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chapitre3 .pdf



Nom original: chapitre3.pdf
Titre: cours
Auteur: Christophe Lacave

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Chapitre 3
Matrices

19

20

CHAPITRE 3. MATRICES

3.1
3.1.1

Op´
erations sur les matrices

en´
eralit´
es


efinition. Soient p, n ≥ 1 des entiers, une matrice
 p × n est un tableau
 de
a11 a12 · · · a1n
 ..
..
.. .
nombres avec p lignes et n colonnes : A = (aij ) =  .
.
. 
ap1 ap2 · · · apn

L’ensemble des matrices d´ecrites ci-dessus (i.e. matrices `a p lignes et n colonnes) sera not´e Mp,n (K). L’ensemble des matrices carr´ees sera not´e Mn (K).
Exemples : matrices 2 × 3.. a21 =..., vecteurs colonnes, vecteurs lignes...

efinition. On dit que 2 matrices A et B sont ´egales ssi aij = bij . Si A et
B sont deux matrices de Mp,n (K), on d´efinit la somme A + B = (aij + bij )
et le produit par un scalaire λA = (λaij ).
Exemples :...
Th´
eor`
eme. L’ensemble Mp,n (K) muni des deux lois que l’on vient de d´efinir
est un espace vectoriel.
Une base de cet espace vectoriel est donn´ee par la famille (Eij )(i,j)∈[1,p]×[1,n]
o`
u la matrice Eij est la matrice qui ne comporte que des 0 et un unique 1 `a
l’intersection de la ieme ligne et de la j ieme colonne.
On obtient alors dim Mp,n (K) = np.

efinition. (Produit matriciel) Si A ∈ Mq,p (K), B ∈ Mp,n (K) on d´efinit le
produit C = A · B ∈ Mq,n (K) par
cij =

p
'

aik bk,j .

k=1

Pr´esentation pratique :
*

aik


+

(

bkj ↓
(cij )

)

Remarque : attention au taille des matrices. Le produit n’est d´efini que
si le nombre de colonne de A est ´egal au nombre de la ligne de B ! ! !
Exemples :...
Proposition. Les op´erations sur les matrices v´erifient les r`egles suivantes :

´
3.1. OPERATIONS
SUR LES MATRICES

21

1. (distributivit´e) A(B + C) = AB + AC et (A + B)C = AC + BC
2. (associativit´e) (AB)C = A(BC)
3. (compatibilit´e) α(AB) = (αA)B = A(αB).
Exemples : matrices nulle et identit´e.

efinition.
(i) (aij ) est une matrice triangulaire sup´erieure ssi
,
..
. ∗
i > j ⇒ aij = 0, i.e.A =
... .
0
(ii) (aij ) est une matrice triangulaire inf´erieure ssi
,
..
. 0
i < j ⇒ aij = 0, i.e.A =
.. .
.

Proposition. L’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures est une sousalg`ebre de Mn (K) (en particulier, le produit de matrices triangulaires sup´erieures est triangulaire sup´erieure). Il en est de mˆeme pour les matrices
triangulaires inf´erieures.
Exercice : montrer la proposition pr´ec´edente.

efinition. Si A ∈ Mp,n (K), on d´efinit A# ∈ Mn,p (K), matrice transpos´ee
de A par a#ij = aji . Elle sera not´ee par AT ou t A.
Proposition. L’application transpos´ee : A (→ AT est un isomorphisme de
Mp,n (K) sur Mn,p (K), i.e. :
(A + B)T = AT + B T et (λA)T = λAT .
C’est de plus une pseudo-involution (son carr´e est l’identit´e : (AT )T = A).
Proposition. (AB)T = B T AT .
Exercice : montrer les deux propositions pr´ec´edentes.
Remarque : Si.X et Y sont des matrices unicolonnes `a n lignes, le produit
matriciel Y T X = ni=1 yi xi repr´esente en fait le produit scalaire entre X et
Y.

efinition. Dans Mn (K), A est sym´etrique ssi AT = A et A est antisym´etrique ssi AT = −A

22

CHAPITRE 3. MATRICES

Proposition. On a Mn (K) = Sn ⊕ An , o`
u Sn d´esigne l’ensemble des matrices sym´etriques et An d´esigne l’ensemble des matrices anti-sym´etriques.
Exercices
:



α 0
α 1 0 0
1 α
0 α 0 0


(i) Si A = 
 0 0 β 1  et B =  0 0
0 0
0 0 1 β
3
B .
*
+
1 2
(ii) Si M =
et N = M T alors
0 1
(α, β) ∈ Z2 implique α = β = 0.

3.1.2

0
0
β
1


0
0
, calculer A2 , ABA et
0
β

prouver que M α N β = I2 o`
u

Syst`
eme d’´
equations et inversion de matrice


efinition. Soit M ∈ Mn (K). On dit que M est inversible ssi il existe
N ∈ Mn (K) tel que M N = N M = In . On note alors N = M −1 .
Th´
eor`
eme. L’ensemble des matrices carr´ees d’ordre n sur K inversible est
un groupe pour la multiplication des matrices.
Cet ensemble est not´e GL n (K).
Les matrices permettent de compacter des formules et donc de manipuler
de fa¸con plus efficace. Consid´erons un syst`eme d’´equation du type


 a11 x1 + . . . + a1n xn = b1
...

a x + ... + a x = b
p1 1
pn n
p

On peut r´e´ecrire un tel syst`eme sous forme de matrice en posant :
 
 
x1
b1
 .. 
 .. 
A := (aij , X :=  .  et b :=  . 
xn
bp
et le syst`eme est alors ´equivalent `a :

AX = b.
Un int´erˆet clair du calcul de l’inverse d’une matrice (quand il existe) est
la r´esolution de ce syst`eme lin´eaire. En effet, si A est inversible, la solution
de AX = b est donc X = A−1 b.

´
3.2. MATRICES ET APPLICATIONS LINEAIRES

23

Remarque : Calcul pratique de M −1 . Soit M ∈ Mn (K), on prend
x et y des vecteurs dans Kn tels que M x = y. On r´esout alors n ´equations
`a n inconnues (x1 , x2 , . . . , xn ) pour trouver x en fonction de y (par pivot de
Gauss). On trouve alors une matrice N telle que N y = x et nous avons alors
M −1 = N .


0 1 1
Exercice : si M = 1 0 1, calculer M −1 .
1 1 0

3.2
3.2.1

Matrices et applications lin´
eaires
Repr´
esentation matricielle

La repr´esentation matricielle n’est pas canonique, elle d´epend des bases
choisies.
.
– Syst`emes de vecteurs : si xj = pi=1 aij ei , alors A = (aij ) est la matrice
des vecteurs (xj ) dans la base des (ei ) (on ´ecrit les composantes des
vecteurs xj dans chaque colonne)..
– Application lin´eaire : si f (ej ) = pi=1 aij e#i o`
u (ej ) est une base de E,
#
(ei ) est une base de F, alors A est la matrice de f dans les bases (ej )
et (e#i ) que l’on peut ´ecrire M (f, (ej ), (e#i )).
– Traduction de y = f (x), o`
u y ∈ F , x ∈ E, f ∈ LK (E, F ), les bases de
E et F ´etant choisies, on peut ´ecrire Y = AX avec A = M (f, (ej ), (e#i )),
Y = M (y, (e#i )) et X = M (x, (ej )).
Proposition. L’application f ∈ L(E, F ) (→ M (f, (ej ), (e#i )) ∈ Mp,n (K) est
un isomorphisme.
Th´
eor`
eme. M (f ) est inversible ssi f ∈ GL (E) et M (f −1 ) = M (f )−1 .
En g´en´eral, M (f ◦ g) = M (f ) · M (g).
Application : une matrice est inversible ssi la famille des vecteurs colonnes (ou vecteurs lignes) est libre.

3.2.2

Changement de base

.

efinition. Si εj = ni=1 pij ei alors P = (pij ) est la matrice de passage de
la base (ei )i∈[1,n] `a la base (εj )j∈[1,n] . Les colonnes de P sont les composantes
de la nouvelle base dans l’ancienne.
Th´
eor`
eme. Soit X la matrices des coordonn´ees de x dans la base (ei ), X #
la matrice des coordonn´ees de x dans la base (εj ) alors on a la relation

24

CHAPITRE 3. MATRICES

X = P X # , c.a.d. on obtient les anciennes coordonn´
ees en fonction des
nouvelles.
Dans L(E, F ) : soit P la matrice de changement de base de (ei ) `a (εi )
dans E, Q la matrice de changement de base de (e#j ) `a (ε#j ) dans F .
Th´
eor`
eme. Si A = M (f, ei , e#j ) et B = M (f, εi , ε#j ) alors B = Q−1 AP .

efinition. Si (A, B) ∈ M2p,n (K), on dit que A et B sont ´equivalentes ssi
∃(R, S) ∈ GL p (K) × GL n (K) tel que B = RAS.

efinition. Si (A, B) ∈ M2n (K), on dit que A et B sont semblables ssi il
existe P ∈ GL n (K) tel que B = P −1 AP (A et B sont les matrices d’un
mˆeme endomorphisme mais dans des bases diff´erentes).
Exercices :
– Chercher la matrice de f : P (X) ∈ Rn [X] (→ P (X + a) dans la base
canonique de Rn [X].
– Montrer l’´equivalence A · B = In ⇔ A = B −1 .


Cn0
C 1 C 0
0
n−1
 n

k
n−k
– Dans Rn [x], on pose ek = X (1−X) , inverser P =  ..
.
.
.
 .

.
n−1
n
0
Cn Cn−1
C0

3.3

Rang d’une matrice


efinition. Si A ∈ Mp,n (K) on d´efinit le rang de A comme ´etant le rang
des vecteurs colonnes de A dans Kp .
Proposition. Si A = M (f ) o`
u f ∈ L(E, F ) alors Rg (A) = Rg (f ).
Th´
eor`
eme. Rg (A) = r ⇔ A ´equivalente `a

*

+
Ir 0
.
0 0

Corollaire. A et B sont ´equivalentes dans Mp,n (K) ssi Rg (A) = Rg (B).
Proposition. On a Rg (AT ) = Rg A.

3.4. MATRICES ET SOUS-ESPACES STABLES

3.4

25

Matrices et sous-espaces stables

Objectif : si E = V ⊕ W , on veut r´eduire l’´etude de f ∈ L(E) `a l’´etude
de f sur V et sur W qui sont plus simples.

efinition. Soit V ⊂ E un sous-espace vectoriel de E. Soit f ∈ L(E), on
dit que V est stable par f ssi f (V ) ⊂ V , c.a.d. ∀x ∈ V, f (x) ∈ V .
Exemple fondamental : Ker (f ) et Im (f ) sont stables par f .
Exercice : d´emontrer l’exemple pr´ec´edent.
Proposition. Si V est stable par f , alors f |V d´efinit un endomorphisme de
L(V ).
Th´
eor`
eme. Si u ∈ L(E), v ∈ L(E) et que u ◦ v = v ◦ u, alors Ker u et Im u
sont stables par v.
Exercice : d´emontrer le th´eor`eme pr´ec´edent.

Traduction matricielle
Proposition. Soit f ∈ L(E) et soit V ⊂ E un sous-espace vectoriel (de dimension r) stable par f . Soit W un suppl´ementaire de V dans E (c.a.d. V ⊕
W = E). Soit b une base adapt´ee `a V ⊕W = E (i.e. b = (b1 , . . . , br , br+1 , . . . , bn )
o`
u bV = (b1 , . . . , br ) est une base de V , et (br+1 , . . . , bn ) une base de W ), alors
M (f, b, b) est de la forme
*
+
A B
0 C
o`
u A = M (f |V , bV , bV ).
Remarque : si W est stable par f alors B = 0.
Proposition. Soit f ∈ L(E), si V1 , . . . , Vp sont des sous-espaces vectoriels
tels que V1 ⊕ · · · ⊕ Vp = E et ∀i Vi est stable par f , alors


M (f |V1 )
0


M (f |V2 )


M (f, b, b) = 

.
.


.
0
M (f |Vp )

avec b une base adapt´ee `a la somme V1 ⊕ · · · ⊕ Vp = E.

26

CHAPITRE 3. MATRICES

Calcul matriciel par blocs

*

A B
C D

·
+

+
A# B #
C # D#
*
+
AA# + BC # AB # + BD#
=
CA# + DC # CB # + DD#
*

Attention : le sens est important ici, en effet en g´en´eral AB # 0= B # A.
Attention : il faut que les dimensions des blocs soient compatibles ! ! !

Sommes directes et constructions d’applications lin´
eaires
Th´
eor`
eme. Soit V ⊕ W = E. Soit f ∈ L(V ) et g ∈ L(W ). Il existe une
unique application lin´eaire ϕ ∈ L(E) telle que ϕ|V = f et ϕ|W = g.
Si x ∈ E, ∃!xV ∈ V et xW ∈ W tels que x = xV + xW et alors
ϕ(x) = f (xV ) + g(xW ).

3.5

Le cas particulier des projections et des
sym´
etries

Si p est une projection (p ◦ p = p), alors E = Im (p) ⊕ Ker (p) (voir DM1).
Ker p et Im p sont stables par p. De plus p|Ker p = 0 et p|Im p = Id. Nous
avons donc dans une base adapt´ee
*
+
Id 0
M (p) =
.
0 0
Nous remarquons que Tr (p) = dim(Im p).
Si s est une sym´etrie (s◦s = Id), alors E = Ker (s−Id)⊕Ker (s+Id) (voir
DM1). Ker (s − Id) et Ker (s + Id) sont stables par s. De plus s|Ker (s−Id) = Id
et s|Ker (s+Id) = −Id. Nous avons donc dans une base adapt´ee
M (p) =

*

+
Id 0
.
0 −Id

Nous remarquons que Tr (s) = dim(Ker (s − Id)) − dim(Ker (s + Id)).

3.6. ENDOMORPHISME TRIGONALISABLE/DIAGONALISABLE

3.6

27

Endomorphisme trigonalisable/diagonalisable


efinition. Une matrice A est dite trigonalisable ssi elle est semblable `a
une matrice triangulaire sup´erieure, i.e ssi il existe P ∈ GL n (K) tel que
A = P T P −1 avec T triangulaire sup´erieure.
Autrement dit, un endomorphisme est trigonalisable s’il existe une base
dans laquelle sa matrice est triangulaire sup´erieure, c.a.d. tel que f (ei ) ∈
Vect(e1 , . . . , ei ), ∀i = 1..n.

efinition. Une matrice A est dite diagonalisable ssi elle est semblable `a
une matrice diagonale, i.e ssi il existe P ∈ GL n (K) tel que A = P DP −1
avec D diagonale (dij = 0 si i 0= j).
Autrement dit, un endomorphisme est diagonalisable s’il existe une base
dans laquelle sa matrice est diagonale, c.a.d. tel que f (ei ) = λi ei , ∀i = 1..n.


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