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CHA

PITR

1

E

Nombres relatifs :
opérations

Choix pédagogiques
1. Le point sur les classes précédentes

Le professeur souligne cette étape en concluant cette
activité et peut proposer un autre exemple numérique.
L’activité 3 s’intéresse à la multiplication de deux
nombres négatifs.
Le raisonnement est là encore établi pour prolonger la
distributivité de la multiplication. Comme il a déjà été
mis en œuvre dans l’activité, il ne devrait pas y avoir de
difficulté à le reconduire.
L’activité 4 fait la synthèse des activités précédentes.
On peut demander aux élèves de choisir des exemples
pour distinguer les différents cas et les écrire au tableau.
Lorsque tous les cas sont écrits, on interroge les élèves
afin d’énoncer les règles à connaître.
L’activité 5 met l’accent sur la multiplication par –1.
Cette multiplication qui permet d’obtenir l’opposé d’un
nombre est importante mais elle est simplement établie
en application du calcul de produits vu précédemment.

5e

C’est en classe de que la notion de nombre relatif
a été introduite à partir d’un problème qui en montre
la nécessité. La relation avec la possibilité de graduer
entièrement une droite a été faite ainsi que le repérage
des points sur cette droite et dans le plan. À cette occasion, la notion de nombres opposés a été utilisée mais
le rangement des nombres relatifs en écriture décimale
n’est pas au socle de 5e, de même que la somme et la
différence.
Les élèves ont écrit des programmes de calcul avec des
parenthèses, mais en utilisant uniquement + et – et ont
effectué les calculs correspondants.
Généralement, on considère qu’une connaissance vue
au niveau n n’est pas disponible au niveau n + 1, elle est
simplement mobilisable et demande donc une attention
particulière.
Comme en 5e, à partir d’une situation simple, on va
progressivement établir des résultats mathématiques
décontextualisés.







La conclusion est demandée lorsque les produits sont
corrigés : c’est elle qui est importante !

2. Multiplication de nombres relatifs

C’est au cours de cette activité que le professeur aborde
la notation de l’opposé d’un nombre. Il ne faut pas sousestimer la difficulté liée au signe – sinon certains élèves
auront des difficultés lorsqu’ils effectueront des calculs
ou quand ils voudront écrire des expressions.
L’élève a déjà rencontré à l’école primaire le signe – pour
la soustraction, c’est alors un signe opératoire, en 5e, il le
voit comme celui des nombres relatifs négatifs et enfin
en 4e, il lui permet d’écrire l’opposé d’un nombre.
La difficulté s’accroît lorsqu’il s’agit d’expressions littérales car –a ne désigne pas toujours un nombre négatif !
(voir chapitre 4).
De nombreuses rencontres seront nécessaires avec ce
signe avant que l’élève ne se sente parfaitement à l’aise
avec.
L’activité 6 prolonge les règles de calcul connues : ici,
on a une suite de multiplications que l’on peut effectuer
pas à pas dans le sens de l’écriture.
D’autres propositions peuvent être faites par les élèves ;
les propriétés de commutativité et d’associativité seront
certainement évoquées.
Elles seront toutes explicitées et le professeur pourra
institutionnaliser sur la propriété du signe du produit
de plusieurs nombres.



L’activité 1 s’intéresse à la multiplication d’un nombre
négatif par un nombre entier positif. La multiplication
s’effectue en se ramenant à une addition d’un certain
nombre de fois le nombre négatif.
L’activité 2 s’intéresse à la multiplication d’un nombre
négatif par un nombre décimal positif. On ne peut plus
dire « fois » même si par abus de langage, ce mot est
utilisé !
Dès la classe de 6e, pour aller de la multiplication des
nombres entiers à celle des nombres décimaux, un obstacle du même ordre a déjà été rencontré.
Au a., l’idée peut être d’étendre le résultat précédent et
de proposer – 43,2 ou de proposer un autre résultat. À
ce stade, aucun argument ne permet de trancher, c’est
pourquoi le b. propose de définir la multiplication des
nombres relatifs de façon à prolonger la distributivité
de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustraction.
Cette construction des mathématiques montre la cohérence entre les savoirs, il ne s’agit pas d’une convention
comme pour la priorité des opérations par exemple.
La réponse (– 43,2) est conforme ou non à la conjecture
proposée au a. par les élèves.





1

3. Division des nombres relatifs

L’énoncé 2 porte sur le produit de plusieurs facteurs. L’accent est mis sur l’ordre dans lequel, l’élève doit effectuer
ce calcul: d’abord le signe, ensuite la distance à zéro. Pour
souligner cette première étape dans le calcul, l’exercice
« Je m’exerce » 4 demande uniquement le signe !
L’énoncé 3 reprend les règles de priorité.
Elles ont été établies en classe de 5e mais en 4e, avec le
produit des nombres relatifs, la tâche est plus lourde à
gérer.
Les nombres choisis pour les exercices « Je m’exerce » 6
et 7 permettent le calcul à la main. Le calcul à la machine
n’est pas délaissé, il fait l’objet de l’énoncé 4 avec deux
des calculatrices les plus utilisées semble-t-il . Mais rien
ne sert d’avoir une calculatrice, si l’on ne sait pas l’utiliser ! Or, l’expérience montre que bien des élèves ne
maîtrisent pas le fonctionnement de leur calculatrice.
C’est d’ailleurs l’objet de l’exercice « Je m’exerce » 8. Cet
exercice met en œuvre une erreur souvent commise par
des élèves. Le professeur pourra, lors de la correction,
interroger les élèves et rappeler les différents sens de
ce signe –.

À la question 1. de l’activité 7, on étend la définition du
quotient au cas de deux nombres relatifs.
Ces exemples permettront certainement de dégager en
classe une règle générale pour diviser deux nombres
relatifs.
La pratique du calcul exact ou approché est entretenue
depuis la classe de 6e. L’objectif de l’activité 8 est de
déterminer une valeur approchée du quotient de deux
nombres décimaux positifs ou négatifs. Pour donner du
sens aux expressions par défaut et par excès, il est parfois utile de placer les nombres sur une droite graduée.

4. Enchaînement d’opérations
Le travail en groupe proposé à l’activité 9 permet de
repérer les erreurs les plus courantes souvent dues à
une mauvaise utilisation de la calculatrice. Les élèves
doivent se mettre d’accord et de ce fait, ils explicitent
leurs façons de faire, autrement dit, ils donnent les propriétés utilisées.
Il n’est certainement pas inutile d’insister sur les calculs
F et G avec la calculatrice.
À l’activité 10, on peut également mettre en place une
situation d’échanges entre les groupes deux par deux.
Chaque groupe choisit un nombre et lui applique le programme proposé. La réponse ainsi trouvée est envoyée
au groupe correspondant et celui-ci doit retrouver le
nombre choisi.
De ce fait, chaque groupe répond à la question c.
On peut mettre en place un jeu en attribuant des points
positifs aux gagnants et des négatifs aux perdants !

6. Compléments
Les exercices « Je vérifie mes acquis » sont une évaluation diagnostique précieuse pour l’enseignant.
Dans la partie Socle commun de 4e, on retrouve les
rubriques qui figurent au programme.
La comparaison des nombres relatifs précédée d’un astérisque en 5e est maintenant exigible en 4e d’où les exercices 10 à 14. Pour ces exercices de comparaison, même
si une droite graduée n’est pas demandée, elle peut se
révéler une aide indispensable lors de la correction. Il
en est de même pour l’exercice d’intercalation 17 pour
lequel de nombreuses réponses seront proposées par
les élèves même si l’énoncé n’en demande que deux !
Les exercices 27 à 29 qui portent sur la valeur approchée
d’un quotient gagneront eux aussi à être corrigés avec
une droite graduée.
L’exercice  13 permet de rappeler que les nombres
positifs ont pour signe +, ce que certains élèves ont pu
oublier.

5. Savoir-faire
Les énoncés proposés mettent en œuvre non seulement
les nouveaux savoir-faire à développer dans ce chapitre
tout en confortant les plus anciens liés aux priorités
opératoires. Bien souvent une nouvelle connaissance,
si elle n’est pas confrontée à une plus ancienne crée des
confusions. C’est ainsi que l’énoncé 1 propose pêle-mêle
différentes opérations.
Le professeur peut projeter l’énoncé et demander, individuellement de donner les réponses. Pour corriger, le
professeur peut poser les questions dont les réponses
figurent dans la colonne de gauche. Ainsi, l’élève à qui
l’on va conseiller de refaire cet exercice retrouvera les
commentaires de son professeur et comprendra où sont
ses erreurs et les risques de confusion entre les opérations.
Les exercices « Je m’exerce » 1 à 3 reprennent ce travail
avec quelques variantes.
L’exercice 33 de calcul mental et réfléchi est construit
lui aussi dans cet esprit. Pour le réussir, l’élève doit à ce
moment-là avoir automatisé la reconnaissance somme,
produit.

Les exercices 15 et 16 demandent de construire un
repère du plan. On rappelle qu’une des erreurs est de
ne pas faire coïncider les zéros des deux axes. Comme
l’exercice 15 est une situation concrète, l’erreur n’apparaîtra pas mais il faut être vigilant pour l’exercice 16.
Le vocabulaire abscisse, ordonnée, coordonnée est parfois un obstacle pour la réussite des élèves dans ce type
d’exercice, il n’est donc pas inutile de le rappeler avant
de donner l’exercice à faire à la maison.
Autre élément du programme précédé d’un astérisque :
la somme et la différence des nombres relatifs. Au cours
des activités, cette compétence a été mise en œuvre
mais il est bon de l’entretenir avec les exercices 18 à 20,
l’exercice 21 sera réservé pour les plus rapides.
2

La page 22 se rapporte plus au nouveau programme
de 4e puisqu’on retrouve le produit et le quotient de
nombres relatifs, un problème concret pour l’exercice
22 et des exercices portant sur les règles de calcul pour
les exercices 23 à 26.
Les exercices 30 à 32 sont des petits problèmes de
recherche pour lesquels les élèves doivent prendre des
initiatives. La mise en commun des recherches peut être
très intéressante.

Pourquoi ne pas envisager de résoudre ce problème
avec un tableur ?
Les exercices 65 à 68 abordent les valeurs approchées.
Là encore, pour distinguer les réponses par excès et par
défaut, l’utilisation de la droite graduée donne du sens.
Les exercices 59 à 81 enchaînent les opérations soit avec
des expressions données, soit avec des expressions à
écrire (programmes de calcul des exercices 80 et 81).
Les calculs doivent être effectués tantôt à la main, tantôt
avec la calculatrice et aussi des deux façons, de façon à
s’entraîner et à développer chez les élèves des procédures de contrôle.
Les friands d’exercices dans lesquels des parenthèses
sont à placer se régaleront avec les 74 et 75. Noter qu’il
y a aussi l’exercice 133 mais plus difficile !

De nombreux exercices d’application qui reprennent
les titres du cours permettent de poursuivre le travail
sur ce chapitre.
Tous les exercices ont des nombres choisis pour que le
calcul à la main ne soit pas fastidieux et ne soit pas une
surcharge inutile pour l’objectif visé qui est de maîtriser
les nouvelles connaissances.
Les exercices 50 à 55 présentent des expressions littérales. Les élèves en classe de 5e ont déjà utilisé des
expressions littérales et celles-ci n’ont d’autre difficulté
que d’utiliser les nombres relatifs.

La narration de recherche de l’exercice 106 reprend la
définition d’un quotient. La difficulté vient de l’originalité de la formulation de la question. Les élèves peuvent
d’abord amoindrir le problème soit en cherchant avec le
quotient et non le quotient approché soit en ignorant
que le quotient est un nombre relatif négatif et ensuite
répondre au problème. La mise en commun des pistes
de recherche recueillies dans la classe est source d’intéressement et d’enrichissement pour les élèves et le
professeur !

L’exercice 56 porte sur la connaissance de l’Europe dont
une partie est représentée dans un repère du plan. Ce
contexte donne prétexte à un calcul de produits et la
dernière question est une petite recherche dont la solution n’est pas évidente !
Les exercices 57 à 61 entraîneront les élèves sur la division des nombres relatifs avec des questions portant sur
la définition d’un quotient, sur le signe, sur la distance à
zéro et utilisent différentes écritures. Seul l’exercice 59
utilise des lettres. L’exercice 63 reprend la définition d’un
quotient et les écritures décimales et fractionnaires.
Le métier d’ophtalmologiste est présenté avec l’exercice 62. Des formules sont données, il faut en calculer les
valeurs numériques et en déduire une remarque.

Les exercices d’approfondissement 129 à 136 jouent
sur la curiosité des élèves ; ce sont des énoncés simples
à comprendre mais dont la réponse n’est pas évidente.
L’un d’eux est estampillé « Problème ouvert » et mérite
bien son nom !
Les défis 137 et 138 sont originaux et ne sont pas d’une
trop grande difficulté.

Le travail de groupe présenté dans l’exercice 64 se
prête bien à des échanges. Certains élèves écriront une
expression littérale, ce que le professeur peut valoriser
lors du bilan en classe entière, d’autres auront seulement effectué des calculs mais seront à même de bien
comprendre l’intérêt d’une formule.

Le sujet d’exposé 139 passionnera les sinophiles et les
curieux des numérations originales. En fait, la recherche
porte sur l’introduction des nombres relatifs en Occident
et montre les apports des différentes cultures dans le
monde actuel.

3

Corrigés
1. Devinettes

9. a. 6
d. 0
10. A = –15.

• Devinette*

Deux façons de faire.
1°) En prenant d’abord la 1re, le nombre est –2 (représente
le chiffre cherché) et comme de plus le chiffre des dixièmes
est le double de celui des unités, la réponse est: –2,4.
2°) En prenant d’abord la 2e, on peut écrire toutes les
possibilités pour le chiffre des dixièmes qui est forcément pair et en calculant le chiffre des unités :
Chiffre des dixièmes

0

2

4

6

8

Chiffre des unités

0

1

2

3

4

b. –8
e. –19
B = –34

c. 1
f. 100
C = 1,3.

3. Activités
1 1. –26,5 + (–26,5) + (–26 , 5) + … + (–26,5) = –2 385
Tintin est descendu de 2 385 cm.
2. a. –3 + (–3) + (–3) + (–3) + (–3) = –15, on peut écrire
5 × (–3 ) = –15 ou (–3) × 5 = –15
b. (– 4) × 6 = –24
c. 4 × (– 6) = –24
d. 0 × (–3) = 0
e. (–5,4) × 8 = –43,2
2 a. Lecture du dialogue et proposition de conjectures
par les élèves.
b. 5,4 × (–8) + 5,4 × 8 = 5,4 × (–8 + 8) = 5,4 × 0 = 0
Les nombres 5,4 × (–8) et 5,4 × 8 sont donc opposés.
Puisque 5,4 × 8 = 43,2, on a alors :
5,4 × (–8) = – 43,2
Cette réponse est conforme ou non à la conjecture proposée au a.

Comme la distance à 0 doit être entre 2 et 3, la réponse
est : –2,4.

• Devinette**

Jusqu’à –9 compris, il y a 9 fois 2 signes, donc 18 en tout.
–10 à – ... compris, il y a (... – 10 + 1) fois 3 signes ou
(... – 9) fois 3 signes.
Or 100 – 18 = 82.
82 n’est pas divisible par 3 mais 82 = 81 + 1 = 3 × 27 + 1,
il y a donc 27 négatifs dont la distance à zéro a deux
chiffres et le premier symbole du 28e à écrire qui est
donc le signe –.
Le 100e symbole qu’elle écrit est donc le signe –.

3 (–3) × (–7) + (–3) × 7 = (–3) × (–7 + 7) = (–3) × 0 = 0
Les nombres (–3) × (–7) et (–3) × 7 sont donc opposés. On
sait que (–3 ) × 7 = –21, on en déduit que (–3) × (–7) = 21.
4 1. Voir 1. a. du cours : Règle des signes et calcul
d’un produit.
2. a. (– 0,4 ) × 2,5 = –1
b. (– 0,7) × (– 0,4) = 0,28
c. 5,3 × (–2) = –10,6
d. (–10) × (– 0,05 ) = 0,5

2. Je vérifie mes acquis
1. Bonne réponse : c.
Le point A a pour abscisse 2 et le point B a pour abscisse –1.
2. Bonne réponse : c.
Le plus petit des nombres relatifs de la liste est celui
qui a la plus grande distance à zéro, donc la réponse a.
est fausse.
0,3 > 0,25 donc la réponse b. est fausse.
3. Bonne réponse : a.
–7 et –2 sont négatifs, donc la somme est négative et sa
distance à zéro est 7 + 2 = 9.
4. Bonne réponse : b.
–11 et 9 sont de signes contraires, donc la somme a pour
signe celui du terme de plus grande distance à zéro, ici
–11, donc la somme est négative. Sa distance à zéro est
11 – 9 = 2.
5. Bonne réponse : a.
–14 – (–3) = –14 + 3 = –11
6. Bonne réponse : b.
7. Bonne réponse : b.
On utilise k × a – k × b = k × (a – b) avec k = 17, a = 13,5
et b = 3,5.
8. Bonne réponse : a.
Le quotient de 4,3 par 2,5 est le nombre qui multiplié
par 2,5 donne 4,3.

5 1. a. (–1) × 5 = –5
b. (–1) × (– 4,7) = 4,7
c. (– 6,2 ) × (–1) = 6,2
d. 3,7 × (–1) = –3,7
2. En multipliant un nombre relatif par –1, on obtient
son opposé.
6 1. a. 4 × (–3) × 2 = –24
b. (– 0,5) × 2,4 × (–2) × 5 = 12
c. (–0,1) × (– 4 ) × (– 81) × 2,5 = – 81
d. (–100) × (– 0,25) × 0,01 × (– 8 ) × (–3 ) = 6
e. (–100 ) × 0,25 × (– 0,01 ) × (– 8 ) × 7 × 3 = – 42
2. Règle 1. c. du cours.
7 1. a. 7 × 8 = 56

b. 7 × (– 8) = –56
56
donc
=8
donc –56 = – 8
7
7
c. (–7 ) × 8 = –56
d. (–7) × (– 8) = 56
donc 56 = – 8
donc –56 = 8
–7
–7
–72
e.
= – 8 car 9 × (– 8) = –72
9
f. 63 = –9 car –7 × (–9) = 63
–7
g. –35 = 7 car 7 × (–5) = –35
–5
2. Paragraphe 2. b. du cours.
8 1. a. (– 8 )(– 4 ) = 2

c. 1,5(– 0,7) ≈ –2,1
4

b. 10(– 8) = –1,25
d. 12(–35) ≈ – 0,3

e. (– 0,5)7 ≈ – 0,1
g. (– 0,07)(– 0,5) = 0,14

5 B est la seule expression positive, il suffit donc de
chercher avec A, C et D qui sont négatives.

f. 7,50,3 = 25
h. (–2,1)9 ≈ – 0,2

A = D = –360.

9 A = 17 + 3 × (–7) = 17 + (–21) = – 4

B = 15 – (3 – 8) = 15 – (–5) = 15 + 5 = 20
C = 18 – 8(– 4) = 18 – (–2) = 18 + 2 = 20
D = (–24) – 8 × (– 4) = (–24) – (–32) = –24 + 32 = 8
E = 75(–15) × 5 = (–5) × 5 = –25
22
22
22 = –2
F=
=
=
10 – 3 × 7 10 – 21 –11
13 – 3 × 6
13 – 18
–5
G = (–5) –
= (–5) –
= (–5) –
0,75 – 1
–0,25
–0,25
= (–5) – 20 = – 25

6 Il est exact que A + B + C = 0. En effet, A = –93,
B = –37, C = 130.
7 Clara se trompe, il n’y a qu’un seul résultat négatif.
Un rapide calcul montre que A est positif, en effet :
A = 0 – 72(– 8).
Pour C, le numérateur et le dénominateur sont négatifs,
donc C est positif.
8 Gordon, après avoir effectué le calcul de A, a tapé le
signe – de la soustraction et non le signe – du nombre
négatif. La calculatrice a donc soustrait à son premier
résultat le calcul de B. En fait, A = –18,72 et B = –19,95.

10 a. (5 × 3 + 4) × 2 – 4 = (15 + 4 ) × 2 – 4 = 19 × 2 – 4

= 38 – 4 = 34
b. ((–1) × 3 + 4) × 2 – 4 = (–3 + 4 ) × 2 – 4 = 2 – 4 = –2
c. Il s’agit de « remonter » le programme précédent :

9 A = –9,016 ; B = –2 158,973 297 ; C = – 0,46.
Benjamin a donc tort, c’est B qui est le plus petit résultat.

Ajouter 4.
Prendre la moitié ou Diviser par 2.
Retirer 4.
Prendre le tiers ou Diviser par 3.

5. Socle commun de 4e
10

((16 + 4 )2 – 4)3 = (202 – 4) : 3 = (10 – 4)3 = 63 = 2
((1 + 4)2 – 4)3 = (52 – 4) : 3 = (2,5 – 4)3 = (–1,5)3
= – 0,5

a.

–7

–7,8

–6

–5

– 6,2 –5,8

–5,1 – 4,9

–4

–7,8 < – 6,2 < –5,8 < –5,1 < – 4,9

4. Je m’exerce

11

a. – 4,5 < 4,23
c. 1,2 > 1,13

b. 7,2 > –7,19
d. –1,47 > –1,8



12

a. 5,05 < 5,19
c. –2,6 > –2,87

b. 3,204 < 3,214
d. –7,9 > –7,97



13

a. +2,3 > +2,19
c. –9,5 < – 8,4

b. –7,12 > –7,4
d. –3,52 > –3,8



14

8,1 > 8,01 > –7,2 > –7,29 > –7,3 > –7,31



A est un produit.
A = –2,3 × (–1,7) = 3,91
B est une différence.
B = – 0,5 – 7 = –7,5
C est un produit.
C = –1,8 × 5 = –9
D est un quotient.
D = –9,54 = –2,375
E est une somme.
E = –3,4 + 1,7 = –1,7
F est un quotient.
F = –18(–3) = 6
1

15 a. mars, février, janvier, décembre, novembre, avril,
octobre, mai, septembre, juin, août, juillet.
b.




–18,5(–5) •
–18,5 – 5 •
–18,5 × 0,4 •
–18,5 + 15 •

2

• –23,5
• –7,4
• –3,5
• 3,7

J

F

M

A

M

J

J

A

S

O

3 a. Lola se trompe ; il y a deux quotients, B et C et
deux produits, D et F.
b. B = (–4,5)(–0,5) = 9
C = 12(–0,4) = –30
D = –0,2 × (– 60) = 12
F = – 0,4 × (– 0,6) = 0,24



4
A est négatif, le nombre de ses facteurs négatifs
est impair.
B est positif, le nombre de ses facteurs négatifs est pair.
C est positif, le nombre de ses facteurs négatifs est pair.
D est négatif, le nombre de ses facteurs négatifs est
impair.





16

5

Les coordonnées du point M sont –3 et 3.

N

D

17 D’autres réponses que celles proposées sont bien
sûr possibles.
a. –18,265 et –18,261
b. –2,025 et –2,029
c. –14,95 et –14,934
18 a. (–10,5) + (– 8,9) = –19,4
b. – 8, 7 + 7, 3 = –1,4
c. 13,5 + (– 8,1) = 5,4
d. 9,5 + (–12,7) = –3,2
e. –10 + 4 = – 6
f. – 4,6 + 14,6 = 10
19 a. (–5) – (–12) = 7
b. (–13 ) – (–2) = –11
c. 9,5 – (–3,5 ) = 13
d. –7,3 – 1,7 = – 9
e. –100 – (–78) = –100 + 78 = –22
f. 87 – 55 = 32
g. – 4,8 + 13,5 = 8,7
h. –257 – 153 = – 410
20

e. 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 = –3
f. 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … + 97 – 98 + 99 – 100 = –50
32

B = D = –100
a. 5 × (–500 ) = –2 500
Les cachalots peuvent descendre jusqu’à la cote
–2 500 m.
b. 21,8 × (–500 ) = –10 900
10 900 m = 10,9 km
10,9 < 15
Les souvenirs de ce participant ne sont pas exacts.
24

×
– 0,8
5

b. –1,8
–2
1,6
–10

4,2
–3,36
21

–12
–3

–1
–2
0,5
4
–0,5 –1

39 A = (– 9) × (–2) × (–3) × 5 × (–10) = 2 700
B = (– 0,7) × (–5) × 4 × 2 × (– 0,1) = –2,8
40 A = –2 × (–25) × 5 × 7,2 × (– 4) = –7 200
B = (–5) × 2,5 × (– 8) × 6,3 = 630
41 A = (– 0,07) × (–5) × (– 4) × 100 × (–20) = 2 800
B = (–1) × (–7) × 8 × (–1) × (–10) × (–2) = –1 120
42 a. A = –1,7 × 1,1 × (–2) = 3,74
b. B = –1,7 × 1,1 × 20 = A × (–10) = –37,4
C = 1,7 × (–1,1) × (–2) = A × (–1) × (–1) = A = 3,74
D = 1,7 × (–1,1) × 0,02 = A × (– 0,01) = – 0,037 4
E = 17 × 1,1 × (–2) = A × (–10) = –37,4
43 A = B = E
C=D=F
44 a.
Programme A Programme B

–7
5,6
–35

7,1

–14,1

–14,1

–9,3

2,3

23

Pour un nombre donné, on remarque que le résultat est
le même quelque soit le programme appliqué.
b. La remarque précédente est valable quel que soit le
nombre choisi. En effet, prendre l’opposé ou multiplier
par –1 revient au même et ajouter –7 revient à soustraire 7.
45 a.

b. –52 3 ≈ –17,4

30 10 + 16 × (–3 + 2 ) = – 6
10 – 3 – 3 – 3 – 3 – 3 – 3 + 2 = – 6
31 a. 1 – 2 = –1
c. 1 – 2 + 3 – 4 = –2

–24
24

25 a. Comme 503 est un nombre impair, ce produit est
négatif : le signe est –.
b. Le produit de nombres positif est positif : le signe est +.
26 a. Comme il y a déjà quatre facteurs négatifs, pour
que le produit soit positif, le 5e doit être positif.
b. Comme il y a déjà deux facteurs négatifs, le facteur
manquant doit être négatif pour que le produit soit
négatif.
27 a. –7 < –47 < – 6
b. – 9 < 33 < – 8
7
–4
–50
−13
c. 16 <
< 17
d. –1 <
<0
–3
15
28 a. –1,70,4 = –4,25
b. –7,9– 0,6 ≈ 13
c. 2(–2,5) = – 0,8
29 a. 4,46(– 4 ) = –1,115
c. –73(–7 ) ≈ 10,4

b. (–250 )1 000 = – 0,25
d. (–2,14)(–100) = 0,0214
f. 300 × (– 0,1) = –30

38

c. 42
0,1
– 0,08
0,5

34 a. 3,2 × (–10 ) = –32
c. 0,75 × (–100 ) = –75
e. 0,1 × (–20) = –2

a. –1 et 16, –2 et 8, – 4 et 4, – 8 et 2, –16 et 1.
b. 1 et 12, 2 et 6, 3 et 4, –1 et –12, –2 et – 6, –3 et – 4.
36 On peut trouver deux nombres tels que leur somme
est un nombre positif et leur produit un nombre négatif.
Exemple : 7 et – 4
7 + (– 4) = 3 et 7 × (– 4) = –28
37 a. (–51) = (–3) × 17
b. 4,2 = (–3) × (–1,4)
c. 15 × (– 4) = – 60
d. (–2,1) × (–3) = 6,3
e. (–3,5) × (– 4 ) = –10 × (–1,4)
f. (–2,5) × 1,6 × (– 4) = 2 × (+ 8)

22

a. – 0,2

b. – 8 + (–7) = –15
d. –8 – (–7) = –1
f. (–8 ) × (–7) = 56

35

21

23

33 a. (–8) × 7 = –56
c. – 8 + 7 = –1
e. 8 + (–7) = 1

6. Exercices d’application

• 5,5
• 4,5
• –2,5
• –5
• –12,5
• –13,5

–7 + (–5,5) •
– 9 – 4,5 •
– 8,5 + 3,5 •
7 – 2,5 •
3 + (–5,5) •
–5 – (–10,5) •

Les températures sont : –2 °C, –1 °C, 1 °C, 2 °C, 3 °C.

T

b. 1 – 2 + 3 = 2
d. 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = 3

E’

6

A 0

R
C’

1

A’

C

E
R’

T’

b. –5 × (–1) = 5
–3,5 × (–1) = 3,5
– 0,5 × (–1) = 0,5
2 × (–1) = –2
4 × (–1) = – 4
c. Les points T et T’, R et R’, A et A’, C et C’, E et E’ sont
symétriques par rapport au point O, origine de la droite
graduée.

c. En prenant Paris pour origine, Amsterdam avec ses
coordonnées ( 3 ; 5 ) a le plus grand produit : 3 × 5 =15.
En prenant Amsterdam pour origine, Paris avec ses coordonnées (– 3 ; –5) a le plus grand produit : –3 × (–5 ) = 15.
57 (– 9 – 7,5 – 4 + 3 + 1 – 6,5 – 5 )7 = – 4.
La température moyenne de la semaine est – 4 °C.
58 a. 20(– 4 ) = –5
b. 16(– 8) = –2
c. –5(– 0,5) = –10
d. – 4(– 0,2 ) = 20
x
x
59 a.
>0
b.
<0
c. y < 0
7
–9
4
y
x
y
x
d.
>0
e.
<0
f. y > 0
–3
5
–2
117
–117
60 a.
= –13
b.
= –9
–9
13
–11,7
c. –117 = 13
d. 11,7 = –1,3
e.
= –9
1,30
–9
–9
61 A = F
–18(–3) = –24(– 4)
B=H
– 42(– 6) = 4,90,7
D=I
– 427 = 72(–12)
E=G
50,510,1 = –350(–70)
C = ??
–320,8 = 36(– 0,9 )
–1
–1
62 a.
= –2,5 ; 10 cm = 0,1 m ;
= –10
0, 4
0,1
1
1
b.

= 1,5 ; 50 cm = 0,5 m ;
–0, 4 –0,25
1
1

=2
–0,5 –0,25
c. Pour la myopie, les corrections sont exprimées avec
des nombres négatifs alors que pour l’hypermétropie,
les corrections le sont avec des nombres positifs.
360
–16,2
63 a.
= – 80
b.
= –6
–4,5
2,7
–504
–24
c.
= 70
d.
= –50
–7,2
0, 48
–9, 45
5
e.
= –3,5
f.
= – 0,156 25
2,7
–32
64 Une recherche avec le tableur donne la feuille cicontre avec la formule : =5-3*A2+2*B2

46 a. 3 × 5 × 2 = 30
(–3) × (–5) × (–2) = –30
Bénédicte semble avoir raison.
Prenons trois nombres que l’on note a, b et c.
Leur produit s’écrit : a x b x c
Le produit de leurs opposés est :
(–1) × a × (–1) × b × (–1) × c = (–1) × (–1) × (–1) × a × b × c
= (–1) × a × b × c = – a b c.
Cette écriture montre que Bénédicte a raison.
b. Avec quatre facteurs, on a :
(–1) × a × (–1) × b × (–1) × c × (–1) × d = a b c d.
Donc, pour un produit de quatre facteurs, si l’on change
chaque facteur en son opposé, le produit est inchangé.

a. –15 × 10 + (–15) × 0,5 = (–15) (10 + 0,5)
= –15 × 10,5.
Xavier utilise la distributivité.
b. –15 × 10,5 = –15 × 10 + (–15) × 0,5 = –150 – 7,5
= –157,5.
48 a. 27 × (– 99) = 27 × (1 – 100) = 27 × 1 – 27 × 100
= 27 – 2 700 = –2 673
b. –5,3 × 999 = –5,3 × (1 000 – 1)
= (– 5,3) × 1 000 – (– 5,3) × 1 = – 5 300 + 5,3
= – 5 294,7
47

a. 28 × 52 – 28 × 62 = 28 × (52 – 62) = 28 × (–10)
= –280
b. 73 × (–2,51) + 27 × (–2,51) = (–2,51) (73 + 27)
= (–2,51) × 100 = –251
c. –5 × 43 – 5 (– 63) = –5 × (43 – 63) = –5 × (–20) = 100
49

50

a. 7(x – 3) = 7x – 21

b. 5(–7 + x) = –35 + 5x

51

a. –3(a – 5) = –3a + 15

b. –2 (– 4 + a) = 8 – 2a

52

a. 4 (2x – 1) = 8 x – 4

b. – 6 (–2x – 5) = 12 x + 30

a. –7 (6 – 8 y) = – 42 + 56 y
b. –5 (3 y + 7) = –15y – 35
53

54 a. –3 x + x = (–3 + 1) x = –2x
b. –2x – x = (–2 – 1) x = –3x
c. 3,5 x – 0,7 x = (3,5 – 0,7) x = 2,8 x
d. x – 7 x = (1 – 7) x = – 6x
55 a. –2x + 3
c. 6x – 3

b. –6x + 2
d. –x – 4

56 a. Francfort (2 ;1) ;
Amsterdam (–1 ; 4)
Bruxelles (–2 ; 2) ;
Lille (–3 ; 1)
Paris (– 4 ; –1) ;
Strasbourg (1 ; –2)
b. Francfort : 2 ;
Amsterdam : – 4
Bruxelles : – 4 ;
Lille : –3
Paris : 4 ;
Strasbourg : –2
Paris possède le plus grand produit, Amsterdam et
Bruxelles le plus petit.

7

Si on note n le nombre de parties perdues, il y en a
(20 – n) qui sont gagnées et donc le nombre de points
est : 5 – 3 × n + 2 × (20 – n) = 5 – 3n + 40 – 2n = 45 – 5 n
Si l’on veut 20 alors, 45 – 5 n = 20 d’où 5 n = 25 et n = 5.
–14, 8
−417
6, 8
65
≈ –4
≈ –2
≈2
98
–7,3
–3,3
–417 6, 8 –14, 8
<
<
98
–3,3 –7,3
66

a. (2 – 7 + (–8)) × (–5 ) – 75 = (–13) × (–5) – 75
= 65 – 75 = –10
(–3 – 7 + (–8)) × (–5) – 75 = (–18) × (–5) – 75 = 15
b. (n – 7 + (– 8)) × (–5) – 75 = (n – 15) × (–5) – 75
= –5 n + 75 – 75 = –5 n
Le nombre du départ est multiplié par –5.
c. –750(–5) = 150. Il faut choisir 150.
80

Valeur approchée
Par défaut

Par excès

3

4

À l’unité près
Au dixième près

3

3,1

Au centième près

3,04

3,05

Au millième près
Au dix-millième près
67

a. – 45 – 25 + 10 – 30 – 10 = –100.
b. –1005 = –20. En moyenne, son score est – 20.

3,048

3,049

3,048 7

3,048 8

a. (5 × 2 + 3) × 4 + 5 = 57
(–2 × 2 + 3) × 4 – 2 = – 6
b. Si on note n le nombre choisi :
(n × 2 + 3) × 4 + n = (2 n + 3) × 4 + n = 8 n + 12 + n
= 9 n + 12
Ce que fait calculer le magicien revient à multiplier le
nombre choisi par 9 puis à ajouter 12, autrement dit, ce
serait le programme :
Choisir un nombre.
Multiplier par 9.
Ajouter 12.
81

À l’écran, on lit –1.470588235.
Valeur approchée
Par défaut

Par excès

–2

–1

Au dixième près

–1,5

–1,4

Au centième près

–1,48

–1,47

Au millième près

–1,471

–1,470

–1,470 6

–1,470 5

À l’unité près

Au dix-millième près

82

83 Vrai : Le produit de deux nombres opposés (non
nuls) est toujours négatif puisque l’un est positif et
l’autre est négatif.
84

70

R.

71

A = 5 + 4 × (–7) = –23
C = 15 – (–5) × (–3) = 0

72

A = –38,5

B = 55,6

C = –3,4

73

A = 76,95

B = 35,5

C = –56,3

86 Faux : Si dans un produit, on change le signe de tous
les facteurs, le signe du produit dépend du nombre de
facteurs négatifs obtenus.

B = –11 – 2 × 15 = – 41
D = (–5 + 7) × (–3 ) = – 6

87 Faux : Le produit d’un nombre négatif par lui-même
est positif donc, il n’est pas du signe de ce nombre.
88 Faux : Le double de 5 × 3 n’est pas 10 × 6 mais 10 × 3
ou 5 × 6.

a. A = 1 + 2 × 3 + 4 × 5 + 6 = 33
b. 1 + 2 × (3 + 4) × 5 + 6 = 1 + 70 + 6 = 77
74

89 Vrai : Le quotient de deux nombres opposés (non
nuls) est toujours égal à –1 car ils ont la même distance
à zéro ; en plus, l’un est positif et l’autre est négatif.

75 a. A = 12 – 4 × 62 + 7 = 7
b. 12 – (4 × 62 + 7 ) = –7

Vrai : Si le quotient de deux nombres est négatif,
c’est que l’un est positif et l’autre est négatif, donc le
produit de ces nombres est lui aussi négatif.
90

a. A = 34,2
b. Suite de touches :
76

5

x

(

3



7

)

+



9

÷

(

13



8

)

7

×

Vrai : Si l’on divise un nombre par (–1), sa distance
à zéro ne change pas mais son signe change, donc on
obtient son opposé.
91

8

10,5 = 10,5, l’égalité est vérifiée.

92

a. (–3 × 7) – (– 8 – 4 – 1 – 2 – 4,5 – 5)
b. Température du 7e jour : 3,5 °C.
78

79

Manches
Erreurs
Réussites
Bilan

1
3
0
- 45

2
5
2
- 25

Faux : –7 – 7 × (–7) = –7 + 49 = 42.

85 Vrai : La somme a le signe commun à ces trois
nombres, 3 est un nombre impair, donc, leur produit
est négatif.

–14, 45
a. 39 ≈ –2,05
b.
≈ 1,95
–7, 43
–19
69 Multiplier la somme de – 8 et de 5 par –3 correspond
à l’expression N = (– 8 + 5 ) × (–3).
68

77

Vrai : –8 × (–7) = +56.

3
1
1
10

4
7
3
- 30

Faux : Si a est négatif, –a est positif.

Faux : Chaque nombre a changé de signe, donc le
quotient reste négatif.
93

Faux : Multiplier les opposés revient à multiplier
chaque facteur par –1, donc le produit par 1.
94

5
4
2
- 10

95 • A = (100 + 2) × 15 = 100 × 15 + 2 × 15 = 1 530.
• B = (100 – 1) × (–35) = –100 × 35 + 35 = – 3 465.

8

• C = 16 × (–15 – 5) = 16 × (–20) = –320.
• D = 17 × (5 – 25) = 17 × (–20) = –340.
96

a.

–54
= –6
9

–11
= 11
–1
–4,2
e.
=7
–0, 6
b.

et réduire :
(a ×(–5) – 10) × 0,6 + 6 = (–5a – 10) × 0,6 + 6
= –3 a – 6 + 6 = –3a.
d’effectuer le calcul avec des nombres différents.

c. 0 = 0
8,1



66
= –6
−11
6 – 10
3 × (–4)
97 A =
=2
B=
= –2
4–6
–2 + 8
(–8) × (5 – 7)
C=
= –4
5 + (–9)
98 a. La somme de 2 011 termes égaux à –1 est égale à:
2 011 × (–1) = –2 011
b. Le produit de 2 011 facteurs égaux à –1 est – 1.
d.

105 Les températures ressenties sont plus basses que les
températures réelles, c’est ce que permet de calculer la
formule. On peut vérifier pour T = –5 °C.
R = 1,36 × (–5°) – 8,14 = –14,94 °C.
106 Une réponse :

3 891,6(–1 200) = –3,243.

7. QCM pour s’évaluer
107 c. 108 a. 109 c. 110 c. 111 b. 112 b. 113 c. 114 a.

a. 1 – 3 × (–5) = 1 – (–15) = 1 + 15 = 16
b. 3 × (–7) – 11 = –21 – 11 = –32

115

99

b.

120 a.

100 A = –7 + 7 × (–3) + 5 × [–5 + (–2)]

116

b.

a. b.

117

a. b. c.

118

a. b. c.

119

a. c.

121 b.

8. Je me prépare au contrôle

= –7 + (–21) + 5 × (–7) = –7 – 21 – 35 = – 63
B = – 4 + 2 [–3 × (5 – 7) –9] = – 4 + 2 (–3 × (–2) – 9)
= – 4 + 2 (6 – 9) = – 4 + 2 × (–3) = – 4 – 6 = –10
–7 + 7 × (–3) – 3 –7 – 21– 3 – 31
=
=1
C=
–8 × 5 – 3 × (–3)
–40 + 9 – 31
101 a. +2
b. +2
c. –1, le quotient de deux nombres négatifs est positif.
d. –1. Pour soustraire – 8, il faut ajouter son opposé, il
faut donc calculer 12 + 8.
e. –1. L’addition n’est pas prioritaire, il faut d’abord effectuer 12 × (–5).
10 + 2 + 2 – 1 – 1– 1 = 10 + 4 – 3 = 11.
Amélie a 11 points.
102 Quelques expressions (Petit Robert).
Manifestation, marque, preuve: Le rire comme signe de
joie, une belle maison est un signe extérieur de richesse.
Ne pas donner signe de vie, ne pas donner de nouvelles.
Locution : c’est mauvais signe, annonce de ce qui va
mal.
Signe particulier d’un individu, élément qu permet de
le reconnaître.
Signe clinique, symptôme.
Signe des temps, ce qui caractérise l’époque où l’on
vit.
Signe de tête affirmatif, ou négatif, geste pour communiquer, faire savoir.
Dès mon retour, je vous fais signe, j’entrerai en contact
avec vous.
En signe d’adieu, elle agitait son mouchoir.
Signes héraldiques, armoiries.
Être né sous le signe de l’une des douze figures de
l’astrologie, voir aussi l’horoscope.

122

• A = –7 + 1,5 = –5,5

• B = 7 × 1,5 = 10,5
• D = –1,5

• C = 80,5 = 16
• E = 5 600 – 140 + 13 = 5 473
• F = 90 – 0,3 + 10 = 99,7
123 • A = 73,1 × (–2,5) × (– 4) × 2 × (–5) = 73,1 × 10 × (–10)


= – 7 310
B = 0,25 × (– 40) × (– 0,5) × (–20) × (–3) × 9
= –10 × 10 × (–3) × 9 = 2 700

124

(



(–)
1,3

(


11
0,5

(–)
)

1,3



1,7

)

÷

EXE

On trouve A = 20.




125 a. –9

b. –7

126 a. 36,2

b. –1,2

c. 7

127 a. Les températures sont en hausse dans les différentes villes, entre le lundi et le mardi.
b. On ne peut rien dire pour le jour suivant.



128 –3 × 3 = –9.
La somme des trois températures est –9 °C.
–9 – (–7 + 3) = –9 – (– 4) = –9 + 4 = –5.
La température d’avant-hier était de –5 °C.





9. Exercices d’approfondissement



129 On note j l’âge de Julien et q celui de Quentin.

(j + q) + (j – q) = 44.
j + q + j – q = 2 j, donc 2 j = 44 et j = 22.
Julien a 22 ans.
130 On note n, le nombre choisi.
(n × (–11) + 8) × (– 9) + n + (–28)
= (–11 n + 8) × (– 9) + n – 28
= 99 n – 72 + n – 28
= 100 n – 100 = 100 (n – 1)
On voit que le résultat annoncé permet à M. Presto de
calculer rapidement le nombre choisi.
Il suffit de diviser le résultat par 100, et d’ajouter 1.






103 a. Le produit de –7 par la somme de 15 et –21.
b. Le quotient de –72 par la différence de 13 et 5.
104 Emma peut :

• proposer de noter a le nombre choisi puis développer
9

131 Si le nombre de facteurs négatifs est le double d’un
nombre, cela signifie qu’il est pair, donc le produit est
positif.
132 1 – 1 = 9 × 0
2 – 11 = 9 × (–1)
3 – 111 = 9 × (–12)
4 – 1 111 = 9 × (–123)
5 – 11 111 = 9 × (–1 234)
6 – 111 111 = 9 × (–12 345)
7 – 1 111 111 = 9 × (–123 456)
8 – 11 111 111 = 9 × (–1 234 567)
9 – 111 111 111 = 9 × (–12 345 678)
10 – 1 111 111 111 = 9 × (–123 456 789 )

136 a. Le Lamentin (0 ; 0).

Le François (2 ; 0).
Basse-Pointe (–2 ; 5).
b. Ste-Anne : abscisse entre 2 et 3 ; ordonnée entre –3
et – 4,
Le Diamant : abscisse entre –1 et 0 ; ordonnée entre –3
et –2.
Le Prêcheur : abscisse entre –5 et – 4 ; ordonnée entre
3 et 4.
c. Le Vauclin a la plus grande abscisse.
Le Prêcheur a la plus petite abscisse.
Grand’Rivière a la plus grande ordonnée.
Ste-Anne a la plus petite ordonnée.

133 a. (14 – 4 ) × (6 – 1) = 50

137 – 4* = – 4 + 2 × (– 4) = – 4 – 8 = –12
a* = a + 2 a = 3a
a** = 3a + 2 × 3 a = 9 a
a*** = 9 a + 2 × 9 a = 27 a
a**** = 27 a + 2 × 27 a = 81 a
81a = –243 donc a = –3.

b. 27 – 2,5 × (8,5 – 4,5) = 17
c. (15 – 25) × 2,4 + (7 – 3) × 2 = –16
134 1,25 × 3,25 + 1,25 × 2,5 + 1,25 × 1,75 + 0,5 × 1,25

= 1,25 (3,25 + 2,5 + 1,75 + 0,5) = 1,25 × 8 = 10
L’aire totale des rectangles est 10 cm2.
135 a. 4 × 4 × (–1) = –16
(–5) (–5) (–1) = –25
(– 0,1) (– 0,1) (–1) = – 0,01
1,1 × 1,1 × (–1) = –1,21
b. Sans faire le calcul, on peut affirmer que le résultat
est négatif.
Multiplier un nombre par lui-même donne toujours un
nombre positif et l’opposé d’un nombre positif est bien
négatif.

138 Réponse d.
En regroupant les termes par 2, chaque somme vaut 2.
Il y a 25 groupes donc, c’est 50.
139 http://www.math93.com/histoire-nombres.htm
http://ymonka.free.fr/maths-et-tiques/index.php/histoire-des-maths/nombres/les-negatifs
http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/

10

Tâche complexe : Convevoir un jeu
• Pour le chemin le plus court, on passe de l’« Entrée » à

Des aides possibles
Aide n° 1 : Quel est le chemin le plus court pour relier
l’entrée à la sortie ?
Aide n° 2 : Pour ce chemin le plus court, par quel nombre
multiplie-t-on le nombre inscrit en « Entrée » pour obtenir le nombre trouvé en « Sortie » ?
Il devra en être de même pour le second chemin.

la « Sortie » en multipliant par :
(–10) × (–10) × ... × (–10) soit –10 000 000.

7 fois

Il devra en être de même pour le second chemin. Fabriquer un chemin plus long revient à écrire un produit
égal à –10 000 000 avec plus de 7 facteurs et en n’utilisant que les nombres inscrits sur la rosace, sans sortir du
quadrillage bien sûr. On peut profiter ainsi de produits
égaux à 1 ou à –1, par exemple : –0,1 × (–10), 2 × (–0,5),
0,5 × (–0,5) × 2 × (–2), ...
Les élèves calculeront certainement mentalement.
Les différences trouvées dans la classe vont certainement stimuler les élèves à trouver encore mieux. Après
une séance de recherche en classe, cette situation peut
se prolonger en dehors de la classe.
Une fois une grille remplie, on peut échanger avec
une autre classe et demander de retrouver le chemin le
plus long de la grille, menant de l’« Entrée » à la « Sortie ».

Quelques commentaires
Le nombre inscrit en « Entrée » n’a pas d’importance.
Dans un premier temps, n’inscrire que les nombres
correspondants aux chemins. On complétera les autres
cases ultérieurement.
Pour le second chemin, on peut s’organiser tout
d’abord pour qu’il n’ait pas de case commune (sauf
« Entrée » et « Sortie » bien sûr) avec le chemin le plus
court. Ensuite, lorsqu’on en aura trouvé un de ce type,
on pourra essayer d’en trouver de plus longs passant
par des cases du chemin le plus court.












20 000

–2 000
–1 000
20 000

 

–2 000



–2 000

– 400 000



–100

200



–5

200



–20

10



 0,5



–1





2



Quelques réponses
Ci-dessous, le chemin le plus court est en gris et compte 8 cases, l’autre chemin en compte 16, on a donc une différence de 8 cases.

–200 000

4 000 000



–200 000

– 40 000 000


2 000 000

–20 000 000

Ci-dessous (en bas de colonne), le chemin le plus court compte 8 cases et le plus long, 32.
Ici la différence est donc de 24.
–10
–320 000

40 000

–20 000
10 000

1 600 000

800 000

10 000

– 400 000

– 8 000 000

–100 000

200 000

– 4 000 000

–2 000 000

800 000
400 000

200 000  –100000

11







–1 000



50

– 80 000

–1 000




100

3 200000



160 000

100

 


200

   

–10

 

–20






100



–20

1



2

–2 000 000  1 000 000

1 000 000
20 000 000  –10 000000

Cette fois, le chemin le plus long compte 65 cases. Ici la différence est donc de 57.

Mais peut-être, trouverez-vous mieux, merci de nous le faire savoir.

12


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