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Nom original: chapitre2.pdfTitre: coursAuteur: Christophe Lacave

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Chapitre 2
Applications lin´
eaires

13

´
CHAPITRE 2. APPLICATIONS LINEAIRES

14

2.1


en´
eralit´
es


efinition. (Application lin´eaire) Soient E et F deux K espaces vectoriels.
Soit f : E !→ F une fonction. On dit que f est lin´eaire si ∀λ ∈ K , ∀x, x! ∈ E
on a f (x + λx! ) = f (x) + λf (x! ).
L’ensemble des applications lin´eaires est not´e L(E, F ).
Si l’espace de d´epart est le mˆeme que celui d’arriv´e, on dit que f est un
endomorphisme, et on note l’ensemble des endomorphismes par L(E).
Proposition. Si f est une application lin´eaire de E vers F alors :
– f (0E ) = 0F .
– f −1 ({0F }) est un sous-espace vectoriel de E. On le note Ker(f ).
– Plus g´en´eralement l’image d’un sous-espace vectoriel de E par f est un
sous-espace vectoriel de F , et l’image r´eciproque par f d’un sous-espace
vectoriel de F est un sous-espace vectoriel de E.
Remarque : L’image de E par f est not´ee f (E) = Im(f ) . Si elle est de
dimension finie, on appelle sa dimension rand de f , et on la note Rg (f ).
Remarque : L’ensemble des applications lin´eaires de E vers F est un
espace vectoriel, on le note L(E, F ).
Exercice : preuve de la remarque pr´ec´edente.

efinition. Une application lin´eaire bijective (ie injective et surjective) est
appel´ee isomorphisme. L’ensemble des isomorphismes est not´e Iso(E, F ).
Un endomorphisme bijectif est appel´e automorphisme, et son ensemble
est not´e GL(E).
Proposition. (injectivit´e) Soit f ∈ L(E, F ), f est injective si et seulement
si Ker(f ) = {0E }.
Exercice : d´emontrer la proposition pr´ec´edente.
Attention : ce crit`ere ne marche que pour des applications lin´eaires.
Proposition. (Image de famille libres et li´ees) Soient E et F deux espaces
vectoriels. Soit f ∈ L(E, F ).
– f est injective si et seulement si l’image de toute famille libre de E est
une famille libre de F .
– f est surjective si et seulement si l’image de toute famille g´en´eratrice
de E est une famille g´en´eratrice de F .
Corollaire. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.
1. f est un isomorphisme.

´ ERALIT
´
´
2.1. GEN
ES

15

2. L’image de toute base de E par f est une base de F .
3. L’image d’une base de E par f est une base de F .
Corollaire. Si E et F sont deux espaces vectoriels isomorphes (ie : il existe
un isomorphisme qui envoie E sur F ) alors dim(E) = dim(F ).
Exercice : d´emontrer le corollaire pr´ec´edent.
Th´
eor`
eme. (Factorisation des endomorphismes) Soient E et F deux espaces
vectoriels. Soit f ∈ L(E, F ) une application lin´eaire de E vers F . Soit V un
suppl´ementaire de Ker(f ) dans E. Alors f˜, la restriction de f `a V est un
isomorphisme de V vers Imf .
De ce th´eor`eme, on d´eduit le fameux et extrˆemement utile th´eor`eme du
rang :
Th´
eor`
eme. (Th´eor`eme du rang) Soient E et F deux espaces vectoriels de
dimension finie et f une application lin´eaire de E dans F . On a dim(E) =
dim(Ker f ) + dim(Im f ) = dim(Ker f ) + Rg (f ).
On retrouve alors d’une autre mani`ere que si E et F sont isomorphes
alors dim(E) = dim(F ).
Corollaire. Soient E et F deux espaces vectoriels de mˆ
eme dimension
finie n et f une application lin´eaire de E dans F . Les propri´et´es suivantes
sont ´equivalentes :
– f est un isomorphisme.
– f est surjective.
– f est injective.
Exercice : d´emontrer le th´eor`eme du rang ainsi que le corollaire pr´ec´edent.
Attention 1 : L’hypoth`ese dim(E) = dim(F ) est cruciale sinon on peut
regarder les applications suivantes :
- f : x !→ (x, x) qui est injective et non surjective de R vers R2 .
-g : (x, y) !→ x qui est surjective mais non injective de R2 vers R.
Attention 2 : Il faut prendre garde au fait que ce th´eor`eme n’est valable
que pour des applications lin´eaires.
Attention 3 : Ce th´eor`eme ne marche qu’en dimension finie, comme le
montre l’exercice suivant.
Exercice : Soit F : C 0 ([0, 1], R) → C 0 ([0, 1], R) la fonction d´efinie par :
! x
F (f ) : x !→
f (t)dt.
0

Montrer que f est injective, est-ce que f est surjective ?

16

2.2

´
CHAPITRE 2. APPLICATIONS LINEAIRES

Equations lin´
eaires

Soient E et F deux K espaces vectoriels. Soit f une application lin´eaire
de E dans F . L’´equation E d’inconnue x,
f (x) = b

(E)

o`
u b est un vecteur de F fix´e est appel´ee ´
equation lin´
eaire. b est appel´e
second membre.
L’´equation
f (x) = 0F (H)
est appel´ee ´
equation homog`
ene associ´ee `a E ou ´
equation sans second
membre.
Exemple : Soit a ∈ C 0 ([0, 1], R) . Soit b ∈ C 0 ([0, 1], R). On peut alors
consid´erer l’´equation diff´erentielle y ! + ay = b comme une ´equation lin´eaire.
Que poser alors pour E, F et f ?
Th´
eor`
eme.
– L’ensemble Sh des solutions de H est Sh = Ker(f ). C’est donc un sous
espace vectoriel de E. (Il est forc´ement non vide car il contient 0E ).
– L’ensemble SE des solutions de E est non vide si et seulement si b ∈
Im(f ).
– Si b ∈ Im(f ) et si x0 est une solution particuli`ere de E, alors SE = x0 +
Sh . C’est `a dire que toute solution est somme de la solution particuli`ere
et d’une des solutions de l’´equation homog`ene associ´ee `a E.

Exemple 1 : Si on consid`ere le syst`eme `a n ´equations et p inconnues
suivant :
a11 x1 + ... + a1p xp = b1
a21 x1 + ... + a2p xp = b2
a31 x1 + ... + a3p xp = b3

an1 x1 + ... + anp xp = bn
Exemple 2 : dans le cas de l’´equation lin´eaire : y ! + ay = b avec a ∈
C 0 ([0, 1], R) et b ∈ C 0 ([0, 1], R). On sait par le cours de premi`ere ann´ee que
cette ´equation a toujours des solutions quelque soit la fonction b ainsi choisie,
ce qui revient `a dire que l’application lin´eaire f : y !→ y ! + ay est surjective.
Et on retrouve le fait que toute solution est somme d’une solution particuli`ere
et d’une solution de l’´equation homog`ene associ´ee.

2.3. EXEMPLES FONDAMENTAUX

17

Proposition. (Principe de superposition) Avec les mˆemes notations que pr´ec´edemment, soit E l’´equation lin´eaire f (x) = b. On suppose que b = b1 +b2 . Si
x1 et x2 sont solutions respectivement de l’´equation E1 d´efinie par f (x) = b1
et de l’´equation E2 d´efinie par f (x) = b2 . Alors x = x1 + x2 est une solution
particuli`ere de E.

2.3

Exemples fondamentaux

Nous allons maintenant traiter plus en d´etail deux exemples particuliers
d’´equations lin´eaires.

Exemple fondamental 1 : Interpolation de Lagrange
Lemme. Soit P ∈ K[X] tel que deg(P ) ≥ 1. Soit n tel que deg(P ) = n + 1.
L’ensemble P K[X] des polynˆ
omes multiples de P est un sous-espace vectoriel
"
de K[X] et K[X] = P K[X] Kn [X] .
Preuve : (en exercice).

Interpolation
Interpolation lin´
eaire : faire une interpolation lin´eaire de la fonction
f entre les points d’abscisse a et d’abscisse b, c’est approximer sur [a, b]
la courbe repr´esentative de f au segment de droite limit´e par les points de
coordonn´ees (a, f (a)) et (b, f (b)). On assimile donc f `a une fonction affine,
c’est `a dire `a un polynˆome de degr´e plus petit que 1.
Interpolation de Lagrange : l’interpolation de Lagrange est une g´en´eralisation. Etant donn´e une fonction f , et n + 1 points distincts de R :
a0 , ..., an on cherche un polynˆome dont la courbe repr´esentative passe par les
points (a0 , f (a0 )) , (a1 , f (a1 )) ,..., (an , f (an )). On est donc ramen´e au probl`eme suivant : ´etant donn´e (n + 1) points de K et (λ0 , ..., λn ) n + 1 valeurs
de K. On cherche un polynˆome P ∈ Kn [X] tel que P (ai ) = λi , ce qui donne
un syst`eme `a n + 1 ´equations, n + 1 inconnues :
x0 + a0 x1 + ... + an0 xn = λ0
x0 + a1 x1 + ... + an1 xn = λ1
x0 + a2 x1 + ... + an2 xn = λ2

x0 + an x1 + ... + ann xn = λn

´
CHAPITRE 2. APPLICATIONS LINEAIRES

18

avec P (X) = x0 + x1 X + ... + xn X n .
Proposition. L’application de Kn [X] dans Kn+1 , Φ : P !→ (P (a0 ), P (a1 ), ..., P (an ))
est un isomorphisme.
En remarquant que
#
j#=i (X − aj )
Pi (X) = #
j#=i (ai − aj )

est un polynˆome de degr´e n qui v´erifie Pi (ai ) = 1 et Pi (aj ) = 0, ∀j '= i, nous
obtenons que
n
$
P =
λ i Pi
i=0

est un polynˆome de degr´e n tel que P (ai ) = λi . D’apr`es la proposition pr´ec´edente, c’est bien l’unique polynˆome qui v´erifie P (ai ) = λi .

Exemple fondamental 2 : Suites r´
ecurrentes lin´
eaires
d’ordre 2
Soit (a, b) ∈ K2 . On cherche les suites d’´el´ements de K, v´erifiant la relation
de r´ecurrence :
∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun .
On rajoute la condition u0 = x et u1 = y.
Formulation : Soit Φ : (un )n∈N !→ (un+2 − aun+1 − bun )n∈N , alors Φ ∈
L(KN , KN ), et nous cherchons (u) solution de Φ(u) = 0KN , ie Ker Φ = Ea,b .
Formulation bis : On cherche u ∈ Ea,b tel que u0 = x et u1 = y.
Autrement dit, soit
Ψ : Ea,b → K2
u !→ (u0 , u1 )
nous cherchons u ∈ Ea,b tel que Ψ(u) = (x, y).
Th´
eor`
eme. Ψ est un isomorphisme de Ea,b dans K2 . Nous avons donc
dim Ea,b = 2 et l’´equation Ψ(u) = (x, y) admet une unique solution.
Observation : Soit r ∈ K, la suite g´eom´etrique (rn )n∈N ∈ Ea,b si et
seulement si r est une solution de l’´equation caract´eristique associ´ee :
r2 = ar + b

(Eq)

2.3. EXEMPLES FONDAMENTAUX

19

Th´
eor`
eme. Soit (a, b) '= (0, 0).
– Si (Eq) admet deux racines distinctes r1 et r2 dans K, alors les suites
(r1n ) et (r2n ) forment une base de Ea,b .
– Si (Eq) admet une racine double r dans K, alors les suites (rn ) et (nrn )
forment une base de Ea,b .
– Si K = R et si (Eq) admet deux racines complexes conjugu´ees z = ρeiθ
et z¯, alors les suites (ρn cos(nθ)) et (ρn sin(nθ)) forment une base de
Ea,b .


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