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CHA

PITR

E

10

Triangle : milieux et parallèles

Choix pédagogiques
1. Le point sur les classes précédentes

• En classe de

que la droite passant par les milieux de deux côtés d’un
triangle est parallèle au troisième côté de ce triangle.
Cette activité met en évidence, sous forme de dialogues,
les différentes phases de recherche lors de la résolution
d’un problème. Cela permet à l’élève de s’investir dans
la démonstration et donne aussi du sens et du rythme
à la séance.
La démonstration qui est basée sur le calcul de l’aire d’un
triangle fait appel à la notion suivante : chaque médiane
d’un triangle le partage en deux triangles de même aire.
Cette notion vue en 5e peut-être réactivée si on le souhaite avec les exercices 3 et 4 du questionnaire « Je vérifie mes acquis » p. 191.
Enfin cette activité qui favorise les échanges au sein de la
classe, laisse une grande liberté de rédaction. L’activité 3
BC
qui démontre l’égalité IJ =
est elle aussi ouverte.
2
Encore une fois les échanges au sein de la classe
devraient faire vivre cette activité et le degré d’exigence
concernant la rédaction peut être, là aussi, adapté selon
le niveau de la classe.
L’activité 4 permet de réinvestir dans une situationproblème les propriétés que l’on vient de démontrer.
La réponse à la question posée devrait être assez « naturelle » pour une majorité d’élèves. La justification de
cette réponse est complexe, ce sera l’occasion d’utiliser
les propriétés de la droite des milieux dans le cadre de
la résolution d’un problème et non dans le cadre d’une
application vide de sens.

6e,

l’élève a appris à :
– Tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la
parallèle à une droite donnée.
(Il est seulement attendu des élèves qu’ils sachent utiliser en situation ces notions, notamment pour la
reconnaissance de deux droites parallèles ou pour leur
tracé.)
– Construire une figure simple à l’aide d’un logiciel de
géométrie dynamique.
– Comparer géométriquement des aires.
– Déterminer l’aire d’une surface à partir d’un pavage
simple.
– Calculer l’aire d’un triangle rectangle, d’un triangle
quelconque dont une hauteur est tracée.
– Construire, à la règle et au compas, un triangle connaissant les longueurs de ses côtés.
En classe de 5e, l’élève a appris à :
– Connaître et utiliser une définition et les propriétés
(relatives aux côtés, aux diagonales et aux angles) du
parallélogramme.
– Connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles
formés par deux parallèles et une sécante et
leurs réciproques.
– Connaître et utiliser la définition d’une médiane et
d’une hauteur d’un triangle.
– Calculer l’aire d’un triangle connaissant un côté et la
hauteur associée.
– Calculer l’aire d’une surface plane ou celle d’un solide,
par décomposition en surfaces dont les aires sont facilement calculables.





3. Triangle : un milieu et une parallèle

• L’activité 5 propose de mettre en évidence, puis de
démontrer que la droite passant par le milieu d’un côté
et parallèle à un autre côté d’un triangle passe par le
milieu du troisième côté de ce triangle.
La démonstration fait appel aux propriétés vues auparavant pour prouver qu’une figure est fausse.
La démonstration utilise aussi la propriété : deux droites
parallèles qui ont un point commun sont confondues.
Le problème de construction proposé à l’activité 6 permet de donner du sens à la propriété démontrée précédemment. Pour les élèves très rapides on pourra proposer
la variante suivante à ce problème: Une fois construits les
milieux I et J des côtés [AB] et [AC], construire le milieu K
de [BC] en utilisant uniquement le compas.

2. Triangle : milieux de deux côtés
Nous avons pris le parti de mener les démonstrations
des propriétés de ce chapitre en utilisant les aires.
L’activité 1 a deux objectifs :
– Découvrir de manière expérimentale à l’aide d’un logiciel de géométrie la propriété de la droite des milieux.
– Préparer la démonstration, proposée à l’activité 2, de
cette propriété.
On fera formuler lors de la synthèse la relation entre les
longueurs AB et IJ en utilisant successivement les mots
« moitié » et « double ».
Les élèves sont amenés à l’activité 2, à démontrer







1

4. Savoir-faire

les exercices 46 à 50 page 202, l’exercice 62 page 203 et
l’exercice 74 page 205.
Ces problèmes peuvent être traités soit avec les instruments de géométrie soit avec un logiciel.
L’exercice 76 p. 206 met en évidence le théorème de
Varignon.
On pourra dans un premier temps utiliser un logiciel de
géométrie pour découvrir de manière expérimentale ce
théorème. Si on laisse une autonomie aux élèves leurs
démonstrations devraient utiliser des propriétés différentes du parallélogramme.
En classe de 5e on a étudié les points d’intersection
des hauteurs et des médianes d’un triangle, mais on
ne pouvait, à ce stade, prouver ces propriétés. Maintenant que l’on dispose des propriétés de « la droite des
milieux », les exercices 82 et 83 page 206, proposent une
démonstration de chacune des propriétés précédentes.
Le défi 85 page 207 devrait être relevé assez facilement avec l’aide d’un logiciel.
Le défi 84 page 207 est lui beaucoup plus ardu et il
peut constituer le sujet d’une narration de recherche
étalée dans le temps.
Enfin le thème de la tâche complexe, très proche de
la vie courante devrait intéresser tous les élèves et plus
encore ceux qui aiment les bijoux.

Ils sont consacrés à :
calculer une longueur (l’énoncé 1) ;
utiliser la bonne propriété (l’énoncé 2) ;
établir les conditions d’application d’une propriété
(l’énoncé 3).
Ces deux derniers énoncés sont l’occasion d’effectuer un
travail sur les données nécessaires à l’application d’un
théorème et les conséquences qui en découlent.
Ces exercices où les questions s’enchaînent ont pour but
d’amener l’élève à réaliser, dès la rubrique « Exercices
de base », ces enchaînements de manière autonome ;
conjecturer avec GeoGebra (l’énoncé 4).
On conjecture puis on démontre ici que l’image d’un
triangle équilatéral par une homothétie de rapport 0,5
est un triangle équilatéral (sans le formuler ainsi bien
sûr).













5. Compléments



• Les exercices 26 à 28 page 200 et l’exercice 75

page 205 réinvestissent dans un cadre plus complexe
le théorème de Pythagore.
Des problèmes de construction sont proposés tout
au long du chapitre et l’on peut signaler en particulier





2

Corrigés
1. Devinettes

• Dans un triangle, la longueur du segment qui joint les
milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

• Devinette*
1;2;3
1;4;7
1 ; 8 ; 15
1 : 16 ; 31

2 a.

A



D I

1 ; 128 ; 255

h

• Devinette**

B

On peut voir 16 triangles de côté 1 ; 7 triangles de côté
2 ; 3 triangles de côté 3 et 1 triangle de côté 4 soit au
total 27 triangles.

J

E
h’
C

On suppose que h = h’.
Les droites (DB) et (EC) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (DE), elles sont donc parallèles.
Le quadrilatère non croisé DECB a alors deux côtés
opposés parallèles et de même longueur donc c’est un
parallélogramme.
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont deux à
deux parallèles, donc les droites (DE) et (BC) sont parallèles. D’où (IJ) // (BC).
aire de BAJ
aire de CAI
b. • Aire de BIJ =
et aire de CIJ =
.
2
2
aire de ABC
De plus aire de CAI = aire de BAJ =
.
2
Donc aire de BIJ = aire de CIJ.
IJ × h
IJ × h'
• Aire de BIJ =
et aire de CIJ =
donc
2
2
IJ × h IJ × h’ et h = h’.
=
2
2
c. Les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de
deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
3 a. Aire de BJC = aire de ABJ = aire de ABC .
2
aire de ABJ
b. Des égalités : aire de BIJ =
et
2
aire de BJC = aire de ABJ on tire une nouvelle égalité :
aire de BJC
aire de BIJ =
2
BC × h
IJ × h
c. On a : aire de BIJ =
et aire de BJC =
.
2
2
aire de BJC
Comme aire de BIJ =
.
2
IJ × h BC × h
Donc 2 ×
=
.
2
2
BC × h
BC
D’où IJ × h =
et donc IJ =
.
2
2
d. Dans un triangle, la longueur du segment qui joint
les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

2. Je vérifie mes acquis
1. Bonne réponse : b.
2. Bonne réponse : c.
3. Bonne réponse : a.
4. Bonne réponse : b.
Une médiane d’un triangle partage ce triangle en deux
triangles de même aire.
5. Bonne réponse : a.
6. a. 14,1 cm
b. 6,4 cm
c. 4,7 cm
7. 1. a. 36 cm b. 78 cm
c. 15,2 cm d. 9,6 mm
e. 33,4 mm
2. a. 23 cm
b. 44,5 cm c. 4,1 cm
d. 2,8 m
e. 189 dm

3. Activités
1 a. et b.

La longueur BC semble être le double de la longueur IJ
ou la longueur IJ semble être la moitié de la longueur
BC.
c. Les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
d. Les observations précédentes se confirment lorsque
l’on déplace les points A, B et C.
Il semble donc que l’on a les deux propriétés suivantes :
• Dans un triangle, si une droite passe par les milieux
de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.

4 • Dans le triangle ABC, J est le milieu de [AC] et K
est le milieu de [BC] donc (JK) // (AB).
• Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et K est le
milieu de [BC] donc (IK) // (AC).

3

3 a. I et J sont les milieux de [MN] et [MP], donc
(IJ) // (NP).
b. Dans le triangle IJF, E est le milieu de [IF] et (IJ) // (EP),
donc (EP) coupe [JF] en son milieu et G est le milieu de
[JF].
4 • K est le symétrique de E par rapport à H donc H est
le milieu de [EK].
• EFGH est un parallélogramme donc les droites (EF) et
(HG) sont parallèles.
• Dans le triangle EFK, H est le milieu de [EK] et
(HG) //  (EF), donc (HG) coupe [FK] en son milieu et L est
le milieu de [FK].
5 • Dans le triangle PAS, [AU] est la médiane issue de
A donc U est le milieu de [PS].
• Dans le triangle PAS, U est le milieu de [PS] et
(UV) // (AS), donc (UV) coupe [AP] en son milieu et V est
le milieu de [AP].

• (JK) // (AB) et (IK) // (AC) donc le quadrilatère AIKJ est
un parallélogramme.
• AIKJ est un parallélogramme donc aire de IJK = Aire
AIJ.
aire de ABJ
• De plus : aire de AIJ =
et
2
aire de ABC
aire de ABJ =
2
aire de ABC
donc aire de AIJ =
.
4
Comme aire de IJK = aire de AIJ on a donc :
aire de ABC
aire de IJK =
.
4
1
L’aire du triangle IJK représente de l’aire du triangle
4
ABC.
5 a. Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J

est le milieu de [AC] donc les droites (IJ) et (BC) sont
parallèles.
b. Les droites (d) et (IJ) sont parallèles.
En effet, (d) // (BC) et (IJ) // (BC).
Or si deux droites sont parallèles à une même droite,
alors elles sont parallèles.
c. Axel s’est trompé dans sa construction. En effet,
(d) et (IJ) sont deux droites parallèles qui ont un point
commun I : elles sont donc confondues et le point J
appartient donc à la droite (d).
On peut formuler une nouvelle propriété à savoir : dans
un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et
est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le troisième
côté en son milieu.

5. Socle commun de 4e
6 a. Dans le triangle IJK, R est le milieu de [IK] et S est
le milieu de [IJ].
Or dans un triangle, si une droite passe par les milieux
de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
Donc les droites (RS) et (JK) sont parallèles.
b. De même dans le triangle IJK, T est le milieu de [JK]
et S est le milieu de [IJ]. Donc les droites (ST) et (IK) sont
parallèles.
c. De même dans le triangle IJK, T est le milieu de [JK] et
R est le milieu de [IK]. Donc les droites (TR) et (IJ) sont
parallèles.
7 1. a. Dans le triangle ABC, D est le milieu de [AC] et
E est le milieu de [BC].
Or dans un triangle, si une droite passe par les milieux
de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
Donc les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
b. De même dans le triangle CDE, F est le milieu de [CD]
et G est le milieu de [CE].
Donc les droites (FG) et (DE) sont parallèles.
c. (AB) // (DE) et (FG) // (DE) donc (AB) // (FG).
En effet, si deux droites sont parallèles à une même
droite, alors elles sont parallèles entre elles.
8 a. Dans le triangle RST, E est le milieu de [RS] et F est
le milieu de [RT].
Or, dans un triangle la longueur du segment qui joint
les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
ST 9
= = 4,5 .
Donc EF =
2
2
Donc EF = 4,5 cm.
b. Dans le triangle EFT, S est le milieu de [ET] et R est le
milieu de [TF].
Or, dans un triangle la longueur du segment qui joint
les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.

6 a. et b.
A
J

I
K
B

c. • Construire le milieu I de [AB]
• Tracer la parallèle à (BC) passant par I.
Cette droite coupe (AC) en J.
• Tracer la parallèle à (AC) passant par I. Cette droite
coupe (BC) en K.

4. Je m’exerce
• M et N sont les milieux de [K I ] et [K J ], donc
1
MN = IJ = 0,75 cm.
2
• I et J sont les milieux de [TR] et [SR],
donc ST = 2 × IJ = 3 cm.
2 Myriam a raison. En effet : I et J sont les milieux de
[AB] et [AC], donc (IJ) // (BH). Dans le triangle ABH, I est
le milieu de [AB] et (IJ) // (BH), donc (IJ) coupe [AH] en
son milieu, et K est le milieu de [AH].
1

4

Donc EF = 2 × SR = 2 × 2,8 = 5,6.
EF = 5,6 cm.

a. GE = 5 cm
d. CE = 6 cm

a. Dans le triangle ABC, K est le milieu de [AB] et L
est le milieu de [AC]. Or dans un triangle la longueur du
segment qui joint les milieux de deux côtés est égale à
la moitié de la longueur du troisième côté.
BC 4
= = 2 . Donc KL = 2 cm.
Donc KL =
2
2
b. De même dans le triangle ABC, M est le milieu de [BC]
et L est le milieu de [AC].
Donc AB = 2 × ML = 2 × 1,5 = 3. Donc AB = 3 cm.
c. On ne peut pas calculer la longueur KM.
Pour calculer KM, il faudrait connaître la longueur AC.

Périmètre de ABC : 7,5 cm.
Périmètre de IJK : 3,75 cm.
Périmètre de RST : 15 cm.

6. Exercices d’application
15 a. Non. En effet, B n’est pas forcément le milieu de
[PN].
b. Dans le triangle ABC, O est le milieu de [AC] et P est le
milieu de [BC]. Or dans un triangle, si une droite passe par
les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté. Donc les droites (OP) et (AB) sont parallèles.
c. Non. En effet O et P ne sont pas les milieux de deux
côtés d’un triangle.
d. Dans le triangle MOP, A est le milieu de [MO] et B est
le milieu de [MP]. Or dans un triangle, si une droite passe
par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au
troisième côté. Donc les droites (AB) et (OP) sont parallèles.

N

m

4c

m
5 cO

M

P

J
6 cm

c. AF = 12 cm
f. HB = 2 cm

14

9

10

b. AB = 2,5 cm
e. GC = 4 cm

13

16

a.

R

On construit le milieu J de [MP].
La droite (OJ) est la parallèle à (NP) passant par O.

A

EF = 2 × MO = 2 × 3 = 6. Donc EF = 6 cm.
DF = 2 × MN = 2 × 3,65 = 7,3. Donc DF = 7,3 cm.
11

S

F

b. Dans le triangle RST, la médiane issue de R coupe (ST)
en B donc B est le milieu de [ST].
Dans le triangle RST, A est le milieu de [RS] et B est le
milieu de [ST].
Or dans un triangle, si une droite passe par les milieux
de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
Donc les droites (AB) et (RT) sont parallèles.

3,65 cm

N
O

E

3 cm

M m
8c
D

17

Dans le triangle ABC, J est le milieu de [AC] et K est
le milieu de [BC] donc (JK) // (AB).
De plus J et K sont deux points de (d2) donc les droites
(AB) et (d2) sont parallèles.
On construit donc la parallèle à (d2) passant par A. Cette
droite coupe (d1) en B.
Le point C est alors le symétrique de B par rapport à K.
12

C
(d2)

A
D
B

C

E

Yanis a raison.
En effet, E est le symétrique de A par rapport à C donc
C est le milieu de [AE].
Dans le triangle ABE, D est le milieu de [AB] et C est le
milieu de [AE].
Or dans un triangle, si une droite passe par les milieux
de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
Donc les droites (DC) et (BE) sont parallèles.

(d1)
J

T

B

K
A
B

5

18

a.

ses côtés opposés parallèles, c’est donc un parallélogramme.

M

A

A

B

C
N

b. • [MC] est un diamètre du cercle de centre A donc A
est le milieu de [MC].
• De même [MD] est un diamètre du cercle de centre B
donc B est le milieu de [MD].
• Dans le triangle MCD, A est le milieu de [MC] et B est
le milieu de [MD].
Or dans un triangle, si une droite passe par les milieux
de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
Donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
19 • Dans le triangle ABC, E est le milieu de [BC] et D est
le milieu de [BA].
Or dans un triangle, si une droite passe par les milieux
de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
Donc les droites (ED) et (AC) sont parallèles.
• De même dans le triangle DEF, H est le milieu de [EF]
et G est le milieu de [FD] donc les droites (HG) et (ED)
sont parallèles.
• Les droites (HG) et (CA) sont toutes les deux parallèles
à la droite (ED), elles sont donc parallèles.
20 a.

B
22

J

a.

A

B

E

F

C

ADFE semble être un losange.
b. • Dans le triangle ABC, D est le milieu de [AB] et F est
le milieu de [BC] donc (DF) // (AC).
• Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AC] et F est le
milieu de [BC] donc (EF) // (AB).
• (DF) // (AE) et (EF) // (AD), le quadrilatère ADFE a ses
côtés opposés parallèles donc c’est un parallélogramme.
• ABC est un triangle isocèle en A donc AB = AC.
AB
D est le milieu de [AB] donc AD =
.
2
AC
E est le milieu de [AC] donc AE =
.
2
AB AC
D’où AD =
=
= AE. Donc AD = AE.
2
2
• Le parallélogramme ADFE a deux côtés consécutifs de
même longueur donc c’est un losange.
23 Le triangle MER est isocèle en M donc
ME = MR = 9 cm.
RE = 28 – MR – ME = 28 – 9 – 9 = 10.
Donc RE = 10 cm.
RE 10
AB =
= 5. Donc AB = 5 cm.
=
2
2
RM 9
= = 4,5. Donc AC = 4,5 cm.
AC =
2
2
EM 9
BC =
= = 4,5. Donc BC = 4,5 cm.
2
2
24 On note G, S, Y , L et B les positions respectives de
Guillaume, Samir, Yoann, Lucas et du ballon.
Dans le triangle BGL, S est le milieu de [GB] et Y est le
milieu de [LB].
Or, dans un triangle la longueur du segment qui joint
les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
GL 2 × 9,15
=
= 9,15 .
Donc SY =
2
2
Donc SY = 9,15 m.
La distance qui sépare Samir de Yoan est 9,15 m.

F

(d)

C

K

D

I

E

J

I

D

K

b. • Dans le triangle IJK, E est le milieu de [IJ] et F est le
milieu de [IK].
Or dans un triangle, si une droite passe par les milieux
de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
Donc les droites (EF) et (JK) sont parallèles.
• Dans le triangle IJK, (d) est la hauteur issue de I donc
les droites (d) et (JK) sont perpendiculaires.
• (EF) // (JK) et (d) ⊥ (JK) donc les droites (EF) et (d) sont
perpendiculaires. En effet, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire
à l’autre.
21 Dans le triangle ABC, J est le milieu de [AC] et K est
le milieu de [BC] donc (JK) // (AB).
De même, I est le milieu de [AB] et K est le milieu de [BC]
donc (IK) // (AC).
(JK) // (AI) et (IK) // (AJ), donc le quadrilatère AIKJ a
6

25

a. Échelle ½.

Or, dans un triangle la longueur du segment qui joint
les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
Donc GE = 2 × HD = 2 ×26,5 = 53. Donc GE = 53 cm.
• Dans le triangle EFG, [GE] est le côté le plus long.
GE2 = 532 = 2 809 ;
GF2 + FE2 = 282 + 452 = 784 + 2 025 = 2 809.
Ainsi l’égalité de Pythagore GE2 = GF2 + FE2 est vérifiée
donc le triangle EFG est rectangle en F.

E

B

4c

m

F

A

C

22 cm

29

D

50 cm

B

cm
15 E

A
I

F

H
G

D

60 cm

b. E est le symétrique de A par rapport à B donc B est le
milieu de [AE] et AE = 2 × AB = 2 × 4 = 8. Donc AE = 8 cm.
F est le symétrique de A par rapport à C donc C est le
milieu de [AF].
Dans le triangle AEF, B est le milieu de [AE] et C est le
milieu de [AF].
Or, dans un triangle la longueur du segment qui joint
les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
Donc EF = 2 × BC = 2 × 4 = 8. Donc EF = 8 cm.
AE = EF donc le triangle AEF est isocèle en E.
26 • Le triangle FED est rectangle en E donc l’égalité de
Pythagore donne : FD2 = FE2 + ED2.
Soit FD2 = 242 + 72 = 576 + 49 = 625.
Et donc FD = 25 cm.
• Dans le triangle DGF, I est le milieu de [GF] et H est le
milieu de [GD].
Or, dans un triangle la longueur du segment qui joint
les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
DF 25
=
Donc HI =
= 12,5.
2
2
Donc HI = 12,5 cm.
27 • Le triangle ABC est rectangle en B donc d’après
l’égalité de Pythagore : AC2 = AB2 + BC2.
Soit 1002 = AB2 + 802. D’où 10 000 = AB2 + 6 400.
Donc AB2 = 10 000 – 6 400 = 3 600 et AB = 60.
Donc AB = 60 m.
• Dans le triangle ABC, D est le milieu de [AC] et E est le
milieu de [AB].
Or, dans un triangle la longueur du segment qui joint
les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
BC 80
=
Donc DE =
= 40.
2
2
Donc DE = 40 m.
• La longueur L de la clôture est :
L = CD + DE + EB + BC
L = 100 + 40 + 60 + 80 = 200.
2
2
La longueur de la clôture est 200 m. Martine a acheté
suffisamment de clôture.
28 • Dans le triangle CGE, D est le milieu de [CE] et H
est le milieu de [CG].

C

• AB = AD = 15 cm
• BC = CD = 50 cm
• AC = 60 cm
• BD = 22 cm
60 cm
• EF = IH =
= 30 cm
2
22 cm
• EI = FH =
= 11 cm
2
• Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB] et F est le
milieu de [BC], donc (EF) // (AC).
De même, (IH) // (AC), donc (IH) // (EF).
• On montre de même que (EI) // (BD) // (FH).
• Or (AC) ⊥ (BD), donc (EF) ⊥ (FH) et le parallélogramme
EFHI est un rectangle.
• D’après l’égalité de Pythagore dans EFG :
EG2 = EF2 + FG2 = 302 + 5,52 = 930,25
et EG = IG = 30,5 cm.
• La longueur totale des tiges de bambou est :
2 × 15 cm + 2 × 50 cm + 60 cm
+ 22 cm + 2 × 11 cm + 2 × 30 cm + 2 × 30,5 cm
c’est-à-dire 3,55 m.
30 a. Non. En effet, la parallèle ne passe pas par I.
b. Oui. Dans le triangle ACD, K est le milieu de [CD], (IK)
est parallèle à (AD) et IK coupe [AC] en I.
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc I est le milieu de [AC].
7

31 a. Dans le triangle ABC, E est le milieu de [AB], (EF)
est parallèle à (BC) et F est un point de [AC].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc F est le milieu de [AC].
b. De même, dans le triangle ABD, E est le milieu de [AB],
(EG) est parallèle à (AD) et G est un point de [BD].
Donc G est le milieu de [BD].
32

a.

Dans le triangle FGH, K est le milieu de [GH], (KL) est
parallèle à (FG) et L est un point de [FH].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc L est le milieu de [FH].
 et OMN
 sont donc des angles cor35 • Les angles KLN
respondants de même mesure donc les droites (KL) et
(OM) sont parallèles.
• Dans le triangle KLN, M est le milieu de [LN], (OM) est
parallèle à (KL) et O est un point de [KN].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc O est le milieu de [KN].
36 • Dans le triangle DEF, M est le milieu de [DE] et N
est le milieu de [DF].
Or dans un triangle, si une droite passe par les milieux
de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
Donc les droites (MN) et (EF) sont parallèles.
• Dans le triangle DEO, M est le milieu de [DE] , (MP) est
parallèle à (EO) et P est un point de [DO].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc P est le milieu de [DO].
37 a.
A

A
E
C

B

F

b. Dans le triangle ABF, E est le milieu de [AB] , (EC) est
parallèle à (BF) et C est un point de [AF].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc C est le milieu de [AF].
33

a.

M

I

R

E
S

B

N

a.

G
K

F

L

N x

J

C

b. • Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est
le milieu de [AC].
Or dans un triangle, si une droite passe par les milieux
de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
Donc les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.
• Dans le triangle ABN, I est le milieu de [AB], (IM) est
parallèle à (BN) et M est un point de [AN].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc M est le milieu de [AN].
38 a. Dans le triangle BEC, D est le milieu de [BC], (FD)
est parallèle à (EC) et F est un point de [BE].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc F est le milieu de [BE].
b. Dans le triangle AFD, M est le milieu de [AD] , (EM) est
parallèle à (FD) et E est un point de [AF].

b. N est le symétrique de M par rapport à E donc E est
le milieu de [MN]
Dans le triangle MNR, E est le milieu de [MN], (ES) est
parallèle à (MR) et S est un point de [NR].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc S est le milieu de [NR].
34

M

H

b. Dans le triangle FGH, [FK] est la médiane issue de F
donc K est le milieu de [GH].
8

Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc E est le milieu de [AF].
c. F est le milieu de [BE] donc BF = FE .
E est le milieu de [AF] donc AE = EF.
Finalement AE = EF = FB.
39 a.
A

Or, dans un triangle la longueur du segment qui joint
les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
Donc UT = 2 × QR = 2 × 6 = 12.
Donc UT = 12 cm.
42 a.
C

N

M

N
A

B

C

H

b. • Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] , (MN)
est parallèle à (BC) et N est un point de [AC].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc N est le milieu de [AC].
AB 4
= = 2.
• M est le milieu de [AB] donc AM =
2
2
Donc AM = 2 cm.
AC 6
= = 3.
N est le milieu de [AC] donc AN =
2
2
Donc AN = 3 cm.
• Aire de AMN = AM × AN = 2 × 3 = 3 .
2
2
Donc l’aire du triangle AMN est 3 cm2.
43 a.

b. • (AH) ⊥ (BC) et (AH) ⊥ (MN) donc (MN) // (BC).
En effet, si deux droites sont perpendiculaires à une
même droite, alors elles sont parallèles.
• Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB], (MN) est
parallèle à (BC) et N est un point de [AC].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc N est le milieu de [AC].
40 a.
M

I

L

N

J

O

B

M

M
I

K

b. • M est le symétrique de L par rapport à I donc I est
le milieu de [ML].
• IJKL est un parallélogramme donc les droites (IJ) et
(LK) sont parallèles.
• Dans le triangle MLO, I est le milieu de [ML], (IN) est
parallèle à (LO) et N est un point de [MO].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc N est le milieu de [MO].
41 • Dans le triangle SUT, R est le milieu de [ST] , (RQ)
est parallèle à (UT) et Q est un point de [SU].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc Q est le milieu de [SU].
SU 15
=
= 7,5 .
• Q est le milieu de [SU] donc SQ =
2
2
Donc SQ = 7,5 cm.
• Dans le triangle SUT, R est le milieu de [ST] et Q est le
milieu de [SU].

K

J

L

b. • Dans le triangle KLM, [KL] est le côté le plus long.
KL2 = 132 = 169 ;
KM2 + ML2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169.
Ainsi l’égalité de Pythagore KL2 = KM2 + ML2 est vérifiée
donc le triangle KLM est rectangle en M.
Donc les droites (KM) et (ML) sont perpendiculaires.
• (KM) ⊥ (ML) et (KM) ⊥ (IJ) donc (ML) // (IJ).
En effet, si deux droites sont perpendiculaires à une
même droite, alors elles sont parallèles.
• Dans le triangle KLM, I est le milieu de [KM], (IJ) est
parallèle à (ML) et J est un point de [KL].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu. Donc J est le milieu de [KL].
c. Dans le triangle KLM, I est le milieu de [KM] et J est le
milieu de [KL].
9

Or dans un triangle la longueur du segment qui joint
les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
ML 5
= = 2,5 .
Donc IJ =
2
2
Donc IJ = 2,5 cm.
1 347
44 a.
= 673,5. La distance à vol d’oiseau entre
2
Lyon et Dusseldorf est 673,5 km.

48

C

(d)

O

B
N
M
A

b. 386 × 2 = 772. La distance à vol d’oiseau entre Madrid
et Nantes est 772 km.
c. 1 347 – 772 = 575. La distance à vol d’oiseau entre
Nantes et Birmingham est 575 km.
d. 673,5 – 386 = 287,5. La distance à vol d’oiseau entre
Metz et Dusseldorf est 287,5 km.

b. Avec la règle et l’équerre, on trace la parallèle (d) à
(AB) passant par N, cette droite coupe le segment [BC] en
O. Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu
d’un côté et est parallèle à un autre côté alors elle coupe
le troisième côté en son milieu.
Donc O est le milieu de [BC].

45 Ce menuisier doit placer le milieu I de [AC], puis
tracer le segment [MI].
Son tracé sera ainsi matérialisé par le segment [MI].
46

a.

A

49

J

I

K

a.
B

Construire la parallèle à (AI) passant par J puis la parallèle à (AJ) passant par I.
K est le point d’intersection de ces deux droites.
50 Première méthode

I

(d 1)

A

E

M

b.

N

A

(d 2)

O
F

I

(d 3)
B

47

D

Construire la parallèle (d1) à (MO) passant par N.
Construire la parallèle (d2) à (NO) passant par M.
Construire la parallèle (d3) à (MN) passant par O.
D est le point d’intersection des droites (d2) et (d3).
E est le point d’intersection des droites (d1) et (d2).
F est le point d’intersection des droites (d1) et (d3).
Deuxième méthode

a.
R
A
C
S

B

(d 1)

T

E

b. Le cercle de centre R et de rayon AB coupe le segment
[RT] en son milieu C.
Dans le triangle RST, A est le milieu de [RS] et B est le
milieu de [ST].
Or dans un triangle la longueur du segment qui joint
les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
RT
Donc AB =
= RC.
2

M

D

N

O

F

Construire la parallèle (d1) à (NO) passant par M.
Construire le cercle de centre M et de rayon NO.
Ce cercle coupe (d1) en E et D.
Construire le point F intersection des droites (EN) et (DO).
10

51 Vrai. En effet, on a :
BC = 2 × IJ ; AB = 2 × JK et CA = 2 × KI.
Périmètre de ABC = AB + BC + CA
= 2 × JK + 2 × IJ + 2 × KI
= 2 × (JK + IJ + KI)
= 2 × Périmètre de IJK
52 Vrai. En effet, on a vu à l’exercice n° 21 que le quadrilatère ARTS est un parallélogramme.
Les diagonales [AT] et [RS] du parallélogramme ARTS se
coupent donc en leur milieu.
53 Faux. En effet, sur la figure ci-dessous le point B de
la droite (MP) vérifie bien
NP
AB =
mais B n’est pas le milieu du segment [MP].
2

Donc G est le milieu de [AD].
• De même dans le triangle ADE, G est le milieu de [AD] ,
(FG) est parallèle à (DE) et F est un point de [AE].
Donc F est le milieu de [AE].
• Dans le triangle ACE, B est le milieu de [AC] et F est le
milieu de [AE].
Or dans un triangle, si une droite passe par les milieux
de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
Donc les droites (BF) et (CE) sont parallèles.
59 a. • Dans le triangle AEG, B est le milieu de [AE] et C
est le milieu de [AG].
Or dans un triangle la longueur du segment qui joint
les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
EG 17
=
Donc BC =
= 8,5.
2
2
Donc BC = 8,5 cm.
b. • Dans le triangle AEF, B est le milieu de [AE], (BD) est
parallèle à (EF) et D est un point de [AF].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc D est le milieu de [AF].
• Dans le triangle AEF, B est le milieu de [AE] et D est le
milieu de [AF].
Donc EF = 2 × BD = 2 × 3 = 6.
Donc EF = 6 cm.
c. F  [EG] donc FG = EG – EF = 17 – 6 = 11.
Donc FG = 11 cm.
d. D  [BC] donc DC = BC – BD = 8,5 – 3 = 5,5.
Donc DC = 5,5 cm.
60 Numa a raison.
Pour être certain que J est le milieu de [AC], Louise doit
préciser que J est un point de [AC].
61 Dans le triangle ABC, M est le milieu de [AB] et N
est le milieu de [AC] donc les droites (MN) et (BC) sont
parallèles.
 et ABC
 sont donc des angles corresLes angles AMN
pondants de même mesure.

M
B
A

N
54

P

Vrai.
A

B

M

O
D

C

N

En effet, on note O le centre du parallélogramme ABCD.
• Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en
leur milieu donc O est le milieu de [AC].
• Dans le triangle ACM, O est le milieu de [AC], (BO) est
parallèle à (MC) et B est un point de [AN].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc B est le milieu de [AM].
• On montre de même en se plaçant dans le triangle ACN
que D est le milieu de [AN].
55 88 cm
56 12 cm2
57 Or dans un triangle la longueur du segment qui joint
les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
BC
Donc IJ =
.
2
58 • Dans le triangle ACD, B est le milieu de [AC], (BG)
est parallèle à (CD) et G est un point de [AD].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.

62

A

(d)

C

I

(d1)

B

J

K

O

M

• Placer un point M sur (d).
• Construire le milieu K de [AM].
• Tracer par K la parallèle (d1) à (d).
• La droite (d1) coupe le cercle en deux points I et J.
• La demi-droite [AI) coupe (d) en B ; la demi-droite [AJ)
coupe (d) en C.
11

BC = 2 × IJ = 2 × 3 = 6. Donc BC = 6 cm.
AC = 2 × KI = 2 × 2,5 = 5. Donc AC = 5 cm.
Programme de construction
• Construire un segment [BC] tel que BC = 6 cm.
• Placer le milieu K de [BC].
• Construire le cercle de centre K et de rayon 4,5 cm.
• Construire le cercle de centre C et de rayon 5 cm.
• Noter A un des points d’intersection de ces deux cercles.
• Tracer le triangle ABC.
75 • E et F sont les milieux de [BC] et [CD], donc
BD = 2FE = 2 × 3 cm = 6 cm.
• AB2 = BD2 – AD2 = 62 – 4,82 = 12,96. Donc AB = 3,6 cm.

Justification
• Dans le triangle AMB, K est le milieu de [AB], (IK) est
parallèle à (BM) et I est un point de [AB].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc I est le milieu de [BM].
• On montre de même en se plaçant dans le triangle AMC
que J est le milieu de [AC].

7. QCM pour s’évaluer
63

b.

69

a. b. c.

64

a.

65
70

c.

66

c.

67

b.

68

a. b. c.

a. c.

9. Exercices d’approfondissement

8. Je me prépare au contrôle

A

76

a. D et E sont les milieux de [AB] et [AC].
Donc BC = 2 × DE = 2 × 7,5 cm = 15 cm
b. F et G sont les milieux de [BC] et [BE].
1
1
Donc GF = EC = × 7 cm = 3,5 cm.
2
2
72 a.
71

A

B

IJKL semble être un parallélogramme.
Démonstration
• Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J est le
milieu de [BC] donc (IJ) // (AC).
• Dans le triangle DAC, K est le milieu de [DC] et L est le
milieu de [DA] donc (LK) // (AC).

E
C

b. Dans le triangle BDE, O est le milieu de la diagonale
[BD] et (AO) est parallèle à (BE), donc (AO) coupe le côté
[BE] en son milieu et C est le milieu de [DE].
73 a.
A

• Les droites (IJ) et (LK) sont toutes les deux parallèles à
la droite (AC), elles sont donc parallèles.
• On montre de même que, dans les triangles ABD et
BCD, on a (IL) // (BD) et (JK) // (BD). Donc (IL) // (BD).
• Le quadrilatère IJKL a donc ses côtés opposés parallèles
donc c’est un parallélogramme.
77 a. MNO est rectangle en M.
b. MNO est isocèle en M.
c. MNO est rectangle et isocèle en M.
78 M doit être le milieu de [ST].
En effet, on peut tenir le raisonnement suivant.
• Dans le triangle RST, M est le milieu de [TS], (MN) est
parallèle à (SR) et N est un point de [RT].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc N est le milieu de [RT].
• On montre de même que P et Q sont les milieux respectifs des segments [RS] et [ST].
Donc les points M et Q sont bien confondus.
79 • Dans le triangle ABK, I est le milieu de [AB] et J est
le milieu de [AK].

I
J

C

(d)

b. Il semble que (d) ⊥ (IJ).
c. I et J sont les milieux de [AB] et [AC] donc (IJ) // (BC).
Or (d) ⊥ (BC), donc (d) ⊥ (IJ).
74

A

J

I

B

K

K
C

O

B

D
J

B

D

L

I

C

Le programme de construction ci-dessous s’appuie sur
les remarques suivantes :
12

• NA = 2 × MO = AB donc NA = AB.
NA = AB donc le triangle ABN est isocèle en A.
Hervé a raison.
Gaël a effectué une figure particulière En effet, par
exemple si AB = 6 cm et BM = 4 cm.
On a alors BN = 8 cm soit AB  BN et le triangle ABN
n’est pas équilatéral.
 mesure 60°.
Sur la figure de Gaël l’angle ABM
82 a. et c

Or dans un triangle, si une droite passe par les milieux
de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
Donc les droites (IJ) et (BK) sont parallèles.
• Dans le triangle CLJ, K est le milieu de [CJ], (KB) est
parallèle à (JL) et B est un point de [CL].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc B est le milieu de [CL].
80 a.
R
V

A

N

P

S

H
B

T

U

I

b. • Dans le triangle ABC, P est le milieu de [AB] et N est
le milieu de [AC].
Or dans un triangle, si une droite passe par les milieux
de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.
Donc les droites (PN) et (BC) sont parallèles.
On montre de même : (MN) // (AB) et (PM) // (AC).
d. (MH) ⊥ (BC) et (PN) // (BC) donc (MH) ⊥ (PN). Ainsi (MH)
est la hauteur de MNP issue de M.
De même, (PH) et (NH) sont les deux autres hauteurs
de MNP.
e. Ainsi, le centre H du cercle circonscrit à ABC est le
point d’intersection des hauteurs du triangle MNP. On
vient de démontrer que les hauteurs d’un triangle sont
concourantes.
83 a.

b. RVUT semble être un parallélogramme.
• Dans le triangle RTU, I est le milieu de [TU], (SI) est
parallèle à (RT) et S est un point de [UR].
Or dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un
côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le
troisième côté en son milieu.
Donc S est le milieu de [UR].
• De même, dans le triangle VTU, I est le milieu de [TU],
(SI) est parallèle à (VU) et S est un point de [VT] donc S
est le milieu de [VT].
• Les diagonales [UR] et [VT] du quadrilatère RVUT se
coupent en leur milieu S donc RVUT est un parallélogramme.
81

C

M

N

A
M

A



O

J
B

B

I

G
K

C
D

b. J est le milieu de [AB] et G est le milieu de [AD].
Donc (GJ) et (BD) sont parallèles. De plus BD = 2GJ.
c. (GI) est parallèle à (DC) et DC = 2GI.
d. (BG) est parallèle à (CD) et (GC) est parallèle à (BD),
donc BGCD est un parallèlogramme.
Ses diagonales se coupent en leur milieu K.
Donc K est le milieu de [BC] et [AK] est la troisième
médiane de ABC.
2
e. BG = 2GI donc BG = BI.
3
2
2
De même : CG = CJ et AG = AK.
3
3
f. On vient de démontrer que les médianes d’un triangle
sont concourantes en un point situé aux deux tiers de
chacune d’elles en partant de chaque sommet.

• [AB] est un diamètre d’un cercle  de centre O donc O
est le milieu de [AB].
N est le symétrique de B par rapport à M donc M est le
milieu de [BN].
Dans le triangle ABN, O est le milieu de [AB] et M est le
milieu de [BN].
Or dans un triangle la longueur du segment qui joint
les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
Donc NA = 2 × MO.
• M est un point du cercle  de centre O et de diamètre
[AB] donc AB = 2 × MO.
13

84

A

Étape 1

Étape 6
On construit le point L tel que GL = FL = AL.
L est le milieu de [AF].

B
C

F
B

A

G
D

L
C

Étape 2

E

B

A

E’

C

D

B

A

Étape 7
On construit un point K tel que FK = AB et BK = BE.

Étape 3
On construit le point E tel que A est le milieu de [EB] et
le point E’ tel que B est le milieu de [AE’].

F
C

D

B

A

E

G
D

K

L
C

E’

E

B

A

E’

Étape 4
On construit un point F tel que AF = BF = BE = 2AB.
F

D

C

E

B

A

Étape 8
On construit le point M tel que FM = KM = BM.
M est le milieu de [BF].

E’

F
G
D

Étape 5
On construit un point G tel que FG = AB et AG = BE.

K

M

L
C

E

F

A

B

E’

G
D
C
E
A

B

E’

Étape 9
On construit le point I tel que LI = LF = MF = MI.
FLIM est un losange et I est le milieu de [AB].
14

Démonstration :
Dans le triangle ABO, I est le milieu de [AB] et J est le
milieu de [BO].
Or dans un triangle la longueur du segment qui joint
les milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
OA
Donc JI =
et I est un point du cercle de centre J et de
2
OA
rayon
.
2
86 • En mathématiques le milieu d’un segment est le
point de ce segment situé à égale distance de ses extrémités.
• Dans le domaine de l’écologie, le milieu peut désigner
l’habitat ou plus globalement l’environnement (milieu
rural, milieu urbain, milieu aquatique…).
• Le milieu social d’une ou plusieurs personnes désigne
la condition de ces personnes dans les classes sociales.
• Dans la société, le milieu désigne le crime organisé.
• En football, le milieu de terrain désigne la position d’un
joueur.
• En Chine, le milieu est un des cinq points cardinaux.

F
G
D

K

M

L
C
I

E

B

A

E’

85

B
I
J

A

O

En utilisant le menu Trace d’un logiciel de géométrie,
on conjecture que le point I se déplace sur un cercle de
OA
centre le milieu J de [BO] et de rayon
.
2

15

Tâche complexe : Prendre une décision
La longueur est 31,4 cm (valeur approchée par défaut à
0,1 cm près) soit 0,314 m.
0,314 × 8,57 ≈ 2,69
Le coût par collier est 2,69 e (valeur approchée par
défaut à 0,01 e près).
Chaîne en laiton argenté
32 × 2 + 202 + 2022 = 79
La longueur est 79 cm soit 0,79 m.
0,79 × 5,89 ≈ 4,65
Le coût par collier est 4,65 e (valeur approchée par
défaut à 0,01 e près).
254 = 6,25
La main d’œuvre par collier est de 6,25 e.
4,65 + 2,69 + 6,25 ≈ 13,60
Le coût de fabrication par collier est de 13,60 e (valeur
approchée par excès à 0,01 e près).
Calcul du prix de vente minimal du collier
P désignant le prix de vente pour une part de 32 % des
coûts de fabrication.

Des aides possibles
Aide n° 1 : Quelles longueurs de chaînes faut-il calculer
pour obtenir les coûts de fabrication du collier ?
Aide n° 2 : Faire un schéma du collier, tracer le diamètre
du demi-cercle. Quelle est la longueur de ce diamètre ?
Quelles sont les longueurs des deux parties horizontales
du collier, en laiton argenté ?
Aide n° 3 : Quel serait le prix de vente du collier si les
coûts de fabrication du collier représentaient 32 % de
ce prix de vente.



Quelques commentaires
Il faut prendre du temps pour analyser les documents
2 et 3, repérer les différentes parties du collier.
Il faudra peut-être amener les élèves à ne pas se centrer dans un premier temps sur le prix de vente du collier
et à travailler sur les longueurs des différentes parties
du collier.
Si la partie du collier en laiton doré est facilement
identifiable, la partie en laiton argenté est à étudier plus
précisément : le tracé du diamètre du demi-cercle peut
aider à repérer que les deux segments horizontaux sont
des segments des milieux.
Dégagés dans ce premier temps de l’objectif du calcul
du prix de vente du collier, les élèves vont s’engager
rapidement dans les différents calculs et trouver le
montant des coûts de fabrication. On pourra faire un
point de rencontre des groupes afin qu’ils comparent
leurs résultats. Cet échange pourra permettre d’éliminer
d’éventuelles erreurs d’étourderie, de conversions, de
calculs, de valeurs approchées. On pourra aussi profiter
de ce moment pour utiliser la calculatrice en enchaînant
les calculs et observer si l’on trouve le même résultat
final qu’avec des calculs séparés.
Les coûts de fabrication ayant été trouvés, vient le
calcul du prix de vente minimal du collier. Les élèves
devront traduire « Les coûts de fabrication ne doivent
pas représenter plus de 32 % du prix de vente » par « Les
coûts de fabrication représentent moins de 32 % du prix
de vente ». On peut imaginer que si près du but, les
élèves aient envie de trouver ce prix de vente. Plusieurs
démarches sont possibles : schéma, approximation,
tableau de proportionnalité, éventuellement passage
par le calcul littéral.
La fin de la séance est collective, chaque groupe pourra présenter sa démarche aux autres groupes.
Ce qui peut être fait ensuite : une mise au propre individuelle avec justifications.










Schéma et approximation
13, 60 e



0 %
32 %
100 %
1
32 % ≈
3
13,60 × 3 = 40,8
Remarque : cette démarche n’est pas à rejeter, elle
donne un ordre grandeur assez intéressant : des calculs
plus précis viendront ensuite.
Schéma et calcul
13, 60 e



0 %
32 %
13,6032 × 100 = 42,5

100 %

Tableau de proportionnalité
32 13,6
100

P

32 × P = 100 × 13,6
P = 13632



P = 42,5



Calcul littéral
0,32 × P = 13,60
P = 13,600,32

Une solution
Calcul du coût de fabrication par collier
Chaîne en laiton doré
10 × 2 × π2 ≈ 31,4

P = 42,5



Le prix minimal auquel Héloïse devra vendre son collier
est de 42,50 e.
16


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