Transmath 3eme chap12 .pdf


À propos / Télécharger Aperçu
Nom original: Transmath 3eme chap12.pdf
Titre: 12-Chap_171197.qxp
Auteur: 03

Ce document au format PDF 1.3 a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 28/01/2014 à 17:44, depuis l'adresse IP 83.154.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 5041 fois.
Taille du document: 129 Ko (10 pages).
Confidentialité: fichier public


Aperçu du document


12

Configurations de Thalès

1. Test de démarrage
1 Réponse b : dans un triangle ABC où M est un point du
côté [AB] et N est un point du côté [AC], si les droites (MN)
et (BC) sont parallèles, alors les longueurs des côtés du
triangle AMN sont proportionnelles aux longueurs des côtés
correspondants du triangle ABC.
AM AN MN
Donc :
=
=
.
AB
AC
BC
2 Réponse c : AB = 3 × AM donc AC = 3 × AN.

Ainsi AC = 3 × 1,6 cm = 4,8 cm.

3 Réponse a : R appartient à [AT], donc :
AT = AR + RT = 18 + 7 = 25.
Dans le triangle ATE, comme R est un point de [AT] et M un
point de [AE] et comme les droites (RM) et (TE) sont paralAR RM
18 27
lèles,
=
soit
= .
AT
TE
25 TE

4 Réponse b : l’égalité des produits en croix donne :
2 × AB = 3 × 5

et

AB =

3×5
.
2

5 Réponse b : Le rapport de réduction est égal à AR
18
c’est-à-dire .
25

AT

2. Activités
1 • A appartient au segment [BT] donc :
AB = BT – AT = 2 m – 1,5 m = 0,50 m.
Le bâton et le phare sont supposés être perpendiculaires au
sol, donc les droites (AB) et (HP’) sont supposées parallèles.
• Dans le triangle OHP’, comme A est un point du côté [OH]
et B un point du côté [OP’] et comme les droites (AB) et
(HP’) sont parallèles :
OA
OB
AB
=
=
.
OH OP’ HP’
• Calcul de HP’ :
OA AB
3
0,50
=
soit
=
OH HP’
183
HP’
183 × 0,50 . Donc HP’ = 30,50 m.
et HP’ =
3
Comme H appartient à [PP’] alors :
PP’ = PH + HP’ = 1,50 m + 30,50 m = 32 m.
La hauteur du phare est 32 m.

2 b. On déplace le point M sur la droite (d). Alors le point
N se déplace sur la droite (d’) de telle façon que les droites
(MN) et (BC) restent parallèles.
On constate que l’on a toujours :
AM
AN MN
=
=
.
AB
AC
BC’
Conjecture : on peut penser que si M appartient à la droite
(AB) ; N à la droite (AC) et si (MN) est parallèle à (BC), alors :
AM
AN MN
=
=
.
AB
AC
BC
c. Par une symétrie centrale, l’image d’une droite est une
droite parallèle.
Comme les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors les
droites (M’N’) et (BC) sont aussi parallèles.
On utilise les connaissances de quatrième : dans le triangle
ABC, comme M’ est un point du côté [AB] et N’ un point du
côté [AC] et comme les droites (M’N’) et (BC) sont parallèles, alors :
AM’ AN’ M’N’
=
=
.
AB
AC
BC
Une symétrie centrale conserve les longueurs, donc :
AM’ =AM ; AN’ = AN et M’N’ = MN.
AM AN MN
On en déduit que :
=
=
.
AB
AC
BC
Remarque : On utilise le même raisonnement dans le cas où
le point B appartient au segment [AM’] et le point C appartient au segment [AN’].
d. « Deux droites (MB) et (NC) sont sécantes en A. Si les droites
AM AN MN
(BC) et (MN) sont parallèles, alors
=
=

AB AC BC

3 a. AM = 9 ; AN = 6,9 .
AB

6,5 AC

5

Comme 9 × 5 ≠ 6,5 × 6,9 alors

9
6,9 AM AN

et

.
6,5
5
AB AC

b. Les droites (NC) et (MB) sont sécantes en A. Si les droites
(MN) et (BC) étaient parallèles, on devrait avoir :
AM AN
=
d’après l’activité 2.
AB AC
AM AN
Comme

, on peut en déduire que les droites (MN)
AB AC
et (BC) ne sont pas parallèles.

4 a.
F
E

(d)

5

3
C2
G

A
5

B

C1

12 • Configurations de Thalès • 101

Ꮽ’2 = SA’ × A’B’ = 36 m × 40 m = 720 m2.
2
2

5 a. Comme jBAC ≠ kMAN, la condition « les points B, A, N

Conclusion : Ꮽ’1 = 22 × Ꮽ1 et Ꮽ2’ = 22 × Ꮽ2.
Ꮽ1 × SA 200 m2 × 18 m
c. ᐂ =
=
= 1 200 m3.
3
3
ᐂ’ =

Ꮽ’1 × S’A’ 800 m2 × 36 m
=
= 9 600 m3.
3
3

On remarque que : ᐂ’ = 23 × ᐂ.
d. « Si on agrandit ou on réduit dans le rapport k, une figure
d’aire Ꮽ et un solide de volume ᐂ alors Ꮽ est multipliée par
k2 et ᐂ est multiplié par k3. »

• Sciences en construction
a. Les droites (EC) et (DA) se coupent en B.
Comme les droites (DE) et (CA) sont parallèles, alors d’après
le théorème de Thalès :
BE BD
=
.
BC BA
BE BD
Sachant que AB = 1, on a alors
=
.
BC
1

et C, A, M sont alignés » n’est pas vérifiée et les
triangles ABC et AMN ne forment pas une configuration de
Thalès.
b. jCBA ≠ kANM (en position d’angles alternes-internes) donc
les droites (BC) et (MA) ne sont pas parallèles.
Donc les triangles ABC et AMN ne forment pas une configuration de Thalès.

6 a. Les droites (MP) et (RN) sont perpendiculaires à la
même droite (MN), donc les droites (MP) et (RN) sont des
droites parallèles.
Les droites (PR) et (MN) se coupent en O et les droites (MP)
et (RN) sont parallèles. Donc les triangles OMP et ORN
forment une configuration de Thalès et leurs côtés ont des
longueurs proportionnelles :
OM OP MP
=
=
.
ON OR RN

7 a. AM = 0,375 ;
AB

AN
= 0,375.
AC

Comme A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre
AM
AN
et comme
=
, alors d’après la réciproque du théoAB
AC

Donc BE × 1 = BD × BC et BE = BD × BC.
b.
E

rème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

C

2,5

8 Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur
milieu.
DO 1
Comme O est le milieu de [DB], alors
= . Comme E est
DB 2
DE
1
le milieu de [DC], alors
= .
DC 2
cm
A 1 cm B

D
3,6 cm
On mesure : BE = 9 cm.

3. Exercices
• Exercices de base
1 ER = ES = RS .
EF

EG

FG

2 a. Les triangles OPQ et OUV forment une configuration
de Thalès. D’après le théorème de Thalès, les longueurs de
leurs côtés sont proportionnelles.
b. Le coefficient de proportionnalité est 5.
UV
OV = 5 × OQ = 4 et PQ =
= 0,3.
5
3 D’après le Théorème de Thalès :


MG GH
GH × MN
=
donc MG=
= 4,2 cm ;
MN NP
NP



MH GH
NP × MH
=
donc MP=
= 2 cm.
MN NP
GH

4 OA = OB = AB .
OE

OF

EF

Comme D, O, B et D, E, C sont alignés dans le même ordre
DO DE
et comme
=
, alors d’après la réciproque du théoDB
DC
rème de Thalès, les droites (OE) et (BC) sont parallèles.
Autre rédaction : Dans un triangle, si une droite passe par
les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.

9 a. LO = 1,6 ;
LK

LU
= 1,6.
LJ

b. « Les points J, L, U et les points K, L, O sont alignés dans
LO LU
le même ordre et
= .
LK
LJ
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les
droites (JK) et (OU) sont parallèles.

10 a. Dans un agrandissement, la mesure des angles est
conservée.
Donc hBAC = hFEG = 30°.
hACB = hEGF = 53°.
b. AB = 1,5 × EF = 3 cm et AC = 1,5 × EG =3,9 cm.

11 EF = EG = 0,2 ;
AB

AC

FG
≠ 0,2.
BC

Les côtés des triangles EFG et ABC n’ont pas des longueurs
proportionnelles donc le triangle EFG n’est pas une réduction du triangle ABC.
Remarque : AB ⬍ BC ⬍ AC et EF ⬍ FG ⬍ EG donc il faut
EF FG
EG
comparer
;
et
.
AB BC
AC
12 • Configurations de Thalès • 103

• Exercices d’application
12 a. • BCDM est un parallélogramme donc les droites (BA)
et (CD) sont parallèles ainsi que les droites (AM) et (CD).
Les droites (AC) et (MD) se coupent en N et les droites (AM)
et (CD) sont parallèles : les triangles AMN et NDC forment
une configuration de Thalès.
• BCDM est un parallélogramme donc les droites (MD) et
(BC) sont parallèles ainsi que les droites (MN) et (BC).
Les droites (MB) et (NC) se coupent en A et les droites (MN)
et (BC) sont parallèles : les triangles AMN et ABC forment
une configuration de Thalès.
b.

NA NM AM
=
=
NC ND
DC

et

AM AN MN
=
=
.
AB
AC
BC

EH 18
10 × 18
=
et EH =
10 12
12
soit EH = 15 cm.
EI
IH
=
donc :
EG FG
18 21
=
et FG = 12 × 21
12 FG
18
soit FG = 14 cm.

14 Comme les droites (AC) et (BD) sont parallèles, les triangles OAC et OBD forment une configuration de Thalès.
OA OC
=
et OD = 5 × 4,8 soit :
OB OD
3
OD = 8.
b.

OA AB
20
=
ce qui donne DC =
cm soit DC ⬇ 6,7 cm.
OC DC
3

17 a. Les angles alternes-internes jABO et jOCD ont même
mesure donc les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
a. Les triangles AOB et ODC forment une configuration de
Thalès.
b. En appliquant le théorème de Thalès, on obtient :
OC OD

=
ce qui donne OC = 4 × 4,5 soit OC = 6 cm ;
OB OA
3
AB
OA
=
ce qui donne AB = 3 × 7,5 soit AB = 5 cm.
CD OD
4,5

18 a. Les droites (DC) et (EY) sont toutes les deux

EH
EI
2. a.
=
donc :
EF EG

a.





13 1. EH = EI = IH .
EF EG FG

b.

b. En appliquant le théorème de Thalès, on obtient :
OA OB
10

=
ce qui donne OD =
cm soit OD ⬇ 3,3 cm ;
OC OD
3

OA AC
=
et AC = 6 × 3 soit :
OB DB
4,8
AC = 3,75 cm.

perpendiculaires à la droite (DE) donc elles sont parallèles.
b. Les triangles AYE et ACD forment une configuration de
Thalès donc, en appliquant le théorème de Thalès, on
obtient l’égalité :
AD DC
=
AE
YE
1,7
×
1,5
ce qui donne DC =
soit DC = 4,25 m.
0,6
La profondeur du puits est de 4,25 m.

19 Les droites (UL) et (OS) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (OT) donc elles sont parallèles.
Les triangles TUL et TOS forment une configuration de
Thalès .
En appliquant le théorème de Thalès, on obtient l’égalité :
TL
UL
=
TS SO
150 × 106 × 1 736
ce qui donne TL =
soit TL ≈ 374 676 km.
695 000
20 On calcule séparément :
OA 3 1
OB
2,4
= = et
=
.
OD 9 3
OC
7

15 a. Les triangles ABC et AMN forment une configuration
de Thalès.
a. • A appartient au segment [CN] donc :
AC = CN – AN = 3 cm.
• Le théorème de Thalès donne :
AC
BC
3
BC
=
et
=
AN MN
7,5 6,5
donc BC = 3 × 6,5 soit BC = 2,6 cm.
7,5
b. • Le théorème de Thalès donne :
AC
AB
3
4,5
=
et
=
AN AM
7,5 AM
donc AM = 4,5 × 7,5 soit AM = 11,25 cm.
3
• A appartient au segment [BM] donc :
BM = BA + AM = 15,75 cm.

16 a. Les triangles AOB et COD forment une configuration
de Thalès.
104

OA OB

car 3 × 2,4 ≠ 7 × 1.
OD OC
Comme

OA
OB

, alors les droites (AB) et (CD) ne sont
OD
OC

pas parallèles.

21 AP = 3 = 9 et AQ = 2 = 8 .

AR 4 12
AT 3 12
AP AQ

donc (PQ) et (RT) ne sont pas parallèles.
AR AT

22 AP = 5 = 15 et AQ = 2 = 14 .

AR 7 21
AT 3 21
AP AQ

donc (PQ) et (RT) ne sont pas parallèles.
AR AT

23 AP = 4,5 et AQ = 3 = 4,8 .

AR 16
AT 10 16
AP AQ

donc (PQ) et (RT) ne sont pas parallèles.
AR AT

x

24 A appartient au segment [PR] donc :
AR = PR – PA = 3,6 cm.
A appartient au segment [TQ] donc :
AQ = TQ – TA = 15,8 cm.
AP
9
18
AQ 15,8
=
=
et
=
.
AR 3,6 7,2
AT
7,2
AP AQ

donc (PQ) et (RT) ne sont pas parallèles.
AR AT

F

5

25 a. b.
A
Q

7

P

M1
6

(d)
R

B

A

(d’)

M2

M1

B

M4

M3

6
x


F
7

Les droites (PQ) et (AB) se coupent en M1. Comme (d) et
(d ’) sont deux droites parallèles, les triangles APM1 et BQM1
AM1 AP 7
forment une configuration de Thalès et
=
= .
BM1 BQ 6
Les droites (PR) et (AB) se coupent en M2. Les triangles
M2BR et M2AP forment une configuration de Thalès donc,
AM2 AP 7
d’après le théorème de Thalès,
=
= .
BR 6
BM2
Les points M1 et M2 sont les points cherchés.

(d1)

A

5

(d2)

E

F

5

7
C1

M1 M2 M3 M4 M5 M6

28 AM = 2,4 = 0,4
AB

B

G
Les droites (d1) et (d2) sont parallèles.
D’après le théorème de Thalès :
C1A AG 5
=
= ,
C1B
BF 7

6

proque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont
parallèles.

29 OA = 6,5
9,1

et

C2A
EA 5
=
= .
C2B
FB 7

OB 5 6,5
= =
.
OD 7 9,1

La réciproque du théorème de Thalès permet de conclure
que les droites (AB) et (DC) sont parallèles.
Donc le quadrilatère ABCD est un trapèze.

30 a. AB = 14 = 2
AD

21

3

et

AC 22 2
=
= .
AE 33 3

b. La réciproque du théorème de Thalès nous permet de
conclure que les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

31 ED = 9,1 = 1,3
EU

7

et

EB
13
=
= 1,3.
EC
10

Comme les points U, E, D et C, E, B sont alignés dans le
ED EB
même ordre et comme
=
, alors les droites (UC) et
EU EC
(BD) sont parallèles d’après la réciproque du théorème de
Thalès.

32 AM = 8 = 1,6

et :

AN 2
= = 0,4.
AC 5

et

Comme les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le
AM
AN
même ordre et comme
=
, alors d’après la réciAB
AC

OC

26

C2

B

A

M2

AB

5

et

AN 12
=
= 1,6.
AC 7,5

Les points cherchés sont les points C1 et C2.

Comme N, A, C et M, A, B sont alignés dans le même ordre
AM
AN
et comme
=
, alors les droites(MN) et (BC) sont
AB
AC

27 • On trace une demi-droite [Ax). Avec le compas, on

parallèles d’après la réciproque du théorème de Thalès.

gradue régulièrement cette demi-droite à partir de A.
On trace les droites parallèles à (BF) passant par chaque
graduation. Les points M1, M2, M3, M4 partagent en cinq le
segment [AB].
1
AM1 = M1M2 = M2M3= M3M4 = M4B = AB.
5

33 AB = 3 = 4,2

AC
5
et
=
.
10
14
AN 14
AB
AC
Comme

, alors les droites (BC) et (MN) ne sont
AM AN
AM

pas parallèles.
12 • Configurations de Thalès • 105

34 AM = 13 et AN = 12 .
AB

Or

15

AC

42 a. Les droites (BI) et (KA) sont parallèles, donc les
triangles BIS et KSA forment une configuration de Thalès.
SI
BI
SI × KA
Donc
=
et BI =
= 3 cm.
SK KA
SK

14

13
12

car 15 × 12 ⬆ 13 × 14.
15
14

Comme

AM
AN

, alors les droites (MN) et (BC) ne sont
AB
AC

pas parallèles.

35 AB = 7
AM

et

12

AC
8,4
=
.
AN 14,4

Comme 7 × 14,4 = 12 × 8,4, alors

7
8,4
AB
AC
=
et
=
.
12 14,4
AM AN

Comme A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre
AB
AC
et comme
=
, alors les droites (MN) et (BC) sont
AM
AN
parallèles.

36 a. A’B’ = 4 × AB = 3,2 cm et A’D’ = 4 × 3 cm =2,4 cm.
5

5

b. Première méthode
Périmètre de A’B’C’D’ = 2 × longueur + 2 × largeur = 11,2 cm.
Aire de A’B’C’D’ = longueur × largeur = 7,68 cm2.
• Deuxième méthode
On calcule le périmètre de ABCD (14 cm) et l’aire de ABCD
(12 cm2). On utilise le coefficient de réduction.
Périmètre de A’B’C’D’ :
4
× 14 cm = 11,2 cm.
5

冢5冣
4

Aire de A’B’C’D’ : 12 cm2 ×

2

= 7,68 cm2.

37 Comme (KL) et (AC) sont deux droites parallèles, les triangles BKL et BAC forment une configuration de Thalès.
Le triangle BKL est une réduction du triangle BAC. Le rapport
BL
de réduction est
= 0,7.
BC
Aire de ABC :

AH × BC
= 3 cm2.
2

Aire de BKL : 3 cm2 × 0,72 =1,47 cm2.

38 Comme les droites (BC) et (B’C’) sont parallèles, les
triangles ABC et AB’C’ forment une configuration de Thalès.
Le triangle AB’C’ est un agrandissement du triangle ABC
B’C’
2
4
dans le rapport k =
=
= .
BC
1,5 3
Aire de A’B’C’ : 9 cm2 ×

冢3冣
4

2

= 16 cm2.

39 12 cL × (0,75)3 = 5,062 5 cL.
La contenance du mini-cône est donc environ 51 mL (arrondie à l’unité).

冢 20 冣

40 900 m3 × 1

3

= 0,112 5 m3 = 112,5 dm3.

41 Si les dimensions de l’éponge augmentent de 10 %,
elles sont multipliées par 1,10. Le coefficient d’agrandissement est 1,10.
Volume de l’éponge : 100 cm3 × (1,10)3 = 133,1 cm3.
106

• Dans le triangle SKA rectangle en K, d’après le théorème de
Pythagore :
SA2 = SK2 + KA2 = 56,25
et SA = 7,5 cm.
SI
2
b. Coefficient de réduction :
= .
SA 3
23
8
× V1 =
× V1.
Donc V2 =
3
27

冢冣

43 • C appartient au segment [AB] donc :
CB = AB – AC = 2,1 cm.
• Comme les droites (BC) et (JI) se coupent en A et comme
les droites (JC) et (IB) sont parallèles, alors les triangles ACJ
et ABI forment une configuration de Thalès.
D’après le théorème de Thalès :
AC
JC
AC × IB
=
et JC =
= 2,1 cm.
AB
IB
AB
• Le triangle JCB a deux côtés de même longueur (JC =CB),
il est isocèle. Son sommet principal est C.

44 • Une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon
au point de contact.
Donc les droites (MA) et (PB) sont perpendiculaires à la
même droite (OP) : elles sont parallèles.
• Les triangles OMA et OPB forment une configuration de
Thalès. D’après le théorème de Thalès :
OM AM 1
=
= .
OP
PB
2
OM
1
• Comme M appartient à [OP] et
= , alors M est le
OP
2
milieu de [OP].
45 Les triangles ABC et ADE forment une configuration de
Thalès.
Le triangle AED est un agrandissement du triangle ABC.
AE 6
Le coefficient d’agrandissement est
= =1,5.
AC 4
x = ED = 1, 5 × CB = 4 × 1,5 = 6.

46 Les triangles AED et ACB forment une configuration de
Thalès.
Le triangle ADE est une réduction du triangle ABC . Le coefAE 1
ficient de réduction est
= .
AC 2
1
x = DE = BC × = 3,3.
2
47 Dans un triangle, la longueur du segment qui joint les
milieux de deux côtés est égale à la moitié de la longueur
du troisième côté.
x = ED = 4 × 2 = 8.
48 Le triangle ABC est un agrandissement du triangle ADE.
Le coefficient d’agrandissement est :
x = AC = 1,5 × AE = 4,5.

3
= 1,5.
2

49 a. Dans un agrandissement, les mesures des angles sont
conservées. Deux angles du triangle EFG mesurent 65° et
80°.
Dans un triangle, la somme des angles mesure 180°.
Le troisième angle du triangle EFG mesure :
180° – (65° + 80°) = 35°.
b. L’aire de EFG est : 22 × 25 cm2 = 100 cm2.

冢3冣

3
50 Volume de la maquette : 270 cm3 × 1 = 10 cm3.

• QCM pour s’évaluer
51 b.

52 c.

53 b.

54 a.

55 c.

56 c.

57 b. et c.

58 b. et c.

• Objectif Brevet
59 a. EC = 5,4 = 0,75 et
EA

7,2

ED 7,5
=
= 0,75.
EB
10

Comme les points A, E, C et B, E, D sont alignés dans le
EC
ED
même ordre et comme
=
, alors les droites (AB) et
EA
EB
(CD) sont parallèles d’après la réciproque du théorème de
Thalès.
b. Comme les droites (AB) et (CD) sont parallèles et comme
les droites (AC) et (BD) se coupent en E , les triangles AEB et
DEC forment une configuration de Thalès.
D’après le théorème de Thalès :
EC DC
DC × EA
=
et AB =
= 8,4 cm.
EA AB
EC

60 a. Les triangles ABC et ADE forment une configuration
de Thalès. D’après le théorème de Thalès :
AB
AC BC
=
=
.
AD
AE
DE
AB
AC
AB × AE

=
donc AD =
= 6 cm.
AD
AE
AC
• Comme B appartient au segment [DA], alors :
BD = AD – AB = 2 cm.
AG 5,4
AF
4,05
b.
=
= 1,35 et
=
= 1,35.
AB
4
AC
3

Comme les points A, B, E et A, T, C sont alignés dans le même
AB
AT
ordre et comme
=
, alors les droites (BT) et (EC)
AE
AC
sont parallèles d’après la réciproque du théorème de Thalès.

62 1. a. Dans le triangle ABC, on calcule séparément :
AC2 = 152 = 225 et BC2 + BA2 = 122 + 92 = 225.
Comme AC2 = BC2 + BA2, le triangle ABC est rectangle en B
d’après la réciproque du théorème de Pythagore.
AE
3
1
AF
5
1
2. b.
= = et
=
= .
AB 9
3
AC 15 3
Comme les points A, E, B et A, F, C sont alignés dans le même
AE AF
ordre et comme
=
, alors les droites (EF) et (BC) sont
AB AC
parallèles d’après la réciproque du théorème de Thalès.
3. Les triangles AEF et ABC forment une configuration de
Thalès. Le triangle AEF est une réduction du triangle ABC. Le
1
rapport de réduction est .
3
L’aire de ABC est 54 cm2.
1
Donc l’aire de AEF est :
3

冢冣

2

× 54 cm2 = 6 cm2.

63 a. Le triangle ABS est rectangle en B.
D’après le théorème de Pythagore :
AS2 = AB2 + BS2
2
2
2
et AS = 2,5 + 6 =42,25. Donc AS = 6,5 m.
b. M appartient au segment [SA] donc :
SM = SA – AM = 4,55 m.
N appartient au segment [SB] donc SN = SB – NB = 4,2 m.
SM 4,55
SN 4,2
c.
=
= 0,7 et
=
= 0,7.
SA
6,5
SB
6
Comme les points S, M, A et S, N, B sont alignés dans le
SM SN
même ordre et comme
=
, alors les droites (MN) et
SA
SB
(AB) sont parallèles d’après la réciproque du théorème de
Thalès.

64 1. Échelle 7/10.
G

Comme les points B, A, G et C, A, F sont alignés dans le
AG
AF
même ordre et comme
=
, alors les droites (FG) et
AB
AC

M

(BC) sont parallèles d’après la réciproque du théorème de
Thalès.

61 a. Les triangles ABC et ART forment une configuration
de Thalès. D’après le théorème de Thalès :
AT AR TR
=
=
.
AC AB BC
AT AR
AR × AC

=
et AT =
= 5,4 cm.
AC AB
AB
TR AR
BC × AR

=
et TR =
= 7,5 cm.
BC AB
AB
• Comme B appartient au segment [AE], alors :
AE = AB + BE = 8 cm.
AB 6
AT 5,4
b.
= = 0,75 et
=
= 0,75.
AE
8
AC 7,2

E

P

F

a. Un triangle dont un côté est un diamètre de son cercle
circonscrit est un triangle rectangle.
Le triangle EFG est inscrit dans le cercle de diamètre [EF]
donc il est rectangle en G.
b. Dans le triangle EFG rectangle en G, d’après le théorème
de Pythagore :
EF2 = EG2 + FG2
2
2
2
et GF = EF – EG
GF2 = 102 – 92 =19
GF ≈ 4,4 cm.
12 • Configurations de Thalès • 107

2.

EM
= 0,6
EG

et

EP
= 0,6.
EF

Comme les points E, M, G et E, P, F sont alignés dans le
EM
EP
même ordre et comme
=
, alors les droites (FG) et
EG
EF
(MP) sont parallèles.

• Exercices d’approfondissement
65 a. Un triangle dont un côté est un diamètre de son
cercle circonscrit est un triangle rectangle.
Les triangles EHO et EFG sont des triangles rectangles respectivement en H et F.
Les droites (OH) et (FG) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (EF) donc elles sont parallèles.
b. Les triangles EHO et EFG forment une configuration de
Thalès. D’après le théorème de Thalès :
EO OH
EG × OH
=
et FG =
.
EG FG
OE
EG
Comme
= 2, alors FG= 6 cm.
EO

Les égalités
b. Comme

67 a. Une tangente à un cercle est perpendiculaire au
rayon au point de contact.
Les droites (AM) et (BP) sont donc perpendiculaires à la
droite (MP), donc elles sont parallèles entre elles. Les triangles OAM et OBP forment une configuration de Thalès.
b. D’après le théorème de Thalès :
OA
AM
=
.
OB
BP
Si OA = x cm, alors OB = (8 – x) cm.
x
2
Donc
=
et 3x = 2(8 – x).
8–x
3
D’où 5x = 16 et x = 3,2.
OA = 3,2 cm et OB = 8 cm – 3,2 cm = 4,8 cm.

68 a. Les triangles ADE et ABC d’une part, et les triangles
DEF et BFC d’autre part, forment une configuration de
Thalès. Donc :
DE AD
AE
DE
EF DF
=
=
et
=
= .
BC
AB
AC
BC
FB FC
DE AD
EF
2 EF
b. D’après a.,
=
=
et ainsi = .
BC
AB
FB
5 4
4×2
Donc EF =
soit EF = 1,6 cm.
5

69 a. Les triangles OAB et ODC forment une configuration
de Thalès donc

OB
AB
=
.
OC CD

Les triangles O’AB et O’CD forment une configuration de
O’A
AB
Thalès donc
=
.
O’C
CD
108

OB O’A
8
4
6×8
=
alors
= et OC =
soit :
OC O’C
OC 6
4

OC = 12 cm.
Comme B appartient au segment [OC], alors :
BC = OC – OB = 4 cm.

70 2. a. Dans le triangle ABC rectangle en A, d’après le
théorème de Pythagore :
BC2 = AB2 + AC2 = 42 + 32 = 25
donc BC = 5 cm.
b. • Les triangles APM et ABC forment une configuration de
Thalès. D’après le théorème de Thalès :
AM PM
AM × BC 5
=
et PM =
= x cm.
AB
BC
4
AB


AP AM
3
AM × AC
=
et AP =
= x cm.
AC BA
4
BA



c. p = 2 PM + 2 PC. Or PC = AC – AP = 3 –
p=2×

66 Les triangles AMC et BNC sont respectivement
rectangles en M et N.
(AM) et (BN) sont toutes les deux perpendiculaires à la
droite (MN) donc (AM) et (BN) sont parallèles.
Les triangles AMC et BNC forment une configuration de
Thalès. D’après le théorème de Thalès :
CB BN
CB × AM
=
et BN =
= 2 cm.
CA AM
CA

OB AB
AB O’A
OB O’A
=
et
=
donnent
=
.
OC CD CD O’C
OC O’C







3x
cm, donc :
4

5x
3x
= 6 + x.
+23–
4
4

71 • Les triangles OAB et OA’B’ forment une configuration
de Thalès. D’après le théorème de Thalès, on a :
OA
OB
=
.
OA’ OB’
• Les triangles OBC et OB’C’ forment une configuration de
Thalès. D’après le théorème de Thalès, on a :
OB
OC
=
.
OB’ OC’


OA
OB
OB
OC
OA
OC
=
et
=
donnent
=
.
OA’
OB’ OB’ OC’
OA’ OC’

• Comme les points O, A, A’ et O, C, C’ sont alignés dans le
OA
OC
même ordre et
=
, alors, d’après la réciproque du
OA’ OC’
théorème de Thalès, les droites (AC) et (A’C’) sont parallèles.

72 a. Dans le triangle EBC rectangle en B, d’après le théorème de Pythagore :
BC2 = EC2 – EB2 = 72 – 62 =13.
BC = 413 cm soit BC ⬇ 3,6 cm.
b. Les droites (BC) et (FG) sont parallèles. Les triangles EBC
et EFG forment une configuration de Thalès. D’après le
théorème de Thalès :
EF EG
EG × EC 8 × 7 28
=
et EF =
=
= .
EC EB
3
EB
6
Donc EF ⬇ 9,3 cm.
c. Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à
l’une est perpendiculaire à l’autre.
Comme (BC) et (AG) sont parallèles et comme (BC) est perpendiculaire à (BG), alors (AG) est perpendiculaire à (BG).
E appartient au segment [BG] donc :
BG = BE + EG = 8 cm + 6 cm = 14 cm.
Dans le triangle rectangle BGA :
AG
tan jABG =
et AG =BG × tan jABG = 14 × tan 20°.
BG
Donc AG ⬇ 5,1 cm.

73 a. Les droites (BC) et (ED) sont perpendiculaires à la
droite (EC) donc elles sont parallèles.
Les triangles ABC et AED forment une configuration de
Thalès. D’après le théorème de Thalès :
AE AD
AC × AD
=
et AE =
= 5,2 cm.
AC AB
AB
b. Dans le triangle rectangle BAC :
BC 7,2
tan jBAC =
=
= 0,75.
AC 9,6
Donc jBAC ⬇ 37°.
AC 9,6
24
AB
12
24
c.
=
=
et
=
=
.
AG 18
45
AF 22,5 45
Comme les points A, B, F et A, C, G sont alignés dans le
AC
AB
même ordre et comme
=
, alors les droites (BC) et
AG
AF
(FG) sont parallèles d’après la réciproque du théorème de
Thalès.

• Vrai ou faux
74 Faux. (AD) et (BC) ne sont pas parallèles.
75 Vrai. Les triangles PUQ et PVR forment une configuration de Thalès donc

PQ UQ
=
.
PR
VR

Les triangles PQS et PRT forment une configuration de
SQ PQ
Thalès donc
=
.
TR
PR
UQ SQ
D’où
=
.
VR
TR

76 Vrai. Les triangles ABC et ADE forment une configuration de Thalès donc

AB AC
=
.
AD AE

A appartient au segment [BD] et A appartient au segment
[EC] donc :
BD
BA + AD
BA AD BA
AC
=
=
+
=
+1=
+1
AD
AD
AD AD AD
AE
AC
AE
AC + AE
CE
=
+
=
=
.
AE
AE
AE
AE

77 Faux. Si le rapport d’agrandissement est 1,25, l’aire est
multipliée par 1,252 =1,562 5.

• Des défis
78 • Les triangles APM et ADB forment une configuration
de Thalès donc :
AP AM
AM × AD
=
et AP =
.
AD
AB
AB
• Comme ABCD est un rectangle :
AB = DC et AP =

AM × AD
.
CD

AP × DC
.
2
AM × BC
Aire du triangle CAM :
.
2
AM × AD × DC
AM × AD
Aire du triangle CAP :
=
.
2 × DC
2
• Aire du triangle CAP :

• Comme ABCD est un rectangle, AD = BC et l’aire du triAM × BC
angle CAP est
.
2
• Conclusion : CAM et CAP ont la même aire.

79 Si R est le rayon de base du cylindre B, 2R est le rayon
de base du cylindre A.
Si h est la hauteur du cylindre A, alors 4h est la hauteur du
cylindre B.
ᐂA = π × (2R)2 × h = 4πR2h ; ᐂB = π × R2 × 4h = 4πR2h.
Ces deux cylindres ont le même volume.

• Devoirs à la maison
80 a. On suppose que le triangle EDC est isocèle en E. Alors

ED = EC et jEDC = jECD.
Les droites (AB) et (DC) sont parallèles donc les angles jEAB
(correspondant à hEDC) et hEBA (correspondant à hECD) ont
même mesure.
Le triangle EAB est donc isocèle en E. On a alors EA = EB.
Donc EA + 4 cm ⬆ EB + 5 cm, c’est-à-dire ED ⬆ EC. Ce qui
est en contradiction avec l’hypothèse « EDC est isocèle en E ».
Donc le triangle EDC n’est pas isocèle en E.
• On suppose que le triangle EDC est isocèle en C, alors
hEDC = jDEC.
Comme (AB) et (DC) sont parallèles, alors hEAB = hEDC
(angles correspondants).
Donc hEAB = hAEB et le triangle AEB est isocèle en B et
AB = BE = 6 cm.
AB
EB
6
6
D’après le théorème de Thalès :
=
. Donc
= .
DC EC
10 11
Ce qui est impossible.
Donc le triangle EDC n’est pas isocèle en C.
b. • Comme les droites(AB) et (DC) sont parallèles alors les
triangles EAB et EDC forment une configuration de Thalès
donc :
EA
AB
x
6
=
et
= .
ED DC
x+4
10
• 6 (x + 4) = 10x. La solution de cette équation est x = 6.
• Si EA = 6 cm, alors ED = 10 cm et le triangle EDC est
isocèle en D car il a deux côtés de même longueur
(DE = DC).

81 a. • B appartient au segment [AC] donc :
AC = AB + BC = 4,50 m.
• Dans le triangle rectangle ACF :
CA 4,5
cos hACF =
=
et hACF ≈ 35,1°.
CF 5,5
• La garantie pourra jouer.
b. • Les droites (AF) et (DE) sont perpendiculaires à la droite
(AD) donc elles sont parallèles.
• Les triangles AFC et DEC forment une configuration de
Thalès. Donc :
CD CE
=
CA CF
et CE =

CF × CD 5,5 × 3 11
=
=
donc CE ⬇ 3,67 m.
3
CA
4,5

c. L’aire de la nouvelle toiture est 6 m x

11
m = 22 m2.
3

12 • Configurations de Thalès • 109

82 1. a. Échelle 1/4.
A
F
H
M

D

C

E



B

b. Dans le triangle ADB rectangle en D, d’après le théorème
de Pythagore :
AB2 = AD2 +DB2 =122 +162 = 400
et AB = 20 cm.
2. b. Le triangle BEC est inscrit dans le cercle de diamètre
[BC] donc il est rectangle en E.
c. Les droites (AD) et (EC) sont perpendiculaires à (DB), donc
elles sont parallèles.
d. Les triangles BEC et BDA forment une configuration de
Thalès.
BC EC
8 × 12

=
et EC =
soit EC = 4,8 cm.
BA DA
20
BC BE
8 × 16

=
et BE =
soit BE = 6,4 cm.
BA BD
20
3. • C appartient au segment [MB] donc :
MC = MB – CB = 10 cm – 8 cm = 2 cm.
Remarque : M, milieu de l’hypoténuse, est le centre du
cercle circonscrit au triangle rectangle ADB donc
MD = MA = 10 cm.
• Les droites (HE) et (AD) sont parallèles donc les droites
(CH) et (AD) sont parallèles. Les triangles CHM et MAD
forment une configuration de Thalès.
CM MC
CH
2
=
soit
=
AD
MA
12 10
donc CH = 2,4.
4. a. H est le point d’intersection des hauteurs (EH) et (BF)
du triangle BDF. H est l’orthocentre du triangle BDF.
b. (BH) est la troisième hauteur du triangle BDF donc (BH)
est perpendiculaire à (DF).

83 1. Dans le triangle SMH rectangle en H, d’après le théorème de Pythagore :
MH2 = SM2 – SH2 = 125.
MH = 5125 cm = 515 cm soit MH ⬇ 11,2 cm.
2. a. Les triangles SPO et SMH forment une configuration
de Thalès donc :
SO SP
SH × SP
=
et SO =
= 2 cm.
SH SM
SM
O appartient au segment [SH] donc OH = SH – SO = 8 cm.

110

π × (515)2 × 10
aire de la base × hauteur
=
3
3
1 250π
cm3.
soit VᏯ1 =
3
• Les triangles SPO et SMH forment une configuration de
Thalès donc :
SP
PO
SP × MH 3 × 515
=
et PO =
=
.
SM MH
SM
15
Donc PO = 15 cm.
• VᏯ2 = aire de la base × hauteur = π × (15)2 × 8
soit VᏯ2 = 40 cm3.
b. • VᏯ1 =

3. a.

SP
3
1
=
= .
SM 15 5

b. VᏯ3 =

冢5冣
1

3

× VᏯ1 =

VᏯ1
10
soit VᏯ3 =
π cm3.
125
3

4. Jeux
• Le mot caché
• Dans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu
donc O est le milieu des segments [AC] et [BD].
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté
et si elle est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe
le troisième côté en son milieu. Donc D est le milieu de [AE]
et AE = 6.
6 donne F
• Dans le triangle ABD rectangle en A, d’après le théorème de
Pythagore :
BD2 = AD2 + AB2 = 32 +42 = 25.
BD = 5 et AE – BD = 6 – 5 = 1.
1 donne A
• Le rapport d’agrandissement de ADO à AEC est 2.
2 donne B
4×3
• Aire de AOD :
= 3.
3
Comme le rapport d’agrandissement est 2, alors l’aire de
AEC est 22 × 3 = 12.
12 donne L
• Les triangles AOD et AEC forment une configuration de
Thalès donc :
AO 1 DO
= =
et EC = 2 × DO = DB = 5.
OC 2 EC
5 donne E
Le mot cherché est FABLE.


Aperçu du document Transmath 3eme chap12.pdf - page 1/10

 
Transmath 3eme chap12.pdf - page 2/10
Transmath 3eme chap12.pdf - page 3/10
Transmath 3eme chap12.pdf - page 4/10
Transmath 3eme chap12.pdf - page 5/10
Transmath 3eme chap12.pdf - page 6/10
 




Télécharger le fichier (PDF)




Sur le même sujet..





Ce fichier a été mis en ligne par un utilisateur du site. Identifiant unique du document: 00219127.
⚠️  Signaler un contenu illicite
Pour plus d'informations sur notre politique de lutte contre la diffusion illicite de contenus protégés par droit d'auteur, consultez notre page dédiée.