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CHA

PITR

5

E

Équations du 1er degré :
problèmes

Choix pédagogiques
1. Le point sur les classes précédentes

Cette fois, la solution est un nombre décimal (2,4). Il faut
commencer par comprendre comment localiser la solution entre deux nombres entiers, puis tabuler entre ces
deux entiers avec un pas de 0,1.
Enfin, à l’activité 3, la technique précédente semble inefficace ; en effet, tabuler avec un pas de 0,1 ou de 0,01 ou
de… ne semble pas permettre de déterminer la solution.
Et pour cause, entre nous, la solution n’est pas un
5
nombre décimal
.
3
Cette progression paraît motivante pour introduire la
résolution algébrique d’une équation.

Dès l’école élémentaire, le signe « = » est le plus souvent
utilisé pour annoncer des résultats comme par exemple
8 + 13 = 21. Ce signe « = » correspond à la touche « = »
des calculatrices. Il est encore utilisé pour communiquer
la décomposition d’un nombre 27 = 3 × 9.
Au collège, l’emploi du signe « = » exprime que l’on a
affaire à deux expressions d’un même objet mathématique a + c = a + c (b  0).
b b
b
Ce signe est également utilisé pour traduire une identité
comme par exemple k(a + b) = ka + kb.
Dès la classe de 5e, le signe « = » acquiert un autre statut
dans l’écriture des équations. Il apparaît dans des énoncés dont on se demande s’ils peuvent être rendus vrais,
comme par exemple : pour quelle valeur de x a-t-on
2x + 3 = 15 ? Cette recherche se fera en testant l’égalité,
en donnant plusieurs valeurs successives à l’inconnue x.
En 5e, il est nécessaire d’apporter une attention particulière à l’introduction d’une lettre pour désigner un
nombre inconnu dans des situations où le problème ne
peut pas être résolu facilement par un raisonnement
arithmétique.
Le programme prévoit une initiation progressive à la
notion « d’équation ».
En 4e, l’apprentissage des équations sera étendu à la
mise en équation de problèmes, à la résolution d’équations et à l’interprétation des résultats.

()

3. Résolution algébrique d’une équation
L’activité 4 s’appuie sur le vécu, le bon sens des
élèves pour mettre en place les outils de la résolution algébrique. À savoir, entre nous, « a = b implique
a + c = b + c », « a = b implique ac = bc ». On a donc pris
le parti de ne pas procéder par équivalences. Par conséquent, le raisonnement mis en place par la suite nécessitera de tester les valeurs trouvées pour déterminer les
solutions effectives de l’équation. Ce choix est dicté par
l’avantage que représente la nécessité d’entretenir les
compétences des élèves en calcul numérique.
À l’activité 5, on reprend l’équation 8x + 7 = 5x + 12 que
l’on n’avait pu résoudre à l’activité 3.
Cette fois, on applique les propriétés mises en place à
l’activité précédente. On laisse malgré tout une certaine
part de choix, de liberté aux élèves pour imaginer quel
nombre il est intéressant de soustraire ou… à chaque
membre de l’égalité. Il est important de faire ressortir
qu’après la question a., on sait que 5 est le seul « can3
didat solution », et qu’il est nécessaire de se demander
alors « ce candidat est-il élu ? est-il retenu comme solution ? » Entre nous, on envisage ici la réciproque « si
x =  5 , alors est-ce que 8x + 7 = 5x + 12 ? »
3
Cette question b. n’a donc pas pour justification de vérifier l’absence d’erreur dans les calculs effectués au a.
L’activité 6 propose enfin un problème de mise en équation.
Au a., l’élève doit repérer une grandeur qui va pouvoir
s’exprimer de deux façons différentes (ici, la somme
identique payée par Emma et Guy).
Au b., on a fait le choix de laisser la question ouverte ;
l’élève doit choisir l’ordre des actions pour aboutir à

2. Équations du premier degré
à une inconnue
On a pris le parti de proposer des situations qui conduisent à une équation de la forme ax + b = cx + d et de
faire varier les nombres a, b, c, d de façon que l’obtention
de la solution, par essais et ajustements, soit de plus en
plus délicate, voire impossible.
À l’activité 1, l’arithmétique suffit pour résoudre ce
problème par tâtonnement ; en effet, la solution est un
nombre entier, 6.
À l’activité 2, l’introduction d’une lettre pour désigner le
nombre inconnu est nécessaire. La démarche consiste
à procéder par « essais-erreurs » ; elle implique un travail de recherche important. Pour une recherche plus
confortable l’utilisation de l’outil informatique dans
cette activité est conseillée et les tests sont effectués
au moyen d’un tableur.
1

« p = … ». Le professeur peut ainsi vérifier la compréhension des élèves lors des activités précédentes.
Ne pas oublier la place du test et penser enfin, au c., de
conclure par une phrase.

un tableur », revient sur l’utilisation d’un tableur pour
obtenir des encadrements successifs de plus en plus fins
d’une solution. Pour localiser plus aisément une solution, on introduit la colonne « Différence » où il suffit de
localiser le passage d’une valeur négative à une valeur
positive. On conjecture alors la présence d’une solution
entre les deux valeurs de x correspondantes.

4. Savoir-faire
L'énoncé 1 « Résoudre une équation » propose une
équation qui se ramène à une équation du type
ax + b = cx + d, après développement, réduction des
expressions écrites dans chaque membre.
L'énoncé 2 « Résoudre un problème sans écrire d’équation » relève du socle commun. En effet, le programme
précise que, dans ce cadre, les élèves peuvent être amenés à résoudre des problèmes se ramenant à une équation du 1er degré sans que la méthode experte soit exigible. L’arithmétique, la schématisation de la situation,
suffisent pour résoudre ce problème. D’autres situations
de ce type sont bien sûr proposées page 103.
L'énoncé 3 « Mettre un problème en équation » propose
ici une situation géométrique. C’est l’occasion de visualiser nettement, encore une fois, les différentes étapes de
ce type de résolution. Ici, le choix de l’inconnue est assez
naturel car sous-entendu dans la question posée par
l’énoncé. Il n’en est pas toujours ainsi, c’est par exemple
le cas de la situation proposée à l’exercice 75 page 110.
L'énoncé 4 « Localiser une solution d’équation avec

5. Compléments
Les exercices 7 à 15 page 103 peuvent être résolus par
l’arithmétique, par un schéma ou un raisonnement utilisant la réversibilité de l’action (on chemine du connu
vers l’inconnu : exercices 7 et 8).
Les exercices 43 et 44 page 106 proposent des situations
qui se ramènent à la résolution d’une équation qui a
une solution, mais où il faut veiller à la validité de cette
solution pour la situation.
L’exercice 55 page 107 propose la résolution de l’équation 5x – 1 = 3x – 1 . C’est l’occasion de montrer trois
4
2
méthodes différentes pour organiser les calculs.
Les exercices 78 et 79 page 110 conduisent à la résolution d’équations apparemment du second degré, mais
qui en fait se ramènent aisément à la résolution d’une
équation du 1er degré.

2

01

Corrigés
b.

1. Devinettes

• Devinette*
=3

=2
21 =

+
=3

Donc

• Devinette**

+

=7

=6
4
× 3
8
3 3 2
1 2 4 5
1 5 8 5

501
501
501
501

+

=9
c.

1 5
8 2
3 0
0
3 0

501
501

501

2. Je vérifie mes acquis
501

501
501

1. Bonne réponse : b.
2. Bonne réponse : b.
3. Bonne réponse : c.
4. Bonne réponse : a.
Pour x = 0, on trouve –5  – 2.
Pour x = 1, on trouve –3  3.
5. Bonne réponse : b.
6. Bonne réponse : c.
Il faut toujours taper = au début d’une formule dans une
feuille de calcul.
7. a. 18,5
b. 8
c. 19,1
d. 249,5 e. 308
8. a. 261
b. 75
c. 2 800
d. 6
9. a. 7  –1 b. 1  –15 c.13 = 13 d. –11  – 43

A

B

C

1

x

7x + 3

2x + 15

2

0

3

15

3

1

10

17

4

2

17

19

5

3

24

21

6

4

31

23

7

5

38

25

A

B

C

B–C

1

x

7x + 3

2x + 15

2

0

3

15

(7x + 3 ) – (2x + 15)
–12

3

1

10

17

–7

4

2

17

19

–2

5

3

24

21

3

6

4

31

23

8

7

5

38

25

13

La différence entre 7x + 3 et 2x + 15 change de signe
entre 2 et 3.
On peut penser que cette différence s’annule pour une
valeur comprise entre 2 et 3.
On peut penser que le nombre cherché est compris
entre 2 et 3.
d.
A
B
C

3. Activités

1

x

7x + 3

2x + 15

2

2,1

17,7

19,2

3

2,2

18,4

19,4

4

2,3

19,1

19,6

5

2,4

19,8

19,8

6

2,5

20,5

20

7

2,6

21,2

20,2

Le nombre tapé par Léo et Léa est 2,4.

1 0×5+3=3

0×4+9=9
Il n’y a pas égalité. Le nombre tapé n’est pas 0.
1×5+3=8
1 × 4 + 9 = 13
Il n’y a pas égalité. Le nombre tapé n’est pas 1.
2 × 5 + 3 = 13
2 × 4 + 9 = 17
Il n’y a pas égalité. Le nombre tapé n’est pas 2.
3 × 5 + 3 = 18
3 × 4 + 9 = 21
Il n’y a pas égalité. Le nombre tapé n’est pas 3.
4 × 5 + 3 = 23
4 × 4 + 9 = 25
Il n’y a pas égalité. Le nombre tapé n’est pas 4.
5 × 5 + 3 = 28
5 × 4 + 9 = 29
Il n’y a pas égalité. Le nombre tapé n’est pas 5.
6 × 5 + 3 = 33
6 × 4 + 9 = 33
Le nombre cherché est 6.

3 a. Lors d’une course à pied, Léo a parcouru 8 tours
de circuit et il lui reste 7 km a parcourir. Léa a parcouru
5 tours de ce même circuit et il lui reste 12 km à parcourir. Au départ Léo et Léa ont la même distance à parcourir. Trouver la longueur d’un tour de circuit.
b.
A
B
C

2 a. Si x est le nombre inconnu, alors 7x + 3 = 2x + 15.

1

x

2
3

8x + 7

5x + 12

0

7

12

1

15

17

4

2

23

22

5

3

31

27

6

4

39

32

7

5

47

37

La valeur cherchée est comprise entre 1 et 2.
3

A

B

C

1

x

8x + 7

5x + 12

2

1,1

15,8

17,5

3

1,2

16,6

18

4

1,3

17,4

18,5

5

1,4

18,2

19

6

1,5

19

19,5

7

1,6

19,8

20

8

1,7

20,6

20,5

9

1,8

21,4

21

10

1,9

22,2

21,5

3x + 7 = 12
On soustrait 7 à chaque membre de l’égalité.
3x + 7 – 7 = 12 – 7
3x = 5
On divise par 3 chaque membre de l’égalité.
3x 5
=
3 3
5
x=
3
5
40 21 61
+
=
b. 8 × + 7 =
3
3
3
3
25 36 61
5
+
=
5 × + 12 =
3
3
3
3
5
5
Ainsi 8x + 7 = 5x +12 si x = donc est bien la solution
3
3
de l’équation 8x + 7 = 5x +12.
5
n’est pas un nombre décimal et c’est pourquoi on
3
ne pouvait pas trouver cette solution avec le tableur.
On ne pouvait déterminer que des encadrements de
la solution.

La valeur cherchée est comprise entre 1,6 et 1,7.
A

B

C

1

x

8x + 7

5x + 12

2

1,63

20,04

20,15

3

1,64

20,12

20,20

4

1,65

20,20

20,25

5

1,66

20,28

20,30

6

1,67

20,36

20,35

7

1,68

20,44

20,44

6 a. Dépense d’Emma : 2p + 15
Dépense de Greg : 6p + 10
Équation : 2p + 15 = 6p + 10
b. 2p + 15 = 6p + 10
2p + 15 – 2p = 6p + 10 – 2p (on soustrait à chaque
membre de l’égalité le même nombre 2p)
15 = 4p + 10
15 – 10 = 4p + 10 – 10 (on soustrait à chaque membre
de l’égalité le même nombre 10)
5 = 4p
5 4p
=
(on divise chaque membre de l’égalité par le
4
4
même nombre 4)
p = 1,25
Vérification : 2 × 1,25 + 15 = 17,5
6 × 1, 25 + 10 =17,5
1,25 est la solution de l’équation 2p + 15 = 6p + 10
c. Le prix d’un stylo acheté par Emma et Greg est 1,25 €.

Le nombre cherché est compris entre 1,66 et 1,67.
c. Avec le tableur, on ne trouve que des encadrements
du nombre cherché.
Mais on ne trouve pas le nombre cherché. Une technique plus performante doit être mise en place.
4 a. Situation 1

La situation se traduit par une nouvelle égalité :
20 + 4x – 20 = 70 + 2y – 20 soit 4x = 2y + 50
Situation 2
La situation se traduit par une nouvelle égalité :
20 + 4x + 50 = 70 + 2y + 50 soit 4x + 70 = 2y + 120
Situation 3
La situation se traduit par une nouvelle égalité :
2 × (20 + 4x) = 2 × (70 + 2y) soit 40 + 8x = 140 + 4y
Situation 4
La situation se traduit par une nouvelle égalité :
(20 + 4x)2 = (70 + 2y)2 soit 10 +2x = 35 + y
Situation 5
La situation ne se traduit pas par une nouvelle égalité :
20 + 4x +100  70 + 2y soit 4x + 120  70 + 2y
b. « On obtient une nouvelle égalité, en ajoutant (ou
soustrayant) un même nombre à chaque membre d’une
égalité ».
« On obtient une nouvelle égalité, en multipliant (ou
divisant) par un même nombre chaque membre d’une
égalité ».

4. Je m’exerce
1 2x – 5 = x – 3x – 4
2x – 5 = –2x – 4
2x + 2x – 5 = – 4
4x – 5 = – 4
4x = – 4 + 5
4x = 1
x= 1
4
On vérifie que pour x = 1

4
9
• 2x – 5 = 2 × 1 – 5 = –
2
4
9
1
• x – (3x + 4) = – (3 × 1 + 4) = –
2
4
4
1
Donc est la solution de cette équation.
4
2 2 – 8t = 2t + 7 – 3t + 2
2 – 8t = –t + 9
2 = –t + 9 + 8t

5 8x + 7 = 5x + 12

On soustrait 5x à chaque membre de l’égalité.
8x + 7 – 5x = 5x + 12 – 5x
4

Tom avait pensé au nombre 6.
8 a. Pour trouver l’âge d’Adam, on effectue les calculs
(46 – 4)2 – 5. Adam a 16 ans.
b. 16 + 5 = 21. Éva a 21 ans.
9 0,60 + 0,53 = 1,13
Une carte postale timbrée coûte 1,13 €.
15,821,13 = 14. Il a acheté 14 cartes postales timbrées.

2 = 7t + 9
2 – 9 = 7t
–7 = 7t
t = –1
Pour t = –1, on vérifie que :
• 2 × (1 – 4t) = 2(1 – 4 x (–1)) = 10
• 2t + 7 – (3t – 2) = 2 × (–1) + 7– (3 × (–1) – 2) = 10
Donc –1 est la solution de cette équation.
3

× 3

...



10

:3

37

pantalon

–16

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

A
x
2,52
2,521
2,522
2,523
2,524
2,525
2,526
2,527
2,528
2,529
2,53

B
75x – 32
157
157,075
157,150
157,225
157,300
157,375
157,450
157,525
157,600
157,675
157,75

7

11

Marjorie

2255 = 45
45 × 4 = 180
Flavia a pris 45 photos et Marjorie 180 photos.
12 Remarque :
La somme des meusures des angles d’un triangle est
égale à 180°.
Équation à résoudre : 120 + 3x + x = 180
Résolution de l’équation
120 + 3x + x = 180
120 + 4x = 180
120 + 4x – 120 = 180 – 120
4x = 60
4x 60
x = 15
=
4
4
Vérification : 120 + 4 × 15 = 180
15 est solution de l’équation 120 + 4x = 180
Interprétation du résultat
Les angles du triangle mesurent 120°, 15° et 45°.

C
58x + 11
157,16
157,218
157,276
157,334
157,392
157,450
157,508
157,566
157,624
157,682
157,74

13

20 €
4€
4 cahiers

Calcul
de Lara

6

14

1

4

2
3
4
5
6
7

+5

2
29

24
–5

On effectue les calculs (29 – 5)4. On trouve 6.
508

5€

Stylo

20 – (5 + 4) = 11
114 = 2,75
Les 4 cahiers coûtent 11 €. Un cahier coûte 2,75 €.

4e

x4

Flavia

225 photos

Pour trouver le nombre auquel Tom avait pensé,
Calcul
de Tom

20 €

120 – 20 = 100
1002 = 50
2 pantalons coûtent 100 € donc un pantalon coûte 50 €.
Un pull coûte 70 €.

Il y a une solution comprise entre 2,529 et 2,530.

5. Socle commun de

pantalon
pull

Donc ■ = 213 = 7
4 70,80 = 8,75
La moquette posée a pour longueur 8,75 m.
5 On note x le prix, en euros, payé pour chaque DVD
par Jessica.
Elle a donc payé 10x euros.
Le lendemain avec cette même somme , elle aurait pu
en acheter 12 :
10x = 12(x – 2,25)
10x = 12x – 27
0 = 12x – 27 – 10x
0 = 2x – 27
27 = 2x
x = 13,5
Pour x = 13,5
• 10x = 10 × 13,5 = 135
• 12 (x – 2,25) = 12 × (13,5 – 2,25) = 135
Donc 13,5 est la solution de cette équation.
Donc Jessica a payé 13,5 € chaque DVD et Sylvie a raison.
6

120 €

+ 16

5

A

B

C

Prix d’un DVD
(en euros)
10
11
12
13
14
15

Prix payé
par Jordan
=4*A2+2*10
64
68
72
76
80

Prix payé
par Diariatou
=2*A2+5*10
72
74
76
78
80

Anita
1
1
a. 4 × − + 11 = 9
7–4× − =9
2
2
1
– est solution de l’équation 4x + 11 = 7 – 4x
2
Brice
1
1 7
5
8 × − + 3 = –1
–2× − =
2
2
2
2
5
1
– n'est pas solution de l’équation 8t + 3 = – 2t
2
2
Richard
1 1
1
1
3× − + =0
– +1=
2 2
2
2
1
1
– n’est pas solution de l’équation 3 x + = x + 1
2
2
Tifaine
1 13
7
1 11 7
=
2× − + =
3 − +
2 12
4
2
4
4
1
− est solution de l’équation :
2
11
13
2a + = 3 a +
4
12
21 Les équations :
7x + 5 = 5x + 9 ; 5(y – 2) + 8 = 2y + 4 ;
3(2t – 5) + 6t = 5t – 1
admettent 2 pour solution.
22 a. L’équation x2 = 2x est du 2e degré. L’exposant le
plus grand de l'inconnue est 2.
b. 0 et 2 sont deux solutions de cette équation.
23 a. Nombre de côtés :
Dans le groupe A : n + 17
Dans le groupe B : 3n + 3
b. Il faut résoudre l’équation : 3n + 3 = n + 17
Par essais successifs
Si n = 3 : 3n + 3 = 3 × 3 + 3 = 12 n + 17 = 3 + 17 = 20
Le polygone n’a pas 3 côtés.
Si n = 4 : 3n + 3 = 3 × 4 + 3 = 15 n + 17 = 4 + 17 = 21
Le polygone n’a pas 4 côtés.
Si n = 5 : 3n + 3 = 3 × 5 + 3 = 18 n + 17 = 5 + 17 = 22
Le polygone n’a pas 5 côtés.
Si n = 6 : 3n + 3 = 3 × 6 + 3 = 21 n + 17 = 6 + 17 = 23
Le polygone n’a pas 6 côtés.
Si n = 7 : 3n + 3 = 3 × 7 + 3 = 24 n + 17 = 7 + 17 = 24
Le polygone a 7 côtés.
Autre méthode :
Résolution de l’équation :
Lorsqu’on additionne (ou soustrait) un même
nombre à chaque membre d’une égalité, on
obtient une autre égalité.

Penser à tirer les formules vers le bas.
Comme Jordan et Diariatou ont payé la même somme
alors un DVD coûte 15 €.

20

15

4 580 m
ligne droite

(

3 120 m

4 580 – 3 120 = 1 460
2 tours de l’étang mesurent 1 460 m.
1 4602 = 730
La longueur d’un tour de l’étang est 730 m
16 0,5 kg de cerises coûte 1,75 €.
2 × 1,75 = 3,50
Un kg de cerises coûte 3,50 €.
17 a.

( )

)

( )

( )
)

(

(

Voiture vide
Batteries

Voiture en état de marche
1 400 kg

1 400 – 1 050 = 350
Le double de la masse des batteries est 350 kg.
3502 = 175
Les batteries pèsent 175 kg.
b. 1 400 – 175 = 1 225
La voiture sans les batteries pèse 1 225 kg.

6. Exercices d’application
a. 2 × 1 – 7 = – 5
6 × 1 + 4 = 10
1 n’est pas solution de l’équation 2y – 7 = 6y + 4
b. 2 × (–2) – 7 = –11
6 × (–2) + 4 = – 8
–2 n’est pas solution de l’équation 2y – 7 = 6y + 4
c. 2 × (–2,75) – 7 = –12,5
6 × (–2,75 ) + 4 = –12,5
–2,75 est solution de l’équation 2y – 7 = 6y + 4.
−3
15
21
1
19 a.
× 4 – 5 = –3
×4–
= – = –10,5
4
2
2
2
4 n’est pas solution de l’équation :
−3
15
1
x–5= x–
4
2
2
−3
15
1
b. × (–2) – 5 = – 6
× (–2) –
= –6
4
2
2
−3
15
1
–2 est solution de l’équation x – 5 =
x–
4
2
2
1
−3
15 −57
21
1 −1
c. ×
–5 = – = –5,25
× −

=
2
2
4
2
8
4
2
1
– n’est pas solution de l’équation :
2
−3
15
1
x–5= x– .
4
2
2
18

( )

( )

( )

6 tours d’étang

4 tours d’étang

1 050 kg

( )

)

3n + 3 – 3 = n + 17 – 3 soit 3n = n + 14
3n – n = n + 14 – n soit 2n = 14

( )

Lorsqu’on multiplie (ou divise) par un même
nombre chaque membre d’une égalité, on
obtient une autre égalité.
2n 14 soit n = 7
=
2
2
6

D. –3z – 1 = 2(z + 7) –3z – 1 = 2z + 14
–3z – 2z – 1 =14 –5z – 1 = 14
15
–5z = 14 + 1
–5z = 15
z=
= –3
−5
Vérification : –3 × (–3) – 1 = 8
2 × (–3 + 7) = 8
–3 est la solution de l’équation.
Élodie a raison : les équations A, C, D ont la même solution.

Vérification :
3 × 7 + 3 = 24
7 + 17 = 24
7 est la solution de l’équation
Interprétation du résultat : le polygone mystérieux a
7 côtés.
24 a.
4–x=9
–x = 5
x = –5
À chaque membre : on ajoute on multiplie
–4
par –1
13
b.
3y + 20 = 7
3y = –13
y=– 3

28

A. –2,5x – 6 = 2,1 – 5x –2,5x – 6 + 5x = 2,1 2,5x – 6 = 2,1
8,1
2,5x = 2,1 + 6
2,5x = 8,1
x = 2,5 = 3,24
Vérification : –2,5 × 3,24 – 6 = –14,1
2,1 – 5 × 3,24 = –14,1
3,24 est la solution de l’équation.
B. 5,4 – 3,2u = 1 – 1,2u
5,4 – 3,2u + 1,2u = 1
5,4 – 2u = 1
–2u = 1 – 5,4
–2u = –4,4
−4, 4
u=
= 2,2
−2
Vérification : 5,4 – 3,2 × 2,2 = –1,64
1 – 1,2 × 2,2 = –1,64
2,2 est la solution de l’équation.
C. 1,4 – 0,5x = 2 + 4x 1,4 – 0,5x – 4x = 2 1,4 – 4,5x = 2
–4,5x = 2 – 1,4
–4,5x = 0,6
0, 6
6
2
x=
=–
=–
−4,5
45
15
2
22
Vérification : 1,4 – 0,5 × −
=
15
15
2
22
8
2+4× −
=2–
=
15
15
15
−2
est la solution de l’équation.
15
D. 3t – 5 = –2t + 1,5
3t – 5 + 5 = –2t + 1,5 + 5
3t = –2t + 6,5
3t + 2t = –2t + 6,5 + 2t
5t = 6,5
5t 6,5
t = 1,3
=
5
5
Vérification : 3 × 1,3 – 5 = –1,1
–2 × 1,3 + 1,5 = –1,1
1,3 est la solution de l’équation.
L’équation C a pour solution un nombre non décimal.
Victor a raison : les équations A, B et D ont pour solution
un nombre décimal.

À chaque membre : on ajoute on divise
–20
par 3
t –5
c.
=7
t – 5 = 21
t = 26
3
À chaque membre : on multiplie on ajoute
par 3
5
25 a. La solution de l’équation k – 5 = 7 est 12.
b. La solution de l’équation 8 + x = –3 est –11.
c. La solution de l’équation – 4p = –5 est 5 = 1,25
4
t
d. La solution de l’équation = –5 est – 40.
8
26

a. –7x + 15 = 2x – 3 –7x – 2x + 15 = –3 –9x + 15 = –3
–9x = –3 – 15
–9x = –18
x=2
Vérification : –7 × 2 + 15 = 1
2×2–3=1
2 est la solution de l’équation.
b. 6x – 10 = 7x + 3 6x – 7x – 10 = 3
–x – 10 = 3
–x = 3 + 10
–x = 13
x = –13
Vérification : 6 × (–13) –10 = –88
7 × (–13) + 3 = – 88
–13 est la solution de l’équation.
c. 4t – 3 = –10t + 4 4t + 10t – 3 = 4
14t – 3 = 4
1
14t = 4 + 3
14t = 7
t=
2
1
1
Vérification : 4 × – 3 = –1
–10 × + 4 = –1
2
2
1
est la solution de l’équation.
2
d. y + 1 = –3y + 4
y +3y + 1 = 4
4y +1 = 4
3
4y = 4 – 1
4y = 3
y=
4
7
7
3
3
Vérification : + 1 =
–3 × + 4 =
4
4
4
4
3
est la solution de l’équation.
4

( )
( )

29

3
3
3
1
1
1
= – – 5x 3x – + 5x = –
8x – = –
4
4
4
2
2
2
1
3 1
1
8x = – +
8x = –
x=–
32
4 2
4
19
1
1
Vérification : 3 × −
– =–
32
32 2
3
19
1
– –5× −
=–
4
32
32
1

est la solution de l’équation.
32
5
5
5
5
1
1
b. x + = –x + 1
x+ +x=1
x+ =1
2
2
4
2
4
4
3
3 4
6
5
5
5
x=1–
x=–
x = – × = – = –1,2
2
2 5
5
4
2
4
Vérification :
1 × (–1,2) + 5 = 2,2
–(–1,2 ) + 1 = 2,2
2
4
–1,2 est la solution de l’équation.
a. 3x –

27

A. 2x – 23 = 9x – 2
2x – 9x – 23 = –2 –7x – 23 = –2
–7x = –2 + 23
–7x = 21
x = –3
Vérification : 2 × (–3) – 23 = –29
9 × (–3) – 2 = –29
–3 est la solution de l’équation.
B. 3 – 5t = 10 – 12t 3 – 5t + 12t = 10
3 + 7t = 10
7t = 10 – 3
7t = 7
t=1
Vérification : 3 – 5 × 1 = –2 10 – 12 × 1 = –2
1 est la solution de l’équation.
C. 4a + 13 = 22 + 7a 4a +13 – 7a = 22 –3a + 13 = 22
–3a = 22 – 13
–3a = 9
a = –3
Vérification : 4 × (–3) + 13 = 1
22 + 7 × (–3) = 1
–3 est la solution de l’équation.

( )
( )

7

a. Périmètre du triangle ABC : 3x + 2 + 2x + 1 + x + 3
soit (6x + 6) cm
b. On doit résoudre l’équation 6x + 6 = 18
31

4
4
1
3 1
3
+y=
– y
– +y+ y=
5
5
2
10 2
10
11
4 3
3
4
3
3
– + y=
y= 3 +
y = 10
5 2
2
2
10
10 5
22 11
11 2
y = 10 × 3
y = 30 = 15
3 1 11
1
−4 11
1
Vérification :
− ×
=–
+
=–
10 2 15
15
5 15
15
11
15 est la solution de l’équation.
5
1 1
2 5
1 1
2 9
1 2
d. a + = a +
a+ − a=
a+ =
2
4 4
5 2
4 4
5 4
4 5
1
9
2 1
9
3
a= −
a=
a=
15
4
5 4
4
20
5 1 1 10
5
Vérification : ×
+ =
=
2 15 4 24 12
1 1 2 25 5
×
+ =
=
4 15 5 60 12
1
est la solution de l’équation.
15
30 A. Résolution de l’équation
5 − 2x
5 − 2x
= 3x – 1

= 4 × (3x – 1)
4
4
5 – 2x = 12x – 4
5 – 2x + 2x = 12x – 4 + 2x
5 = 14x – 4
5 + 4 = 14x – 4 + 4
9 = 14x
9
x=
14
9
5−2×
13
9
13
14
=
Vérification :

–1=
14
14
4
14
9
est la solution de l’équation
14
B. Résolution de l’équation
2
2
2
1
1
3
+t= t+1
+t–t= t+1–t
=– t+1
5
5
5
4
4
4
2
3
3
3
–1=– t+1–1
– =– t
5
5
4
4
3
4
4
t=– × −
= = 0,8
5
5
3
2
1
Vérification : + 0,8 = 1,2
× 0,8 +1 = 1,2
5
4
0,8 est la solution de l’équation.
C. Résolution de l'équation
1
3
1
1
3
1
y–3= y+1
y–3– y= y+1– y
4
2
4
4
2
4
5
5
5
–3 = y + 1
–3 – 1 = y + 1 – 1
–4 = y
4
4
4
16
4
y = – 4 × = – = –3,2
5 15
3
Vérification : × (–3,2) – 3 = –3,8
× (–3,2) + 1= –3,8
4
2
–3,2 est solution de l’équation.
D. Résolution de l'équation
1 m + 6 = 4 – 2m
1 m + 6 + 2m = 4 – 2m + 2m
3
3
3
3
7 m+6= 4
7 m+6–6= 4 –6
3
3
3
3
14 3
7 m = – 14
m=–
× = –2
3
3 7
3
Vérification :
4 – 2 × (–2) = 16
1 × (–2) + 6 = 16
3
3
3
3
–2 est la solution de l’équation.
Conclusion :
Aline a raison (D), Léonard a raison (C), Maggy a raison
(A).
c. –

Résolution de l’équation
6x + 6 – 6 = 18 – 6
6x = 12
Vérification : 6 × 2 + 6 = 18
La solution de l’équation est 2.

x=

12
=2
6

Interprétation du résultat
Si x = 2, alors le périmètre du triangle est 18 cm.
c. Si x = 2, AB = 8 cm AC = 5 cm BC = 5 cm
Le triangle ABC est isocèle car il a deux côtés de même
longueur. Son sommet principal est C.
32 b. En déplaçant le point E , on trouve AE = 4 cm.
d. On note AE = d
10 × d
Aire du triangle rectangle ADE :
= 5d (cm2)
2
Aire du trapèze ABCE : 100 – 5d (cm2)
Pour trouver la solution du problème, on va résoudre
l’équation : 100 – 5d = 4 × 5d soit 100 – 5d = 20d

Résolution de l’équation
100 – 5d + 5d = 20d + 5d soit 100 = 25d et
100 25d
. Donc d = 4
=
25
25
Vérification : 100 – 5 × 4 = 80
20 × 4 = 80
4 est la solution de l’équation.
Interprétation du résultat
Aire du trapèze ABCE : 100 – 5 × 4 = 80 (cm2)
Aire du triangle ADE : 5 × 4 = 20 (cm2)
L’aire du trapèze ABCE est le quadruple de l’aire du
triangle ADE si AE = 4 cm.

( )

33 On note n le nombre situé dans la case jaune.
On doit résoudre l’équation :
39n – 22 = 31n + 26

Résolution de l’équation
39n – 22 – 31n = 26 soit 8n – 22 = 26 et 8n = 26 + 22,
48
8n = 48 et n =
=6
8
Vérification : 39 × 6 – 22 = 212
31 × 6 + 26 = 212
6 est la solution de l’équation.
Interprétation du résultat
6 est le nombre situé dans la case jaune.
x 39

6

234
– 22

x 31
186

212

+ 26

34 On note n est513
le nombre auquel Luka a pensé.
2n + 21 = 16 – 3n
5n + 21 = 16
5n = – 5
n = –1
On vérifie que pour n = –1

8

• 2n + 21 = 2 × (–1) + 21 = 19
• 16 – 3n = 16 – 3 × (–1) = 19
Donc –1 est la solution de cette équation.
Luka a pensé au nombre –1.
35 On note n le nombre de garçons .Le nombre de filles
est 2n.
Un jour d’hiver il y a n – 4 garçons et 2n – 3 filles.
Équation à résoudre :
2n – 3 = 4(n – 4) soit 2n – 3 = 4n –16
Résolution de l’équation
2n –3 – 2n = 4n –16 – 2n
–3 = 2n – 16
–3 + 16 = 2n – 16 + 16
13 = 2n
13 2n
soit n = 6,5
=
2
2
Vérification : 2 × 6,5 – 3 = 10 4 × (6,5 – 4) = 4 × 2,5 = 10
La solution de l’équation est 6,5.
Interprétation du résultat
Ce problème est impossible car il ne peut pas y avoir
6,5 garçons.

Résolution de l’équation
18n + 1 350 – 15n = 1 440
3n + 1 350 = 1 440
3n = 1 440 – 1 350
3n = 90
Soit n = 30
Vérification : 18 × 30 + 15 × (90 – 30) = 1 440
30 est la solution de l’équation.
Interprétation du résultat
30 jours ont été ventés.
39 1. On note m la masse de la pommade préparée. On
doit résoudre l’équation :
60
4
m+
m + 18 = m
100
25
Soit 0,76m + 18 = m
2. Résolution de l’équation
18 = m – 0,76m soit 18 = 0,24m
18
m=
= 75
0,24
60
4
Vérification : 0,60 × 75
× 75 + 18 = 75
m+
m
100
25
75 est la solution de l’équation
Interprétation du résultat
La masse de pommade obtenue est 75 g.
40 On note n le nombre de camions de 30 tonnes qu’on
peut charger.
On peut alors charger n + 8 camions de 20 tonnes.
La pleine charge peut être calculée de deux façons différentes :
Pleine charge : 30n tonnes
Pleine charge : 20(n + 8) tonnes
Pour trouver n, on doit résoudre l’équation :
30n = 20(n + 8) soit 3n = 20n + 160
Résolution de l’équation
30n – 20n = 20n + 160 – 20n soit 10n = 160
10n 160
=
soit n = 16
10
10
Vérification : 30 × 16 = 480
20(16 + 8) = 480
16 est la solution de l’équation 30n = 20(n + 8)
Interprétation du résultat
À pleine charge, on peut charger 16 camions de 30 tonnes.
41 On note n le nombre de dragées contenues dans
une boîte.
Le nombre de dragées peut être calculé de deux façons
différentes.
Nombre de dragées : 10n + 15
Nombre de dragées : 12n – 35
Pour trouver la solution du problème on doit résoudre
l’équation ; 10n + 15 = 12n – 35
Résolution de l’équation
12n – 35 – 10n = 10n + 15 – 10n
12n – 10n – 35 = 15 soit 2n – 35 = 15
2n – 35 + 35 = 15 + 35 soit 2n = 50

36 a. Dans 3 ans, le père aura 45 ans et le fils 11 ans.
L’âge du père ne sera pas le double de l’âge du fils.
b. Dans n années, le père aura 45 + n ans et le fils aura
11 + n ans.
On doit résoudre l’équation :
45 + n = 2 (11 + n) soit 45 + n = 22 + 2n
Résolution de l’équation
45 + n – 22 = 2n soit n + 23 = 2n
et 23 = 2n – n soit 23 = n
Vérification : 45 + 23 = 68
2(11 + 23) = 68
23 est la solution de l’équation
Interprétation du résultat
Dans 23 ans , l’âge du père sera le double de l’âge du fils.
Le père aura 68 ans et le fils aura 34 ans.
37 a. Si Bérénice a 20 ans, Aglaë a 15 ans et Thomas a
27 ans.
20 + 15 + 27  83
Donc Bérénice ne peut pas avoir 20 ans.
b. On note x l’âge de Bérénice.
Aglaë a x – 5 ans et Thomas a x + 7 ans.
On doit résoudre l’équation : x + x – 5 + x + 7 = 83
soit 3x + 2 = 83
Résolution de l’équation
81
3x = 83 – 2 soit 3x = 81 et x =
= 27
3
Vérification : 3 × 27 + 2 = 83
27 est la solution de l’équation.
Interprétation du résultat
Si Bérénice a 27 ans, alors Aglaë a 22 ans et Thomas a
34 ans et 27 + 22 + 34 = 83

On note n le nombre de jours ventés.
Il ya 90 – n jours calmes.
On doit résoudre l’équation : 18n + 15(90 – n) = 1 440
38

9

5
• 4x = 4 × = 10
2
5
Donc est la solution de cette équation.
2
Le carré ABCD et le triangle isocèle EFG ont le même
périmètre lorsque x = 2,5 cm, mais alors le triangle est
aplati.
45 On note x le côté du carré jaune.
Le côté du carré bleu mesure 12 – x.
Le côté du carré jaune peut être écrit : 12 – x + 1 = 13 – x
Ce côté s’exprime de 2 façons différentes : x et 13 – x. On
a donc l’égalité : 13 – x = x.
Résolution de l’équation
13 – x + x = x + x soit 13 = 2x
13 2x
soit x = 6,5
=
2
2
Vérification : 13 – 6,5 = 6,5
6,5 est solution de l’équation 13 – x = x
Interprétation du résultat
Pour construire cette figure, le carré jaune aura pour
côté 6, 5 cm et le carré bleu, 5,5 cm.
Le rectangle blanc aura pour largeur 1 cm et pour longueur 5,5 cm.
46 Vrai. L’addition est commutative donc :
7y + 3 = 3 + 7y et 3y + 5 = 5 + 3y
Les équations 7y + 3 = 3y + 5 et 3 + 7y = 5 + 3y ont la
même solution.
La valeur cherchée peut être nommée par n’importe
quelle lettre (l’inconnue).
Les équations 7y +3 = 3y + 5 et 3 + 7k = 5 + 3k ont donc
la même solution.
47 Vrai. Si x est le nombre cherché tel que :
–3x + 5= 2x – 13 alors 2 × (–3x + 5) = 2 × (2x – 13)
soit – 6x + 10 = 4x – 26.
Lorsqu’on multiplie par un même nombre chaque
membre d’une égalité , on obtient une autre égalité.
x est aussi la solution de l’équation –6x + 10 = 4x – 26.
Réciproquement, si x est le nombre cherché tel que :
– 6x + 10 = 4x – 26 alors 0,5(– 6x + 10) = 0,5(4x – 26)
soit –3x + 5 = 2x – 13
x est aussi une solution de l’équation –3x + 5 = 2x – 13.
Les équations –3x + 5 = 2x – 13 et – 6x + 10 = 4x – 26 ont
la même solution.
4x 0
48 Faux. Résolution de l’équation :
= soit x = 0.
4
4
Vérification : 4 × 0 = 0
La solution de l’équation est 0.
49 Faux. 22 = 4 donc 2 est solution de l’équation x2 = 4.
Or (–2)2 = 4, donc –2 est une autre solution de cette
équation.
50 Vrai. Un carré est toujours positif donc on ne peut
pas trouver de nombre x tel que x2 = –16.
Cette équation n’a donc pas de solution.
1
51 Faux. 4y – 2 = (12y – 6) soit 4y – 2 = 4y – 2
3

2n 50
=
soit n = 25
2
2
Vérification : 10 × 25 + 15 = 265
12 × 25 – 35 = 265
La solution de l’équation est 25.
Interprétation du résultat
Chaque boîte contient 25 dragées.
42 On note d la durée des congés annuels en France.
La durée des congés annuels :
• en Finlande est d + 10 jours
• en Belgique est d – 10 jours
La durée totale des congés dans ces 3 pays est :
38 × 3 = 114 jours.
Pour résoudre le problème, on doit résoudre l’équation :
d + d +10 + d – 10 = 114 soit 3d = 114
114
donc d =
= 38
3
Vérification : 3 × 38 = 114
38 est la solution de l’équation 3d = 114
Interprétation du résultat
La durée des congés annuels est :
• de 38 jours en France
• de 48 jours en Finlande
• de 28 jours en Belgique.
43 a. AB = DC = x cm
MB = x – 3 cm
Aire du rectangle ABCD : 7x (cm2)
Aire du rectangle BMNP : 2 × (x – 3) = 2x – 6 (cm2)
Si l’aire de ABCD dépasse de 40 cm2 l’aire de BMNP alors :
7x = 2x – 6 + 40 soit 7x = 2x + 34
Résolution de l’équation
7x – 2x = 2x + 34 – 2x soit 5x = 34
5x 34 soit x = 6,8
=
5
5
Vérification : 7 × 6,8 = 47,6
2 × 6,8 + 34 = 47,6
6,8 est la solution de l’équation : 7x = 2x + 34
Interprétation du résultat
Si DC = 6,8 cm, l’aire du rectangle ABCD dépasse de
40 cm2 l’aire du rectangle BMNP. On peut construire la
figure.
b. Si l’aire de ABCD est le double de l’aire de BMNP alors:
7x = 2(2x – 6) soit 7x = 4x – 12
Résolution de l’équation
7x – 4x = 4x – 12 – 4x soit 3x = –12
3x
12
soit x = – 4
=–
3
3
Vérification : 7 × (– 4) = –28 et 4 × (– 4) – 12 = –28
– 4 est la solution de l’équation 7x = 4x – 12
Interprétation du résultat
Le problème n’a pas de solution car la longueur de DC ne
peut pas être égale à – 4 cm .Une longueur est toujours
positive. On ne peut pas construire la figure.
5
44 2x + 5 = 4x
5 = 2x
x=
2
5
On vérifie que pour x = :
2
5
• 2x + 5 = 2 × + 5 =10
2
10

Cette égalité est toujours vraie.
Donc tout nombre est solution de l’équation :
1
4y – 2 = (12y – 6).
3
52 A → 2
B → –4
1
C→
2
D→8
53 1. 12 × 17 = 17 × (10 + 2) = 17 × 10 + 17 × 2 = 204
Ou 12 × 17 = 12 × (20 – 3) = 12 × 20 – 12 × 3 = 204
2. a. 12x – 1 = 203 soit 12x = 204
x = 17 car 12 × 17 = 204
Vérification : 12 × 17 –1 = 204 – 1 = 203
La solution est 17
b. 9x + 8x = 204 soit 17x = 204
x = 12 car 12 × 17 = 204
Vérification : 9 × 12 + 8 × 12 =12 × (9 + 8) = 12 × 17 = 204
La solution est 12
c. 8x –200 = – 9x + 4 soit 8x = – 9x + 204
17x = 204
x = 12
Vérification : 8 × 12 – 200 = –104
– 9 × 12 + 4 = –104
La solution est 12.
d. 30x – 54 =150 – 4x soit 30x = 204 – 4x et 34x = 204
x = 1 × 204 = 1 × 12 = 6
2 17
2
Vérification : 30 × 6 – 54 = 126
150 – 4 × 6 = 126
La solution est 6
54 On note x le nombre de jeux que pourra acheter
indifféremment Adeline sur l’un des deux sites.
Le prix payé peut s’exprimer de 2 façons différentes :
Prix payé : 40x + 8
Prix payé : 42x
On doit résoudre l’équation 42x = 40x + 8.
Résolution de l’équation
42x – 40x = 40x + 8 – 40x
2x = 8
1
1
× 2x = × 8
2
2
x=4
Vérification : 42 × 4 = 168 40 × 4 + 8 = 168
4 est la solution de l’équation.
Interprétation du résultat
Adeline pourra acheter indifféremment 4 jeux sur l’un
des deux sites.
5x – 1 3x + 1
55 Paula :
=
4
2
Si

10x – 2 = 12x + 4
Lorsqu’on additionne ( ou soustrait) un même
nombre à chaque membre d’une égalité, on
obtient une autre égalité.
10x – 2 – 10x = 12x + 4 – 10x
–2 = 2x + 4
–2 – 4 = 2x + 4 – 4
–6 = 2x
Lorsqu’on multiplie (ou divise) par un même
nombre chaque membre d’une égalité, on
obtient une autre égalité.
6 2x
– =
2
2
–3 = x
Vérification :
5(−3) −1
= – 4 et 3(−3) +1 = – 4
4
2
–3 est la solution de l’équation.
Dragan :
5x – 1 3x + 1
=
4
2
a+b a b
a−b a b
et
= +
= −
c
c c
c
c c
5x– 1 = 3 x+ 1
4
4 2
2
Lorsqu’on additionne ( ou soustrait) un même
nombre à chaque membre d’une égalité, on
obtient une autre égalité.
5 x – 1 – 5 x = 3x + 1 – 5x
4
4 4
2
2 4
– 1 = 1x+ 1
4 4
2
1
1
1
– – = x
4 2 4
3 1
– = x
4 4
Lorsqu’on multiplie (ou divise) par un même
nombre chaque membre d’une égalité, on
obtient une autre égalité.

( 43) = 4 × ( 41 x)

4× −

–3 = x
3 × (–3) + 1 = – 4
Vérification : 5 × (–3) – 1 = – 4
4
4
2
2
La solution de l’équation est –3.
5x −1 3x +1
Igor :
=
4
2
Lorsqu’on multiplie (ou divise) par un même
nombre chaque membre d’une égalité, on
obtient une autre égalité.

a c
alors ad = bc.
=
b d

5x −1
3x +1
= 4×
4
2
5x – 1= 2(3x + 1)


2(5x – 1) = 4(3x + 1)
On développe l’expression
dans chaque membre.

On développe l’expression
dans le membre de droite.
11

5x – 1 = 6x + 2

Interprétation du résultat
La longueur d’une bordure ne peut pas être un nombre
négatif.
58 On note x mon âge actuel.
Il y a 15 ans, j’avais x – 15 ans.
Dans 15 ans, j’aurais x +15 ans
Équation à résoudre : x + 15 = 2 (x – 15)
Résolution de l’équation x + 15 = 2x – 30
x + 15 + 30 = 2x – 30 + 30
x + 45 = 2x
x + 45 – x = 2x – x
45 = x
Vérification : 45 + 15 = 60 et 2( 45 – 15) = 60
La solution de l’équation est 45.
Interprétation du résultat
J’ai 45 ans.

Lorsqu’on additionne (ou soustrait) un même
nombre à chaque membre d’une égalité, on
obtient une autre égalité.
5x – 1 – 5x = 6x + 2 – 5x
–1 = x + 2
–1 – 2 = x + 2 – 2
–3 = x
5
3 × (–3) + 1 = – 4
Vérification : × (–3) – 1 = – 4
4
4
2
2
–3 est la solution de l’équation.
56 a. La recette d’un match de football est de 20 000 €
pour 5 000 spectateurs.
Les spectateurs avaient le choix entre deux tarifs : 7 €
et 2 €.
b. 7x + 2 (5 000 – x) = 20 000
7x + 10 000 – 2x = 20 000
5x + 10 000 = 20 000
5x = 20 000 – 10 000
5x = 10 000
x = 2 000
Vérification : 7 × 2 000 + 2 (5 000 – 2 000) = 20 000
2 000 est la solution de l’équation.
Interprétation du résultat
Il y a 2 000 places à 7 € et 3 000 places à 2 €.
57 Aline :
Résolution de l’équation 9x + 23 = 18x + 1
9x + 23 – 9x = 18x + 1 – 9x
23 = 9x + 1
23 – 1 = 9x + 1 – 1
22 = 9x
22
22 9x
=
x=
9
9
22
22 9
Vérification : 9 ×
+ 23 = 45 18 ×
+ 1 = 44 + 1 =45
9
9
22
est la solution de l’équation.
9
Interprétation du résultat
22
n’est pas un nombre décimal donc un achat ne peut
9
22
pas coûter
€.
9
Émeline :
Résolution de l’équation 18 + 2x = 75
18 + 2x – 18 = 75 – 18
2x = 57
2x 57
=
x = 37,5
2
2
Vérification : 18 + 2 × 37,5 = 57
37,5 est la solution de l’équation.
Interprétation du résultat
Le nombre de spectateurs ne peut pas être un nombre
décimal.
François :
Résolution de l’équation 4x – 3 = 5x + 6
4x – 3 – 6 = 5x + 6 – 6
4x – 9 = 5x
4x – 9 – 4x = 5x – 4x
x = –9
Vérification : 4 × (–9) – 3 = – 39
5 × (– 9) + 6 = –39
– 9 est la solution de l’équation

7. QCM pour s’évaluer
59
66

b. 60 c. 61 c. 62 a.
a. b. 67 a. c. 68 a. b. c.

63

b.

64

a.

65

a.

8. Je me prépare au contrôle
69 a. Sacha Guitry : 30x. Jules Verne : 32(x – 1,5)
b. Pour x = 24, on trouve que chaque collège a payé
720 €.
70

4x + 8 = 12 
x + 1 = 5x + 21 
8x – 4 = x – 3 

4x – 5 = –3x – 4
6x – 9 = 10x + 11
 –3x – 5 = –x – 7



71 On note x le nombre de personnes qui devaient
partir en vacances.
70x = 90(x – 2)
70x = 90x – 180
0 = 20x – 180
180 = 20x
x=9
On vérifie que pour x = 9 :
• 70 × 9 = 630
• 90 × (9 – 2) = 90 × 7 = 630
Donc 9 est la solution de l’équation.
Donc 7 amis sont finalement partis en vacances.
72 On note x la longueur BM.
3x
10 – x
= 5×
2
2
3x = 50 – 5x
8x = 50
x = 50 = 6,25
8
On vérifie que pour x = 6,25 :
3x 3 × 6,25
=
= 9,375
2
2
10 – x
10 − 6,25

=5×
= 9,375
2
2

12

Vérification : 0 × 2 + 5 × 3 = 15
3 livres de 2 cm et 3 livres de 3 cm d’épaisseur
Vérification : 3 × 2 + 3 × 3 = 15
6 livres de 2 cm et 1 livre de 3 cm d’épaisseur
Vérification : 6 × 2 +1 × 3 = 15
75 a. On note n le nombre situé dans la case jaune.
L’équation à résoudre est n = [5 (n + 1) – 3] × 2
Résolution de l’équation :
n = (5n + 2) × 2 soit n = 10n + 4
n – 4 = 10n – 4 + 4 soit n – 4 = 10n
n – 4 – n = 10n – n soit – 4 = 9n
4
−4 9n
soit n = –
=
9
9
9
Vérification :
5
2
4
4
[5 × (– + 1) – 3] × 2 = [5 ×
– 3] × 2 = – × 2 = –
9
9
94
9
La solution de l’équation est – .
9
Interprétation du résultat :

Donc 6,25 est la solution de cette équation.
Donc les deux triangles ABM et CDM ont même aire
lorsque BM = 6,25 cm.

9. Exercices d’approfondissement
On note L (en m) la longueur du terrain B.
La deuxième dimension du terrain A est 50 – x (en m).
Périmètre (en m) du terrain A :
2 × 20 + 2 × (50 – L) = 140 – 2L
Périmètre (en m) du terrain B : 2L + 2 × 20 = 2L + 40
d
Temps (en mn) mis par Boris : t = (t en minutes , d en
v
mètres, v en m/min)
140 − 2L
t=
70
2L+40
Temps (en min) mis par Anna : t =
130
Ils mettent la même durée. On doit donc résoudre
140 − 2L 2L+40
l’équation :
=
70
130
Résolution de l’équation
130 (140 – 2L) = 70 (2L + 40)
18 200 – 260 L = 140 L + 2 800
18 200 = 140 L + 2 800 + 260 L
18 200 = 400 L + 2 800
18 200 – 2 800 = 400 L
15 400 = 400 L
15 400
L=
= 38,5
400
2 × 38,5 + 40
140 – 2 × 38,5
Vérification:
= 0,9
= 0,9
130
70
38,5 est la solution de l’équation.
Interprétation du résultat :
La longueur du terrain B est 38,5 m.
Chaque personne a mis 0,9 min soit 0,9 × 60 s = 54 s pour
faire le tour d’un terrain.
74 On note x le nombre de livres de 2 cm d’épaisseur
et y le nombre de livres de 3 cm d’épaisseur.
Remarque : 0  x  7
Il faut donc chercher les nombres entiers x et y tels que :
15 − 2x
2x + 3y = 15 soit y =
3
On peut utiliser un tableur :
73

A

B

1

x

15 − 2x
3

2
3
4
5
6
7
8
9

0
1
2
3
4
5
6
7

5
4,33
3,67
3
2,33
1,67
1
0,33

+1

–4
9

5
9
x5

x2
–2
9

25
9

–3

b. Si n est le nombre
519 situé dans la case verte, on devra
résoudre l’équation n =[2 × (n – 3) + 1] × 5.
25
La solution de cette équation est
.
9
c. Si n est le nombre situé dans la case bleue, on devra
résoudre l’équation n = 2 × (5n – 3) + 1.
5
La solution de cette équation est .
9
d. Si n est le nombre situé dans la case orange, on devra
résoudre l’équation n = (2n + 1) × 5 – 3.
2
La solution de cette équation est – .
9
27 − n 5 .
76 On note n le nombre cherché alors
=
38 − n 6
Résolution de l’équation :
Égalité des produits en croix
pour 2 fractions égales
6(27 – n) = 5(38 – n)
On réduit l’expression
dans chaque membre.
162 – 6n =190 – 5n
Lorsqu’on additionne (ou soustrait) un
même nombre à chaque membre d’une
égalité, on obtient une autre égalité.
162 – 6n + 6n = 190 – 5n + 6n soit 162 = 190 + n
162 – 190 = 190 + n – 190 soit –28 = n
Vérification :
27 + 28 55 5 × 11 5
=
=
=
38 + 28 66 6 × 11 6
–28 est la solution de l’équation.

Plusieurs possibilités :
0 livre de 2 cm et 5 livres de 3 cm d’épaisseur
13

Interprétation du résultat
Le nombre cherché est –28.
77 a.

x2 + 3x – x – 3 = x2 – 4x + 5x – 20
soit x2 + 2x – 3 = x2 + x – 20
Lorsqu’on additionne (ou soustrait) un
même nombre à chaque membre d’une
égalité, on obtient une autre égalité.

3x + 16

2x + 5 x + 11
1+x

x+4
x

1

7
4

x2 + 2x – 3 – x2 = x2 + x – 20 – x2
soit 2x – 3 = x – 20
2x – 3 – x = x – 20 – x soit x – 3 = –20
x – 3 + 3 = –20 + 3 soit x = –17
Vérification :
(–17 – 1)(–17 + 3) = 252
(–17 + 5) (–17 – 4) = 252
La solution de l’équation est –17.
79 Le triangle est rectangle, donc d’après l'égalité de
Pythagore :
(x + 1)2 = x2 + 25
Soit (x + 1)(x + 1) = x2 + 25

3

3x + 15
2x + 8
5+x

x+7

x+3
x

5

4
3

1

Il faut résoudre l’équation 3x + 16 = 3x + 15
Résolution de l’équation :
3x +16 –16 = 3x + 15 – 16
soit 3x = 3x – 1
3x – 3x = 3x – 1 – 3x
soit 0x = –1
Cette équation n’a pas de solution.
Interprétation du résultat
On ne peut pas trouver x pour que les deux pyramides
aient le même nombre au sommet.
b.

On développe et on réduit l’expression
dans le membre de gauche.

x2 + 2x + 1 = x2 + 25
Lorsqu’on additionne (ou soustrait) un
même nombre à chaque membre d’une
égalité, on obtient une autre égalité.

3x + 16

x2 + 2x + 1 – x2 = x2 + 25 – x2 soit 2x + 1 = 25
2x + 1 – 1 = 25 – 1 soit 2x = 24
Lorsqu’on multiplie (ou divise) par un
même nombre chaque membre d’une
égalité, on obtient une autre égalité.

2x + 5 x + 11
1+x

x+4
x

1

7
4

3

4x + 10
3x + 3
2x

x

x+3
x

2x 24
=
alors x = 12
2
2
Vérification : (12 + 1) 2 = 169
122 + 25 = 169
La solution de l’équation est 12.
Il est donc possible de construire un tel triangle rectangle,
ses côtés ont pour longueurs 5 cm, 12 cm et 13 cm.
80 On considère que le bambou est perpendiculaire
au terrain plat.
L’unité choisie est « la coudée ».
Le triangle ABC est rectangle en A avec AC = 16.
Si on note AB = x, alors BC = 32 – x.

x+7
4
3

1

Il faut résoudre l’équation : 3x + 16 = 4x + 10
Lorsqu’on additionne (ou soustrait) un
même nombre à chaque membre d’une
égalité, on obtient une autre égalité.
3x + 16 – 10 = 4x + 10 – 10 soit 3x + 6 = 4x
3x + 6 – 3x = 4x – 3x soit 6 = x
Vérification :
3 × 6 + 16 = 34
4 × 6 + 10 = 34
6 est la solution de l’équation 3x + 16 = 4x + 10.
Interprétation du résultat
Si on remplace x par 6 les deux pyramides ont le même
nombre au sommet.
78 (x – 1)(x + 3) = (x + 5)(x – 4)
Résolution de l’équation

B

x

32

A

–x

16

C

Dans le triangle ABC rectangle en A d’après l’égalité de
Pythagore on a :
BC2 = AB2 +AC2 soit (32 – x)2 = x2 + 256

On développe et on réduit l’expression
dans chaque membre.
14

Résolution de l’équation :
(32 – x) (32 – x) = x2 + 256
1 024 – 32x – 32x + x2 = x2 + 256
x2 – 64x + 1 024 = x2 + 256
x2 – x2 – 64x + 1 024 = x2 – x2 + 256
– 64x + 1 024 = 256
– 64x + 1 024 – 1 024 = 256 – 1 024.
Soit – 64x = –768
−64x −768
=
soit x = 12.
−64
−64
Vérification :
(32 – x)2 = (32 – 12)2 = 202 = 400
x2 + 256 = 122 + 256 = 144 + 256 = 400
12 est bien solution de l’équation (32 – x)2 = x2 + 256.
Interprétation du résultat :
Le bambou a été coupé à 12 coudées du pied.
81 Le premier jour : Si Éva a mangé x parts de légumes,
elle a mangé 5 – x parts de fruits.
Le deuxième jour : Éva a mangé x + 1 parts de légumes
et 5 – (x + 1) soit 4 – x parts de fruits.
Elle a mangé : x + x + 1 = 2x + 1 parts de légumes
5 – x + 4 – x = 9 – 2x parts de fruits.
Il faut résoudre l’équation :
100 (2x + 1) + 80(9 – 2x) = 980
Résolution de l’équation :

Lorsqu’on multiplie (ou divise) par un
même nombre chaque membre d’une
égalité, on obtient une autre égalité.
80t 64
=
soit t = 0,8
80 80
Vérification : 80 × 0,8 = 64
0,8 est solution de l’équation 80 t = 64
Interprétation du résultat :
Ils vont se rejoindre au bout de 0,8 h soit 48 min à
15 h 18 min.
b. En 0,8 h Lucie aura parcourue 45 × 0,8 = 36 (km).
Ils vont se rencontrer à 36 km du domicile de Lucie.
83 Si n est le nombre de frères de Stan, alors il y a n + 1
garçons dans la famille et n filles.
Laura a n + 1 frères et n – 1 sœurs.
L’équation à résoudre est : n + 1 = 2(n – 1)
Résolution de l’équation :
n + 1 = 2(n – 1) soit n + 1 = 2n – 2
n + 1 + 2 = 2n – 2 + 2 soit n + 3 = 2n
n +3 – n = 2n – n soit n = 3
Vérification :
3+1=4
2(3– 1) = 4
La solution de l’équation est 3.
Interprétation du résultat :
Stan a 3 frères et 3 sœurs .Dans la famille, il y a 4 garçons
et 3 filles.
84 Si on note n l’âge qu’a Yéléna aujourd’hui, alors mon
âge est 24 + n.
Quand j’avais n années, alors Yéléna avait n – 24 ans.
L’équation à résoudre est :
24 + n = 2(n – 24) soit 24 + n = 2n – 48.
Résolution de l’équation :
24 + n + 48 = 2n – 48 + 48 soit n + 72 = 2n
n + 72 – n = 2n – n soit n = 72.
Vérification : 24 + 72 = 96
2 × (72 – 24) = 96
72 est la solution de l’équation.
Interprétation du résultat :
Yéléna a 72 ans. J’ai 24 ans de plus qu’elle. J’ai donc
96 ans.
85 Histoire des équations
De l’époque babylonienne jusqu’à nos jours, en passant
par l’Égypte des Pharaons, la Grèce et la Rome antiques,
les mathématiciens ont travaillé sur la résolution d’équations
D’après les textes il est certain que les Égyptiens parvenaient à proposer des résolutions de problèmes apparentés à des équations du premier et du second degré.
Le papyrus de Rhind a été rédigé en 1650 av. J.-C. par le
scribe Ahmès, qui précise qu’il a recopié des écrits datant
de 200 ans. Retrouvé en 1857, ce papyrus est acheté par
Alexander Henry Rhind. Il contient 87 problèmes mathématiques (incluant les équations du 1er degré ).Dans la

On réduit l’expression dans
le membre de gauche.
200x + 100 + 720 – 160x = 980 soit 40x + 820 = 980
Lorsqu’on additionne (ou soustrait) un
même nombre à chaque membre d’une
égalité, on obtient une autre égalité.
40x + 820 – 820 = 980 – 820 soit 40x = 160
Lorsqu’on multiplie (ou divise) par un
même nombre chaque membre d’une
égalité, on obtient une autre égalité.
40x + 820 – 820 = 980 – 820 soit 40x = 160
40x 160
soit x = 4.
=
40
40
Vérification :
100 (2 × 4 + 1) + 80 × (9 – 2 × 4) = 980
4 est solution de l’équation
Interprétation du résultat :
Le premier jour, Éva a mangé 4 parts de légumes et une
part de fruit.
82 a. On note t le temps mis par les deux personnes
pour aller au lieu de rendez-vous.
d=v×t
avec v en km/h et t en h.
d parcourue par Lucie = 45 t
d parcourue par Georges = 35 t
45 t + 35 t = 64 soit 80 t = 64.
15

http://fr.wikipedia.org/wiki/Histoire_des_%C3%A9qua
tions#De_l.27Antiquit.C3.A9_.C3.A0_la_Renaissance
http://wapedia.mobi/fr/Th%C3%A9orie_
des_%C3%A9quations_(histoire_des_sciences)
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_du_
premier_degr%C3%A9#Historique
http://www.math93.com/equation.htm

Grèce antique , le mathématicien Diophante est connu
pour ses essais de résolution d’équations dont les coefficients sont des nombres entiers et dont les solutions
sont également des nombres entiers. Ces équations sont
nommées « équations diophantiennes ».
Le mathématicien perse Al Khwarizmi (né vers 783)
fut le premier à répertorier de façon systématique des
méthodes de résolution d’équations en classant celles-ci.

16

Tâche complexe : Prévoir l'étendue des travaux
• On peut ensuite augmenter le nombre de pavés sur

Des aides possibles

chaque côté de la partie carrée de la cour (10 pavés,
15 pavés, 20 pavés). On constatera que l'on est loin des
2 500 pavés possibles (pour 20 pavés sur le côté de la
partie carrée de la cour, il faut seulement 176 pavés au
total).

Aide n° 1 : Faire un schéma de cette situation lorsqu'on
pose 5 pavés sur chaque côté de la partie carrée de la
cour. Combien de pavés sont nécessaires dans ce cas ?
Aide n° 2 : Recommencer avec 10 carrés sur chaque côté
de la partie carrée de la cour.
Aide n° 3 : Imaginer une formule donnant le nombre
de pavés à poser selon le nombre de pavés posés sur
un côté de la partie carrée de la cour.

• D'où l'idée que les tâtonnements ne permettront pas

d'aboutir. Naîtra certainement l'envie de fabriquer une
formule pour connaître le nombre total N de pavés
connaissant le nombre n de pavés sur un côté de la
partie carrée de la cour. Voici quelques formules que
des élèves sont susceptibles de produire :
N = 4 × 2n + 4 × 4
N = 2 × 2 × (n + 4) + 2 × 2 × n
N = 4 × 2 × (n + 4) – 4 × 4
N = 2 × (n + 4) + 2 × 2 × (n + 2) + 2 × n
Peut-être, certains élèves penseront-ils à :
N = (n + 4)2 – n2.
Une fois une formule établie, on peut imaginer que
des groupes vont penser à utiliser un tableur pour déterminer le nombre n pour lequel N est le plus proche possible de 2 500 (sans le dépasser).
D'autres groupes peuvent penser à utiliser la calculatrice (pour cela, on peut se reporter à la page 82 du
manuel).

Quelques commentaires

• Certainement que les élèves commenceront par cal-

culer le nombre maximal de pavés que le collège peut
acheter (1 0000,4 soit 2 500 pavés).
Pour mieux appréhender la situation, il semble préférable de faire un schéma du pavage dans le cas d'un
petit nombre de pavés (par exemple 5) sur chaque côté
de la partie carrée de la cour. On peut utiliser des feuilles
de papier à petits carreaux.






Le pavage ci-dessus nécessite 56 pavé.

17

Une solution
Avec un tableur

• Avec le calcul littéral



A
1

n

2

10

B
Nombre total
de pavés
96

3

20

176

4

30

256

5

40

336

6

50

416

7

60

496

8

70

576

9

80

656

10

90

736

11

100

816

12

110

896

13

120

976

14

130

1 056

15

140

1 136

16

150

1 216

17

160

1 296

18

170

1 376

19

180

1 456

20

190

1 536

21

200

1 616

22

210

1 696

23

220

1 776

24

230

1 856

25

240

1 936

26

250

2 016

27

260

2 096

28

270

2 176

29

280

2 356

30

290

2 336

31

300

2 416

32

310

2 496

Quelle que soit la formule utilisée, après développement
et réduction, on obtient :
N = 8n + 16
On résout l'équation :
8n + 16 = 2 500 (ou 0,4(8n + 16) = 1 000)
8n = 2 500 – 16
8n = 2 484
2 484
n=
8
n = 310,5
Or n doit être un nombre entier, donc il n'est pas possible de réaliser un tel pavage qui utilise 2 500 pavés.
On prend pour n, le nombre entier inférieur le plus
proche de 310,5, soit n = 310.
En osant 310 pavés sur le côté de la partie carrée de la
cour, on obtient un pavage qui utilise 2 496 pavés.

La dimension maximale de la partie carrée de la cour est donc 310 × 12 cm soit 3 720 cm c'est-à-dire 37,20 m.

18


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