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CHA

PITR

6

E

Ordre
et opérations

Choix pédagogiques
1. Le point sur les classes précédentes

• En

3. Signe de la différence
Un des objectifs de ce chapitre est de comparer deux
nombres relatifs en étudiant le signe de leur différence.
C’est l’objet de l’activité 3, où l’enseignant pourra collecter utilement les différents essais des élèves afin d’en
dégager une règle. Les élèves auront ensuite immédiatement l’occasion de s’approprier cette règle à l’aide
de quelques exemples numériques (à traiter avec la
calculatrice), puis de s’intéresser à une situation liée au
calcul littéral.

6 e,

les élèves ont consolidé et poursuivi l’étude
entreprise à l’école primaire sur l’ordre des nombres
entiers et décimaux. Ils savent comparer des nombres
entiers ou décimaux, ranger une liste de nombres,
encadrer un nombre, intercaler un nombre entre deux
autres. Ils ont également travaillé sur le repérage sur
une demi-droite graduée, ils savent placer un nombre
sur une demi-droite graduée, lire l’abscisse d’un point
ou en donner un encadrement. Donner une valeur
approchée décimale d’un nombre décimal, par défaut
ou par excès, à l’unité, au dixième, au centième près, a
fait également l’objet d’apprentissage ; cette étude est
poursuivie en 5e, où désormais cette capacité fait partie
du socle commun.
En 5e, l’univers des nombres s’est enrichi : les élèves ont
découvert le rangement des nombres relatifs en écriture
décimale (capacité au socle commun de 4e). Le repérage
s’est étendu à la droite graduée : les élèves savent lire
l’abscisse d’un point d’une telle droite et y placer un
point d’abscisse donnée (exactement ou approximativement, en fonction du contexte).
Les élèves ont également appris à tester si une égalité est
vraie lorsqu’on attribue une(des) valeur(s) numérique(s)
au(x) nombre(s) indéterminé(s).
Remarque : la comparaison de nombres relatifs en écriture fractionnaire a été étudiée au chapitre 2.

4. Ordre et opérations
Les deux activités portent sur les effets des opérations
sur l’ordre.
L’activité 4 est consacrée au fait que les nombres relatifs
a + c et b + c, a – c et b – c sont rangés dans le même
ordre que a et b. À partir d’une situation issue de la vie
courante, les élèves sont amenés à émettre une conjecture ; en apporter la preuve est l’occasion d’utiliser le
signe de la différence comme outil de comparaison.
L’objectif de l’activité 5 est de montrer que les nombres
relatifs ac et bc sont rangés dans le même ordre que a
et b si c est strictement positif, dans l’ordre inverse si c
est strictement négatif. Les élèves commencent, sur des
exemples numériques, par apprendre à comparer des
produits a × c et b × c alors qu’ils connaissent l’ordre de
a et de b. Puis une preuve est apportée, liée au signe de
la différence de ac et de bc, avec factorisation de ac – bc
en (a – b)c.
Pour cette démonstration, le nombre a est choisi strictement supérieur à b ; on est donc amené naturellement à
distinguer les cas c  0 et c  0 pour pouvoir conclure.
On retrouve ces règles dans le cours (§3). Des exemples
liés au calcul littéral les illustrent.

2. Inégalités
On a choisi de commencer par travailler, dans les activités 1 et 2, sur les symboles d’inégalités, leur signification, le lien avec les abscisses de points d’une droite
graduée. Le vocabulaire lié aux symboles d’inégalités
doit être bien expliqué et travaillé (en particulier il est
possible que depuis quelques années les élèves lisaient
l’inégalité a  b : « a est inférieur à b » ; désormais, ils
liront « a est strictement inférieur à b »). Sur la droite
graduée, le coloriage d’une demi-droite, y compris l’origine ou non, permet aux élèves de bien se représenter
l’inégalité associée.
Tout ceci est repris dans le cours (§1) ; il pourra être
conseillé aux élèves de se fabriquer une fiche de synthèse à ce sujet.

5. Valeurs approchées et encadrements
L’activité 6 propose d’écrire différents encadrements
(à l’unité, au dixième, …, près) d’un même quotient, à
partir de l’affichage sur l’écran d’une calculatrice. Les
notions de troncature et d’arrondi sont introduites, ainsi
que l’amplitude d’un encadrement.
L’activité prend fin avec une situation issue de la vie
courante. On y verra l’utilité du symbole < ; l’utilisation
d’une droite graduée peut se révéler pertinente.
Une partie importante du cours (§ 4) est consacrée à ce
1

7. Compléments

thème, en particulier l’écriture d’encadrements résultant
d’une troncature ou d’un arrondi. Là aussi il pourra être
suggéré aux élèves de se fabriquer une fiche synthèse,
ce qui leur permettra de s’approprier ce nouveau vocabulaire et d’avoir de bonnes images mentales de ces
notions, grâce à l’utilisation d’une droite graduée.

• La plupart des capacités travaillées dans ce chapitre

ne sont pas au socle commun de 4e. Néanmoins, savoir
que les nombres relatifs a + c et b + c, a – c et b – c sont
rangés dans le même ordre que a et b, est au socle commun de 4e. C’est donc le thème des exercices de cette
page, où l’on propose des situations variées.
En ce qui concerne les exercices d’application, les
exercices 20 à 29 portent sur les inégalités, reconnaissance des différents symboles, traduction, lien avec la
droite graduée. À noter que dans les exercices 24 et 25,
il sera pertinent de tester les inégalités proposées.
Les exercices 30 à 36 portent sur l’équivalence entre le
signe de la différence de deux nombres et la comparaison de ces nombres. Remarque : l’exercice 35 nécessite
une certaine aisance en calcul littéral.
Dans les exercices 37 à 47, on travaille sur les différentes
règles « Ordre et opérations », sur des exemples numériques dans un premier temps, puis sur des inégalités, et
enfin dans le cadre de problèmes issus pour la plupart
de géométrie.
On s’intéresse aux encadrements ainsi qu’à la troncature
ou l’arrondi d’un nombre dans les exercices 67 à 74.
Dans la rubrique Rédiger, Communiquer, Argumenter, les exercices 66 à 68 peuvent être l’occasion
d’échanges des productions écrites entre élèves ; c’est
ainsi que certains élèves pourront se rendre compte de
certaines erreurs ou de l’implicite de certains de leurs
écrits. Des mini-débats pourront aussi s’organiser, en
particulier lors des exercices 69 à 72. Dans certains exercices, l’apport de contre-exemples sera valorisé.
Les thèmes proposés en travail autonome, dans
les QCM comme dans la préparation au contrôle, sont
variés. La plupart des réponses demande un investissement certain de l’élève : il ne s’agit pas de répondre
hâtivement. Il pourra être intéressant d’organiser des
confrontations des différentes démarches utilisées par
les élèves.
Dans la rubrique Exercices d’approfondissement,
certains exercices vont permettre à des élèves intéressés
par l’argumentation de mettre en œuvre des stratégies
pertinentes. Ces exercices peuvent faire l’objet de travaux de groupe, avec des échanges susceptibles d’être
animés.
Les deux défis portent bien leur nom, certains élèves
particulièrement méthodiques parviendront à les
résoudre astucieusement.
Le sujet d’exposé doit être motivant pour les élèves :
ce nombre π est bien connu des élèves, certaines de ses
valeurs approchées également, mais dans cet exposé, on
s’intéresse essentiellement aux fractions qui ont donné
de bonnes valeurs approchées et qui ont joué un certain
rôle, historiquement parlant.
De nombreux sites pourront être consultés.

6. Savoir-faire



Il s’agit de situations simples, directement réexploitables
en exercices, consacrées :
– à l’utilisation de la propriété sur ordre et multiplication
pour comparer deux nombres positifs (Énoncé 1),
– à l’utilisation des propriétés sur ordre et opérations
pour travailler sur les inégalités (Énoncé 2),
– à l’utilisation d’encadrements pour estimer le volume
d’un parallélépipède rectangle (Énoncé 3),
– à l’utilisation d’un tableur pour comparer deux aires à
l’aide du signe de leur différence (Énoncé 4).
Dans l’énoncé 1, on demande de comparer deux
nombres positifs, très grands dans un cas, très petits
dans l’autre. Un intérêt de cette situation réside dans
l’emploi de puissances de 10. On peut penser que
l’étude de cet exercice résolu permettra aux élèves de
réussir d’autres exercices où, connaissant le rangement
de deux nombres, on en déduira la comparaison de
deux autres, grâce à l’utilisation des règles sur ordre et
opérations (calcul numérique).
Dans l’énoncé 2, on utilise ces mêmes règles, mais cette
fois, avec un objectif de travailler sur des inégalités. Il
s’agit alors de premiers pas dans la transformation d’inégalités : on y trouve des éléments communs de présentation avec ce qui a été mis en place dans le chapitre 5.
Les commentaires sont étoffés et doivent permettre
aux élèves de bien saisir les différentes étapes de raisonnement. Il pourra être conseillé aux élèves de réaliser
quelques fiches-méthode à partir de cet exercice résolu.
L’énoncé 3 porte sur différentes étapes conduisant à
trouver l’encadrement du volume d’un parallélépipède
rectangle dont on connaît deux dimensions et un arrondi de la troisième. L’utilisation de la droite graduée est
une aide pour la compréhension de la situation.
Les exercices de la rubrique « Je m’exerce » permettront
aux élèves de s’approprier peu à peu ces notions.
Il pourra être intéressant de mettre les élèves en situation de réaliser ce qui est proposé dans l’énoncé 4. Il
se peut que des élèves aient envie de faire quelques
essais afin de trouver la réponse. Toutefois l’utilisation
d’un tableur est intéressante ici ; on peut établir l’équivalence entre le signe de la différence des aires des deux
terrains et la comparaison de ces aires. À noter que certains élèves pourront avoir envie de comparer les aires
des deux parties « échangées », 4(x – 3) d’une part, 3x
d’autre part, en notant encore x la longueur en mètres
du côté du terrain carré. C’est une autre démarche que
celle proposée : la confrontation de ces deux démarches
peut être riche d’échanges entre élèves.










2

Corrigés
22
 0.
7
22
22
« …, je sais que le plus grand de π et
est
».
7
7
104 348
104 348
b. • π –
 0 donc π 
33 215
33 215
2 010 2 009
2 010 2 009



 0 donc
2 011 2 010
2 011 2 010
8
8
• – – (–1,142 8)  0 donc –  –1,142 8
7
7
c. a + 3  0 donc a – (–3)  0.
Cela revient à dire que a  –3.
D’où a  –2.

1. Devinettes

2. a. On remarque que π –

• Devinette*

La figure ➍ a la plus grande aire.
La figure ➊ a le plus petit périmètre.

• 1 Devinette**
1
1

1 est 1 et 1 1
7 .
− = , la moitié de
+
=
12
3 4 12
24
4 24 24
Donc Louise a parcouru les 7 du parcours.
24

2. Je vérifie mes acquis
1. Bonne réponse : c.
De ces trois nombres négatifs le plus petit est celui qui
a la plus grande distance à zéro.
2. Bonne réponse : a.
Un nombre négatif est plus petit qu’un nombre positif,
donc la réponse b est fausse.
3,465  3,4 donc la réponse c est fausse.
3. Bonne réponse : a.
7 14
5 10
et =
donc 14  11  10 .
=
3 6
3 6
6
6
6
4. Bonne réponse : b.
5. Bonne réponse : b.
23
23
≈ 3,285 7 donc 3,28 
 3,29.
7
7
6. Bonne réponse : c.
7. a. 6,3
b. 17,7
c. 22,0
d. 0,4
e. 0,8
f. 0,4
8. a. 7,21
b. 0,15
c. 1,89
d. 1,33
e. 2,75
f. 5,71
9. a. 72
b. 7
c. 35
d. 9

4 1. a. C’est la balance ➋.
b. C’est la balance ➋.
2. a. Sachant que a  b, on peut conjecturer que
a + c  b + c et a – c  b – c.
b. (a + c) – (b + c) = a + c – b – c = a – b
Comme a  b, on peut dire que a – b  0 donc la différence (a + c) – (b + c) est strictement positive.
Conclusion : a + c  b + c
c. (a – c) – (b – c) = a – c – b + c = a – b
On a toujours a – b  0 donc (a – c) – (b – c)  0.
Conclusion : a – c  b – c
d. Si a  b, alors a + c  b + c et a – c  b – c
5 1. a = –3 et b = 4
• Avec c = 3 : a × c = – 9 et b × c = 12
a×cb×c
• Avec c = –7 : a × c = + 21 et b × c = –28
a×cb×c
• Avec c = 8 : a × c = –24 et b × c = 32
a×cb×c
• Avec c = –12 : a × c = +36 et b × c = – 48
a×cb×c
2. a. Cela dépend du signe de c.
Lorsque c est négatif, il semble que a × c  b × c.
Lorsque c est positif, il semble que a × c  b × c.
b. a × c – b × c = c × (a – b)
• 1er cas : c  0
Sachant que a  b, on a : a – b  0
donc c × (a – b)  0
La différence a × c – b × c est strictement positive.
Conclusion : a × c  b × c
• 2e cas : c  0
On a toujours a – b  0 donc c × (a – b)  0
La différence a × c – b × c est strictement négative.
Conclusion : a × c  b × c.
c. Avec a  b :
si c  0, alors a × c  b × c
si c  0, alors a × c  b × c

3. Activités
1 1. a. Les nombres x sont strictement inférieurs à 3.

b. Les nombres x sont supérieurs ou égaux à 3.
2. a.
–2
0

0

4

2 a. • x est supérieur ou égal à 0.
• x est positif ou nul.
b. • x < 0
• x est inférieur ou égal à 0.
c. • x < 0
• x est strictement négatif.
3 1. a. Lorsque le 1er nombre est strictement supérieur
au 2e nombre.
b. • Dire que la différence a – b est strictement positive
revient à dire que a est strictement supérieur à b.
• Dire que la différence a – b est strictement négative
revient à dire qui a est strictement inférieur à b.

3

12 • Périmètre de ABCD = Périmètre de EFGH + 5
donc Périmètre de ABCD  Périmètre de EFGH
• 6 × 4 = 24
Périmètre de ABCD + 24  Périmètre de EFGH + 24
Conclusion : après augmentation de 6 cm de la longueur de chaque côté, le périmètre de ABCD est supérieur au périmètre de EFGH.
13 Volume d’eau utilisé par M. Lavoine : 60 000 m3
Volume d’eau utilisé par M. Laurge :
5 500 m3 × 12 = 66 000 m3
Avant restriction : 60 000  66 000
Après restriction : 60 000 – 10 000  66 000 – 10 000
Conclusion : M. Lavoine aura la moins grande consommation d’eau.
14 a. 0,35 × 10 = 3,50
L’arbre grandira de 3,50 m en 10 ans, au maximum.
• 1,50 + 3,50 = 5
Conclusion : sa taille maximale dans 10 ans sera de 5 m.
b. • Chaque année l’arbre grandira au minimum de
0,25 m.
10 m – 1,50 m = 8,50 m
8,50,25 = 34
• Chaque année l’arbre grandira au maximum de 0,35 cm.
8,50,35 ≈ 24,2
Conclusion : l’arbre atteindra une hauteur de 10 m entre
25 ans et 34 ans.

6 1. a. 2  a  3

La troncature à l’unité du nombre a est 2.
L’arrondi à l’unité du nombre a est 2.
b. 2,3  a  2,4
La troncature au dixième du nombre a est 2,3.
L’arrondi au dixième du nombre a est 2,4.
c. 2,36  a  2,37
La troncature au centième du nombre a est 2,36.
L’arrondi au centième du nombre a est 2,37.
2. 37,5  P  38,5

4. Je m’exerce
1. a. 4,69 × 108 < 4,7 × 108
b. –2,4 × 10–5 < –2,39 × 10–5
c. 58 × 108  57 × 109
En effet, 57 × 109 = 570 × 108.
d. 121 × 10–6  2,1 × 10–4
En effet, 121 × 10–6 = 1,21 × 10–4.
e. 4,5 × 10–13  3,21 × 10–12
En effet, 4,5 × 10–13 = 0,45 × 10–12.
2. Blaise a tort, car 0,86 × 1026 = 860 × 1023.
5
3. a. x  5
b. x  –
c. x  81
2
4. a. 5y  50
b. y – 5  5
c. y + 8  18
d. 3(y + 8)  54
5. Si 5t  –20, alors t  – 4
et donc t + 10  – 4 + 10 soit t + 10  6.
Donc Zoé a raison.
6. a. 6,85  h  6,95
8×h
b.  =
= 4 h donc 27,4    27,8
2
7. Encadrement de la longueur : 7,8  L  7,9.
Donc 39  5 L  39,5.
Richard et Malika ont raison, mais Mona et Rémy ont tort.
Donc deux personnes ont raison.
7

15

5. Socle commun de 4e

2
2
–5 –6
3
3
4
4
b. 8 –  7 –
9
9
c. –3 + 2,51  –5 + 2,51
d. – 4 + 106  2 + 106
9 a. 1 234 + 321  1 234 + 231
b. 6,237 + 26,5  26,5 + 6,247
c. –352,8 – 21  –352,79 – 21
d. –28,68 + 45,65  45,64 – 28,68
10 a.  + 1  L + 1
b.  – π  L – π
1
1
c.  – 5  L – 5
d.  +  L +
3
3
11 a. x + 1  –2 + 1 donc x + 1  –1
b. x – 5  –2 – 5
donc x – 5  –7
c. x + 2  –2 + 2
donc x + 2  0
d. 4 + x  –2 + 4
donc 4 + x  2
8

a.

Le tarif A est plus avantageux jusqu’à 13 séances.
Le tarif B est plus avantageux à partir de 14 séances.
1 2 1 1
16 a.
b. 27 + 3,8  27 + 3,78
+  +
9 7 7 9
c. 46 + 37  46 + 36
d. –3 + 10–5  –3 + 10–6
17 a. t  –2
b. t  –2
t + 3  –2 + 3
t – 2  –2 – 2
t + 3  1
t – 2  –4
c. t  –2
d. t  –2
t + 2  –2 + 2
t + 5,5  –2 + 5,5
t + 2  0
t + 5,5  3,5
4

a. 15 − 6  13 + 3
b. 15 − 5  14
4
3
4
3
15 1 14 10
14
15
c.
d.
+ 
+
−8
−8
4 9
3
9
3
4
19 • 22  23 donc 22 + 3 × 8  23 + 3 × 8
• 2 × 7  3 × 8 donc 22 – 2 × (–7)  22 + 3 × 8
Donc C  A  B.

b.

18

–4

d.
a. x  – 2
30 a. a  b
d. b  a



2x



x > 2



x2



2>x



x < 2



x  2



2<x



2x

1. On peut en déduire que a  4.
2. a. b  5
b. c  –2
d. d  –1
33 a.
0

2

b.
0

6

c.
–1 0

a. P1 = 3x P2 = 2x + 6
b. P1 – P2 = 3x – (2x + 6)

= 3x – 2x – 6

=x–6
c. P1  P2 car x  6 et donc x – 6  0.
35 a. 1 = AD × AE = (y + 1)(y + 2)
2 = HM × LK = (7 + y)(y – 3)
b. 1 = y2 + 2y + y + 2 = y2 + 3y + 2
2 = 7y – 3y + y2 – 21 = y2 + 4y – 21
c. 1 – 2 = (y2 + 3y + 2) – (y2 + 4y – 21)

= y2 + 3y + 2 – y2 – 4y + 21

= –y + 23

= 23 – y
d. 1  2 quand 23 – y  0 c’est-à-dire y  23.
1  2 quand 23 – y  0 c’est-à-dire y  23.
Conclusion : • pour y  23, on a 1  2 ;
• pour 3  y  23, on a 1  2 ;
• pour y = 23, on a 1 = 2.
36 5 + 3a – (2a + 9) = 5 + 3a – 2a – 9
=a–4
Or a  4 donc a – 4  0 et 5 + 3a 2a + 9
37 a. n + 1  5
n+1+15+1
n+26
34

2

–1 0

d.

2

d. x  – 4

32

4

–1 0

c. x  3
c. a = b
f. a  b

31

c.

28

4

b. x  2
b. a  b
e. a  b

29

b.

0

0

–3

a. C  5
b. T  –3
c. S  –50
d. P  15
e. L  0
21 a. Le nombre B est strictement inférieur à 6.
b. Le nombre C est supérieur ou égal à – 4.
c. Le nombre D est strictement supérieur à –2.
d. Le nombre F est positif ou nul.
e. Le nombre G est inférieur ou égal à –8.
f. Le nombre H est strictement négatif.
22 a. Oui
b. Non
c. Non
d. Non
e. Oui
23 a. Oui
b. Non
c. Oui
d. Oui
e. Oui
24 a. L’inégalité est vraie.
b. L’inégalité est vraie.
c. L’inégalité est vraie.
d. L’inégalité est vraie.
e. L’inégalité est vraie.
f. L’inégalité est fausse.
25 • 5 – 3 = 2 donc 5 – 3  1
• 2 × 5 + 1 = 11 et 3 × 5 – 3 = 12
donc 2 × 5 + 1  3 × 5 – 3
• –5 + 2 = –3 et –2(5 – 7) = 4 donc –5 + 2  –2(5 – 7)
• 3 × 5 + (5 – 1) = 19 et 2 × 5 + 10 = 20
donc 3 × 5 + (5 – 1)  2 × 5 + 10
Donc Marie a raison, seule l’inégalité –y + 2  –2(y – 7)
est fausse pour y = 5.
26 a. 4, 5, 6, 7, 8 ou 9
b. 0, 1, 2, ou 3
c. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 d. 0, 1 ou 2
27 a.

–3

5

0

20

0

0

c.

6. Exercices d’application

0

–2

a.

5

b. n + 1  5
n+1–15–1
n4
c. n + 1  5
n+1–45–4
n–31
2
1 3
38 a. s +
 donc s  9
9 9
7
2 5
1 5
b. s –  , s –  donc s  6
6 6
3 6
2
c. 4s 
7
1
2 1
2
1
×
4 × 4s  7 4 donc s  28 soit s  14

43 On note L la longueur et  la largeur en cm d’un tel
rectangle.
2 × ( + L) = 136
donc  + L = 68
• 1re méthode :   L donc la plus grande valeur possible de  est égale à L.
Alors  = L = 34. Donc   34.
• 2e méthode
On peut raisonner par l’absurde.
Si   34, alors L  34. Or   L, donc cela est impossible et l’hypothèse supplémentaire   34 est fausse.
Donc nécessairement   34.
• Conclusion : Thomas a raison.
44 1re méthode : Gordon se trompe. En effet : avec 3,9
comme longueur du côté d’un carré,
• l’aire du cube est : 3,92 × 6 = 91,26 et 91,26  96
• mais le volume du cube est : 3,93 = 59,319 et
59,319  50.
2e méthode : on note a le côté du cube en cm.
On a : 6a2  96 c’est-à-dire a2  16 et a  4.
Donc a2 × a  16 × a  16 × 4 c’est-à-dire a3  64.
Donc Gordon se trompe, car le volume du cube peut
donc être compris entre 50 cm3 et 64 cm3.
45 On note n le nombre pensé.
• –2  n  3
• – 4  2n  6
Agathe a tort, avec n = 2, son double est 4.
• 2  (–1) × n  –3
Solange a tort, avec n = –1, son opposé est 1.
• Axel a raison.
46 Aire du disque jaune : 1 = π × 22 = 4π
Aire du grand disque : 2 = π × (2 + 1)2 = 9π
Aire de la couronne rose : 3 = 2 – 1 = 9π – 4π = 5π
Or 4  5 donc 4π  5π et 1  3.
Conclusion : l’aire du disque jaune est strictement inférieure à l’aire de la couronne rose.
47 a. x  1
x × x  1 × x (car x est positif)
x2  x
b. 0  x  1
0 × x  x × x  1 × x (car x est positif)
0  x2  x
48 a. 7 – 3 = 4
b. 6,7 – 4,2 = 2,5
c. 7,3 – 5,5 = 1,8
d. 6 – (–3) = 9
e. –1,231 – (–1,234) = 0,003
f. 31,2 × 105 – 2,3 × 105 = 28,9 × 105

39 a. 3,14  π  3,15
3,14 + 2  π + 2  3,15 + 2
5,14  π + 2  5,15
b. 3,14  π  3,15
3,14 – 1  π – 1  3,15 – 1
2,14  π – 1  2,15
c. 3,14  π  3,15
3,14 + 2,87  π + 2,87  3,15 + 2,87
6,01  π + 2,87  6,02
d. 3,14  π  3,15
3,14 – 4,62  π – 4,62  3,15 – 4,62
–1,48  π – 4,62  –1,47
40

a. 1,234  1,243 donc 1,234 × 2 010  1,243 × 2 010
b. 2,45  3,45
donc –5,23 × 2,45  –5,23 × 3,45
c. – 6,3  – 6,4
donc – 6,3 × 510  – 6,4 × 510
d. – 2,8  – 2,9
donc – 2,8 × (–5,6)  – 2,9 × (–5,6)
41 a. p  –3
5 × p  5 × (–3)
5p –15
b. p  –3
1 p  1 × (–3)
4
4
1 p  −3
4
4
c. p  –3
1
1
– × p  – × (–3)
2
2
1
3
– p
2
2
d. p  –3
–12 × p  –3(–12)
–12p  36
42


5a > 5





a > 25



a
> 5
5

a > 1





a
> –5
−5

a < 25



–5a > –5



a<1
6

1 1 6
5
1
− =

=
5 6 30 30 30
h. 21 × 108 – 541 × 106 = 21 × 108 – 5,41 × 108
= 15,59 × 108
49 a. Le prix p de l’article est compris entre 7,90 e et
9,10 e.
7,90  p  9,10
b. 9,10 e – 7,90 e = 1,20 e
50 On note L la longueur et  la largeur en m de cette
pièce.
5,34 – 0,02  L  5,34 + 0,02
5,32  L  5,36
3,86 – 0,02    3,86 + 0,02
3,84    3,88
Aire minimale de la pièce en m2 : 5,32 × 3,84 = 20,428 8
Aire maximale de la pièce en m2 : 5,36 × 3,88 = 20,796 8
Conclusion : en notant  l’aire de la pièce en m2,
20,428 8    20,796 8
51 a. 1  a  2
b. 1,0  a  1,1
c. 1,07  a  1,08
d. 1,076  a  1,077
52 ABC est un triangle rectangle en A ; l’égalité de Pythagore donne :
AB2 = AC2 + BC2 = 52 + 62 = 25 + 36 = 61
a. 7,8  AB  7,9 b. AB ≈ 7,8 c. AB ≈ 7,810 2
53 a. 7,5  x  8,5
b. 7,15  y  7,25
c. 5,675  z  5,685
54 a. 9  a  10
b. 7,130  c  7,131
55 Ce nombre peut être 8,5 ; 8,6 ; 8,7 ; 8,8 ou 8,9.
56 a. 10,85 ‰  t  10,95 ‰
10, 85
b.
× 493 000 000 = 5 349 050
1000
10,95
× 493 000 000 = 5 398 350
1000
Le nombre de naissances dans l’Union européenne en
2008 est donc compris entre 5 349 050 et 5 398 350.
57 On note x la longueur RS en cm.
On souhaite que :
18,2  8 + 2x  18,4 et 20,75  4x  20,85.
On doit donc avoir simultanément 5,1  x  5,2 et
5,187 5  x  5,212 5 c’est-à-dire 5,187 5  x  5,2.
58 Faux. Avec x = –5, on a –x = –(–5) = 5 et –x positif.
59 Faux. Avec y = 1, son opposé est –1 et –1  2.
2
60 Vrai. En effet, –0,286 5  –
7  – 0,285 5.
61 Faux. Avec ■ = 0, 13,213  13,204 9.
62 Vrai. Si x  –5, alors –5x  25 et –10 – 5x  15.
62 a. –2  1 donc 5x2 – 2  5x2 + 1
b. 4π – 1 – (3π + 2) = π – 3
Or π  3, donc 4π + 1  3π + 2.
c. 5  6 donc 2x + 5  2(x + 3)
d. x2 – 2x + 5 – (–2x + 1) = x2 + 4
Or x2 + 4  0 donc x2 – 2x + 5  –2x + 1

a. 0,1
b. 0,05
c. 0,3
d. 0,4
On note n le nombre entier impair choisi par Clément.
150  18n + 13  200
150 – 13  18n + 13 – 13  200 – 13
137  18n  187
137 18n 187


18
18
18
137
187
n
18
18
137
187
Or
≈ 7,61 et
≈ 10,38
18
18
Conclusion : donc le nombre entier n peut être 8, 9 ou
10. Mais n est impair, donc n = 9.
66 a. Le produit de 3 par le nombre x est supérieur ou
égal à 2.
b. La somme du nombre y et de 5 est inférieur ou égale
à 9.
c. La différence du nombre x et de 7 est strictement inférieure à 10.
d. Le quotient du nombre t par 3 est strictement supérieur à 8.
67 • Donner un encadrement du prix d’un jeu vidéo
après les fêtes de Noël.
• Ce prix est compris entre 42 e et 51 e.
68 À l’aide de contre-exemples.
a. Avec x = –5, son opposé est –x = 5 et –5  5.
b. Avec x = 2 et y = –3 :
• x  y donc x – y  0
• mais x + y = 2 – 3 = –1 et x + y  0.
c. Avec x = –1 et y = –2 :
• x  y et y  0
• mais xy = (–1) × (–2) = 2 et xy  0.
d. Avec x = –2 et y = –3 :
•xy
• mais x2 = 4, y2 = 9 et x2  y2.
69 On ne connaît pas la 11e décimale, donc on ne peut
rien affirmer. On sait seulement que AB ≈ IJ.
70 R = 4,2 × 3,3 = 13,86
C = 3,7232 = 13,860 729
4, 4 × 6,3
T=
= 13,86
2
2
D = 2,1 × π
22
22
• Avec
: D = 4,41 ×
 = 13,86
7
7
donc R = T = D et D  C.
Donc Lilou a raison.
• Avec 3,15 : D = 4,41 × 3,15 = 13,891 5
donc R = T et T  C  D.
Donc Maxime a raison.
• Or, en réalité, on a R = T et D  R  C donc personne
n’a raison.
71 Je suis 12,434.
72 a et b désignent deux nombres relatifs.
• (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2

= a2 + 2ab + b2
64

g.

65

7

• (a + b)2 – (a2 + b2) = (a2 + 2ab + b2) – (a2 + b2)

= a2 + 2ab + b2 – a2 – b2

= 2ab
Conclusion : si a et b sont de même signe alors :
2ab > 0 et (a + b)2  a2 + b2
Si a et b sont de signes contraires alors :
2ab  0 et (a + b)2  a2 + b2

Valeur minimale de AH2 : 2,952 – 1,92 = 5,092 5
Donc AH  2,25.
Valeur maximale de AH2 : 3,052 – 1,72 = 6,412 5
Donc AH  2,54.
• Aire de ABE :  = EB × AH
2
6,25 × 2,54
6,15 × 2,25

2
2
6,91    7,94
6,91× 20
• Masse minimale de chaux :
= 55,28 (kg)
2,5
55,2815 ≈ 3,6
Il faut donc au minimum 4 sacs de 15 kg de chaux.
7,94 × 25
• Masse maximale de chaux :
= 79,4 (kg)
2,5
79,415 ≈ 5,3
Il faut donc au maximum 6 sacs de 15 kg de chaux.
92 EBC est un triangle rectangle en B ;
l’égalité de Pythagore donne :
EC2 = EB2 + BC2 = 22 + 12 = 5
2,236 0  EC  2,236 1
3,236 0  EC + 1  3,236 1
c’est-à-dire 3,236 0  AF  3,236 1
3,236 0
AF 3,236 1


AD
2
2
AF
1, 618 
 1, 618 05
AD
AF
1, 618 
 1, 619
AD
d
93 a. v =
t
36
La durée minimale est
= 0,4 (h) soit 24 min.
90
36
La durée maximale est
= 0,45 (h) soit 27 min.
80
Donc : 24 min  t  27 min.
b. 30 min = 0,5 h
31
12
31 min 12 s =
h = 0,52 h
+
60 3 600
13
La vitesse maximale est :
= 26 (km . h–1)
0,5
13
La vitesse minimale est :
= 25 (km . h–1)
0,52
Donc : 25 km . h–1  v  26 km . h–1
94 On note L la longueur et  la largeur en m de ce
champ, avec   L. On en déduit que 2  L × .
Or   130 donc 2  130   1302 et alors L ×   1302
c’est-à-dire L ×   16 900. Donc ce champ a une aire
d’au moins 1,69 ha. Par conséquent l’aire de ce champ
peut dépasser 1,865 ha et Kamel a tort.
Autre méthode : pour prouver que Kamel a tort, il
suffit de considérer un contre-exemple, par exemple
 = 130 m et L = 200 m.
Alors, l’aire du champ est 2,6 ha.
95 1. a. a  c donc a + b  c + b.
b. b  d donc b + c  d + c.
c. Donc a + b  c + b  c + d.
2. Avec x = 5 et y = –1, on a x  6 et y  2.
Mais x – y = 5 – (–1) = 5 + 1 = 6 et x – y  4.

7. QCM pour s’évaluer
73
80

b.
c.

b.

74
81

b.

82

b. 76 b. 77 a. 78 c. 79 c.
a. b. c. 83 a. b. c. 84 a. b. 85 a. b.

75

8. Je me prépare au contrôle
a. A = 5
B = 8,75
C = –9
11
D=–
donc D ≈ – 0,73
15
E = 0,000 25
F = 2,51
Donc : C  D  E  F  A  B
86

87

x+6<0
2x + 4 > – 6 
2 – 3x  8 
2x + 4  4x – 2 

3
4
 –7
 –4



12,37  x  12,38
12,375  y  12,385
On n’est pas certain d’avoir x  y.
En effet, x peut être égal à 12,379 et y peut être égal à
12,375. Alors x  y.
89 a. • n – 1
•n+1
b. n – 1 + n + n + 1 = 3n
2 011  3n  2 015
2 015
2 011
n
3
3
Donc n = 671.
Les trois nombres sont 670, 671 et 672.
2 × 4x
90 3(3 + x) 
2

9 + 3x  4x

9 x
Donc l’aire du rectangle est supérieure ou égale à l’aire
du triangle lorsque 0  x  9.
91 • 2,95  AE  3,05
4,35  HB  4,45
6,15  DC  6,25
• EH = DC – BH
Longueur EH minimale : 6,15 – 4,45 = 1,7
Longueur EH maximale : 6,25 – 4,35 = 1,9
Donc 1,7  EH  1,9
• Calcul de AH
Dans le triangle AEH rectangle en H, l’égalité de Pythagore donne :
AE2 = EH2 + AH2
2
2
donc AH = AE – EH2
88

(

8

)

96 1. a. a  c donc ab  bc car b positif.
b. b  d donc bc  cd car b positif.
c. Donc ab  bc  cd.
2. c  5 et h  4.
c ×h 5× 4

2
2
On peut en déduire que l’aire est strictement inférieure
à 10 m2.
97 • Claire : 3x  12 donc x  4
• Hervé : 2x – x  8 – 4 donc x  4
• Véronique : 0  x  10
• Tarik : x  5
Donc x est un nombre entier tel que 4  x  5.
Donc x = 4.
98 On note x le nombre d’années cherché.
2(5 + x)  30 + x
10 + 2x  30 + x

2x  20 + x
x  20
Pendant 20 ans, l’âge de Nolwenn restera strictement
supérieur au double de l’âge de Carla.
99 a. 16  x + 11  20 lorsque 5  x  9.
Donc ABC peut être isocèle en C car alors x = 7, mais il
ne peut pas être isocèle en B car il faudrait que x = 4.
b. • ABC peut être rectangle en A. Pour cela, on doit avoir
x  7 et 42 + 72 = x2 soit x2 = 65.

Pour cette valeur de x, on a 8  x  9, donc le périmètre
de ce triangle est compris entre 19 cm et 20 cm.
• ABC peut être rectangle en B. Pour cela, on doit avoir
3  x  7 et 42 + x2 = 72 soit x2 = 33.
Pour cette valeur de x, on a 5  x  6, donc le périmètre
de ce triangle est compris entre 16 cm et 17 cm.
100 a. • A = (1016 – 1)2 = (1016 – 1)(1016 – 1)
A = 1032 – 1016 – 1016 + 1 = 1032 – 2 × 1016 + 1
• B = (1023 – 1)(108 – 1)
B = 1031 – 1023 – 108 + 1
• Or 2 × 1016  1023 + 108
donc 1032 – 2 × 1016  1031 – (1023 + 108)
1032 – 2 × 1016 + 1  1031 – 1023 – 108 + 1
Conclusion : A  B.
101 00A - … - 00Z : 26 voitures
01A - … - 01Z : 26 voitures
77 fois 26 voitures
.
soit 2 002 voitures
.
.
76A - … - 76Z : 26 voitures
Donc la 2 011e voiture a pour début 77 et pour lettre, la
neuvième de l’alphabet à savoir I.
La 2 011e voiture est immatriculée 77I.
102 Citons par exemple les sites :
• http://fr.wikipedia.org/wiki/Pi
• http://www.pi314.net/sitepdf/approx.PDF

9

Tâche complexe : Informer au mieux la clientèle
À ce stade de la recherche, les élèves peuvent s’étonner
par exemple de voir que le forfait Standard semble plus
intéressant que le forfait Éco si on téléphone pendant
1 h par mois, alors que la durée des communications
incluses dans le forfait Standard est de 2 h.
On doit envisager d’affiner la recherche pour pouvoir
conseiller le client.
Certains élèves vont poursuivre leurs essais de façon
organisée ou non.
Certains élèves vont penser à utiliser un tableur pour
présenter clairement leurs résultats, sans exploiter les
capacités d’utilisation de variables (cellules) offertes par
le tableur. Ils s’en servent alors comme d’une calculatrice.
D’autres encore vont chercher à exploiter les capacités
du tableur afin que leurs calculs se fassent automatiquement. Ceux-là peuvent alors s’organiser pour écrire
des formules donnant, pour chaque forfait, le montant
de la dépense en fonction de la durée des communications, les calculs se faisant ensuite automatiquement.
Toutefois la recherche de ces formules n’est pas simple :
à partir du forfait Standard, il faut ajouter au montant
du forfait mensuel le coût des minutes supplémentaires :
par exemple, pour le forfait Standard, la dépense est
26 + 0,38(n – 120) où n désigne le nombre de minutes
supplémentaires.
À noter que dans le cadre du socle commun, on peut
évaluer la capacité à raisonner sans un recours au calcul
littéral.
À ce stade, les élèves sont en mesure de pouvoir
conseiller le client.
Il est possible que parmi les élèves ayant réalisé un
tableau, à partir de valeurs numériques seulement ou
à partir de formules, certains insèrent un graphique et
exploitent ce diagramme de manière assez naturelle,
pour déterminer le forfait le plus avantageux en fonction du temps de communication, en choisissant des
options intéressantes comme l’ajout d’un quadrillage
supplémentaire ou comme une échelle pertinente sur
l’axe correspondant aux durées de communication.
La fin de la séance est collective. Elle permet d’affiner
la réponse en exploitant simultanément les calculs du
tableur et le graphique. Tous les élèves peuvent y participer, quelle que soit leur démarche.
Ce qui peut être fait ensuite :
– collectivement, l’explicitation des inéquations et des
tests à l’aide de durées de communication, voire leur
résolution pour certains élèves,
– une mise au propre individuelle.

Des aides possibles
Aide n° 1 : Quel forfait conseillera-t-on si le client désire
avoir 30 minutes de communication par mois ? 1 heure ?
4 h 30 min ?
Remarque : on ne tient pas compte du nombre de SMS
envoyés.
Aide n° 2 : Calculer, pour chaque forfait, le montant de
la facture en fonction de la durée des communications
(on ne tient pas compte du nombre de SMS envoyés).
Comparer ces coûts et indiquer le forfait le plus avantageux selon le temps de communication.



Quelques commentaires

• On précisera dès le début de la recherche que les

conseils ne tiennent compte que de la durée des communications (on peut considérer que les SMS ont une
faible importance dans la facture).
Les élèves peuvent travailler par groupes.
Dans un premier temps, on pourra procéder à différents essais afin de comparer les dépenses en fonction
de la durée des communications estimée par le client :
on peut amener les élèves à présenter lisiblement leurs
résultats, par exemple dans un tableau (certains élèves
peuvent choisir des durées de communications régulièrement espacées, d’autres peuvent faire des essais au
coup par coup). Ils repèrent le forfait le plus avantageux
dans chaque cas.
Remarque : toutes les cases du tableau ne sont pas
nécessairement complétées.






Exemple avec un pas de 1 h :
Durée des
communications Éco Standard Lib Soutenu Pro
(en h)
0

7

26

37,4

1

29,8

26

37,4

2

52,6

26

37,4

3

48,8

37,4

59

4

71,6

59

59

95

5

80,6

59

95

6

102,2

77

95

7

123,8

95

95

113

95

8
9

95

10

95

11

95




10

Éléments de réponse
Voici un tableau résumant les conseils à donner aux clients.



Durée d des
communications

d  50 min

Forfait conseillé

Éco

50 min  d  2 h 30 min 2 h 30 min  d  4 h
Standard

Lib

4hd7h

d7h

Soutenu

Pro

• Exemple de tableau permettant de répondre.

• Exemple de graphique associé.

• Formules donnant le montant de la dépense en fonction de la durée des communications, selon le forfait.
Nom du forfait

Montant de la dépense en fonction du nombre n de minutes
au-delà des minutes incluses dans le forfait

Éco

7 + 0,38n

Standard

26 + 0,38(n – 120)

Lib

37,4 + 0,36(n – 180)

Soutenu

59 + 0,3(n – 300)

Pro

95 + 0,25(n – 600)

• Explicitation des inéquations.

Dépense avec forfait Éco  Dépense avec forfait Standard : 7 + 0,38n  26 soit n  50.
Dépense avec forfait Standard  Dépense avec forfait Lib : 26 + 0,38(n – 120)  37,4 soit n  150.
Dépense avec forfait Lib  Dépense avec forfait Soutenu : 37,4 + 0,36(n – 180)  59 soit n  240.
Dépense avec forfait Soutenu  Dépense avec forfait Pro : 59 + 0,3(n – 300)  95 soit n  420.

11


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