Fichier PDF

Partage, hébergement, conversion et archivage facile de documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Convertir un fichier Boite à outils Recherche Aide Contact



Cours .pdf



Nom original: Cours.pdf
Titre: Introduction au calcul des probabilités
Auteur: M. El Machkouri

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par LaTeX with Beamer class version 3.20 / pdfTeX-1.40.13, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 26/01/2014 à 15:01, depuis l'adresse IP 90.23.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1186 fois.
Taille du document: 769 Ko (239 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)









Aperçu du document



enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

Introduction au calcul des probabilit´es
M. El Machkouri
ESIGELEC

26 janvier 2014

1/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

I. D´enombrement et Notion de Probabilit´e
Permutations :
Etude d’un exemple : consid´erons le mot PROBA. Combien
pouvons-nous ´ecrire de mots de cinq lettres avec les cinq lettres
P, R, O, B et A ? On peut choisir la premi`ere lettre de 5 fa¸cons
diff´erentes, la seconde lettre de 4 fa¸cons diff´erentes, la troisi`eme
lettre de 3 fa¸cons diff´erentes et la quatri`eme lettre de 2 fa¸cons
diff´erentes. Il y a une seule fa¸con de choisir la cinqui`eme lettre.
Ainsi, il y a 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 fa¸cons d’´ecrire un mot de 5
lettres avec les lettres P, R, O, B et A. On note P5 = 120 = 5!
(5! se lit factorielle 5 ).

2/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

2/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

I. D´enombrement et Notion de Probabilit´e
Permutations :
Etude d’un exemple : consid´erons le mot PROBA. Combien
pouvons-nous ´ecrire de mots de cinq lettres avec les cinq lettres
P, R, O, B et A ? On peut choisir la premi`ere lettre de 5 fa¸cons
diff´erentes, la seconde lettre de 4 fa¸cons diff´erentes, la troisi`eme
lettre de 3 fa¸cons diff´erentes et la quatri`eme lettre de 2 fa¸cons
diff´erentes. Il y a une seule fa¸con de choisir la cinqui`eme lettre.
Ainsi, il y a 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 fa¸cons d’´ecrire un mot de 5
lettres avec les lettres P, R, O, B et A. On note P5 = 120 = 5!
(5! se lit factorielle 5 ).

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

2/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

I. D´enombrement et Notion de Probabilit´e
Permutations :
Etude d’un exemple : consid´erons le mot PROBA. Combien
pouvons-nous ´ecrire de mots de cinq lettres avec les cinq lettres
P, R, O, B et A ? On peut choisir la premi`ere lettre de 5 fa¸cons
diff´erentes, la seconde lettre de 4 fa¸cons diff´erentes, la troisi`eme
lettre de 3 fa¸cons diff´erentes et la quatri`eme lettre de 2 fa¸cons
diff´erentes. Il y a une seule fa¸con de choisir la cinqui`eme lettre.
Ainsi, il y a 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 fa¸cons d’´ecrire un mot de 5
lettres avec les lettres P, R, O, B et A. On note P5 = 120 = 5!
(5! se lit factorielle 5 ).

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

2/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

I. D´enombrement et Notion de Probabilit´e
Permutations :
Etude d’un exemple : consid´erons le mot PROBA. Combien
pouvons-nous ´ecrire de mots de cinq lettres avec les cinq lettres
P, R, O, B et A ? On peut choisir la premi`ere lettre de 5 fa¸cons
diff´erentes, la seconde lettre de 4 fa¸cons diff´erentes, la troisi`eme
lettre de 3 fa¸cons diff´erentes et la quatri`eme lettre de 2 fa¸cons
diff´erentes. Il y a une seule fa¸con de choisir la cinqui`eme lettre.
Ainsi, il y a 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 fa¸cons d’´ecrire un mot de 5
lettres avec les lettres P, R, O, B et A. On note P5 = 120 = 5!
(5! se lit factorielle 5 ).

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

I. D´enombrement et Notion de Probabilit´e
Permutations :
Etude d’un exemple : consid´erons le mot PROBA. Combien
pouvons-nous ´ecrire de mots de cinq lettres avec les cinq lettres
P, R, O, B et A ? On peut choisir la premi`ere lettre de 5 fa¸cons
diff´erentes, la seconde lettre de 4 fa¸cons diff´erentes, la troisi`eme
lettre de 3 fa¸cons diff´erentes et la quatri`eme lettre de 2 fa¸cons
diff´erentes. Il y a une seule fa¸con de choisir la cinqui`eme lettre.
Ainsi, il y a 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 fa¸cons d’´ecrire un mot de 5
lettres avec les lettres P, R, O, B et A. On note P5 = 120 = 5!
(5! se lit factorielle 5 ).

2/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

I. D´enombrement et Notion de Probabilit´e
Permutations :
Etude d’un exemple : consid´erons le mot PROBA. Combien
pouvons-nous ´ecrire de mots de cinq lettres avec les cinq lettres
P, R, O, B et A ? On peut choisir la premi`ere lettre de 5 fa¸cons
diff´erentes, la seconde lettre de 4 fa¸cons diff´erentes, la troisi`eme
lettre de 3 fa¸cons diff´erentes et la quatri`eme lettre de 2 fa¸cons
diff´erentes. Il y a une seule fa¸con de choisir la cinqui`eme lettre.
Ainsi, il y a 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 fa¸cons d’´ecrire un mot de 5
lettres avec les lettres P, R, O, B et A. On note P5 = 120 = 5!
(5! se lit factorielle 5 ).

2/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

3/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

D´efinition : Soit n ≥ 2 un entier naturel. Le nombre
n × (n − 1) × ... × 2 × 1 est not´e n! et se lit factorielle n .
Par convention : 0! = 1! = 1.
Etude du cas g´en´eral : On consid`ere un ensemble E o`
u il y a n
´el´ements. Toute disposition ordonn´ee de ces n ´el´ements s’appelle
une permutation de E .
En raisonnant comme dans l’exemple pr´ec´edent, nous pouvons dire
qu’il y a n fa¸cons de mettre un ´el´ement de E `a la place num´ero 1,
qu’il y a n − 1 fa¸cons de mettre un ´l´ement de E `a la place num´ero
2,...
Nous admettrons la propri´et´e suivante :
Proposition : On consid`ere un ensemble E `a n ´el´ements. Une
disposition ordonn´ee de tous les ´el´ements de E s’appelle une
permutation de E . Le nombre des permutations de E est Pn = n!
M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

3/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

D´efinition : Soit n ≥ 2 un entier naturel. Le nombre
n × (n − 1) × ... × 2 × 1 est not´e n! et se lit factorielle n .
Par convention : 0! = 1! = 1.
Etude du cas g´en´eral : On consid`ere un ensemble E o`
u il y a n
´el´ements. Toute disposition ordonn´ee de ces n ´el´ements s’appelle
une permutation de E .
En raisonnant comme dans l’exemple pr´ec´edent, nous pouvons dire
qu’il y a n fa¸cons de mettre un ´el´ement de E `a la place num´ero 1,
qu’il y a n − 1 fa¸cons de mettre un ´l´ement de E `a la place num´ero
2,...
Nous admettrons la propri´et´e suivante :
Proposition : On consid`ere un ensemble E `a n ´el´ements. Une
disposition ordonn´ee de tous les ´el´ements de E s’appelle une
permutation de E . Le nombre des permutations de E est Pn = n!
M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

3/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

D´efinition : Soit n ≥ 2 un entier naturel. Le nombre
n × (n − 1) × ... × 2 × 1 est not´e n! et se lit factorielle n .
Par convention : 0! = 1! = 1.
Etude du cas g´en´eral : On consid`ere un ensemble E o`
u il y a n
´el´ements. Toute disposition ordonn´ee de ces n ´el´ements s’appelle
une permutation de E .
En raisonnant comme dans l’exemple pr´ec´edent, nous pouvons dire
qu’il y a n fa¸cons de mettre un ´el´ement de E `a la place num´ero 1,
qu’il y a n − 1 fa¸cons de mettre un ´l´ement de E `a la place num´ero
2,...
Nous admettrons la propri´et´e suivante :
Proposition : On consid`ere un ensemble E `a n ´el´ements. Une
disposition ordonn´ee de tous les ´el´ements de E s’appelle une
permutation de E . Le nombre des permutations de E est Pn = n!
M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

3/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

D´efinition : Soit n ≥ 2 un entier naturel. Le nombre
n × (n − 1) × ... × 2 × 1 est not´e n! et se lit factorielle n .
Par convention : 0! = 1! = 1.
u il y a n
Etude du cas g´en´eral : On consid`ere un ensemble E o`
´el´ements. Toute disposition ordonn´ee de ces n ´el´ements s’appelle
une permutation de E .
En raisonnant comme dans l’exemple pr´ec´edent, nous pouvons dire
qu’il y a n fa¸cons de mettre un ´el´ement de E `a la place num´ero 1,
qu’il y a n − 1 fa¸cons de mettre un ´l´ement de E `a la place num´ero
2,...
Nous admettrons la propri´et´e suivante :
Proposition : On consid`ere un ensemble E `a n ´el´ements. Une
disposition ordonn´ee de tous les ´el´ements de E s’appelle une
permutation de E . Le nombre des permutations de E est Pn = n!
M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

3/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

D´efinition : Soit n ≥ 2 un entier naturel. Le nombre
n × (n − 1) × ... × 2 × 1 est not´e n! et se lit factorielle n .
Par convention : 0! = 1! = 1.
u il y a n
Etude du cas g´en´eral : On consid`ere un ensemble E o`
´el´ements. Toute disposition ordonn´ee de ces n ´el´ements s’appelle
une permutation de E .
En raisonnant comme dans l’exemple pr´ec´edent, nous pouvons dire
qu’il y a n fa¸cons de mettre un ´el´ement de E `a la place num´ero 1,
qu’il y a n − 1 fa¸cons de mettre un ´l´ement de E `a la place num´ero
2,...
Nous admettrons la propri´et´e suivante :
Proposition : On consid`ere un ensemble E `a n ´el´ements. Une
disposition ordonn´ee de tous les ´el´ements de E s’appelle une
permutation de E . Le nombre des permutations de E est Pn = n!
M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

3/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

D´efinition : Soit n ≥ 2 un entier naturel. Le nombre
n × (n − 1) × ... × 2 × 1 est not´e n! et se lit factorielle n .
Par convention : 0! = 1! = 1.
u il y a n
Etude du cas g´en´eral : On consid`ere un ensemble E o`
´el´ements. Toute disposition ordonn´ee de ces n ´el´ements s’appelle
une permutation de E .
En raisonnant comme dans l’exemple pr´ec´edent, nous pouvons dire
qu’il y a n fa¸cons de mettre un ´el´ement de E `a la place num´ero 1,
qu’il y a n − 1 fa¸cons de mettre un ´l´ement de E `a la place num´ero
2,...
Nous admettrons la propri´et´e suivante :
Proposition : On consid`ere un ensemble E `a n ´el´ements. Une
disposition ordonn´ee de tous les ´el´ements de E s’appelle une
permutation de E . Le nombre des permutations de E est Pn = n!
M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

3/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

D´efinition : Soit n ≥ 2 un entier naturel. Le nombre
n × (n − 1) × ... × 2 × 1 est not´e n! et se lit factorielle n .
Par convention : 0! = 1! = 1.
u il y a n
Etude du cas g´en´eral : On consid`ere un ensemble E o`
´el´ements. Toute disposition ordonn´ee de ces n ´el´ements s’appelle
une permutation de E .
En raisonnant comme dans l’exemple pr´ec´edent, nous pouvons dire
qu’il y a n fa¸cons de mettre un ´el´ement de E `a la place num´ero 1,
qu’il y a n − 1 fa¸cons de mettre un ´l´ement de E `a la place num´ero
2,...
Nous admettrons la propri´et´e suivante :
Proposition : On consid`ere un ensemble E `a n ´el´ements. Une
disposition ordonn´ee de tous les ´el´ements de E s’appelle une
permutation de E . Le nombre des permutations de E est Pn = n!
M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

3/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

D´efinition : Soit n ≥ 2 un entier naturel. Le nombre
n × (n − 1) × ... × 2 × 1 est not´e n! et se lit factorielle n .
Par convention : 0! = 1! = 1.
u il y a n
Etude du cas g´en´eral : On consid`ere un ensemble E o`
´el´ements. Toute disposition ordonn´ee de ces n ´el´ements s’appelle
une permutation de E .
En raisonnant comme dans l’exemple pr´ec´edent, nous pouvons dire
qu’il y a n fa¸cons de mettre un ´el´ement de E `a la place num´ero 1,
qu’il y a n − 1 fa¸cons de mettre un ´l´ement de E `a la place num´ero
2,...
Nous admettrons la propri´et´e suivante :
Proposition : On consid`ere un ensemble E `a n ´el´ements. Une
disposition ordonn´ee de tous les ´el´ements de E s’appelle une
permutation de E . Le nombre des permutations de E est Pn = n!
M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

3/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

D´efinition : Soit n ≥ 2 un entier naturel. Le nombre
n × (n − 1) × ... × 2 × 1 est not´e n! et se lit factorielle n .
Par convention : 0! = 1! = 1.
u il y a n
Etude du cas g´en´eral : On consid`ere un ensemble E o`
´el´ements. Toute disposition ordonn´ee de ces n ´el´ements s’appelle
une permutation de E .
En raisonnant comme dans l’exemple pr´ec´edent, nous pouvons dire
qu’il y a n fa¸cons de mettre un ´el´ement de E `a la place num´ero 1,
qu’il y a n − 1 fa¸cons de mettre un ´l´ement de E `a la place num´ero
2,...
Nous admettrons la propri´et´e suivante :
Proposition : On consid`ere un ensemble E `a n ´el´ements. Une
disposition ordonn´ee de tous les ´el´ements de E s’appelle une
permutation de E . Le nombre des permutations de E est Pn = n!
M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

Exercice : Il y a 22 ´el`eves dans une classe de Terminale. Le
professeur de math´ematiques veut les classer sans qu’il y ait d’ex
aequo. Combien y a-t-il de classements possibles ?
R´eponse : Le nombre des classements possibles est le nombre des
permutations d’un ensemble `a 22 ´el´ements, soit
P22 = 22! ∼ 1, 124 × 1021 .

4/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

Exercice : Il y a 22 ´el`eves dans une classe de Terminale. Le
professeur de math´ematiques veut les classer sans qu’il y ait d’ex
aequo. Combien y a-t-il de classements possibles ?
R´eponse : Le nombre des classements possibles est le nombre des
permutations d’un ensemble `a 22 ´el´ements, soit
P22 = 22! ∼ 1, 124 × 1021 .

4/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

Exercice : Il y a 22 ´el`eves dans une classe de Terminale. Le
professeur de math´ematiques veut les classer sans qu’il y ait d’ex
aequo. Combien y a-t-il de classements possibles ?
R´eponse : Le nombre des classements possibles est le nombre des
permutations d’un ensemble `a 22 ´el´ements, soit
P22 = 22! ∼ 1, 124 × 1021 .

4/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

Exercice : Il y a 22 ´el`eves dans une classe de Terminale. Le
professeur de math´ematiques veut les classer sans qu’il y ait d’ex
aequo. Combien y a-t-il de classements possibles ?
R´eponse : Le nombre des classements possibles est le nombre des
permutations d’un ensemble `a 22 ´el´ements, soit
P22 = 22! ∼ 1, 124 × 1021 .

4/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

Exercice : Il y a 22 ´el`eves dans une classe de Terminale. Le
professeur de math´ematiques veut les classer sans qu’il y ait d’ex
aequo. Combien y a-t-il de classements possibles ?
R´eponse : Le nombre des classements possibles est le nombre des
permutations d’un ensemble `a 22 ´el´ements, soit
P22 = 22! ∼ 1, 124 × 1021 .

4/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

Exercice : Il y a 22 ´el`eves dans une classe de Terminale. Le
professeur de math´ematiques veut les classer sans qu’il y ait d’ex
aequo. Combien y a-t-il de classements possibles ?
R´eponse : Le nombre des classements possibles est le nombre des
permutations d’un ensemble `a 22 ´el´ements, soit
P22 = 22! ∼ 1, 124 × 1021 .

4/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

5/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

Arrangements :
Etude d’un exemple : Dans un ´etablissement, il y a un
Baccalaur´eat professionnel A avec 24 ´el`eves en 1`ere ann´ee et 24
´el`eves en 2nde ann´ee et un baccalaur´eat professionnel B avec 18
´el`eves en 1`ere ann´ee et 22 ´el`eves en 2nde ann´ee.
Les ´el`eves veulent cr´eer une amicale des ´el`eves de bac
professionnel.
Le bureau de cette amicale comportera dans l’ordre : un pr´esident,
un secr´etaire et un tr´esorier.
Deux bureaux compos´es des mˆemes ´el`eves mais `a des postes
diff´erents sont consid´er´es comme diff´erents.
Combien peut-il y avoir de bureaux diff´erents ?
M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

Arrangements :
Etude d’un exemple : Dans un ´etablissement, il y a un
Baccalaur´eat professionnel A avec 24 ´el`eves en 1`ere ann´ee et 24
´el`eves en 2nde ann´ee et un baccalaur´eat professionnel B avec 18
´el`eves en 1`ere ann´ee et 22 ´el`eves en 2nde ann´ee.
Les ´el`eves veulent cr´eer une amicale des ´el`eves de bac
professionnel.
Le bureau de cette amicale comportera dans l’ordre : un pr´esident,
un secr´etaire et un tr´esorier.
Deux bureaux compos´es des mˆemes ´el`eves mais `a des postes
diff´erents sont consid´er´es comme diff´erents.
Combien peut-il y avoir de bureaux diff´erents ?
5/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

5/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

Arrangements :
Etude d’un exemple : Dans un ´etablissement, il y a un
Baccalaur´eat professionnel A avec 24 ´el`eves en 1`ere ann´ee et 24
´el`eves en 2nde ann´ee et un baccalaur´eat professionnel B avec 18
´el`eves en 1`ere ann´ee et 22 ´el`eves en 2nde ann´ee.
Les ´el`eves veulent cr´eer une amicale des ´el`eves de bac
professionnel.
Le bureau de cette amicale comportera dans l’ordre : un pr´esident,
un secr´etaire et un tr´esorier.
Deux bureaux compos´es des mˆemes ´el`eves mais `a des postes
diff´erents sont consid´er´es comme diff´erents.
Combien peut-il y avoir de bureaux diff´erents ?
M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

5/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

Arrangements :
Etude d’un exemple : Dans un ´etablissement, il y a un
Baccalaur´eat professionnel A avec 24 ´el`eves en 1`ere ann´ee et 24
´el`eves en 2nde ann´ee et un baccalaur´eat professionnel B avec 18
´el`eves en 1`ere ann´ee et 22 ´el`eves en 2nde ann´ee.
Les ´el`eves veulent cr´eer une amicale des ´el`eves de bac
professionnel.
Le bureau de cette amicale comportera dans l’ordre : un pr´esident,
un secr´etaire et un tr´esorier.
Deux bureaux compos´es des mˆemes ´el`eves mais `a des postes
diff´erents sont consid´er´es comme diff´erents.
Combien peut-il y avoir de bureaux diff´erents ?
M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

5/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

Arrangements :
Etude d’un exemple : Dans un ´etablissement, il y a un
Baccalaur´eat professionnel A avec 24 ´el`eves en 1`ere ann´ee et 24
´el`eves en 2nde ann´ee et un baccalaur´eat professionnel B avec 18
´el`eves en 1`ere ann´ee et 22 ´el`eves en 2nde ann´ee.
Les ´el`eves veulent cr´eer une amicale des ´el`eves de bac
professionnel.
Le bureau de cette amicale comportera dans l’ordre : un pr´esident,
un secr´etaire et un tr´esorier.
Deux bureaux compos´es des mˆemes ´el`eves mais `a des postes
diff´erents sont consid´er´es comme diff´erents.
Combien peut-il y avoir de bureaux diff´erents ?
M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

5/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

Arrangements :
Etude d’un exemple : Dans un ´etablissement, il y a un
Baccalaur´eat professionnel A avec 24 ´el`eves en 1`ere ann´ee et 24
´el`eves en 2nde ann´ee et un baccalaur´eat professionnel B avec 18
´el`eves en 1`ere ann´ee et 22 ´el`eves en 2nde ann´ee.
Les ´el`eves veulent cr´eer une amicale des ´el`eves de bac
professionnel.
Le bureau de cette amicale comportera dans l’ordre : un pr´esident,
un secr´etaire et un tr´esorier.
Deux bureaux compos´es des mˆemes ´el`eves mais `a des postes
diff´erents sont consid´er´es comme diff´erents.
Combien peut-il y avoir de bureaux diff´erents ?
M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

5/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

Arrangements :
Etude d’un exemple : Dans un ´etablissement, il y a un
Baccalaur´eat professionnel A avec 24 ´el`eves en 1`ere ann´ee et 24
´el`eves en 2nde ann´ee et un baccalaur´eat professionnel B avec 18
´el`eves en 1`ere ann´ee et 22 ´el`eves en 2nde ann´ee.
Les ´el`eves veulent cr´eer une amicale des ´el`eves de bac
professionnel.
Le bureau de cette amicale comportera dans l’ordre : un pr´esident,
un secr´etaire et un tr´esorier.
Deux bureaux compos´es des mˆemes ´el`eves mais `a des postes
diff´erents sont consid´er´es comme diff´erents.
Combien peut-il y avoir de bureaux diff´erents ?
M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

R´eponse : Il y a au total 24 + 24 + 18 + 22 = 88 ´el`eves. Il y a 88
fa¸cons de choisir le pr´esident. Le pr´esident ´etant choisi, il a 87
fa¸cons de choisir le secr´etaire. Le pr´esident et le secr´etaire ´etant
choisi, il y a 86 fa¸cons de choisir le tr´esorier.
Il y a 88 × 87 × 86 = 658416 bureux possibles.
On note A388 = 88 × 87 × 86.
Le symbole A388 d´esigne le nombre d’arrangements de 3 ´el´ements
pris parmi 88.
On peut remarquer que A388 =

6/40

88!
85! .

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

6/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

R´eponse : Il y a au total 24 + 24 + 18 + 22 = 88 ´el`eves. Il y a 88
fa¸cons de choisir le pr´esident. Le pr´esident ´etant choisi, il a 87
fa¸cons de choisir le secr´etaire. Le pr´esident et le secr´etaire ´etant
choisi, il y a 86 fa¸cons de choisir le tr´esorier.
Il y a 88 × 87 × 86 = 658416 bureux possibles.
On note A388 = 88 × 87 × 86.
Le symbole A388 d´esigne le nombre d’arrangements de 3 ´el´ements
pris parmi 88.
On peut remarquer que A388 =

88!
85! .

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

6/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

R´eponse : Il y a au total 24 + 24 + 18 + 22 = 88 ´el`eves. Il y a 88
fa¸cons de choisir le pr´esident. Le pr´esident ´etant choisi, il a 87
fa¸cons de choisir le secr´etaire. Le pr´esident et le secr´etaire ´etant
choisi, il y a 86 fa¸cons de choisir le tr´esorier.
Il y a 88 × 87 × 86 = 658416 bureux possibles.
On note A388 = 88 × 87 × 86.
Le symbole A388 d´esigne le nombre d’arrangements de 3 ´el´ements
pris parmi 88.
On peut remarquer que A388 =

88!
85! .

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

6/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

R´eponse : Il y a au total 24 + 24 + 18 + 22 = 88 ´el`eves. Il y a 88
fa¸cons de choisir le pr´esident. Le pr´esident ´etant choisi, il a 87
fa¸cons de choisir le secr´etaire. Le pr´esident et le secr´etaire ´etant
choisi, il y a 86 fa¸cons de choisir le tr´esorier.
Il y a 88 × 87 × 86 = 658416 bureux possibles.
On note A388 = 88 × 87 × 86.
Le symbole A388 d´esigne le nombre d’arrangements de 3 ´el´ements
pris parmi 88.
On peut remarquer que A388 =

88!
85! .

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

6/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

R´eponse : Il y a au total 24 + 24 + 18 + 22 = 88 ´el`eves. Il y a 88
fa¸cons de choisir le pr´esident. Le pr´esident ´etant choisi, il a 87
fa¸cons de choisir le secr´etaire. Le pr´esident et le secr´etaire ´etant
choisi, il y a 86 fa¸cons de choisir le tr´esorier.
Il y a 88 × 87 × 86 = 658416 bureux possibles.
On note A388 = 88 × 87 × 86.
Le symbole A388 d´esigne le nombre d’arrangements de 3 ´el´ements
pris parmi 88.
On peut remarquer que A388 =

88!
85! .

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

6/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

R´eponse : Il y a au total 24 + 24 + 18 + 22 = 88 ´el`eves. Il y a 88
fa¸cons de choisir le pr´esident. Le pr´esident ´etant choisi, il a 87
fa¸cons de choisir le secr´etaire. Le pr´esident et le secr´etaire ´etant
choisi, il y a 86 fa¸cons de choisir le tr´esorier.
Il y a 88 × 87 × 86 = 658416 bureux possibles.
On note A388 = 88 × 87 × 86.
Le symbole A388 d´esigne le nombre d’arrangements de 3 ´el´ements
pris parmi 88.
On peut remarquer que A388 =

88!
85! .

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

6/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

R´eponse : Il y a au total 24 + 24 + 18 + 22 = 88 ´el`eves. Il y a 88
fa¸cons de choisir le pr´esident. Le pr´esident ´etant choisi, il a 87
fa¸cons de choisir le secr´etaire. Le pr´esident et le secr´etaire ´etant
choisi, il y a 86 fa¸cons de choisir le tr´esorier.
Il y a 88 × 87 × 86 = 658416 bureux possibles.
On note A388 = 88 × 87 × 86.
Le symbole A388 d´esigne le nombre d’arrangements de 3 ´el´ements
pris parmi 88.
On peut remarquer que A388 =

88!
85! .

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

6/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

R´eponse : Il y a au total 24 + 24 + 18 + 22 = 88 ´el`eves. Il y a 88
fa¸cons de choisir le pr´esident. Le pr´esident ´etant choisi, il a 87
fa¸cons de choisir le secr´etaire. Le pr´esident et le secr´etaire ´etant
choisi, il y a 86 fa¸cons de choisir le tr´esorier.
Il y a 88 × 87 × 86 = 658416 bureux possibles.
On note A388 = 88 × 87 × 86.
Le symbole A388 d´esigne le nombre d’arrangements de 3 ´el´ements
pris parmi 88.
On peut remarquer que A388 =

88!
85! .

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

6/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

R´eponse : Il y a au total 24 + 24 + 18 + 22 = 88 ´el`eves. Il y a 88
fa¸cons de choisir le pr´esident. Le pr´esident ´etant choisi, il a 87
fa¸cons de choisir le secr´etaire. Le pr´esident et le secr´etaire ´etant
choisi, il y a 86 fa¸cons de choisir le tr´esorier.
Il y a 88 × 87 × 86 = 658416 bureux possibles.
On note A388 = 88 × 87 × 86.
Le symbole A388 d´esigne le nombre d’arrangements de 3 ´el´ements
pris parmi 88.
On peut remarquer que A388 =

88!
85! .

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

D´efinition : Soient n et p deux entiers naturels tels que n ≥ p ≥ 1.
Le nombre n × (n − 1) × ... × (n − p + 1) est not´e Apn .
Remarque : On peut ´ecrire
Apn =

7/40

n!
(n − p)!

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

7/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

D´efinition : Soient n et p deux entiers naturels tels que n ≥ p ≥ 1.
Le nombre n × (n − 1) × ... × (n − p + 1) est not´e Apn .
Remarque : On peut ´ecrire
Apn =

n!
(n − p)!

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

7/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

D´efinition : Soient n et p deux entiers naturels tels que n ≥ p ≥ 1.
Le nombre n × (n − 1) × ... × (n − p + 1) est not´e Apn .
Remarque : On peut ´ecrire
Apn =

n!
(n − p)!

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)

7/40


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

D´efinition : Soient n et p deux entiers naturels tels que n ≥ p ≥ 1.
Le nombre n × (n − 1) × ... × (n − p + 1) est not´e Apn .
Remarque : On peut ´ecrire
Apn =

n!
(n − p)!

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

´
Etude
du cas g´en´eral : On consid`ere un ensemble E `a n ´el´ements.
Toute partie ordonn´ee de E comportant p ´el´ements (1 ≤ p ≤ n)
s’appelle un arrangement `a p ´el´ements des ´el´ements de E .
En raisonnant comme dans l’exemple pr´ec´edent, nous pouvons dire
qu’il y a n fa¸cons de prendre le premier ´el´ement de
l’arrangement, qu’il y a n − 1 fa¸cons de prendre le second ´el´ement
de l’arrangement,..., qu’il y a n − (p − 1) = n − p + 1 fa¸cons de
prendre le pi`eme ´el´ement de l’arrangement.
Nous admettrons la propri´et´e suivante.

8/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

´
Etude
du cas g´en´eral : On consid`ere un ensemble E `a n ´el´ements.
Toute partie ordonn´ee de E comportant p ´el´ements (1 ≤ p ≤ n)
s’appelle un arrangement `a p ´el´ements des ´el´ements de E .
En raisonnant comme dans l’exemple pr´ec´edent, nous pouvons dire
qu’il y a n fa¸cons de prendre le premier ´el´ement de
l’arrangement, qu’il y a n − 1 fa¸cons de prendre le second ´el´ement
de l’arrangement,..., qu’il y a n − (p − 1) = n − p + 1 fa¸cons de
prendre le pi`eme ´el´ement de l’arrangement.
Nous admettrons la propri´et´e suivante.

8/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

´
Etude
du cas g´en´eral : On consid`ere un ensemble E `a n ´el´ements.
Toute partie ordonn´ee de E comportant p ´el´ements (1 ≤ p ≤ n)
s’appelle un arrangement `a p ´el´ements des ´el´ements de E .
En raisonnant comme dans l’exemple pr´ec´edent, nous pouvons dire
qu’il y a n fa¸cons de prendre le premier ´el´ement de
l’arrangement, qu’il y a n − 1 fa¸cons de prendre le second ´el´ement
de l’arrangement,..., qu’il y a n − (p − 1) = n − p + 1 fa¸cons de
prendre le pi`eme ´el´ement de l’arrangement.
Nous admettrons la propri´et´e suivante.

8/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

´
Etude
du cas g´en´eral : On consid`ere un ensemble E `a n ´el´ements.
Toute partie ordonn´ee de E comportant p ´el´ements (1 ≤ p ≤ n)
s’appelle un arrangement `a p ´el´ements des ´el´ements de E .
En raisonnant comme dans l’exemple pr´ec´edent, nous pouvons dire
qu’il y a n fa¸cons de prendre le premier ´el´ement de
l’arrangement, qu’il y a n − 1 fa¸cons de prendre le second ´el´ement
de l’arrangement,..., qu’il y a n − (p − 1) = n − p + 1 fa¸cons de
prendre le pi`eme ´el´ement de l’arrangement.
Nous admettrons la propri´et´e suivante.

8/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

´
Etude
du cas g´en´eral : On consid`ere un ensemble E `a n ´el´ements.
Toute partie ordonn´ee de E comportant p ´el´ements (1 ≤ p ≤ n)
s’appelle un arrangement `a p ´el´ements des ´el´ements de E .
En raisonnant comme dans l’exemple pr´ec´edent, nous pouvons dire
qu’il y a n fa¸cons de prendre le premier ´el´ement de
l’arrangement, qu’il y a n − 1 fa¸cons de prendre le second ´el´ement
de l’arrangement,..., qu’il y a n − (p − 1) = n − p + 1 fa¸cons de
prendre le pi`eme ´el´ement de l’arrangement.
Nous admettrons la propri´et´e suivante.

8/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

´
Etude
du cas g´en´eral : On consid`ere un ensemble E `a n ´el´ements.
Toute partie ordonn´ee de E comportant p ´el´ements (1 ≤ p ≤ n)
s’appelle un arrangement `a p ´el´ements des ´el´ements de E .
En raisonnant comme dans l’exemple pr´ec´edent, nous pouvons dire
qu’il y a n fa¸cons de prendre le premier ´el´ement de
l’arrangement, qu’il y a n − 1 fa¸cons de prendre le second ´el´ement
de l’arrangement,..., qu’il y a n − (p − 1) = n − p + 1 fa¸cons de
prendre le pi`eme ´el´ement de l’arrangement.
Nous admettrons la propri´et´e suivante.

8/40

M. El Machkouri

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


enombrement
Notion de Probabilit´
e
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) fini)
Variables al´
eatoires discr`
etes (X (Ω) infini d´
enombrable)

Proposition : Soit E un ensemble `a n ´el´ements. Une partie
ordonn´ee `a p ´el´ements s’appelle un arrangement `a p ´el´ements des
´el´ements de E . Le nombre des arrangements `a p ´el´ements
r´ealisables avec tous les ´el´ements de E est
Apn = n(n − 1)...(n − p + 1) =

9/40

M. El Machkouri

n!
(n − p)!

Esigelec (fili`
ere apprentissage)


Documents similaires


Fichier PDF cours
Fichier PDF proba
Fichier PDF coursprobalicence 1
Fichier PDF vardisceno
Fichier PDF stat
Fichier PDF coursjacod


Sur le même sujet..