Dc3 2annSc .pdf

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ˆ N˚ 3
DEVOIR DE CONTROLE

2e` me SC

DURE´E 1 H :

JANVIER 2014

fr
ed
jS
so
fia
ne

Pr : BEN FREDJ SOFIANE

1 . (6 points) Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte.
Cocher la bonne r´eponse. Aucune justification n’est demand´ee.

1. On consid`ere la suite (Un ) d´efinie sur IN par : Un = n2 , alors (Un ) est :
(a)❐ arithm´
etique

(b)❐ g´
eom´etrique

( )❐ ni arithm´
etique, ni g´eom´etrique
2

2. On consid`ere la suite (Un ) d´efinie sur IN par : Un = (−2)n , alors (Un ) est :
(a)❐ arithm´
etique

(b)❐ g´
eom´etrique

( )❐ ni arithm´
etique, ni g´eom´etrique

3. On consid`ere la suite d´efinie par : 1, −2, 4, 1, −2, 4, . . . alors le terme d’ordre 2010
est ´egal `a :
(a)❐ 1

(b)❐ −2

( )❐ 4

4. Soit s la somme de 20 premiers termes d’une suite arithm´etique alors s est ´egale
`a :
20 × (u0 + u20 )
2

B
en
(a)❐ s =

(b)❐ s =

20 × (u0 + u19 )
2

( )❐

s=

20 × (u0 − u20)
2

5. On consid`ere la suite d´efinie sur IN,
2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7....

alors la somme de 2010 premiers termes de cette suite est ´egale
(a)❐ 9041

(b)❐ 9042

( )❐

9043

6. Pour tout n de IN la somme 1 + 2 + 4 + . . . + 2n est ´egale
(a)❐

n × (1 + 2n)
2

(b)❐

(n + 1) × (1 + 2n)
2

( )❐ 2n+1 − 1

1

2 . (6.5 points).
1. Citer les crit`eres de divisibilit´e d’un entier naturel par 9 et par 25.
2. On consid`ere le nombre N = 67 × 102013.
(a) Montrer que N est divisible par 25.
(b) Donner le reste de la division euclidienne de N par 9.

fr
ed
jS
so
fia
ne

(c) Montrer qu’il existe un unique entier N′ de l’intervalle [10, 99] tel que N + N′
soit divisible `a la fois par 9 et par 25.

3 . (7.5 points). On consid`ere la suite (Un ) d´efinie par :

U0 = 1 et pour tout n de IN, Un+1 = 5Un + 4.
1. On consid`ere la suite (Vn ) d´efinie par : Vn = Un + 1.

(a) Donner une relation de r´ecurrence entre Vn+1 et Vn puis d´eduire la nature de
la suite (Vn ).
(b) Exprimer Vn `a l’aide de n.

(c) Montrer que pour tout n de IN, Un = 2 × 5n − 1
2. Soit n un entier naturel.

(a) Montrer que le reste de la division euclidienne de Un par 8 est ´egal `a 1.

B
en

(b) Montrer que 3 divise U2n+1 .

2



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