INTEGRALES EXOS .pdf


Nom original: INTEGRALES EXOS.pdf
Titre: Exercice 1 :
Auteur: Boubaker

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L.S.C.J.Gafsa

EXERCICES
( calcul intégral.4è.math)

Prof :B.Tabbabi

Exercice 1 :
On considère la suite u définie sur IN* par un  

1
0

xn
dx .
1  x²

1.Calculer u 1 .
2.Etudier la monotonie de la suite u et en déduire qu’elle est convergente.
1
1
 un  .En déduire la limite de la suite u.
3.montrer que pour tout n de IN* on a :
n
( n 1) 2
1

4.Pour tout n  3 ,on pose I n   x n  2 1  x² dx .
0

a.Vérifier que I n  un  un 2 .
b.En intégrant par parties,montrer que pour tout n  3 on a : nun  ( n  1)un2  2 .
c.Déduire que pour tout n  3 ,on a : ( 2n  1)un  2 .
d.Déduire de ce qui précède que la suite de terme général nu n converge vers une limite qu’on déterminera.
Exercice 2 :



Soit f une fonction continue sur [0,1] telle que pour tout x de [0,1] ;

1
x

f ( t )dt 

1  x²
.
2

Soit F une primitive de f sur [0,1].
1.Exprimer



1
x

f ( t )dt à l’aide de F(x).
1

1

0

0

2.Montrer que F( 1 )   tf ( t )dt   F( t )dt .
1
3.En déduire que  tf ( t )dt  .
0
3
1

4.En considérant l’intégrale

  f ( t )  t
1

2

0

dt ,prouver que

  f ( t )
1

2

0

1
dt  .
3

Exercice 3 :
1

Pour tout entier naturel non nul n,on pose I n   ( 1  x²)n dx .
0

1.Vérifier que I1 

2
2 4
et que I 2  x .
3
3 5
1

2.Vérifier que I n  I n 1   x²( 1  x²)n dx .
0

2n  2
In .
2n  3
2 4 6
2n
b.Montrer par récurrence que pour tout n de IN* on a : I n  x x x…
.
3 5 7
2n  1

3.a.Au moyen d’une intégration par parties,montrer que I n 1 

4.On considère les deux fonctions définies sur IR par F( x )  

sin x
0

a.vérifier que F et G sont dérivables sur IR et déterminer F’(x) et G’(x).
b.En déduire que pour tout réel x on a : F(x)  G(x).


c.En déduire que I n   2 cos( 2n 1 ) ( t )dt .
0

x

( 1  t²)n dt et G( x )   cos( 2n 1 ) ( t )dt .
0


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