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M1 Physique Atomique – PHY4222 – Semestre 2

2013-2014

Rappels de m´
ecanique quantique - Atome d’hydrog`
ene - Th´
eor`
eme du viriel
TD 01

Cours : Signe SEIDELIN, TD : Aurore BACMANN

1

Moment cin´
etique en m´
ecanique quantique - rappels *

~ est un moment cin´etique, montrer que
A. Si L

[Lz , x] = i~y

[Lz , px ] = i~py

[Lz , y] = −i~x

[Lz , z] = 0

[Lz , py ] = −i~px

[Lz , pz ] = 0

B. Utiliser ces r´esultats pour montrer que [Lz , Lx ] = i~Ly .
C. Evaluer les commutateurs [Lz , r2 ] et [Lz , p2 ] (o`
u r2 = x2 + y 2 + z 2 et p2 = p2x + p2y + p2z ).
~ si V
D. Montrer que le hamiltonien H = p2 /(2m) + V commute avec les trois composants de L
2
ne d´epend que de r. Que peut-on conclure sur l’ensemble H, L et Lz ?

2

Fonction d’onde pour l’hydrog`
ene - rappels *

Un atome d’hydrog`ene se trouve `
a un instant t = 0 dans une superposition des ´etats stationnaires
ψnlm (~r)
1
Ψ(~r, t = 0) = √ [2ψ100 (~r) − 3ψ200 (~r) + ψ322 (~r)]
14
A. La fonction d’onde est-elle fonction propre de l’op´erateur parit´e ?
B. Quelle est la probabilit´e de trouver le syst`eme dans l’´etat 100 ? 200 ? 322 ? Et dans un autre
´etat ?
~ 2 ? De l’op´erateur L~z ?
C. Quelle est la valeur moyenne de l’´energie ? De l’op´erateur L

1

3

Th´
eor`
eme du viriel - hydrog`
ene *

A. Utilisant la formule pour la valeur moyenne hrk inlm (en terme de Z, n et a0 ), d´eterminer la
valeur moyenne de l’´energie potentielle hV inlm pour l’hydrog`ene .
B. Exprimer hV inlm en fonction de l’´energie totale de l’atome d’hydrog`ene.
C. Utilisant ce r´esultat, ´ecrire la relation entre la valeur moyenne de l’´energie cin´etique hT inlm
et l’´energie potentielle pour l’hydrog`ene.

4

Th´
eor`
eme du viriel - cas g´
en´
eral **

A. Montrer que si ψn est un ´etat stationnaire et A un op´erateur ind´ependant du temps
hψn [A, H]ψn inlm = 0

B. Pour A = ~r · p~, ´ecrire hψn [A, H]ψn inlm en fonction de l’´energie cin´etique et la quantit´e ~r · ∇V .
C. Ecrire la relation entre hT i et h~r · ∇V i. Ceci est le th´eor`eme du viriel pour le cas g´en´eral.
D. V´erifier que ce th´eor`eme donne le r´esultat trouv´e dans l’exercice 2 pour le potentiel de l’hydrog`ene.
E. D´eterminer le rapport entre hT i et hV i pour l’oscillateur harmonique de sym´etrie sph´erique.

2


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