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M1 Physique Atomique – PHY4222 – Semestre 2

2013-2014

Structure hyperfine du sodium
Effet Zeeman
TD 03

Cours : Signe SEIDELIN, TD : Aurore BACMANN

On suppose que l’atome de sodium est d´ecrit parfaitement dans le cadre du couplage L.S
des moments angulaires de l’´electron de valence). Les notations seront “standard” : L, S, J =
L + S, I, F = I + J .
A. Les 3 plus bas niveaux de structure fine de l’atome de sodium sont not´es respectivement
3 2 S1/2 , 3 2 P1/2 , 3 2 P3/2 . Leurs ´energies, mesur´ees `a partir de l’´etat fondamental, sont respectivement 0, 16956.2 cm−1 , 16973.4 cm−1 . Quels sont les nombres quantiques n, L, S, J qui
caract´erisent ces trois niveaux ? Quel est leur degr´e de d´eg´en´erescence ?
Pour un atome `
a un ´electron de valence,
effectif de couplage spin-orbite est de la
R ∞ 2 le hamiltonien
2
2
u R3p (r)Ylm (θ, ϕ) d´esigne les fonctions
forme ξ(r)L.S. On pose ξ = ~ 0 r |R3p (r)| ξ(r)dr, o`
d’onde orbitales de l’´electron de valence dans le niveau 3p. En supposant que l’´ecart entre les 2
niveaux de structure fine 3 2 P1/2 et 3 2 P3/2 est dˆ
u `a Hs.o. , calculer ξ en cm−1 .
B. Structure hyperfine de l’atome de sodium

23 Na

On consid`ere l’isotope stable du sodium 23 Na, dont le spin nucl´eaire vaut I = 3/2. Les ´el´ements
de matrice du hamiltonien de structure hyperfine Hs.h.f. ´etant de plusieurs ordres de grandeur
inf´erieurs aux ´ecarts de structure fine, on pourra calculer son effet au premier ordre de la th´eorie
des perturbations (ordre 1 pour les ´energies et ordre 0 pour les vecteurs propres).
D’apr`es le th´eor`eme de Wigner-Eckart, le terme dipolaire magn´etique a la forme effective suivante : Hs.h.f. = A/~2 J .I, o`
u A, homog`ene `a une ´energie, est une constante qui d´epend du
niveau de structure fine consid´er´e (A/ξ = 10−3 ; A > 0).
Quelles sont les r`egles de commutation de H0 + Hs.o. + Hs.h.f. avec J 2 , I 2 , Jz , Iz , F 2 , Fz ?
Faire l’´etude de la structure hyperfine des 3 niveaux de structure fine (´energies propres, vecteurs
propres). On fera un diagramme ´energ´etique symbolique o`
u l’on portera les nombres quantiques
caract´erisant les diff´erents niveaux.
Remarque : en toute rigueur, on doit tenir compte dans le niveau 2 P3/2 de la contribution
hyperfine provenant de l’interaction quadrupolaire ´electrique (interaction entre la distribution
quadropolaire de charge du noyau et le gradient du champ ´electrique cr´e´e par les ´electrons au
niveau du noyau). Nous supposerons ici que son effet est faible et ne perturbe pas la succession
des niveaux hyperfins pr´edite par le terme hyperfin dipolaire magn´etique Hs.h.f. .

1

Indiquer sur le diagramme en ´energie les transitions permises dans l’approximation dipolaire
` l’aide d’une source lumineuse de tr`es faible largeur spectrale, on balaie le doublet
´electrique. A
de r´esonance du sodium (raies D1 : S1/2 ↔ P1/2 et D2 : S1/2 ↔ P3/2 ). Combien chacune des
raies comporte-t-elle de composantes hyperfines ?
D’apr`es la figure 1, d´eterminer les valeurs approximatives de A pour chaque niveau de structure
fine en MHz (on donne : 1 cm−1 = 30 MHz). On indiquera sur la figure les transitions correspondant aux diff´erents pics.
Effet Zeeman
C. On soumet l’atome de sodium `
a un champ magn´etique statique B = Buz (B > 0). Le
hamiltonien Zeeman s’´ecrit :
Hz = Hz (e− ) + Hz (noyau) =

µB B
gI µ n B
(Lz + 2Sz ) −
Iz
~
~

avec µB =

q~
m
et µn =
µB
2m
M

o`
u M est la masse du proton, gI le facteur de Lande nucl´eaire (de l’ordre de l’unit´e, positif ou
n´egatif).
Quelles sont les r`egles de commutation de H0 + Hs.o. + Hs.h.f. + Hz avec F 2 et Fz ?
D. Champs faibles - Effet Zeeman lin´eaire
On suppose Hz Hs.h.f. et on traite son effet au premier ordre de la th´eorie des perturbations. Montrer que les kets propres sont les kets coupl´es |J I F MF i, qu’il y a lev´ee totale de la
d´eg´en´erescence et que les d´eplacements en ´energie sont de la forme :
µn
gI β
µB
On exprimera α et β en fonction de F, J, I, et gJ en fonction de J, L et S.
gJ est le facteur de Lande du niveau de structure fine en l’absence de structure hyperfine, et gF
le facteur de Lande de structure hyperfine.
∆EMF = gF µB BMF

avec gF = gJ α −

Calculer num´eriquement gJ et gF pour chacun des niveaux hyperfins (on n´egligera le terme purement nucl´eaire devant le terme ´electronique).
E. Champs forts - Effet Back-Goudsmit
On suppose Hz (nucl´eaire) < Hs.h.f. Hz (e− ) Hs.o. . On traite Hz (e− ) comme une perturbation de H0 + Hs.o. (mˆeme degr´e d’approximation que dans la question pr´ec´edente), puis
Hz (nucl´eaire) + Hs.h.f. comme une perturbation de H0 + Hs.o. + Hz (e− ).
Montrer que les kets propres sont les kets d´ecoupl´es |J I MJ MI i, et qu’il y a lev´ee totale de la
d´eg´en´erescence des niveaux.
Calculer les ´energies propres litt´eralement.
F. Champs interm´ediaires
Dans le cas des champs interm´ediaires, Hz et Hs.h.f. sont du mˆeme ordre de grandeur et on
doit consid´erer Hz + Hs.h.f. comme une unique perturbation de H0 + Hs.o. . Les ´energies propres
2

d´ependent de fa¸con un peu plus compliqu´ee de B et de A (formules de Breit-Rabi dans le cas
J = 1/2) et les kets propres ne sont plus purs (kets coupl´es |F MF i ou d´ecoupl´es |J I MJ MI i).
Quel est le bon nombre quantique qui caract´erise ces ´etats ?
Cas J = 1/2
On ne calculera pas explicitement les coefficients, mais on indiquera les ´el´ements de matrice de
Hz + Hs.h.f. dans la base |J I MJ MI i qui sont a priori non nuls.
On en d´eduira :
– que 2 ´energies propres sont lin´eaires en B et sont associ´ees `a des kets propres ind´ependants
de B.
– de quels kets propres (coupl´es ou d´ecoupl´es) d´ependent les kets propres exacts.
La figure 2 repr´esente approximativement l’´evolution des niveaux d’´energie en fonction de l’amplitude du champ magn´etique pour (J = 1/2, I = 3/2). V´erifier que les formes asymptotiques
correspondent aux r´esultats ´etablis dans les questions D et E.
Compl´eter le sch´ema (valeurs de F, MF , MJ , MI , ∆, ∆W ...). Le terme purement nucl´eaire
Hz (nucl´eaire) sera n´eglig´e.
G. Spectroscopie
La figure 3 repr´esente l’´evolution des niveaux d’´energie en fonction de B, relativement aux 2
niveaux de structure fine 2 S1/2 et 2 P1/2 (l’´echelle en ´energie n’est pas respect´ee).
Rappeler les r`egles de s´election dans l’approximation dipolaire ´electrique (relativement `a L, J,
S, I, F, ML , MJ , MS , MI , MF ).
En champ interm´ediaire, combien de transitions chaque composante de la raie D1 comporte-t-elle
en lumi`ere non polaris´ee ? en lumi`ere polaris´ee circulairement ? en lumi`ere polaris´ee lin´eairement ?
(les polarisations sont d´efinies par rapport `a l’axe Oz).
En champ tr`es fort, combien de transitions la raie D1 comporte-t-elle au total ? Dessiner qualitativement (sch´ema du type de la figure 1) le spectre observ´e avec une lumi`ere polaris´ee lin´eairement :
– en champ faible (effet Zeeman lin´eaire ; kets propres coupl´es)
– en champ fort (effet Back-Goudsmit ; kets propres d´ecoupl´es)
Faire la connexion entre les 2 diagrammes (pics qui se correspondent par continuit´e de B, pics
apparaissant ou disparaissant).

3

4

.......................................... Prénom :.................................Classe :.............

Raie D2

Raie D1

Fréquence d’excitation (ν)

Figure 1: Structure des raies D1 et D2 du sodium en fonction de la fréquence

200 MHz

5

F=

∆W =

F=

champ faible

B
intermédiaire

MF

∆=

fort

∆′

∆′

∆′

∆′ =







Figure 2: Structure hyperfine et interaction Zeeman d’un niveau J =1/2 (I = 3/2)

E
MI

}

}

MJ =

MJ =

Energie
2P1/2

F=

F=

2S1/2

F=

F=

Figure 3: Décomposition des composantes de la raie de résonance D1
d’un alcalin en présence d’un champ magnétique.

6



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