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Nom original: serie_primitive.pdf
Titre: Microsoft Word - serie_primitive
Auteur: Mongi Amorri

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SERIE PRIMITIVES 4°M‐4°SC  

AMORRI MONGI 

 
EXERCICE N°1: 
 
Dans les exercices de 1 à 19, trouver des primitives des fonctions données sur des intervalles 
convenablement choisis. 
1.x 2sin2x ‐3cos3x              2.x 1+tg2x 
3. x tg2x 
−2
x
x +1
 
 
5.x
4.x
 
6.x
2
2
2
( x + 1)
( x − 1)
(2 x + 4 x + 5) 2
x
x −1
−2
7.x
 
 
8.x
       9.x
 
1 + 2x
x2 + 1
x2 − 2 x + 2
x
10.x ( x + 2)( x 2 + 4 x + 3) 4     11.x
12.x
 
x x2 + 1  
2
( x − 1) 4
tgx 2
x+2
13.x
 
14.x (
)  
15.x tg n x + tg n + 2 x  
3
cos x
( x + 1)
1
16.x cos2x      
17. x cos3x 
18.x cos4x   19.x
 
cos 4 x
 
EXERCICE N°2 : 

3
2
\ {1} par f(x) = 2 x − 3x − 4  

Soit la fonction f définie sur 

( x − 1)2
1. Justifier que f admet au moins une primitive sur  ⎤⎦1, +∞ ⎡⎣  
2. Déterminer les réels a , b et c pour que  ∀x ∈

\ {1} on a f(x) = ax+b+

c
( x − 1)2

 

3. Déterminer la primitive F de f sur  ⎤⎦1, +∞ ⎡⎣ qui s’annule en 2 
EXERCICE N°3 : 
Soit les fonctions f et F définies sur  par f(x) =  x x 2 + 1   et F(x) =  (ax 2 + bx + c) x 2 + 1  
1. Déterminer les réels a , b et c pour que F soit une primitive de f sur   
2. Déterminer la primitive de f qui prend la valeur 2 pour x=0 
 
EXRCICE N°4 : 
1
( On ne demande 
Soit F une primitive de f sur  de la fonction f définie par f(x) =  2
2x − 2x +1
pas de calculer F) 
1 + tgt
⎤ π π⎡
1. Soit g la fonction définie sur I = ⎥ − , ⎢ par g(t) =  F (
) .Prouver que g est dérivable 
2
⎦ 2 2⎣
sur I et calculer g’(t) puis g(

π

4

2. Montrer que F(1) – F(0) = 

) – g( −

π
2

π

4



 

 
EXERCICE N°5 : 

Amorri Mongi 
 

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SERIE PRIMITIVES 4°M‐4°SC  
Soit F la primitive sur  ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣  qui s’annule en 1 de la fonction x

AMORRI MONGI 

1
( On ne demande pas 
x

de déterminer F) 
1. Montrer que  pour tout x de  ⎤⎦1, +∞ ⎡⎣ on a F(x)  0 et pour tout x de ⎤⎦ 0,1⎡⎣ on a F(x) ≺ 0 
2. Soit G(x) = F(ax) avec a et x sont deux réels strictement positifs, montrer que G est une 
x
primitive de f sur  ⎤⎦ 0, +∞ ⎡⎣ .Déduire que F(ax) = F(a) +F(x) et que F ( ) = F(x) – F (a)  
a
n
3.Montrer que pour tout n de  et pour tout x  0 on a :  F(x ) = nF(x)  
Rq : La fonction F dont on vient d’étudier certaines de ses propriétés s’appelle fonction 
logarithme népérien  
EXERCICE N°6 : 
1‐ Déterminer les primitives des fonctions u et v suivantes : 
u(x) = cos2x et v(x) = sinx cos2x 
2‐ Soit  f la fonction définie sur [0,2] par f(x) =x x ( 2 − x) )  et F la primitive de f sur [0,2] 
qui s’annule en 0. 
a‐ Justifier que F est dérivable sur [0,2]  
b‐ Calculer F’(x) 
⎡ π π⎤
3‐ Soit H la fonction définie sur  ⎢ − , ⎥  par H(x) = F (1+sinx) 
⎣ 2 2⎦
⎡ π π⎤
a‐ Montrer que H est dérivable sur  ⎢ − , ⎥  et que H’(x) = cos2x(1+sinx) 
⎣ 2 2⎦
b‐ Calculer H( −

π

2

) et en déduire H(x). 

 
 
 
 
 

Amorri Mongi 
 

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