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CHA

PITR

2

E

Écritures fractionnaires :
opérations

Choix pédagogiques
TI-Collège Plus
(Mettre NORM en surbrillance)
Au a., pour les deux quotients, on obtient le même affichage (0.000 299 916 02 sur Casio et 0.000 299 916 sur TI).
La définition du quotient permet d’expliquer pourquoi les nombres affichés ne sont pas les valeurs
exactes de ces quotients (90 014 × 0,000 299 916 02 a
pour dernier chiffre de sa partie décimale 8, de même
8 539 057 × 0,000 299 916 02 a pour dernier chiffre de
sa partie décimale 4, est non 0). Donc ces affichages ne
permettent pas de savoir si ces quotients sont égaux
ou non.
Au b., l’idée pour pouvoir dire si ces quotients sont
égaux ou non est alors de les écrire avec le même dénominateur et de comparer ensuite les numérateurs.
On constate ici que les produits 15 × 8 539 057 et
2 561 × 50 014 sont différents. Ce qui permet de dire
que les quotients ne sont pas égaux.
On peut considérer que l’on a démontré sur un exemple
c
a
générique que : « si ad  bc, alors   », c’est-àd
b
a c
dire, en utilisant entre nous la contraposée : « si =  ,
b d
alors ad = bc ».
La question 2. s’intéresse à la réciproque « si ad = bc, alors
a c
=   » à travers deux exemples génériques.
b d
Pour ceux qui le souhaitent, une démonstration de
l’équivalence dans le cas général est proposée à l’exercice 131 page 52.

1. Le point sur les classes précédentes

a
a été défini comme le nombre qui,
b
multiplié par b, donne a.
a
a ainsi été considéré comme un nombre, ce qui perb
met de légitimer par la suite les calculs avec les écritures
fractionnaires.
En classe de 5e :
– la reconnaissance d’écritures fractionnaires différentes
désignant un même nombre a été vue dès la classe de
6e et fait partie des exigibles du socle commun de 5e ;
– les élèves ont appris à additionner et soustraire des
nombres positifs en écriture fractionnaire dans le cas
où les dénominateurs sont les mêmes (exigible dans
le cadre du socle commun de 5e) et dans le cas où un
dénominateur est multiple de l’autre (hors socle de 5e) ;
– la règle de multiplication de deux nombres positifs en
écriture fractionnaire a été vue. Elle ne fait pas partie des
exigibles du socle commun de 5e.



En classe de 6e,



2. Quotients de nombres relatifs
et écritures fractionnaires

• En classe de 4e, les élèves rencontrent pour la 1re fois

des écritures fractionnaires dont le numérateur et le
dénominateur sont des nombres relatifs. La règle des
signes du quotient de deux nombres relatifs a été vue
au chapitre 1. L’activité 1 pourra être proposée comme
travail de groupe. Les élèves doivent mobiliser leurs
connaissances sur l’écriture de quotients égaux (vue en
6e et en 5e) et appliquer la règle des signes vue au chaa
pitre précédent. On justifiera ainsi l’égalité entre – , –a
b b
a
−a
a
et
, et entre
et , a et b désignant des nombres
b
−b
−b
entiers positifs, b  0. Selon le cas, on privilégiera l’une
a
a
des deux écritures ou – .
b
b
16
Au b., chaque groupe propose un quotient égal à
.
−20
On pourra comparer les quotients proposés dans les
différents groupes.
Le but de l’activité 2 est l’introduction de l’équivalence
a c
entre = et ad = bc.
b d
Pour aborder la question 1., il est conseillé d’effectuer
le réglage suivant sur la calculatrice :

3. Addition et soustraction

• L’addition et la soustraction de nombres relatifs a été

vue en 5e et fait partie des exigibles du socle commun de
4e (voir chapitre 1). À l’activité 3, il s’agit de constater que
la règle d’addition et de soustraction des écritures fractionnaires de même dénominateur vue en 5e avec des
nombres positifs s’étend aux nombres relatifs en écriture fractionnaire. On s’appuie au départ sur les écritures
décimales en proposant des fractions de dénominateur
5. Selon le niveau de la classe, on peut, soit admettre
la règle et l’appliquer au b. et au c., soit présenter la
démonstration suivante :
b
a
On pose q = et q’ = , où a, b et c désignent des
c
c
nombres relatifs, c  0.
q est le nombre tel que c × q = a et q’ est le nombre tel
que c × q’ = b.



Casio fx-92 Collège 2D+
8(Norm) 2(Norm 12?)
1

Donc c × q + c × q’ = a + b c’est-à-dire c × (q + q’) = a + b.
Ainsi q + q’ est le nombre qui multiplié par c donne a + b.
a+b
Ainsi, q + q’ =
.
c
a
Par conséquent + b = a + b .
c c
c
Dans l’activité 4, on propose d’additionner des fractions de dénominateurs différents. Les élèves n’ont
jusqu’alors rencontré que des exemples pour lesquels
un dénominateur est multiple de l’autre. Ils sont amenés
ici à mobiliser leurs connaissances sur l’écriture de quotients égaux. On pourra faire remarquer que les dénominateurs proposés sont des multiples du dénominateur
de départ : 8, 12, 16 sont des multiples de 4, et 12, 18,
24 sont des multiples de 6. Les fractions choisies pour
effectuer le calcul doivent avoir le même dénominateur.
Ce sera donc un multiple commun à 4 et 6 : 12 est le
plus petit nombre possible mais ce n’est pas le seul. Les
élèves doivent alors comprendre que l’addition de deux
nombres relatifs en écriture fractionnaire demande, au
préalable, un travail de recherche d’un multiple commun à deux nombres entiers.
L’expression « réduire au même dénominateur » peut
alors être utilisée comme synonyme de « écrire avec le
même dénominateur ».
On propose au 3., un problème concret dont la résolution met en œuvre des additions et soustractions de
fractions de dénominateurs différents. Pour répondre
à la question, les élèves devront aussi comparer des
fractions. Plusieurs méthodes sont possibles. On pourra demander à certains de présenter et expliquer leur
démarche. Ce qui est une des capacités attendues pour
la validation de la compétence 3 du socle commun.

Au c., nous proposons un problème concret qui permet
de rappeler que 75 % c’est 75 . Ce sera aussi l’occasion
100
de revoir que prendre une fraction de fraction consiste
à multiplier les fractions entre elles.



5. Division

• L’activité 7 introduit la notion d’inverse d’un nombre.

Cette notion est nouvelle pour les élèves de 4e, aucune
capacité dans ce domaine n’est exigible dans le cadre
du socle commun de 4e.
L’inverse d’un nombre x est défini comme étant le
nombre qui, multiplié par x donne 1, c’est-à-dire le quotient de 1 par x. On pourra éventuellement, lors de cette
activité, voir l’utilisation de la touche x–1 de la calculatrice. Le sens de la notation x –1 sera vu au chapitre 3.
Il est important de remarquer que deux nombres
inverses ont le même signe et d’expliquer pourquoi le
nombre 0 n’a pas d’inverse.
a et b désignent des nombres relatifs différents de zéro.
a
En remarquant que l’inverse d’un nombre est le facb
a b
a
teur manquant dans l’égalité × … = 1 et que × = 1,
b a
b
b
a
on en déduit que l’inverse de est a .
b
Le but de l’activité 8 est de présenter la technique de
division de nombres relatifs en écriture fractionnaire.
a
1
L’égalité = a × a été mise en évidence dès la classe
b
b
1
3
de 6e pour des nombres entiers : c’est 3 fois . Elle est
4
4
reprise ici avec des nombres décimaux. Ainsi, le quotient
de a par b est égal au produit de a par l’inverse de b.
La question 1 peut être l’occasion de faire remarquer
l’utilité de cette propriété en calcul mental. On admet
qu’elle s’applique aux nombres relatifs en écriture fractionnaire et on l’utilise à la question 2. La question 3
propose un problème concret pour mettre en œuvre
cette technique de calcul.



4. Multiplication

• À l’activité 5, il s’agit de constater que la règlee de mul-

tiplication des écritures fractionnaires vue en 5 avec des
nombres positifs reste vraie pour des nombres relatifs en
écriture fractionnaire. On étend aux nombres en écriture
fractionnaire, la règle des signes pour la multiplication
de nombres relatifs en écriture décimale qui a été vue
au chapitre 1. On s’appuie au départ sur les écritures
décimales en proposant des fractions de dénominateurs
5 et 2. On peut admettre cette propriété et l’appliquer au
2. L’exercice 132 page 52 permet de la démontrer. Dans
le cadre du socle commun de 4e, seul le produit de deux
nombres positifs en écriture fractionnaire est exigible.
L’activité 6 met en avant la technique de simplification
d’un produit de fractions avant d’effectuer les multiplications. D’après la règle d’écriture de quotients égaux,
on peut ne pas effectuer une multiplication lorsque le
même facteur apparaît au numérateur et au dénominateur. En effet, a, b et k désignant des nombres relatifs,
a×k a
b  0 et k  0,
= . Ceci justifie le fait de « barrer »
b×k b
un nombre lorsqu’il apparaît comme facteur commun
au numérateur et au dénominateur. Cette technique est
très utile en calcul mental ou à la main.

6. Savoir-faire

• Dans l’énoncé 1 « Additionner, soustraire », il s’agit

de mettre en œuvre la technique d’addition et de soustraction de fractions. C’est aussi l’occasion de rappeler
les priorités lors d’enchaînements d’opérations. Dans la
rubrique « Je m’exerce », les exercices 1 à 3 proposent
d’additionner ou soustraire des nombres en écriture
fractionnaire. Le problème du choix du dénominateur
commun et de la simplification du résultat est mis en
évidence à l’exercice 3. À l’exercice 4, on retrouve des
enchaînements d’opérations. Il n’y a pas d’exercices
de ce type page 43 car l’addition et la soustraction de
nombres relatifs en écriture fractionnaire ne fait pas
partie du socle commun de 4e. On retrouvera ces compétences dans le socle commun de 3e uniquement dans
les cas où un calcul mental est possible. D’autres exercices de calcul avec 2 ou 3 fractions apparaissent dans
les exercices d’application.



2

• Dans l’énoncé 2 « Multiplier, diviser », on met en

7. Compléments



Tout au long de ce chapitre, on a choisi de proposer
des activités purement techniques et des résolutions
de problèmes.
Dans la compétence 3 du socle commun se trouve l’item
« Nombres et calculs » : Connaître et utiliser les nombres
entiers, décimaux et fractionnaires. Mener à bien un
calcul : mental, à la main, à la calculatrice, avec un ordinateur.
Le document d’appui : « Aide au suivi de l’acquisition des
connaissances et des capacités du socle commun » de
novembre 2010, précise qu’au niveau de la classe de 4e:
– Les nombres utilisés sont les nombres relatifs en
écriture décimale et les nombres positifs en écriture
fractionnaire. La comparaison des nombres positifs en
écriture fractionnaire se limite au cas où le dénominateur de l’un est multiple du dénominateur de l’autre
(éventuellement égal).
– Les opérations mobilisées sont :
• les quatre opérations sur les nombres relatifs, entiers,
décimaux ;
• la multiplication de deux nombres positifs en écriture
fractionnaire.
Ce document peut être téléchargé à l’adresse suivante :
http://www.eduscol.education.fr/pid23228-cid52432/
outils-pour-l-evaluation-des-competences.html
Les pages 43 et 44 concernant le socle commun de 4e
comportent donc les rubriques : Comparer des nombres
positifs en écriture fractionnaire et Multiplier des
nombres positifs en écriture fractionnaire.
Les exercices de la rubrique « Rédiger, Communiquer,
Argumenter » permettent de travailler la compétence 1 :
« Maîtrise de la langue française ». Ils permettent aussi
d’évaluer des capacités inscrites dans la compétence 3,
comme : « Présenter la démarche suivie, les résultats
obtenus, communiquer à l’aide d’un langage adapté ».

œuvre les techniques de multiplication et de division.
Pour la multiplication, on insiste sur la méthode de
simplification avant de multiplier. Pour la division, le
quotient est présenté sous la forme d’une écriture à
étages. C’est l’occasion d’expliquer le sens de ces écritures et l’importance d’être rigoureux et appliqué dans
la rédaction. Dans la rubrique « Je m’exerce », l’exercice 5
propose des calculs de produits avec des simplifications
nécessaires pour répondre à la question posée. Dans
l’exercice 6, on trouve des exemples de produits d’un
nombre entier par une fraction avec des simplifications
possibles. L’exercice 7 propose des calculs de quotients
de nombres relatifs en écriture fractionnaire présentés
sous forme d’écritures à étages.
Seuls les calculs de produits de nombres positifs en écriture fractionnaire font partie du socle commun de 4e.
D’autres calculs de produits et de quotients apparaissent
dans les exercices d’application.
Dans l’énoncé 3 « Enchaîner les opérations », on
retrouve les techniques de calcul vues précédemment
ainsi que les priorités des calculs lors d’enchaînements
d’opérations. L’exemple proposé permet de mettre en
avant la priorité de la multiplication sur la soustraction.
On remarque aussi l’intérêt d’anticiper la réduction au
même dénominateur lors du calcul du produit. Dans la
rubrique « Je m’exerce », d’autres exemples sont proposés ainsi que dans les rubriques « Multiplication » et
« Division » des exercices d’application.
Dans l’énoncé 4 « Utiliser des fractions avec la calculatrice », on détaille le fonctionnement de deux modèles
de calculatrices couramment utilisés au collège.
Dans la rubrique « Je m’exerce », l’exercice 9 propose un
exemple d’utilisation de la calculatrice pour effectuer un
calcul présenté sous la forme d’une écriture à étages.
L’exercice 10 propose différents calculs pour tester la
maîtrise du calcul instrumenté.



3

Corrigés
b. N’importe quel quotient égal à 16 convient, par
−20
4
exemple – .
5
2 1. a. En réglant la calculatrice dans le mode NORM,
les deux quotients donnent pour affichage 0.000 299 916
(avec TI-Collège Plus) ou 0.000 299 916 02 (avec Casio
2D+).
Avec TI-Collège Plus  : Le produit de 50  014 par
0,000 299 916 est un nombre décimal ayant 9 chiffres
derrière la virgule. Le dernier chiffre est 4 (4 × 6 = 24)
donc ce nombre n’est pas 15.
Le produit de 8 539 057 par 0,000 299 916 est un nombre
décimal ayant 9 chiffres derrière la virgule. Le dernier
chiffre est 2 (7 × 6 = 42) donc ce nombre n’est pas 2 561.
Avec Casio 2D+ : Le produit de 50 014 par 0,000 299 916
02 est un nombre décimal ayant 11 chiffres derrière
la virgule. Le dernier chiffre est 8 (4 × 2 = 8) donc ce
nombre n’est pas 15.
Le produit de 8 539 057 par 0,000 299 916 02 est un
nombre décimal ayant 11 chiffres derrière la virgule. Le
dernier chiffre est 4 (7 × 2 = 14) donc ce nombre n’est
pas 2 561.
15
15 × 8 539 057
b.
et
=
50 014 50 014 × 8 539 057
2 561
2 561× 50 014
=
8 539 057 8 539 057 × 50 014
15 × 8 539 057 = 128 085 855
et 2 561 × 50 014 = 128 085 854.
Ces produits sont différents donc les quotients ne sont
pas égaux.
2. a. 88 × 133 = 11 704 et 209 × 56 = 11 704. Les produits
sont égaux donc les quotients sont égaux.
36 120 120 50
b.
et
.
=
=
36 15
15
50

1. Devinettes

• Devinette*

Aucune, chacune correspond à un tiers de la surface du
carré.

• Devinette**

À chaque étape, on multiplie par 3 . Le nombre man4
quant est 1.

2. Je vérifie mes acquis
1. Bonne réponse : c.
1, 4 14
7
=
=
2, 4 24 12
2. Bonne réponse : b.
5 2 5 4 1
− = − =
6 3 6 6 6
3. Bonne réponse : c.
24 = 8 × 3 et 24 = 12 × 2.
4. Bonne réponse : a.
5 3
5×3
5
× =
=
6 2 2×3×2 4
5. Bonne réponse : b.
–4 + 3 = –1.
6. Bonne réponse : b.
Le produit est négatif car : le produit de deux nombres
positifs est positif et le produit de deux nombres de
signes différents est négatif.
7. a. 5
b. 1,1
c. 2,5
d. 20
e. 3 × 2 L = 2 L = 1 L = 0,5 L
4 3
4
2
f. 4 × 1 kg = 2 × 2 kg = 2 kg = 0, 4 kg
5 2
5×2
5
2
450
g.
× 450 km = 2 ×
km = 2 × 30 km = 60 km
15
15
h. 2 × 18,60 e = 2 × 18, 60 e = 2 × 6,20 e = 12,40 e
3
3
2
2
60
8. a. h = × 60 min = 2 ×
min
5
5
5

= 2 × 12 min = 24 min
5522
2
7
+ + h = 1 h + h = 1 h 24 min
b. h = h
5555
5
5
3
c. h = 45 min
4
11
88 33
3
d.
h = h+ + h = 2 h + h = 2 h 45 min
4
44 44
4
e. 1 h = 1 × 60 min = 20 min
3
3
1212 1 1
13
+h + h = 4 h + 1 h = 4 h 20 min
f.
h=
33 33
3
3
2020 7 7
27
7
+
g.
h=
h+
h=2h+
× 60 min
1010 1010
10
10

= 2 h + 7 × 6 min = 2 h 42 min

3 a. Franck utilise les écritures décimales des quotients. Alexia utilise la règle d’addition de fractions de
même dénominateur qui a été vue en 5e pour les fractions positives.
–7
2
b.
et n’ont pas d’écritures décimales.
3
3
Avec le procédé d’Alexia :
7 2 –7 + 2 −5
5
− + =
=
=– .
3 3
3
3
3
3
5
3

5
−2
2
c. − =
=
= −  ;
7 7
7
7
7
13 17 −13 +17 4
− +
=
=  ;
9
9
9
9
−3 5 −3 − 5 −8
− =
=
= −2.
4 4
4
4

3. Activités

4 1. a. −3 = −6 = −9 = −12 et 7 = 14 = 21 = 28

1 1. a. 16 = 4 = 12 = 8 = −40  ;

6 12
4
8
12
16
−3 7 −9 14 −9 + 14
5
b.
+ =
+
=
=
4 6 12 12
12
12
2. a. 4 − 3 = 8 − 9 = 8 − 9 = −1 = − 1
3 2 6 6
6
6
6

20 5 15 10 −50
12
6
–24 3, 6 2 0,5 1
 ;

=−
=
=
=
=  ;
7
3,5 14
–2,1 8
2
4
14 −2
16
1,2 . L’intrus est 16 .

=
=
=−
−20
21 3
−24
1, 8
4

18

24

b.

4 −3 8 −9 8 + 9 17

=

=
=
15 10 30 30
30
30

e.

b
a
a b a×b
× =
= 1. L’inverse de est .
a
b
b a b×a

8 1. a. L’inverse de 0,25 est 4.

2 −20 2 −20 + 2 −18
18
=
+ =
=
=−
5
5
5
5
5
5
1 1 4
3
7
3. + =
. Après les pluies, le récupéra+
=
3 4 12 12 12
7
teur contenait
de sa capacité totale.
12
1
Soit la moitié plus
de la capacité totale.
12
1 1
> . Romain a utilisé plus d’un douzième de la capa8 12
cité totale du récupérateur donc il a tort.
Il reste moins de la moitié de la capacité totale du récupérateur.
Autre méthode : 1 + 1 − 1 = 8 + 6 − 3 = 11 .
3 4 8 24 24 24 24
11
Il reste
de la capacité totale du récupérateur.
24
1 12
.
Il reste moins de la moitié de la capacité totale
=
2 24
du récupérateur.
c. –4 +

37
1
= 37 ×
= 37 × 4 = 148.
0,25
0,25
1
a
c. ab = = a × donc diviser par un nombre non nul
b
b
revient à multiplier par son inverse.
3
2
4×3
2. a. – 4 =– 4 × = –
= –6
2
3
2
5
−5 1
b. −5 2 =
×
= –−
4
4
2
8
−2 × 3
1
c. −2  − 4 = −2 × 3 =
=
9
3
9 − 4 3 × 3 × (−2) × 2 6
16
9 16 × 7 × 9
3. 112 :
= 112 ×
=
= 63 .
9
16
16
L’écran a une hauteur de 63 cm.
b. 370,25 =

4. Je m’exerce

−1 2 −3 4 −3 + 4 1
+ =
+ =
=
2 3
6 6
6
6
3
−3
6
−3
6

3
3
b. +
tients. Alexia utilise la règle de multiplication de frac=
+
=
=
7 14 14 14
14
14
tions qui a été vue en 5e pour les fractions positives.
− 4 7 + 4 11
3 7
3×7
21
c. 7 − −1 = 7 −
=
=
2. a. – × = –
=−
12
3
12
12
12
12
4 5
4×5
20
−5 7 −15 14 −15 −14 −29
29
2 −3 2 × (−3) −6
6
2
− =

=
=
=−
b. ×
=
=
=−
7 7
7×7
49
49
6 9 18 18
18
18
18
− 4 −5 −8 −25 − 8 − 25 −33
11
c. –4 × − 1 = −4 × (–1) = 4
3
+
=
+
=
=
=−
9
9
9
6
30 30
30
30
10
15
8 −7 8 × (−7) −56
56
Luka a raison, Youssef a raison mais il n’a pas simplifié
d. ×
=
=
=−
5 3
5×3
15
15
le résultat. Armelle a tort.
6 a. Julia multiplie les numérateurs entre eux et les
4 A = 5 − 13 + 4 = 15 − 13 + 8 = 15 – 13 + 8 = 10 = 5
dénominateurs entre eux sans se préoccuper des sim2 6 3
6
6 6
6
6 3
plifications éventuelles.
5 13 4 15 13 8 15 – 13 + 8 10 5

+ =

+ =
=
=
6 3 les6 multiplications.
6 6
6
6 3
Jimmy simplifie avant2d’effectuer
7 5 29 14 60 87 14 + 60 − 87 −13
13
Le procédé de Jimmy est plus judicieux.
+ −
=
+

=
=
=−
B=
12
2
8
24
24
24
24
24
24
9
1
4 1 –6 15 −3 × 2 × 5 × 3
b. – 4 × − 7 = 5 = 29 ; 14
× 60
= 87 14 + 60
= − 87 ; −13
13
2×2
2 =
8 + 8 − 2 =5
+4
− 5×=
=−
24
24
24
24
−14 15 12−7 2× 2 ×85 × 324 1024
.
×
=
=
1
3 5 2
9 20 2 − 9 − 20 −27
9
9
−7
3 × 3 × (–7)
3


=
=
=−
C= − − =
6
4
3
12
12
12
12
12
4
1
c. Il reste du coût
1 total
3 5de la2 construction
9 20 à2payer.
− 9 − 20 −27
9
3
− − =


=
=
=−
6 4 3 12 12 12
123 1 12
4
75 % c’est 3 . Les 3 du tiers correspondent à ×
4
3
−21 −10
7 × 3 × 10
7
4
4
×
=
= .
5 A=
soit 1 .
20
9
10
×
2
×
3
×
3
6
4
1
Pour
A,
c’est
vrai,
b
=
6.
La commune doit régler du coût total de la construc4
6
35
6×7×5
7
tion.
B=
.
×
=−
=
25 −36
5 × 5 × 6 × 6 −30
7 a. 2 × 0,5 = 1 ; – 0,1 × (–10) = 1 ; – 4 × (– 0,25) = 1.
Pour B, c’est vrai, b = –30.
L'inverse de 2 est 0,5 ; l’inverse de –0,1 est –10 ; l’inverse
−17
5 × 17
17
de – 4 est – 0,25.
=−
=−
6 A=5×
25
5×5
5
b. Deux nombres inverses ont le même signe car 1 est
42
5×5×7×6
=−
= –30
B = 25 ×
positif.
7×5
−35
c. Le nombre 0 n’a pas d’inverse car le produit d’un
13
4 ×13
13
=−
=−
C=−4×
nombre par 0 est égal à 0 et ne peut donc pas être égal
28
4×7
7
à 1.
Seul B est un nombre entier donc l’affirmation de Kevin
1
1 x ×1 x
est fausse.
d. x × =
= = 1. L’inverse de x est .
x
x
x
x
1

5 1. Franck utilise les écritures décimales des quo-

( )

( )

5

1. a.

−9
−9
4
9 × 4 36
7
7 a.
=
×
=
=
7
−5
7 × 5 35
−5
4
6
b. 11 = 6 × 5 = − 6 × 5 = − 30
11 × 7
77
−7 11 −7
5

40
40 26
26
≈ 3,07 et
≈ 2,8 donc
>
13
13
9
9
7
4
16
≈ 0,46 et ≈ 0,44
15
9
C’est le verger de Jean-Marc qui est le plus touché.
3 15 15 13
17
et
.
>
=
5 25 25 25
La proportion de filles est la plus importante en 4e B.
2 h = 40 min ; 5 h = 50 min ; 3 h = 1 h 30 min
−3
3
3×3 9
18
= −3 ×
=
=
c.
3
6
2
−2
−2
2
2
Le classement des activités par ordre croissant de du3
7
2 9 7
2×9
14 9
5
1 rée est : course - natation - vélo - foot.
8 A=

× =

=

=
=
15 15 4 15 15 × 2 × 2 30 30 30 6
1 20 = 20 % et 9
36 = 36 %.
19
=
=
14 9
5
1
5
100
25
100
=

=
=
30 30 30 6
Le classement par ordre croissant d’apport en calcium
−12 1
1 −12 1 20 + 1 −12 1 21 est donc  : 125  g de yaourt nature (19  % des A.J.R.) + × 10 + =
+ ×
=
+ ×
B=
7
7
2
7
7
2
7
7 2 20 cL de lait demi-écrémé (20 % des A.J.R.) - 30 g d’em1 20 + 1 −12 1 21
mental (36 % des A.J.R.).
×
=
+ ×
7
2
7
7 2
1 3 3
3 11 33
20 a.
−12 21 −24 + 21
3
b.
× =
× =
donc B =
+
=
=–
2 4 8
10 4 40
7
14
14
14
17 8 17 × 8 17 ou 136
2 3
1 2
4 9
5
2
5 3
× =
=
c.
C=
− × −
= − ×

=− ×
56
8 7
8×7
7
3 2
3 15
6 6
15 15
6 15
5 7 × 5 35
15
1
=
d. 7 × =
donc C = −
=−
2
2
2
6 × 15
6
245
5 7 × 7 × 5 35
5 23 2 × 10 23 20 − 23
3
=

=
=−
D=2× −
e. 49 × 14 = 7 × 2 = 2 ou 14
7 14
14
14
14
14
Les deux expressions égales sont B et D.
12 14 3 × 4 × 7 × 2 8
168
f. 7 × 15 = 7 × 3 × 5 = 5 ou 105
Les deux expressions opposées sont A et C.
21 Quand on multiplie des fractions, il faut multiplier
9 Chloé a dû appuyer deux fois sur la touche fraction
10
les dénominateurs entre eux et il est inutile de réduire
avant de taper 10. La calculatrice a calculé 7 au lieu
au même dénominateur.
18
10
de
.
Clément se trompe car il n’a pas multiplié les dénomi7
nateurs entre eux. Hugo obtient le bon résultat mais il
18
3
35
35
7
effectue des calculs inutiles.
10 A = –
 ; B = –  ; C = –
;D= .
2
3
25
12
12
6
des d’une pizza correspondent à la moitié
22 Les
3
4
8
3
5. Socle commun de 4e
de la pizza. Les des d’un litre d’eau correspondent
3
4
15 13
3 15
à 2 litres d’eau.
11
>
et
. Sébastien a raison.
=
20 20
4 20
1
1
23 a. Le rectangle 1 a pour dimensions
et .
6 36
7 35
2
3
et =
donc 6 > 7 .
=
12
5 30
6 30
5 6
2
1
Le rectangle 2 a pour dimensions et .
33
3
30
2
40
3
2
13 1. a.
b. =
c. 0,33 =
=
1
100
10 100
5 100
Le rectangle 3 a pour dimensions 1 et .
2
33,3
9
36
7
35
d. 0,333 =
e.
f.
=
=
1 1
1
100
25 100
20 100
b. L’aire du rectangle 1 est égale à × soit d’unité
3
2
6
2 9
7
3
2. >
>
> 0,333 > 0,33 >
2 1
5 25 20
10
d’aire. L’aire du rectangle 2 est égale à × soit 1
3 2
3
14 a.
1
d’unité d’aire. L’aire du rectangle 3 est égale à 1 ×
2
1
A
C
B
E
D
soit d’unité d’aire.
2
0
1
2
1
1 4
1
24 1.
×
= . La masse du beurre représente
25
4 25 25
de la masse du lait.
2 7 3
9
b. < < < 2 <
1
10 2
3 6 2
4
2. a.
× 10 =
= = 0, 4. Avec 10  kg de lait, on
25
25 5
7 ≈206
15 a.
2,3 et 10 ≈ 1,4 donc 7 > 10
obtient 0,4 kg soit 400 g de beurre.
7
3 7
3
b. 400125 = 3,2. On peut obtenir 3 plaquettes de beurre
23
11 23
11
b.
≈ 1,8 et
≈ 2,09 donc
<
11
6 11
de 125 g.
6
c.

( )

( )

( )
(

( )

( )(

)

) ( )(

( )
)

6

7 9 7−9
2
− =
=−
5 5
5
5
−3 7 −3 + 7 4 1
b.
+ =
= =
8 8
8
8 2
4 −2 4 + 2 6 2
c.

=
=
=
15 15
15
15 5
1 6 –6 −1+ 6 + 6 11
=
=
=1
d. − + −
11 11 11
11
11
2 13 7 2 – 13 – 7
18
− =
=−
= –2
e. −
9 9 9
9
9
4 2 4−6
2
− =
=−
45 a.
9 3
9
9
3 − 9 12 − 9
3
b. +
=
=
5 20
20
20
−5
3
−5

6
11
c.
− =
=−
14 7
14
14
4 5 24 25 −1
46 1.
− =

=
5 6 30 30 30
3 −2 9 − 4 5
2. a. +
= +
=
2 3
6
6
6
3 6 21 24 −3
3

=
=−
b. − =
4 7 28 28 28
28
− 5 5 − 45 + 40 − 5
5
c.
+ =
=
=−
72
72
72
8 9
47 a. Multiples non nuls de 10 : 10 ; 20 ; 30 ; 40 ; 50 ; 60.
Multiples non nuls de 8 : 8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48.
b. 40 est un multiple commun à 10 et 8.
3 5 12 25 −13
13
− =

=
=−
10 8 40 40
40
40
7 11 −28 55 27
− + =
+
=
10 8
40 40 40
−1 5 −2 − 15
17
− =
=−
48 a.
6 4
12
12
5 9 10 − 27 17
b.
− =

12 8
24
24
3 8−3 5
c. 2 − =
=
4
4
4
−16 3 −32 + 9
23
+
=
=−
49 a.
15 10
30
30
7 3 7−9
2
1
b.
− =
=−
=−
12 4
12
12
6
5 3 −25 + 9 −16
8
c. − +
=
=
=−
6 10
30
30
15
−6 + 2
−2
2
4
40
50 a.
+
=
=−
=−
1,3 3,9
3,9
3,9
39
7 12 63 − 132
69
23

=
=−
=−
b.
11 9
99
99
33
21 14 7 − 7 0

=
= =0
c.
27 18
9
9

1 2 2 . Mercredi dernier, Louis a consommé
× =
3 7 21
2
les
de son forfait de téléphone.
21
4 3
4×3
1
× =
= . Les romans policiers
26 a.
9 8 3×3× 4×2 6
1
représentent des livres de la bibliothèque de Camille.
6
1
b. 6 × 48 = 8. Camille a 8 romans policiers.
9 11
25 7 19
27
<
<2<
< <
24 6
12 2 3
21
28 8 ×
= 2 × 21 = 42. Le mille-pattes a 42 pattes.
4
3
6
12 21
29
= =
=
4 8 16 28
1 h < 2 h < 45 min < 5 h
30
3
6
2
17
17 18
<
31 a.
donc 6 < 3
6
6
4 8
b. =
donc 4 > 7
5 10
5 10
4 80
7
c. =
donc 4 =
> 80 %
5 100
5 10
1 3
1
1
× L= L
32 a.
b. × 120 km = 30 km
3 4
4
4
2
3
33
× 27 e = 18 e et × 24 e = 18 e.
3
4
Leurs dépenses sont égales.
3
34
× 2,4 km = 0,9 km.
8
Rebecca a parcouru 900 m.

44

25

6. Exercices d’application
4
1
3
7
1
5
b. 5
c. –
d. 4
e. 5
f. 30
15
4
−7 −175
−26
7
−35
=
36 a.
b.
c. –6,5 =
=
4
100
4
−12 60
− 9 −3
0,3
5, 4
36
=
=
=
=−
37
4
− 0, 4 −7,2
48
12
1
16
2
3
7
38 a.
b. –
c.
d.
e. –
2
21
3
2
5
39 a. 56 × 33 = 1 848 et 132 × 14 = 1 848 donc les quotients sont égaux.
b. 266 × 191 = 50 806 et 441 × 126 = 55 566 donc les
quotients ne sont pas égaux.
40 a. Pour chacun de ces deux quotients, la calculatrice
affiche : 0.500 851 968 6. Ce qui ne permet pas de décider s’ils sont égaux ou non.
b. Le chiffre des unités du produit de 33 215 par 208 341
est 5. Le chiffre des unités du produit de 66 317 par
104 348 est 6. Les produits en croix sont différents donc
les quotients ne sont pas égaux.
41 a. 132 × 408 = 53 856 et 187 × 288 = 53 856.
132 288 132 187
=
=
b.
et
187 408 288 408
a
3
42
=–
b
7
6 × (–5)
−286 × 7
= −7,5
43 a. n =
b. n =
= −77
4
26
8×3
= –2, 4
c. n =
−10
35

a. –

51

a.

+

1
5

4
15



2
5

3
5

2
3



5
12

37
60
9

5
1
3

41
60
26

15
2
5

–2
2
15

7

5
6

13
15

13
30

19
15

5
12
17

6
7

10

77
60
17

15



1

a. −5 − −7 − 1 = −15 + 7 − 4 = − 12 = − 1
8 24 6
24 24 24
24
2
4 − 2 9 5 24 − 20 27 25
6
1
b. +
+
− =
+
+

=
=
5
3 10 6 30 30 30 30 30 5
3 7 3
3 28 − 9 3 19 9 − 38
29
53 a.
− − = −
= −
=
=−
8 3 4
8
12
8 12
24
24
28 − 9 3 19 9 − 38
29

= −
=
=−
12
8 12
24
24
1
8 6
1 −8 + 18 1 10 3 4
1
b. − – + = −
= −
= − =−
2
15 5 2
15
2 15 6 6
6
1 3 1 4
54 1 re méthode :
=  ; =
. Les points sont
4 12 3 12
1
régulièrement espacés de
sur la droite graduée.
12
e
2 méthode : on calcule les différences.
1 1 4
3
1
5 1 5
4
1

=
− =

=
et − =
12 3 12 12 12 3 4 12 12 12
2 3 5 8 − 9 +10 9 3
− + =
=
=
55 A =
3 4 6
12
12 4
2 3 5 8 + 9 – 10 7
B= + − =
=
3 4 6
12
12
− 9 − 10
2
3 5
8
8 19 27 9
C= − − − =

=
+
=
=
3
4 6 12
12
12 12 12 4
4 4 −30 + 20 + 12 2
56 a. E = − 2 +
+ =
=
3 5
15
15
5 29 − 40 − 25 + 58
7
b. E = − 2 − +
=
=−
4 10
20
20
3 9
39
1
57 1−
+
= 1−
=
4 40
40 40
1
Les eaux de surface représentent
des réserves d’eau
40
douce de la planète.
1 10
58 1. a. • 3 +
=
3 3
10 1 40 − 3 37
− =
=

3 4
12
12
37 1 36


=
=3
12 12 12
En choisissant 3, on obtient 3.
2 1
1
• −3 + 3 = −3
1 1 − 4 − 3 −7
• − 3 − 4 = 12 = 12
−7 1
8
2


=–
=− .
12 12
12
3
2
2
En choisissant − 3 , on obtient − 3 .

10
b. – 10 > − 8 car – = –1, … et − 8 = –2, …
7
7
3
3
11
3
11
3
c. – < – car – = –1, … et – = –0,75.
9
4
9
4
−7 −21
10 −7
10
−20
60 a. −
et
donc −
=
>
=
6
18
9
6
9
18
7 13
7 14
b. =
donc >
9 18
9 18
9
−11
9
−54
−11 −55
c.
et
donc
>
=
=
−5
6
−5
30
6
30
10 27
10 5 25
61 a.
donc
<
= =
8 20
8
4 20
2
6
2
8
8
1
7
b. −
et − = − donc − > −
=− =−
7
21
7
24
24
3
21
65 13 22 11
65 22
=
=
>
c.
et
donc
30 6
12 6
30 12
24 4
21 3
62
= = 0,8 = 80 %.
= = 75 % et
30 5
28 4
La plus importante proportion d’hispanistes est en 4e B.

52

( )

(

)

3
15
7
28
= 28 %.
= 15 %.
=
=
20 100
25 100
8
32
9
18
=
=
= 32 %.
= 18 %.
25 100
50 100
Le classement des langues de la plus à la moins parlée
est donc : Anglais (47 %) - Allemand (32 %) - Français
(28 %) - Italien (18 %) - Espagnol (15 %).
2 × 11
22
1× 5
5
64 a.
=−
=
b. −
9×5
45
2 × 7 14
4×7
28
c. − 5 = − 5
4×5
20
65 a. −
b. 2 × 4 = 8
=−
7×9
63
7
7
2 × 11
22
c. −
=−
3×9
27
11× 6 66
4×8
32
=
=−
66 a.
b. −
5 × 7 35
13
13
5×6
30
=−
c. −
7×7
49
2 × 21 2 × 7 × 3 3
67 a.
=
=
7×8 7×2×4 4
42 × 21 3 × 2 × 7 × 7 × 3 49
b.
=
=
15 × 30 5 × 3 × 2 × 5 × 3 25
5 × 31
1
=−
c. −
31× 5 × 2
2
0, 6 × 3 × 2 × 7 × 5
15
=−
68 a. −
0, 6 × 7 × 2 × 2
2
4
×
3
×
5
×
9
×
2
×
11
297
b. Il semble que le nombre obtenu soit égal au nombre
b.
=
5×5× 4×2×2
10
choisi au départ.
− 6 −10 4
− 4 9 −3
69 a.
×
=
b.
× =
c. On note x le nombre choisi au départ.
9
3
5
8
2
3
1 1 1
4
3
1
4 − 3−1
−5
−15
x+ − −
=x+


=x+
=x
=
c. 21×
3 4 12
12 12 12
12
28
4
7 15 2
7 6
1
On obtient donc le nombre x du départ.
× =− + =−
70 a. − +
4 4 5
4 4
4
2. Par exemple : • Choisir un nombre
6 −7 9
6 −28 + 27
6 −1 1
4
+ =− ×
=− ×
=
b. − ×
• Lui enlever
5
6 8
5
24
5 24 20
5
5
2 7
9
14 9
28 27
55
11
71 a.
• Ajouter au résultat
− −
=−

=−

=−
=−
3
3 5 10
15 10
30 30
30
6
13
2 7
9
14 9
28 27
55
11
• Enlever
au résultat


=


=


=

=

15
3 5 10
15 10
30 30
30
6
• Écrire le nombre obtenu.
7
1 10 7
10
49
10
39 13
6 7
b.
7

×
=

=

=
=
6
59 a. − <
15 15 7 15 105 105 105 105 35
car − < 0 et 0 <
5 9
9
5

(

(

)

(

63

)

)

( )
( )

( )

8

(

)

7 3 7 4 14
3 −3 3 4
1
 = × =
= ×
=−
b. 
6 4 6 3
9
8 4
8 −3
2
2
3 3
c. 1 = 1× =
3
2 2
−21
4
4
82 a. 7
=7×
=−
4
−21
3
11
11
1
1
(−22) =
×
=−
b.
15
15 −22
30
56
56 1 8
c.
7 =
× =
5
5 7 5
−5
−5
4
20
3 = −5 × 1 = − 5
83 a.
= −5 × = −
b.
3 4
12
4
3
3
3
4
−5
−3
3 = −5 × 9 = − 15
5 = −3 × 4 = 4
c.
d.
3 4
4
4
5 −9 15
−9
9
4
−3
5
5
4
7 7
84 a. 1 = 1×
b. 1
= 1×
=−
=
5
3
−3
7
4 4
2
11
11
c. 1 −
= 1× −
=−
11
2
2
7
3
15
7
3 6
85 a. 2 = 2 ×
b. −5 = −5 × = −
=
3
7
7
3
7 7
7 7
c.  = 1
d. 28  7 = 28 × 3 = 4
3 3
9 3 9 7 3
45 1 45
86 a.
 =
× 8 = 45 × 2 = 90
4 8
4
7
−5
b. 7
=7×
= −5
7
−5
−72
−72 1
18 × 4
2. a. Pour x = 0, A = 6 × 0 – 9 = 0 – 9 = –9.
6 =
× =−
= −4
c.
3
3
6
18
1
1
b. Pour x = – , A = 6 × − 6 – 9 = –1 – 9 = –10.
−9
3
4
6
87 a.
= 3×
= − 4 b. 1 = − 9 × (−3) = 27
21 18 3
7
7
−3
−3
c. Pour x = , A = 6 × – 9 =

= .

2
2 2
4
4
3
4
60
2
11
11 16 − 11 5
×3− = 2− =
=
77 a. E =
60 21 4 × 15 × 7 × 3
c. 7 =
3
8
8
8
8
×
=
= − 45
7 −4
7×4
−4
2
1 11
1 11 −8 − 33
41
b. E = × − − = − − =
21
=−
3
2
8
3 8
24
24
Lina a tort, les trois nombres sont des nombres entiers.
2 3 11 4 11 −7
7
2 9 2
7
c. E = × − = − =
=−
3−

3 4 8 8 8
8
8
7 3
1
3
3
3
88 a.
=
= 3 = ×
=
2 −3 11
1 11 − 4 − 55
59
4
28
28 3 28 4
d. E = ×
− =− − =
=−
×7
3 20 8
10 8
40
40
3
3
3
4
2
7
10
1
2
78 a. −
b.
c. 3 d.
e. −
f. −
5
7
3
3
4
3 2 2 6 2 4 2 2
b. − = × − = − =
1
5 3 5 5 5 5 5
5
79 a. – 0,5 = − donc les nombres sont opposés.
2
6
2
4
3 1
3 2
1
b. 1,5 = 3 donc les nombres sont inverses.
− +
− +

4 2 = 4 4 = 4 = 1 × 10 = 5
c.
2 5
4 25
21 4 21 42
−8 −4



c.
donc les nombres sont inverses.
=
5 2
10 10
10
9
18
1 8 5 1 10 3 10
7
−3 −1
89 a.

× = −
=

=−
=
d.
= –0,2 donc les nombres ne sont ni inverses
5 15 4 5 15 15 15
15
15
5
1 8
5
3
8
5
5 5
5
ni opposés.
× =

× =− × =−
b. −
8
9
9
5
15
4
15
15
4
15
4
12
e. L’inverse de est et son opposé est – .
9
8
8
− 4 5 5 − 4 14 5 − 8 5 − 48 25
23
c.
 + =
×
+ =
+ =
+
=−
Les nombres ne sont ni inverses ni opposés.
7
5 6
5
6
30
30
30
7 14 6
−25 −5 −24 −3 4 5 5 − 4 14 5 − 8 5 − 48 25
23
f. 15 = 3 et 40 = 5 −donc
sont
=−
 les+nombres
=
× inverses.
+ =
+ =
+
30
7 14 6
7
5 6
5
6
30
30
6 2 6 3 9
− 4 15 35
− 4 50 − 4 42
−4 5 5
4 −9 4
8
32
80 a.  =
× =
b. 
= ×
=−

+ =

+
=

=
×
d.
5 3 5 2 5
3 8
3 −9
27
7
42 42
7 42
7
50
7 14 6
6 7
6 11
6
4
×
7
×
2
×
3
12
c. −  = − × = −
=−
11 11
11 7
7
7 × 25 × 2
25

4 5 3 7
10 7
109
a. − × − × = − − = −
7 2 2 9
7 6
42
3 2 3 7
3 21
24
6

=−
=−
b. − + − = −
8 5 5 4
20 20
20
5
1 1 3 1 1 1
73 a.
+ × = + =
4 3 4 4 4 2
Il lui reste la moitié de sa propriété.
1
b. × 40 ha = 20 ha. Actuellement, sa propriété a une
2
superficie de 20 ha.
19 1 38 5
43
74 a.
.
+
=
+
=
25 10 50 50 50
7
Les énergies renouvelables ont produit
de l’électri50
cité française.
1
7
1
b.
.
×
=
14 50 100
1
Les énergies nouvelles ont produit
de l’électricité
100
française.
5
4
4 5
15 4
75 A = x – 5 – x +
= − x−
+
4
3
4 4
3 3
1
11
donc A = – x −
4
3
3 9
3
3
3
B = (2 − 3x) = × 2 − × 3x donc B = − x.
2 4
4
4
4
7 11
7 11
− = 2 × 3x − 2 × −
76 1. A = 2 3x −
4
2
4 2
7 11
A = 6x − − = 6x – 9
2 2
72

81

a.

( ) ( )

( )

(

( ) ( )

)

( )

( )

(

)

(

9

(

)

)

(

)

− 6 2 −18 10
8
+ =
+
=− .
15 15
15
5 3
15 − 4 45 28 73

=
+
=
A–D=
.
7
3
21 21 21
15 − 6
18
A×B=
×
=− .
7
5
7
2 −4 2 3
1
= ×
=− .
CD = 
3 3
3 −4
2
1
7,5
18
8
= –0,5
− ≈ –2,… ; − ≈ –0,… ; − = −
2
15
7
15
73
8
1
< −  ;
donc −
est positif et les autres nombres
15
2 12
sont négatifs.
Donc A × B < B + C < CD<A – D
1
91 Pour a = –  ;
3
8
1
9 1
3−

3 = 3 3 = 3 = 8 × 3 = 4.
A=
1 15 1 14 3 14 7
5−

3
3
3 3
7
Pour a = –  ;
2
7
6 7
−1
3−

−1 2
1
2
2
2
A=
=
= 2 =
× =− .
2 3
3
7 10 7
3
5−

2
2 2
2
−1 2
2
15 2
13
92 A =
+ = −3 + = − + = −
1 5
5
5 5
5
3
1
3 1 −2
−1+
− +
−2 5
5
3
B=
× =−
= 3 3 = 3 =
3 2
3
2
2
2
5
5
5
−1
−1
−1
15
C=
=
=
=−
1 2
5
11
11
6
+
+
3 5 15 15 15
4
93 47 850 000 ×
= 63 800 000. Au 1er janvier 2008, la
3
France comptait 63 800 000 habitants.
22
94 65 km3 représentent les
du volume de glace de
25
25
1999. En effet 65 ×
≈ 73,8 km3.
22
En 1999, il y avait environ 74 km3 de glace dans les montagnes suisses.
1 1 2 1 3 1.
95 Vrai.
+ = + = =
3 6 6 6 6 2
7 12 7 5
96 Faux. 4 −
=
− = .
3 3 3 3
3 10 30 15
97 Faux.
.
×
=
=
4 4 16
8
3 7 3 5
98 Faux.
 = × .
4 5 4 7
1
99 Vrai. x  0, l'inverse de
est x.
x
6 1 4 2
7 6
100 a. − − −
− = − − = –1– 2 = –3
7 7 3 3
7 3
3 5 −121 55 −2
1
+
=
− 11+ 11= –
b. − +
8 8
11
5
8
4
6 × 4 ×1× 3
1
3 × 42 × 5 × 5
=−
= –3
c. −
d. −
25 × 6 × 7
5×3× 6× 4
5
101 a. 57,250,1 = 57,25 × 10 = 572,5
b. 7,30,01 = 7,3 × 100 = 730
c. 951,4750,001 = 951,475 × 1 000 = 951 475
90

560,5 = 56 × 2 = 112
b. 490,5 = 49 × 2 = 98
c. 1140,5 = 114 × 2 = 228
d. 18,50,5 = 18,5 × 2 = 37
e. 23,250,5 = 23,25 × 2 = 46,5
f. 1750,5 = 175 × 2 = 350
103 a. 320,25 = 32 × 4 = 128
b. 350,25 = 35 × 4 = 140
c. 680,25 = 68 × 4 = 272
d. 12,50,25 = 12,5 × 4 = 50
e. 2,250,25 = 2,25 × 4 = 9
f. 850,25 = 85 × 4 = 340
2 1 6
5 11
104
.
+ =
+
=
5 3 15 15 15
11
L’aîné et le deuxième ont reçu les
de la collection.
15
11 15 11 4
1−
=

= .
15 15 15 15
4
La part du cadet représente les
de la collection.
15
105 Par exemple : Pierrot a vendu le tiers de sa collection
de BD et a donné le quart à sa sœur. Quelle fraction de
sa collection de BD lui reste-t-il ?
3 8 3 11
11
106 2 +
de
= + = . Le jardinier a récolté
4 4 4 4
4
quintal de pommes.
1 4 1 5
5
1+ = + = . Il vend de quintal à un voisin.
4 4 4 4
4
11 5 7 2 55 25 14 8
8
2
− −
− =



=
= .
4 4 10 5 20 20 20 20 20 5
2
Le jardinier a gardé de quintal de pommes.
5
107 Par exemple : Quelle fraction de sa récolte a-t-il
ramassée vendredi ?
Combien de kg a-t-il récoltés samedi ?
4
2
1
108 a. La différence de et du produit de
par .
3
5
3
2
1 4
b. Le produit de la différence de et par .
5
3 3
4
2
1
c. La somme de et du quotient de par .
3
5
3
109 L’automobile a parcouru 10  km à la vitesse de
1
60 km/h, elle a donc mis d’heure pour parcourir cette
6
distance.
Elle a également parcouru 10 km à la vitesse de 30 km/h,
1
elle a donc mis d’heure pour parcourir cette distance.
3
1 1 1 2 3 1.
+ = + = =
6 3 6 6 6 2
1
L’automobile a parcouru 20 km en h.
2
La vitesse moyenne de la voiture a donc été de 40 km/h.
C’est Jade qui a raison.
7 1 14 3 17
17
110
. Max et Fiona ont donné
+ =
+
=
9 6 18 18 18
18
1
du prix total donc Samir a donné .
18
1
55 e correspondent à
du prix total.
18
18 × 55 e = 990 e.
Ce téléviseur coûte 990 e.
102 a.

B+C=

10

132 a. b × q = a et d × q’ = c.
b. b × d × q × q’ = a × c.
a×c
c. q × q’ =
.
b×d
3 2 1 20 + 14 34
133 a. + +
=
=
. Angelo n’est pas sûr de
7 5 7
35
35
1
pouvoir acheter le jeu. Il lui manque
du prix.
35
1
b.
≈ 0,028 soit environ 2,8 %. Le marchand doit lui
35
accorder une remise de 3 %.
40
320
319
134 a. Par exemple  : −
=−
  ; car −
et
24
3
24
53
318 .

=−
4
24
457
458
b. Par exemple  : − 200   ; car –2,29 = − 200 et
–2,28 = − 456 .
200
7
3 22 7
135 a. − < −
<
< .
3
4
7
2
7
22 3 7
b. − 2 < − 7 < 4 < 3 .
4
3 2 7
c. − 3 < − 7 < 7 < 22 .
7
2 3 4
d. −
<− < < .
22
7 7 3
23 des élèves ont un téléphone portable.
136
30
23 5 48
5
+ =
des élèves ont un ordinateur.
.
30 6 30
6
Les élèves ayant un téléphone portable et un ordinateur
sont ici comptés deux fois.
14
des élèves ont soit un téléphone portable soit un
15
ordinateur soit les deux.
48 14 20 2 .

=
=
30 15 30 3
2
400 élèves représentent les du nombre de collégiens
3
interrogés.
3
400 × = 200 × 3 = 600.
2
Pour réaliser cette enquête, 600 collégiens ont été interrogés.

7. QCM pour s’évaluer
111

a.

118 a.

112

c.

a.

119 a.

113

c.

c.

b.
b. c.

114

120 a.

115

c.

116

c.

121 b. 122 b.

117

b. c.

c.

8. Je me prépare au contrôle
9
45
72 9
= et
= ou bien 72 × 35 = 2 520 et
35
40 5
7
45
72
40 × 45 = 1 800 donc

.
35
40
b. 1 596 × 119 = 189 924 et 833 × 228 = 189 924 donc
1596 228
.
=
833 119
217 × 247
124 a. 133 × n = 217 × 247 donc n =
.
133
Avec la calculatrice, on trouve n = 403.
123

a.

125

3 1 1.
− =
4 2 4
3
4

18 L

1
2

18 L remplissent un207
quart du réservoir. 4 × 18 = 72. Ce
réservoir contient 72 L.
7
1 5 7
126
+ = . On fait de tour.
8
4 8 8
7 2 1 . La vis a avancé de 1 de mm soit 0,25 mm.
× =
8 7 4
4
1
87 1 1 1 1
127 Avec la calculatrice :
= .
− + + +
60 2 4 3 6
5
Donc ■ = 5.
1 1 9 . Après que Luc et Youri se sont servis,
128
+ =
4 5 20
11
il reste les
de la pastèque.
20
2 11 11
11
. Laurine a mangé les
de la pastèque.
×
=
3 20 30
30
1 15 1 12 11 22
=
=
=
4 60  ; 5 60  ; 30 60 . C’est Laurine qui a mangé la
plus grande part de pastèque.

(

)

1 1 1 3 . À eux trois, en une journée, ils refont
+ + =
3 4 6 4
3
les
du toit.
4
1
1
1
Ils refont donc du toit en de journée. × 6 h = 2 h.
3
3
4
En travaillant ensemble, ils mettront donc une journée
et 2 h pour refaire le toit.
137

9. Exercices d’approfondissement
129 La somme des trois notes de Marie-Jo est égale à 25.

En notant n la 4e note, 25 + n = 40. Donc n = 15.
1 1 1
− =
. Un côté de carreau représente donc
130
4 6 12
1
1 1
×
soit
.
5 12
60
1 1 1
1 1 1
3
2
− =
=
=
ou − =
.
4 5 20 60
5 6 30 60
1
6

1
5

138 On note r le diamètre du petit demi-disque noir.

1
Aire de la partie noire : π r2
2
1
Aire totale : π 4r2
2
1
La partie noire représente du logo.
4
139 L’âge du grand-père est un multiple de 4 × 7.
Les premiers multiples non nuls de 28 sont : 28 ; 56 ;
84 ; 112 ; …
Le grand-père a donc 84 ans.
84 1
× = 3 : correspond au sixième de l’âge du petit-fils.
4 7
3 × 6 = 18. Le petit-fils a donc 18 ans.

1
4

c b×c
a a×d
=
et =
.
d b×d
b b×d
205
a c
b. Si = , alors a × d = b × c.
b d
a c
c. Si a × d = b × c, alors = .
b d
131 a.

11

Babyloniens ont été amenés à utiliser d’abord un espace
puis un symbole particulier, ancêtre de notre zéro.
Quelques sites : http://www.math93.com
http://fr.wikipedia.org
http://maths-romelus.org
http://www.scribd.com
Quelques exemples de conversions d’heures, minutes,
secondes en heures :
51
10 h 51 min = 10 h +
h = 10,85 h
60
45
36
3 h 45 min 36 s = 3 h +
h+
h = 3,76 h
60
3 600
20
80
1
1
1 min 20 s =
h+
h=
h=
h.
3 600
3 600
45
60

Les Babyloniens utilisaient un système de numération sexagésimale (base 60) positionnelle (la valeur d’un
symbole dépend de sa position).
Ce système utilisait deux symboles :
le clou représentant l’unité et le chevron
valant
10 clous.
Ainsi, 1 s’écrit
; 24 s’écrit
43 s’écrit



















140

1
1
Les nombres 3 600 ; 60 ;  ;
sont représentés par
60 3 600
le même symbole :
Il est donc quelquefois difficile d’interpréter les nombres
écrits. Pour pouvoir distinguer les rangs différents, les



12

Tâche complexe : Faire des essais, choisir une méthode
• Certains élèves vont peut-être commencer à tâtonner,

Des aides possibles
Aide n° 1 : La grand-voile a la forme d’un triangle rectangle.
Aide n°  2 : Utiliser un tableau pour déterminer les
assemblages possibles de voiles selon la vitesse du vent.

faire des essais d’association de voiles. Si utile, on fera
noter que l’on ne peut mettre qu’une seule voile avant.
Il faut bien comprendre le tableau de gauche du
document 1 et le schéma des voiles, pour déterminer
les dimensions de la grand-voile et calculer ensuite son
aire selon son point de fixation sur le mât.
Pour chaque jour de croisière, plusieurs solutions sont
possibles. Peut être que dans la classe l’envie de les
connaître toutes va naître. Auquel cas, le tableur semble
un outil à conseiller. On laissera les élèves essayer d’organiser leur feuille de calcul, avant de donner des directives.



Quelques commentaires
Il faut prendre le temps d’analyser chacun des trois
documents et en particulier de comprendre que la force
du vent indiquée un jour donnée dans le document 3,
implique un encadrement de l’aire totale des voiles
indiqué dans le document 2. Les élèves comprendront
rapidement, tout au moins peut-on le prévoir, que les
données de température quotidienne et de direction du
vent sont superflues ici.





Une solution
Dans la plage C2:F6 du tableau suivant, on ajoute les aires de la grand-voile et de chaque voile avant.



Assemblage de voiles :
lundi : grand-voile « 10/10 » avec tourmentin ou grand-voile « 3/4 » avec foc n° 2 ;
mardi : grand-voile « 3/4 » avec tourmentin ou foc n° 1 seul ;
mercredi : grand-voile « 9/10 » ou « 7/8 » avec tourmentin ;
jeudi : grand-voile « 9/10 » ou « 7/8 » avec foc n° 2 ;
vendredi : grand-voile « 10/10 » avec foc n° 2 ou grand-voile « 3/4 » avec foc n° 1.







13

Informations complémentaires
L’échelle de Beaufort est principalement utilisée par les marins ; elle permet d’estimer la vitesse du vent par la seule
observation de ses effets sur la surface de la mer. Elle a été imaginée en 1805 par l’amiral britannique Francis Beaufort (1774-1857).
Force du vent

Appellation

Effets observés en mer

Vitesse v du vent
(en km/h)
v<1

0

Calme

La mer est comme un miroir.

1

Très légère brise

Quelques rides à la surface de la mer, sans écume.

2

Légère brise

Vaguelettes.

6 < v < 11

3

Petite brise

Très petites vagues avec parfois quelques moutons épars.

11 < v < 19

4

Jolie brise

Petites vagues devenant plus longues avec des moutons plus
nombreux.

19 < v < 29

1<v<6

Avertissement aux petites embarcations
5

Bonne brise

Vagues modérées, longues, nombreux moutons avec quelques
embruns.

29 < v < 39

6

Vent frais

Grosses vagues ou lames, crêtes d’écume blanches, embruns.

39 < v < 50

7

Grand frais

La mer grossit, lames déferlantes, traînées d’écume.

50 < v < 61

Avertissement de coup de vent
8

Coup de vent

9

Fort coup de vent

Lames allongées de hauteur moyenne, avec tourbillons d’embruns à leur crête, traînées d’écume.
Grosses lames, épaisses traînées d’écume, embruns réduisant la
visibilité.

61 < v < 74
74 < v < 88

Avertissement de tempête
10

Tempête

Très grosses lames (9 m de haut), déferlement de leur crête en
rouleaux, épaisses traînées d’écume ; la surface de l’eau semble
blanche. Visibilité réduite.

11

Violente tempête

Lames exceptionnellement hautes (on ne voit plus les navires
de moyen tonnage), mer complètement recouverte de bancs
d’écume. Visibilité réduite.

12

Ouragan

Lames déferlantes énormes (creux de 14 m), air plein d’écume
et d’embruns, mer entièrement blanche. Visibilité très fortement
réduite.

14

88 < v < 102

102 < v < 118

v > 118


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