RESUME INTEGRALES .pdf


Nom original: RESUME-INTEGRALES.pdfAuteur: Boubaker Tabbabi

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L.S.C.J.Gafsa

RESUME ( Intégrales. 4è. )

Prof: B.Tabbabi

Soit f une fonction continue sur un intervalle I de IR ; a et b sont deux réels de I .
On appelle intégrale de f entre a et b , le réel



b
a

f(x)dx =



b
a

f(t)dt = ... = F(b)  F(a) où F est une primitive de la

fonction f sur l'intervalle I .
Propriétés
.



a
a

f(x)dx  0 ;



a
b

f(x)dx = 



b
a

f(x)dx ; pour tout réel c de I on a :



c
a

f(x)dx 



b
c

b

f(x)dx   f(x)dx .
a

La dernière égalité est appelée relation de Chasles.
.



b
a

b

αf(x)dx  α  f(x)dx pour toute constante réelle α .
a

  f(x) + g(x)  dx =  f(x)dx +  g(x)dx .
.Si l'intervalle I est centré en 0 et f est impaire alors  f(x)dx  0.
.Si l'intervalle I est centré en 0 et f est paire alors  f(x)dx  2 f(x)dx.
f(x)dx =  f(x)dx .
.Si f est continue sur IR et T-périodique , alors pour tout a de IR on a : 
.Si g est une autre fonction continue sur I alors on a :

b

b

b

a

a

a

a

-a

a

a

-a

0

a+T

T

a

0

Intégration par parties
Si f et g sont deux fonctions dérivables sur I telles que leurs dérivées f ' et g ' sont continues sur I,alors:



b
a

f(x)g ' (x) dx =  f(x)g(x) b   f ' (x)g(x)dx .
b

a

a

Calcul d'aires



On appelle unité d'aire dans un repère orthogonal O , i , j

i

et

j c-à-d : 1 u.a = i

x

 du plan , l'aire d'un rectangle de dimensions

j .

L'aire de la partie du plan limitée par la courbe ( C ) de f , l'axe des abscisses et les droites x = a et x = b
( a < b ) est A =



b
a

f(x) dx u.a.

L'aire de la partie du plan limitée par les courbes ( C ) et ( C ’ ) de deux fonctions f et g respectivement et les droites
x = a et x = b ( a < b ) est A ' =



b
a

f(x) - g(x) dx u.a.





Volume d'un solide de révolution engendré par la rotation autour de O , i d'un arc de courbe:
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé

 O , i , j , k  ,le volume du solide de révolution engendré par la rotation

de l'arc AB de la courbe ( C ) de f où A et B sont deux points de ( C ) d'abscisses respectives a et b ( a < b ) est

 π  f(x) 
b

V=

a

2

dx .

Intégrales et inégalités
.Si f est continue sur I et pour tout x de I on a f(x)  0 et si a < b alors
.Si f est continue sur I et si a < b alors



b
a

f(x)dx 



b
a



b
a

f(x)dx  0 .

f(x) dx .

.Si g est continue sur I et pour tout x de I on a f(x)  g(x) et si a < b alors



b
a

f(x)dx 



b
a

g(x)dx .

valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
b
1
f(x)dx .
b - a a
.Si de plus m  f(x)  M pour tout x de a,b alors m  f  M .m et M sont deux constantes réelles.

On appelle valeur moyenne d'une fonction f continue sur a,b ( a < b ) le réel f 
.Il existe un réel c de a,b tel que f  f(c) ( égalité de la moyenne ).
Fonction définie par intégrale ( Intégrale indéfinie )

.Si f est continue sur I et a est un réel de I,alors la fonction F définie pour tout x de I par
F(x)=



x
a

f(t)dt est dérivable sur I et pour tout x de I , F ' (x) = f (x).

F est donc la primitive de f sur I qui s'annule en a.
.Si f set continue sur I et u est une fonction dérivable sur un intervalle J de IR telle que u ( J )  I.
Soit a un réel de I;alors la fonction définie sur J par F ( x ) =
x de J on a : F ' ( x ) = f  u(x)  u'(x) .



u(x)
a

* * * * * * * *

f(t)dt est dérivable sur J et pour tout


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