÏ@ úΫ éʒ




m'. c ∈]a, b[ XY« Yg. ñK
éKA ¯ ]a, b[
IJ

f (b) − f (a) = f 0 (c) (b − a)

.
àAëQK

Démonstration

g(x ) = f (x ) − ` · (x − a)
g(b) = f (b) −

.

g 0 (c) = 0
f 0 (c) =

 †A ® Jƒ@
éË@X

:

f (b)−f (a)
b−a

H@YK

@Q Ë@ éJë Q.Ó
éJ
îDJÖÏ@


m'.
IJ

· (b − a) = f (a)

`=

f (b)−f (a)
b−a

©’ JË
AJK
YË à X@

ð g(a) = f (a)
 XY« Yg ñK ÈðP éJë QÓ I‚k
ù
®J
®k
.

. .


úΫ ɒm' AJ KA ¯ g 0 (x ) = f 0 (x ) − ` à@ AÖß.ð

c ∈]a, b[

f (b)−f (a)
b−a

ð

∗
∗
∗
∗

2/9


éÓ PB

Corollaire
]a, b[

 ð
ÈAj.ÖÏ@ úΫ é® J‚Ó

[a, b]

 JÓ éK XY« éË@X

ÈAj.ÖÏ@ úΫ éʒ



:

 †A ® Jƒ@
éË@X

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

JË
áº
AJK
YË ,

f : [a, b] → R

3/9


éÓ PB

Corollaire
]a, b[

 ð
ÈAj.ÖÏ@ úΫ é® J‚Ó

[a, b]

 JÓ éK XY« éË@X

ÈAj.ÖÏ@ úΫ éʒ



:
1

 †A ® Jƒ@
éË@X

∀x ∈]a, b[

f 0 (x ) > 0

⇐⇒

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

éK
YK
@Q K f

JË
áº
AJK
YË ,

f : [a, b] → R

.

3/9


éÓ PB

Corollaire
]a, b[

 ð
ÈAj.ÖÏ@ úΫ é® J‚Ó

[a, b]

 JÓ éK XY« éË@X

ÈAj.ÖÏ@ úΫ éʒ



:
1

2

 †A ® Jƒ@
éË@X

∀x ∈]a, b[

f 0 (x ) > 0

⇐⇒

∀x ∈]a, b[

f 0 (x )

⇐⇒

60

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

JË
áº
AJK
YË ,

f : [a, b] → R

éK
YK
@Q K f .
éJ
’¯A J K f .

3/9


éÓ PB

Corollaire
]a, b[

 ð
ÈAj.ÖÏ@ úΫ é® J‚Ó

[a, b]

 JÓ éK XY« éË@X

ÈAj.ÖÏ@ úΫ éʒ



:
∀x ∈]a, b[

f 0 (x ) > 0

⇐⇒

2

∀x ∈]a, b[

f 0 (x )

60

⇐⇒

3

∀x ∈]a, b[

f 0 (x ) = 0

⇐⇒

1

 †A ® Jƒ@
éË@X

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

JË
áº
AJK
YË ,

f : [a, b] → R

éK
YK
@Q K f .
éJ
’¯A J K f .
éJK. AK f .

3/9


éÓ PB

Corollaire
]a, b[

 ð
ÈAj.ÖÏ@ úΫ é® J‚Ó

[a, b]

 JÓ éK XY« éË@X

ÈAj.ÖÏ@ úΫ éʒ



:
∀x ∈]a, b[

f 0 (x ) > 0

⇐⇒

2

∀x ∈]a, b[

f 0 (x )

60

⇐⇒

3

∀x ∈]a, b[

f 0 (x ) = 0

⇐⇒

4

∀x ∈]a, b[

f 0 (x ) > 0

=⇒

1

 †A ® Jƒ@
éË@X

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

éK
YK
@Q K f .
éJ
’¯A J K f .
éJK. AK f .
Aª¢¯ éK
YK
@Q K f

JË
áº
AJK
YË ,

f : [a, b] → R

.

3/9


éÓ PB

Corollaire
]a, b[

 ð
ÈAj.ÖÏ@ úΫ é® J‚Ó

[a, b]

 JÓ éK XY« éË@X

ÈAj.ÖÏ@ úΫ éʒ



:
∀x ∈]a, b[

f 0 (x ) > 0

⇐⇒

2

∀x ∈]a, b[

f 0 (x )

60

⇐⇒

3

∀x ∈]a, b[

f 0 (x ) = 0

⇐⇒

4

∀x ∈]a, b[

f 0 (x ) > 0

=⇒

5

∀x ∈]a, b[

f 0 (x ) < 0

=⇒

1

 †A ® Jƒ@
éË@X

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

JË
áº
AJK
YË ,

f : [a, b] → R

éK
YK
@Q K f .
éJ
’¯A J K f .
éJK. AK f .
Aª¢¯ éK
YK
@Q K f .
Aª¢¯ éJ
’¯A J K f .

3/9

 .
àAëQK

Démonstration
f 0 (x ) > 0

 †A ® Jƒ@
éË@X

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

⇐⇒

éK
YK
@Q Kf

4/9

 .
àAëQK

Démonstration
f 0 (x ) > 0
=⇒

 †A ® Jƒ@
éË@X

I

.

x 6y

©Ó

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

⇐⇒

éK
YK
@Q Kf

x , y ∈]a, b[

 à@  Q® K
 éË@YË@

Ë . éJ . k. ñÓ é® J‚ÖÏ@
áºJ

4/9

 .
àAëQK

Démonstration
f 0 (x ) > 0
=⇒

I
I

.

:

⇐⇒

éK
YK
@Q Kf


Ë
©Ó x , y ∈]a, b[ áºJ

m'. c ∈]x , y [ Yg. ñK
,
IJ

x 6y

 à@  Q® K
 éË@YË@
. éJ . k. ñÓ é® J‚ÖÏ@
éJîDJÖÏ@




@QË@ éJë Q.Ó ÈAÒªJƒAK.

H@YK

f (x ) − f (y ) = f 0 (c)(x − y )

 †A ® Jƒ@
éË@X

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

4/9

 .
àAëQK

Démonstration
f 0 (x ) > 0
=⇒

I
I

.

⇐⇒

éK
YK
@Q Kf


Ë
©Ó x , y ∈]a, b[ áºJ

m'. c ∈]x , y [ Yg. ñK
,
IJ

x 6y
:

 à@  Q® K
 éË@YË@
. éJ . k. ñÓ é® J‚ÖÏ@
éJîDJÖÏ@




@QË@ éJë Q.Ó ÈAÒªJƒAK.

H@YK

f (x ) − f (y ) = f 0 (c)(x − y )
I

 †A ® Jƒ@
éË@X

f (x ) − f (y ) 6 0

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

  AJ KA ¯
à@ i.JJ ‚

x −y 60

ð

f 0 (c) > 0

à@ AÖß.ð

4/9

 .
àAëQK

Démonstration
f 0 (x ) > 0
=⇒

I
I

.

:

⇐⇒

éK
YK
@Q Kf


Ë
©Ó x , y ∈]a, b[ áºJ

m'. c ∈]x , y [ Yg. ñK
,
IJ

x 6y

 à@  Q® K
 éË@YË@
. éJ . k. ñÓ é® J‚ÖÏ@
éJîDJÖÏ@




@QË@ éJë Q.Ó ÈAÒªJƒAK.

H@YK

f (x ) − f (y ) = f 0 (c)(x − y )
I

f (x ) − f (y ) 6 0

I

 †A ® Jƒ@
éË@X

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

  AJ KA ¯ x − y 6 0 ð f 0 (c) > 0 à@ AÖß.ð
à@ i.JJ ‚

. éK
YK
@Q K f ú
ÍAJËAK. ð f (x ) 6 f (y ) éJÓð

4/9

 .
àAëQK

Démonstration
f 0 (x ) > 0
=⇒

I
I

.

:

⇐⇒

éK
YK
@Q Kf


Ë
©Ó x , y ∈]a, b[ áºJ

m'. c ∈]x , y [ Yg. ñK
,
IJ

x 6y

 à@  Q® K
 éË@YË@
. éJ . k. ñÓ é® J‚ÖÏ@
éJîDJÖÏ@




@QË@ éJë Q.Ó ÈAÒªJƒAK.

H@YK

f (x ) − f (y ) = f 0 (c)(x − y )
I
I

⇐=

 †A ® Jƒ@
éË@X

  AJ KA ¯ x − y 6 0 ð f 0 (c) > 0 à@ AÖß.ð
à@ i.JJ ‚

. éK
YK
@Q K f ú
ÍAJËAK. ð f (x ) 6 f (y ) éJÓð



Ë . éK
YK
@Q K f éË@YË@ à@  Q® K
. AJK . AK @Qå”J« x0 ∈]a, b[ áºJ

f (x ) − f (y ) 6 0

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

4/9

 .
àAëQK

Démonstration
f 0 (x ) > 0
=⇒

I
I

.

:

⇐⇒

éK
YK
@Q Kf


Ë
©Ó x , y ∈]a, b[ áºJ

m'. c ∈]x , y [ Yg. ñK
,
IJ

x 6y

 à@  Q® K
 éË@YË@
. éJ . k. ñÓ é® J‚ÖÏ@
éJîDJÖÏ@




@QË@ éJë Q.Ó ÈAÒªJƒAK.

H@YK

f (x ) − f (y ) = f 0 (c)(x − y )
I
I

⇐=

 †A ® Jƒ@
éË@X

  AJ KA ¯ x − y 6 0 ð f 0 (c) > 0 à@ AÖß.ð
à@ i.JJ ‚

. éK
YK
@Q K f ú
ÍAJËAK. ð f (x ) 6 f (y ) éJÓð



Ë . éK
YK
@Q K f éË@YË@ à@  Q® K
. AJK. AK @Qå”J« x0 ∈]a, b[ áºJ
. f (y ) − f (x0 ) > 0 ð y − x0 > 0 AJK
YË y > x0 É¿ Ég. B

f (x ) − f (y ) 6 0

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

4/9

 .
àAëQK

Démonstration
f 0 (x ) > 0
=⇒

I
I

.

:

⇐⇒

éK
YK
@Q Kf


Ë
©Ó x , y ∈]a, b[ áºJ

m'. c ∈]x , y [ Yg. ñK
,
IJ

x 6y

 à@  Q® K
 éË@YË@
. éJ . k. ñÓ é® J‚ÖÏ@
éJîDJÖÏ@




@QË@ éJë Q.Ó ÈAÒªJƒAK.

H@YK

f (x ) − f (y ) = f 0 (c)(x − y )
I
I

⇐=

 †A ® Jƒ@
éË@X

  AJ KA ¯ x − y 6 0 ð f 0 (c) > 0 à@ AÖß.ð
à@ i.JJ ‚

. éK
YK
@Q K f ú
ÍAJËAK. ð f (x ) 6 f (y ) éJÓð



Ë . éK
YK
@Q K f éË@YË@ à@  Q® K
. AJK. AK @Qå”J« x0 ∈]a, b[ áºJ
. f (y ) − f (x0 ) > 0 ð y − x0 > 0 AJK
YË y > x0 É¿ Ég. B

f (y )−f (x0 )
¯ éJÓð

> 0 : ‡®m
' Q
ª JË@ ÈYªÓ àA
y −x0

f (x ) − f (y ) 6 0

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

4/9

 .
àAëQK

Démonstration
f 0 (x ) > 0
=⇒

I
I

.

:

⇐⇒

éK
YK
@Q Kf


Ë
©Ó x , y ∈]a, b[ áºJ

m'. c ∈]x , y [ Yg. ñK
,
IJ

x 6y

 à@  Q® K
 éË@YË@
. éJ . k. ñÓ é® J‚ÖÏ@
éJîDJÖÏ@




@QË@ éJë Q.Ó ÈAÒªJƒAK.

H@YK

f (x ) − f (y ) = f 0 (c)(x − y )
I
I

⇐=

  AJ KA ¯ x − y 6 0 ð f 0 (c) > 0 à@ AÖß.ð
à@ i.JJ ‚

. éK
YK
@Q K f ú
ÍAJËAK. ð f (x ) 6 f (y ) éJÓð



Ë . éK
YK
@Q K f éË@YË@ à@  Q® K
. AJK. AK @Qå”J« x0 ∈]a, b[ áºJ
. f (y ) − f (x0 ) > 0 ð y − x0 > 0 AJK
YË y > x0 É¿ Ég. B

f (y )−f (x0 )
¯ éJÓð

> 0 : ‡®m
' Q
ª JË@ ÈYªÓ àA
y −x0



: àA¯ úÍAJËAK. ð



f (x ) − f (y ) 6 0

lim
x →x0

 †A ® Jƒ@
éË@X

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

f (y ) − f (x0 )
>0
y − x0

4/9

 .
àAëQK

Démonstration
f 0 (x ) > 0
=⇒

I
I

.

⇐⇒

éK
YK
@Q Kf


Ë
©Ó x , y ∈]a, b[ áºJ

m'. c ∈]x , y [ Yg. ñK
,
IJ

x 6y
:

 à@  Q® K
 éË@YË@
. éJ . k. ñÓ é® J‚ÖÏ@
éJîDJÖÏ@




@QË@ éJë Q.Ó ÈAÒªJƒAK.

H@YK

f (x ) − f (y ) = f 0 (c)(x − y )
I
I

⇐=

  AJ KA ¯ x − y 6 0 ð f 0 (c) > 0 à@ AÖß.ð
à@ i.JJ ‚

. éK
YK
@Q K f ú
ÍAJËAK. ð f (x ) 6 f (y ) éJÓð



Ë . éK
YK
@Q K f éË@YË@ à@  Q® K
. AJK. AK @Qå”J« x0 ∈]a, b[ áºJ
. f (y ) − f (x0 ) > 0 ð y − x0 > 0 AJK
YË y > x0 É¿ Ég. B

f (y )−f (x0 )
¯ éJÓð

> 0 : ‡®m
' Q
ª JË@ ÈYªÓ àA
y −x0



: àA¯ úÍAJËAK. ð



f (x ) − f (y ) 6 0

lim
x →x0

f (y ) − f (x0 )
>0
y − x0
:


éJÓð

f 0 (x0 ) > 0

 †A ® Jƒ@
éË@X

 ð éK . AKQË@
†A ® JƒB@

4/9


éÓ PB

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖ Ï @ H@YK

Corollaire
..

:

 A¯ éK XY« éË@X
 f : I → R áº
 éÊK
JË
. I hñJ®Ó ÈAm.× úΫ †A ® JƒCË
.



AJK
YË éKA ¯ f 0 (x ) 6 M , x ∈ I É¿ Ég. B IJ

m'. M éJK. AK HYg
 . ð @ X@
∀x , y ∈ I

 †A ® Jƒ@
éË@X



f (x ) − f (y ) 6 M|x − y |

H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖÏ@

5/9


éÓ PB

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖ Ï @ H@YK

Corollaire
..

:

 A¯ éK XY« éË@X
 f : I → R áº
 éÊK
JË
. I hñJ®Ó ÈAm.× úΫ †A ® JƒCË
.



AJK
YË éKA ¯ f 0 (x ) 6 M , x ∈ I É¿ Ég. B IJ

m'. M éJK. AK HYg
 . ð @ X@
∀x , y ∈ I



f (x ) − f (y ) 6 M|x − y |

.
àAëQK

Démonstration

.

 †A ® Jƒ@
éË@X

H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖÏ@

x, y ∈ I

á 
JK. AK áK
Qå”J« Y g AK

5/9


éÓ PB

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖ Ï @ H@YK

Corollaire
..

:

 A¯ éK XY« éË@X
 f : I → R áº
 éÊK
JË
. I hñJ®Ó ÈAm.× úΫ †A ® JƒCË
.



AJK
YË éKA ¯ f 0 (x ) 6 M , x ∈ I É¿ Ég. B IJ

m'. M éJK. AK HYg
 . ð @ X@
∀x , y ∈ I



f (x ) − f (y ) 6 M|x − y |

.
àAëQK

Démonstration

.
.

 †A ® Jƒ@
éË@X

f (x ) − f (y ) = f 0 (c)(x − y )

H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖÏ@


m'.
IJ

]y , x [

á 
JK. AK áK
Qå”J« Y g AK
ú
¯ ð@ ]x , y [ ú
¯ c à X@ Yg. ñK


x, y ∈ I

5/9


éÓ PB

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖ Ï @ H@YK

Corollaire
..

:

 A¯ éK XY« éË@X
 f : I → R áº
 éÊK
JË
. I hñJ®Ó ÈAm.× úΫ †A ® JƒCË
.



AJK
YË éKA ¯ f 0 (x ) 6 M , x ∈ I É¿ Ég. B IJ

m'. M éJK. AK HYg
 . ð @ X@
∀x , y ∈ I



f (x ) − f (y ) 6 M|x − y |

.
àAëQK

Démonstration

á 
JK. AK áK
Qå”J« Y g AK

m'. ]y , x [ ú¯ ð@ ]x , y [ ú¯ c à X@ Yg. ñK

. f (x ) − f (y ) = f 0 (c)(x − y ) IJ






f (x ) − f (y ) 6 M|x − y | àA ¯ |f 0 (c)| 6 M à@ AÖß.ð
.

 †A ® Jƒ@
éË@X

H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖÏ@

x, y ∈ I

5/9

ÈAJÓ

Exemple

f (x ) = sin(x )

 †A ® Jƒ@
éË@X

H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖÏ@

JË
áº

6/9

ÈAJÓ

Exemple

f (x ) = sin(x )
|f 0 (x )| 6 1

 †A ® Jƒ@
éË@X

H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖÏ@

àA ¯

f 0 (x ) = cos x

JË
áº
à@ AÖß.

6/9

ÈAJÓ

Exemple

JË
áº
¯ f 0 (x ) = cos x à@ AÖß.
|f 0 (x )| 6 1 àA
H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
É¿ Ég. B AJK
YË éJ
îDJÖÏ@
f (x ) = sin(x )

: x, y ∈ R

| sin x − sin y | 6 |x − y |

 †A ® Jƒ@
éË@X

H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖÏ@

6/9

ÈAJÓ

Exemple

JË
áº
¯ f 0 (x ) = cos x à@ AÖß.
|f 0 (x )| 6 1 àA
H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
É¿ Ég. B AJK
YË éJ
îDJÖÏ@
f (x ) = sin(x )

: x, y ∈ R

| sin x − sin y | 6 |x − y |
| sin x | 6 |x |

 †A ® Jƒ@
éË@X

H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖÏ@

:


úΫ ɒm' AJ KA ¯

y =0

AK Y g@ @ X@ ð

6/9

ÈAJÓ

Exemple

JË
áº
¯ f 0 (x ) = cos x à@ AÖß.
|f 0 (x )| 6 1 àA
H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
É¿ Ég. B AJK
YË éJ
îDJÖÏ@
f (x ) = sin(x )

: x, y ∈ R

| sin x − sin y | 6 |x − y |
| sin x | 6 |x |

 †A ® Jƒ@
éË@X

H@YK

@Q Ë@ éKðA® JÓ
éJ
îDJÖÏ@

:


úΫ ɒm' AJ KA ¯

y =0

AK Y g@ @ X@ ð

6/9


éÓ PB


ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

Corollaire
Règle de l’Hospital

.

 †A ® Jƒ@
éË@X

x0 ∈ I

 àA JÊK. A¯ àA JK
XY« àA JË@X

Ë ð , †A ® JƒCË
áºJ

ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

f,g : I → R

JË
áº

7/9


éÓ PB


ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

Corollaire
Règle de l’Hospital

.

x0 ∈ I

 àA JÊK. A¯ àA JK
XY« àA JË@X

Ë ð , †A ® JƒCË
áºJ

.

f,g : I → R

JË
áº
: ©Ó

f (x0 ) = g(x0 ) = 0
∀x ∈ I \ {x0 }

 †A ® Jƒ@
éË@X

g 0 (x ) 6= 0

ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

7/9


éÓ PB


ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

Corollaire
Règle de l’Hospital

.

 àA JÊK. A¯ àA JK
XY« àA JË@X

Ë ð , †A ® JƒCË
áºJ

x0 ∈ I

.

f,g : I → R

JË
áº
: ©Ó

f (x0 ) = g(x0 ) = 0
∀x ∈ I \ {x0 }

g 0 (x ) 6= 0

lim

x →x0

 †A ® Jƒ@
éË@X

f 0 (x )
=`
g 0 (x )

ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

(∈ R) ⇒ lim

x →x0

f (x )
=`
g(x )

7/9

ÈAJÓ

Exemple
lim

x →1

 †A ® Jƒ@
éË@X

ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

ln(x 2 + x − 1)
ln(x )

. éJ
ËAJË@ éK
AîDË@ I.‚jJË

8/9

ÈAJÓ

Exemple
lim

x →1

f 0 (x ) =

 †A ® Jƒ@
éË@X

ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

2x +1
x 2 +x −1

ln(x 2 + x − 1)
ln(x )

,

f (1) = 0

,

. éJ
ËAJË@ éK
AîDË@ I.‚jJË

f (x ) = ln(x 2 + x − 1)

8/9

ÈAJÓ

Exemple
lim

x →1

f 0 (x ) =

2x +1
x 2 +x −1

ln(x 2 + x − 1)
ln(x )

,

f (1) = 0

g 0 (x ) =

 †A ® Jƒ@
éË@X

ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

1
x

,

,

. éJ
ËAJË@ éK
AîDË@ I.‚jJË

f (x ) = ln(x 2 + x − 1)

g(1) = 0

,

g(x ) = ln(x )

8/9

ÈAJÓ

Exemple
lim

x →1

f 0 (x ) =

2x +1
x 2 +x −1

ln(x 2 + x − 1)
ln(x )

,

f (1) = 0

g 0 (x ) =
I \ {x0 }

 †A ® Jƒ@
éË@X

ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

úΫ ÐYªJ K B

g0

,

. éJ
ËAJË@ éK
AîDË@ I.‚jJË

f (x ) = ln(x 2 + x − 1)

1
x

, g(1) = 0 , g(x ) = ln(x )


à X@ , x0 = 1 , I =]0, 1] Y g AK

8/9

ÈAJÓ

Exemple
lim

x →1

f 0 (x ) =

2x +1
x 2 +x −1

ln(x 2 + x − 1)
ln(x )

,

f (1) = 0

g 0 (x ) =
I \ {x0 }

úΫ ÐYªJ K B

g0

,

. éJ
ËAJË@ éK
AîDË@ I.‚jJË

f (x ) = ln(x 2 + x − 1)

1
x

, g(1) = 0 , g(x ) = ln(x )


à X@ , x0 = 1 , I =]0, 1] Y g AK

f 0 (x )
g 0 (x )

 †A ® Jƒ@
éË@X

ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

8/9

ÈAJÓ

Exemple
lim

x →1

f 0 (x ) =

2x +1
x 2 +x −1

ln(x 2 + x − 1)
ln(x )

,

f (1) = 0

g 0 (x ) =
I \ {x0 }

úΫ ÐYªJ K B

g0

,

. éJ
ËAJË@ éK
AîDË@ I.‚jJË

f (x ) = ln(x 2 + x − 1)

1
x

, g(1) = 0 , g(x ) = ln(x )


à X@ , x0 = 1 , I =]0, 1] Y g AK

f 0 (x )
2x + 1
= 2
×x
g 0 (x )
x +x −1

 †A ® Jƒ@
éË@X

ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

8/9

ÈAJÓ

Exemple
lim

x →1

f 0 (x ) =

2x +1
x 2 +x −1

ln(x 2 + x − 1)
ln(x )

,

f (1) = 0

g 0 (x ) =
I \ {x0 }

úΫ ÐYªJ K B

g0

,

. éJ
ËAJË@ éK
AîDË@ I.‚jJË

f (x ) = ln(x 2 + x − 1)

1
x

, g(1) = 0 , g(x ) = ln(x )


à X@ , x0 = 1 , I =]0, 1] Y g AK

f 0 (x )
2x + 1
2x 2 + x
= 2
×x = 2
0
g (x )
x +x −1
x +x −1

 †A ® Jƒ@
éË@X

ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

8/9

ÈAJÓ

Exemple
lim

x →1

f 0 (x ) =

2x +1
x 2 +x −1

ln(x 2 + x − 1)
ln(x )

,

f (1) = 0

g 0 (x ) =
I \ {x0 }

úΫ ÐYªJ K B

g0

,

. éJ
ËAJË@ éK
AîDË@ I.‚jJË

f (x ) = ln(x 2 + x − 1)

1
x

, g(1) = 0 , g(x ) = ln(x )


à X@ , x0 = 1 , I =]0, 1] Y g AK

f 0 (x )
2x + 1
2x 2 + x
= 2
×x = 2
−−−→ 3
0
g (x )
x +x −1
x + x − 1 x →1

 †A ® Jƒ@
éË@X

ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

8/9

ÈAJÓ

Exemple
lim

x →1

f 0 (x ) =

2x +1
x 2 +x −1

ln(x 2 + x − 1)
ln(x )

,

f (1) = 0

g 0 (x ) =

úΫ ÐYªJ K B

I \ {x0 }

g0

,

. éJ
ËAJË@ éK
AîDË@ I.‚jJË

f (x ) = ln(x 2 + x − 1)

1
x

, g(1) = 0 , g(x ) = ln(x )


à X@ , x0 = 1 , I =]0, 1] Y g AK

f 0 (x )
2x + 1
2x 2 + x
= 2
×x = 2
−−−→ 3
0
g (x )
x +x −1
x + x − 1 x →1
:
f (x )
−−−→ 3
g(x ) x →1

 †A ® Jƒ@
éË@X

ÈA¢J
K. ñË é®K
Q£

ú
ÍAJËAK. ð

8/9



Sur le même sujet..

---