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4

Calcul numérique

9

À Photocopier

19

Calcul littéral

20

À Photocopier

27

Diviseurs – PGCD

28

À Photocopier

37

Équations et inéquations à une inconnue

38

À Photocopier

51

Racines carrées

52

À Photocopier

64

Notion de fonction

67

À Photocopier

76

Fonction linéaire – Fonction affine

84

À Photocopier

96

Systèmes de deux équations à deux inconnues

98

Statistiques

109

À Photocopier

120

Probabilités

125

À Photocopier

133

Théorème de Thalès

136

À Photocopier

149

Trigonométrie

151

À Photocopier

162

Angles inscrits – Polygones réguliers

163

Géométrie dans l’espace

173

À Photocopier

184

Grandeurs composées – Aires et volumes

187

À Photocopier

198

Sommaire

3

© Éditions Belin, 2012.

Compétences du socle commun

Compétences du socle commun
Évaluation
Compétence 1

La maîtrise de la langue française

Cette compétence est évaluée par le professeur de français mais aussi par tous les autres professeurs de la classe.

[C.1.1] Lire
Repérer des informations dans un texte.
Savoir distinguer dans un énoncé les données, les hypothèses,
les consignes, …



Tous les exercices du manuel qui exigent la
compréhension correcte des énoncés.






Utiliser

ses capacités de raisonnement, ses connaissances
sur la langue, savoir faire appel à des outils appropriés pour lire.
Déduire des informations à partir d’un tableau de données ;
analyser les éléments signifiants d’une figure géométrique
codée ; repérer ce qui est établi et ce qui est à démontrer ;
identifier le lexique et la syntaxe spécifiques aux mathématiques.
Manifester par des moyens divers sa compréhension de textes
variés.
Construire une figure, un diagramme, un schéma, … à partir
des informations données dans un texte.



Ouvertures des chapitres
découverte – [Extraire l’information utile]

Tous les exercices du manuel mobilisent cet élément
de la compétence.



Tous les exercices du manuel mobilisent cet élément
de la compétence.






Ouvertures des chapitres
découverte

Maths et …
… physique : 54 p. 19, 51 p. 109, 53 p. 110,
43 p. 128, 57 p. 130, 55 p. 152, 33 p. 169,
68 p. 209, 46 p. 280


… comptabilité : 44 p. 70
… sports : 73 p. 90, 27 p. 168
… arts : 75 p. 90, 68 p. 283
… histoire-géographie : 114 p. 94, 52 p. 129,
92 p. 156, 69 p. 209, 61 p. 224, 34 p. 262,
40 p. 279, 90 p. 286
… SVT : 32 p. 169, 46 p. 192
… chimie : 41 p. 279, 78 p. 284

[C.1.2] Écrire
Tous les exercices à l’écrit du manuel mobilisent
cet élément de la compétence.



Rédiger un texte bref, cohérent et ponctué, en réponse à
une question ou à partir de consignes données.
Répondre à une question par un énoncé complet, construit
et pertinent ; tenir compte des indications du libellé et des
consignes d’écriture données ; structurer son texte ; maîtriser
le langage propre aux mathématiques (utiliser le terme adéquat,
la syntaxe appropriée, maîtriser le sens précis d’un terme
polysémique).

Tous les exercices demandant la rédaction
d’une conjecture, d’une argumentation, d’une remarque,
d’un programme de calcul, interprétation d’un résultat,
narration de recherche, etc.



Utiliser ses capacités de raisonnement, ses connaissances sur
la langue.
Articuler les étapes d’une démarche, d’un raisonnement, d’une
démonstration.



4

Tous les exercices du manuel mobilisent cet élément
de la compétence.



© Éditions Belin, 2012.

Écrire lisiblement un texte.
Écrire lisiblement à la main de façon à être lu et compris par
le destinataire ; écrire à l’aide d’un outil informatique.



[C.1.3] Dire


Formuler clairement un propos simple.

Développer

de façon suivie un propos en public sur un sujet

déterminé.

Tous les exercices des pages À l’oral
découverte : Sujets d’exposé



136 p. 43, 86 p. 89, 128 p. 77, 121 p. 95, 94 p. 115,
108 p. 137, 99 p. 157, 76 p. 175, 55 p. 193,
79 p. 211, 103 p. 229, 73 p. 247

Participer à un débat, à un échange verbal.
Écouter et prendre en compte les propos d’autrui ; exposer et
faire valoir son propre point de vue.



Compétence 3





Tous les exercices ARGUMENTER ET DÉBATTRE

Les principaux éléments de mathématiques
et la culture scientifique et technologique

L’évaluation de cette compétence est réalisée en particulier par les professeurs de mathématiques, physique-chimie,
SVT et technologie.

[C.3.1] Pratiquer une démarche scientifique, résoudre des problèmes
Rechercher, extraire et organiser l’information utile.
Tous les exercices à l’écrit du manuel mobilisent cet
• Observer et recenser les informations (extraire d’un document
élément de la compétence.
les informations utiles, décrire le comportement d’une grandeur,
Ouvertures des chapitres
distinguer ce qui est établi de ce qui est à prouver ou à réfuter)
• Organiser les informations pour les utiliser (reformuler, traduire,
découverte
coder, décoder).
Chercher l’information, extraire l’information utile :
• Organiser l’information utile sous la forme d’un schéma, d’un
127 , 128 p. 25, 135 p. 43, 136 p. 43, 83 p. 89,
graphique ou d’un tableau en écriture conventionnelle ou à l’aide 84 p. 89, 85 p. 89, 86 p. 89, 125 p. 77, 128 p. 77,
d’une calculatrice ou d’un tableur.
120 p. 95, 121 p. 95, 91 p. 115, 93 p. 115,
94 p. 115, 107 p. 137, 108 p. 137, 98 p. 157,
99 p. 157, 74 p. 175, 75 p. 175, 76 p. 175





Modéliser une situation :

125 p. 77, 126 p. 77, 77 p. 267


Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes.

• Suivre un programme de calcul, de construction.
• Calculer, utiliser une formule.



68 p. 37, 93 p. 39, 111 p. 40, 76 p. 73, 44 p. 109



82 p. 59, 91 p. 115, 92 p. 115, 93 p. 115

Tous les exercices de calcul numérique, calcul littéral,
de construction géométrique.



• Construction géométrique avec des instruments ou avec
un logiciel de géométrie.

Tous les exercices utilisant des formules d’aire, de
volume, de vitesse, … (notamment chapitre 15), de
moyennes (notamment chapitre 9)

• Construire un schéma, un graphique en choisissant des
paramètres de représentation (échelle, axes, …)

Tous les exercices de géométrie demandant de construire
une figure. (chapitres 11 à 14)

Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale
ou technologique, démontrer.



• Pratiquer une démarche expérimentale.

Activité 2 p. 178, Savoir-faire 3 p. 186, 30 p. 189,
45 p. 192, 52 p. 193



Compétences du socle commun

5

© Éditions Belin, 2012.

Tous les exercices de traitement de données demandant
de construire un tableau, un diagramme. (chapitre 9)
Tous les exercices nécessitant la construction d’un
graphique dans un repère. (chapitres 6, 7 et 8)

• Proposer une démarche de résolution.

Tous les exercices demandant de proposer
une méthode :
130 p. 25, 135 p. 43, Activité 2 p. 46, Activité 3
p. 47, Activité 4 p. 47, 68 p. 57, 111 p. 94, 112 p. 94,
Activité 3 p. 141, Activité 1 p. 160, Activité 3 p. 160,
Activité 4 p. 160, Activité 6 p. 181, Activité 2 p. 215,
Savoir-faire 3 p. 220, Activité 7 p. 235, 72 p. 247

• Distinguer les questions auxquelles on peut répondre
directement, celles qui nécessitent un traitement et pour
lesquelles l’information donnée est insuffisante.

Tous les exercices du manuel mobilisent cet élément
de la compétence.

• Émettre une hypothèse, une conjecture, un algorithme, …
• Contrôler la vraisemblance d’un résultat.
• Valider ou invalider une conjecture.

Tous les exercices demandant d’émettre une
conjecture et éventuellement de la démontrer :
Activité 1 p. 10, Activité 2 p. 11, Savoir-faire 4
p. 16, 127 p. 25, Savoir-faire 5 p. 34, 23 p. 34,
72 p. 38, 93 p. 39, 138 p. 43, Activité 3 p. 47,
Activité 4 p. 47, 75 p. 58, 78 p. 58, 82 p. 59,
83 p. 89, 84 p. 89, 85 p. 89, 86 p. 89,
Savoir-faire 4 p. 68, Activité 3 p. 81,
Savoir-faire 5 p. 86, 76 p. 90, Activité 1 p. 118,
Activité 3 p. 119, Activité 4 p. 120, 61 p. 130,
62 p. 130, 91 p. 134, 95 p. 135, 88 p. 155,
Savoir-faire 3 p. 186, Activité 1 p. 196,
Activité 2 p. 196, Activité 4 p. 202, 73 p.210,
Activité 1 p. 214, Activité 3 p. 215, Activité 3
p. 233, Savoir-faire 3 p. 240, 55 p. 245, 66 p. 246,
Activité 1 p. 250, Activité 6 p. 253, Savoir-faire 4
p. 258, 63 p. 265, 84 p. 286

Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus,
communiquer à l’aide d’un langage adapté.
• Présenter une démarche, un résultat à l’oral, à l’écrit, par
un schéma, un graphique, un tableau, une figure, … en utilisant
ou non un environnement informatique.

Tous les exercices du manuel mobilisent cet élément
de la compétence, notamment ceux demandant
d’interpréter un résultat en langage courant.



[C.3.2] Savoir utiliser des connaissances et des compétences mathématiques

Nombres et calculs :
Connaître et utiliser les nombres entiers, décimaux et
fractionnaires.
Mener à bien un calcul : mental, à la main, à la calculatrice, avec
un ordinateur.

Géométrie :
Connaître et représenter des figures géométriques et des objets
de l’espace. Utiliser leurs propriétés.



Grandeurs et mesures :
Réaliser des mesures (longueurs, durées, …).
Calculer des valeurs (volumes, vitesses, …) en utilisant
différentes unités.



6

Proportionnalité et fonction linéaire (chapitre 7)
Augmentation et réduction de x % (chapitre 7)
Repérage d’un point sur une droite graduée ou dans un
plan (chapitres 6, 7, 8)
Calculs d’effectifs, fréquences, moyennes, utilisation de
diagrammes (chapitre 9)
Déterminer des probabilités dans des contextes familiers
(chapitre 10)





Chapitres 1 à 5

Tous les exercices des autres chapitres faisant
intervenir des calculs numériques ou littéraux.


Tous les exercices Calcul mental



Exercices Calculatrices



Exercices Tableur B2i



Chapitres 11 à 14



Chapitre 15

Tous les exercices des autres chapitres faisant
appel à des calculs de périmètres, d’aires, de volumes,
de vitesses, de masses, de durées…


© Éditions Belin, 2012.

Organisation et gestion de données :
Reconnaître des situations de proportionnalité, utiliser
des pourcentages, des tableaux, des graphiques.
Exploiter des données statistiques et aborder des situations
simples de probabilité.



[C.3.4] Environnement et développement durable
Exercices THÈME DE CONVERGENCE Environnement
et développement durable, Énergie
39 p. 18, 49 p. 19, 72 p. 57, 108 p. 93, 97 p. 135, 97
p. 157, 68 p. 173, 69 p. 173, 31 p. 205, 32 p. 205, 64
p. 224, 60 p. 245, 48 p. 280, 49 p. 280

Mobiliser ses connaissances pour comprendre des
questions liées à l’environnement et au développement
durable.



Compétence 4



La maîtrise des techniques usuelles de l’information
et de la communication

Cette compétence correspond aux connaissances et aux capacités exigibles pour le B2i collège (Brevet informatique
et Internet). Les références du B2i sont indiquées à côté de chaque élément. Cette compétence est acquise dans le
cadre de plusieurs disciplines.

[C.4.1] S’approprier un environnement informatique de travail
Utiliser, gérer des espaces de stockage à disposition.
• Ouvrir des documents et des logiciels situés dans différents
espaces de l’ordinateur.
• Créer des dossiers, les organiser et y transférer ou en extraire
différents documents.



Utiliser les périphériques à disposition.
• Imprimer des documents en choisissant son imprimante et
ses options d’impression.



Utiliser les logiciels et les services à disposition.
• Utilisation directe de logiciels, pouvoir accéder à un réseau
(identification, déconnection), y déposer et y puiser des
ressources. Savoir lire et exploiter les propriétés d’un fichier.





Tous les exercices marqués du logo B2i



Tous les exercices marqués du logo B2i






découverte – Présenter ses résultats

Tous les exercices marqués du logo B2i
découverte – sujets d’exposé

[C.4.2] Adopter une attitude responsable
Tous les exercices utilisant une calculatrice, un tableur,
Faire preuve d’esprit critique face à l’information et à son
un logiciel de géométrie.
traitement.
• Ne pas accorder une confiance aveugle aux résultats fournis par
une calculatrice ou un ordinateur, s’interroger sur leurs limites.



[C.4.3] Créer, produire, traiter, exploiter des données
Organiser la composition d’un document, prévoir sa présentation
en fonction de sa destination.






Tous les exercices B2i
découverte – Présenter ses résultats,

sujets d’exposé

Consulter des bases de données documentaires en
mode simple (plein texte).





découverte – Chercher l’information, sujets d’exposé



Identifier, trier et évaluer des ressources.



découverte – Chercher l’information, sujets d’exposé



Chercher et sélectionner l’information demandée.



découverte – Chercher l’information, sujets d’exposé
www.onisep.fr



Recherche sur les métiers : Je découvre le métier de…
Compétences du socle commun

7

© Éditions Belin, 2012.

[C.4.4] S’informer, se documenter

Compétence 6

Les compétences sociales et civiques

Ces compétences transversales sont évaluées par l’ensemble des professeurs.

[C.6.2] Avoir un comportement responsable
Respecter les règles de la vie collective.
Respecter les principes et les règles énoncés dans le règlement
intérieur de l’établissement (respect du matériel, …)
Respecter les règles d’écoute et de parole.



Comprendre l’importance du respect mutuel.
Travail en groupe hétérogène de manière positive (respect,
coopération)



• Exercices ARGUMENTER ET DÉBATTRE


découverte – sujets d’exposé



découverte :



Respecter des comportements favorables à sa santé et sa
sécurité.
Respect des consignes de sécurité lors de l’utilisation de matériels
électriques
Respect des règles de sécurité routière
Connaître les comportements et gestes d’une vie saine.

Exercices avec logiciels B2i



Savoir utiliser quelques notions économiques et budgétaires
de base.
Notions de budget, emprunt, épargne. Recettes/dépenses.



Compétence 7



Exercices sur ordinateurs B2i

Exercices THÈME DE CONVERGENCE Santé :
54 p.152, 29 p.189, 34 p.278



Exercices THÈME DE CONVERGENCE Sécurité
routière : 122 p. 42, 74 p. 72, 75 p. 113, 47 p. 280



• 44 p. 70

L’autonomie et l’initiative

L’autonomie et l’initiative sont évaluées par l’ensemble des professeurs.

[C.7.1] Être acteur de son parcours de formation et d’orientation
www.onisep.fr

Connaître les parcours de formation correspondant à des
métiers et les possibilités de s’y intégrer.



Savoir s’autoévaluer et être capable de décrire ses intérêts,
ses compétences et ses acquis.
Repérer et identifier ses acquis, ses compétences.





Je découvre le métier de…

129 p. 25, 137 p. 43, 95 p. 115, 109 p. 137, 100 p. 157,
77 p. 175, 80 p. 211, 104 p. 229, 40 p. 262,
94 p. 287
Tous les exercices Savoir-faire corrigés avec
commentaires.


Tous les exercices Je m’évalue

[C.7.2] Être capable de mobiliser ses ressources intellectuelles et physiques dans diverses situations
Être autonome dans son travail : savoir l’organiser, le planifier,
l’anticiper, rechercher et sélectionner des informations utiles
• Organiser son travail en classe ou son travail personnel.





Tous les exercices avec solutions commentées des

Savoir-faire.

8

Tous les exercices Je m’entraîne au brevet



Toutes les pages



Tous les exercices Prise d’initiative



Tous les exercices ARGUMENTER ET DÉBATTRE

découverte

© Éditions Belin, 2012.

• Savoir mener une démarche personnelle de résolution (tâche
complexe) : rechercher l’information utile en prenant en compte
la diversité des sources et des supports d’information, l’analyser,
la trier, la hiérarchiser, l’organiser, la synthétiser.



Calcul numérique
EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008
Connaissances

Capacités

Commentaires

– Simplifier une fraction donnée pour la
rendre irréductible.

Dans le cadre du socle commun, les élèves utilisent leur
calculatrice pour rendre irréductible une fraction donnée.
Dans le cadre du socle commun, l’addition, la soustraction
et la multiplication « à la main » de deux nombres relatifs
en écriture fractionnaire, sont exigibles seulement dans
des cas simples ; pour l’addition et la soustraction, il s’agit
uniquement des cas où un calcul mental est possible.
Dans les autres cas, la calculatrice est utilisée.

– Utiliser sur des exemples les égalités :
a m ⋅ a n = a m+n
a m / a n = a m−n
(a m ) n = a mn
(ab) n = a n b n
(a / b) n = a n / b n
où a et b sont des nombres non nuls et
m et n des entiers relatifs.

Comme en classe de quatrième, ces résultats sont
construits et retrouvés, si besoin est, en s’appuyant sur
la signification de la notation puissance qui reste l’objectif
priritaire. La mémorisation de ces égalités est favorisée
par l’entraînement à leur utilisation en calcul mental.

2. Nombres et calculs
2.1 Nombres entiers
et rationnels
Fractions irréductibles.
Opérations sur les nombres
relatifs en écriture
fractionnaire.
(Reprises du programme
du cycle central)
2.2 Écritures littérales
Puissances.
[Thèmes de convergence]

Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et
des compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d’activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne
font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous
les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d’enseignement du programme.

La notation scientifique de 485 millions est :
4,85 × 108.
La notation scientifique de 245 millions est :
2,45 × 108.
La notation scientifique de 59,7 millions est :
5,97 × 107.
La notation scientifique de 45,3 millions est :
4,53 × 107.
La notation scientifique de 4,75 millions est :
4,75 × 106.
4, 85 × 108 × 103
≈ 3,62 × 102,
1, 34 × 109
soit 362 internautes pour 1 000 habitants en Chine.
2, 45 × 108 × 103
≈ 0,00783 × 105,
313 × 106
soit 783 internautes pour 1 000 habitants
aux États-Unis.
5,97 × 107 × 103
≈ 0,0433 × 104,
138 × 106
soit 433 internautes pour 1 000 habitants en Russie.
4,53 × 107 × 103
≈ 0,0696 × 104,
6,51 × 106
soit 696 internautes pour 1 000 habitants en France.
4,75 × 106 × 103
≈ 0,859 × 103,
5,53 × 106
soit 859 internautes pour 1 000 habitants au Danemark.

Je prends un bon départ
QCM
1 A

2 B

3 A

4 B

5 A

6 C

7 B

8 B

9 A

10 C

4 1 2 4
5
6
3
1
+ − =
+

=
=
15 3 5 15 15 15 15 5
7 5 3 14 15 18 17
B= − + =

+
=
6 4 2 12 12 12 12
3 1 8 3 4
9 16 25
C= + × = + =
+
=
4 2 3 4 3 12 12 12
21 14 21 12
D=
:
=
×
=9
2 12
2 14
11 A =

12 A = 24 × 3 − 5 = 16 × 3 − 5 = 43
B = 32 × 2 − 23 × 2 = 9 × 2 − 8 × 2 = 18 − 16 = 2
C = (−1)8 × 18 = 1 × 1 = 1
D = 34 × (1 − 50) = 34 × (1 − 1) = 34 × 0 = 0
13 a. 5,01 × 103 = 5 010

b. 91,3 × 10 −3 = 0,091 3
c. 71,6 × 10 −3 = 0,071 6
d. 0,000 11 × 105 = 11

14 1. Les nombres C et E sont écrits en notation
scientifique.
2. A = 1,356 3 × 104
B = 9,5 × 10 −3
D = 8,7 × 104
F = −1,2 × 102
Chapitre

1

Calcul numérique

9

© Éditions Belin, 2012.

Ouverture

Un ordre de grandeur de A est donc : 4 × 1014.
• B = 7,6 × 1013.
Un ordre de grandeur de B est donc : 8 × 1013.
• A est supérieur à B.
16 A = 1032 × 1011 × 1027 = 1032 + 11 + 27 = 1070

B = 10 −5 × 10 −14 × 100 = 10 −5 + (−14) + 0 = 10 −19

Activités

1

Objectifs

SC3

– Conjecturer les propriétés sur le produit et le quotient de
deux puissances d’un même nombre et sur la puissance
de la puissance d’un nombre.
– Savoir appliquer ces propriétés.

1. a. • a3 × a2 = (a × a × a) × (a × a) = a5
1⎞
• a −4 × a7 = ⎛⎜ ⎟ × (a × a × a × a × a × a × a)
⎝ a4 ⎠
1
=
× (a × a × a × a × a × a × a) = a3
a×a×a×a
1⎞
• a2 × a −5 = (a × a) × ⎛⎜ ⎟
⎝ a5 ⎠
1
1
= (a × a) ×
=
= a −3.
a × a × a × a × a a3
1
1
1
1
1
• a −3 × a −1 =
× =
× =
= a −4.
3
a a × a × a a a4
a
b. On peut conjecturer que le produit a n × a p peut
s’écrire sous la forme : a n + p.
c. a1977 × a −436 = a1977 + (−436) = a1541.
d. On peut encore appliquer cette règle pour
calculer le produit a × a0 :
En effet : a × a0 = a × 1 = a et a1 + 0 = a1 = a.
e. • 25 × 214 = 25 + 14 = 219
• 7,824 × 7,8 −10 = 7,824 + (−10) = 7,814
• 5 −9 × 53 = 5 −9 + 3 = 5 −6
• 6 −11 × 6 = 6 −11 + 1 = 6 −10
• 1,30 × 1,35 = 1,30 + 5 = 1,35
f. (−5)3 × (−5)4 = (−5)7.
−5 est un nombre négatif et 7 est un nombre impair,
donc le produit (−5)3 × (−5)4 est négatif.
a5
a× a× a× a× a
=
= a × a × a = a3
2. a. •
2
a× a
a
1
1
a3
a×a×a

= a −3
=
=
=
a × a × a × a × a × a a × a × a a3
a6
a−1
1
1
1
1

= a −5
= a−1 ×
= ×
=
a a × a × a × a a5
a4
a4
a−2
1
1
1

= a−2 ×
=
× a3 =
×a×a×a


3
3
2
a×a
a
a
a
= a = a1
an
b. On peut conjecturer que le quotient
peut
ap
s’écrire sous la forme : an − p.
a 2001
c.
= a2001 − 1900 = a111
a1900
d. On peut encore appliquer cette règle pour
a
a0
et
:
calculer les quotients
a
a0

10

En effet : •

a
a
= = a et a1 − 0 = a1 = a.
0
1
a

1
a0
=
= a−1 et a0 − 1 = a−1.
a
a1
43
e. •
= 4 3 − 13 = 4 −10
413
5, 215

= 5,215 − 7 = 5,28
5, 27
9 −14

= 9 −14 − (−8) = 9 −6
9 −8
4, 8 47

= 4,8 47 − (−43) = 4,890
4, 8 −43
60

= 60 − (−4) = 64
6 −4
12,59

= 12,59 − 1 = 12,58
12,5
( −2,1) −3
f.
= (−2,1) 2
( −2,1) −5
−2,1 est un nombre négatif et 2 est un nombre pair,
( −2,1) −3
est positif.
donc le quotient
( −2,1) −5
(ANNEXE 1)
3. a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER
• (a2)3 = a2 × a2 × a2 = a6
1
1
1
1
• (a −3)2 = a −3 × a −3 =
×
=
=
= a −6
3
3
3
3
a
a
a ×a
a6
1
1
1
• (a5) −2 =
=
=
= a −10
5
2
5
5
10
(a )
a ×a
a
1
= a3
• (a −3) −1 =
a −3
b. On peut conjecturer que le quotient (a n) p peut
s’écrire sous la forme : a n × p.
c. (a15) −40 = a15 × (−40) = a −600.
d. On peut encore appliquer cette règle pour
calculer (a n)0 et (a0)n :
En effet : • (a n)0 = 1 et an × 0 = a0 = 1.
• (a0)n = 1n = 1 et a0 × n = a0 = 1.
e. • (175)14 = 175 × 14 = 1770
• (5,321)10 = 5,321 × 10 = 5,3210
• (5 −9)3 = 5 −9 × 3 = 5 −27
• (6 −4) −25 =6 −4 × (−25) = 6100
• (2,80) −5 = 2,80 × (−5) = 2,80 = 1
• ((− 4)7)0 = (− 4)7 × 0 = (− 4)0 = 1
f. ((−7)3) −6 = (−7) −18.
−7 est un nombre négatif et 18 est un nombre pair,
donc le nombre ((−7)3) −6 est positif.


2

Objectifs

SC3

– Conjecturer les propriétés sur le produit et le quotient
de puissances de deux nombres ayant le même exposant.
– Savoir appliquer ces propriétés.

1. a. • Le raisonnement de Marie est correct.
Elle a utilisé :
− le fait que 70 peut s’écrire 7 × 10 ;
− la définition d’une puissance ;
− la propriété qui indique que l’on peut changer
l’ordre des facteurs d’un produit ;
− et encore une fois, la définition d’une puissance.

© Éditions Belin, 2012.

15 • A = 3,679 × 1014.

• DOCUMENT À PHOTOCOPIER
(ANNEXE 2)
a3 × b3 = (a × a × a) × (b × b × b)
= (a × b) × (a × b) × (a × b) = (a × b)3
1
1
1
a −2 × b −2 =
×
=
a × a b × b ( a × b) × ( a × b)
1
=
= (a × b) −2
( a × b )2
• On peut conjecturer que le produit an × bn peut
s’écrire sous la forme : (a × b)n .
b. • 25 × 35 = (2 × 3)5 = 65
• 7,5 −10 × 2−10 = (7,5 × 2) −10 = 15 −10
• 5 −9 × 4 −9 = (5 × 4) −9 = 20 −9
• 6 −11 × 0,5 −11 = (6 × 0,5) −11 = 3 −11
c. (−7)3 × 43 = (−7 × 4)3 = (−28)3
−28 est un nombre négatif et 3 est un nombre
impair, donc (−7)3 × 43 est un nombre négatif.
1
1 n 1
1 1n
2. a. ⎛⎜ ⎞⎟ = × … × =
=
⎝ b⎠
b
b bn
bn

19 A = x 4 × x −3 × x −7 = x 4 + (−3) + (−7) = x −6

x18 × x 21 x 39
=
= x 32
( x −1 )−7
x7
x9 × x11 x 20
C=
= x7
=
x5 × x 8
x13
( x −1 )2 × (2 x )−4 x −2 × 2−4 × x −4
B=

D=

=

2−1

2−1

=

x −6
23

=

1 −6
x
8

20 1.

n fois



14410
1210

144⎞
= ⎛⎜
⎝ 12 ⎟⎠

10

= 1210



1−7
0,5−7

⎛ 1⎞
=⎜
⎝ 0,5⎟⎠

−7

2.

On conjecture que :

= 2−7

( −5)7 ⎛ −5⎞ 7
= ⎜ ⎟ = (−1,25)7
⎝ 4⎠
47
−1,25 est un nombre négatif et 7 est un nombre
( −5)7
impair, donc
est négatif.
47
d.

Savoir-faire
1 ⎛ 1 1 7⎞ 1 ⎛ 1 7 ⎞
×⎜ + × ⎟ = ×⎜ + ⎟
3 ⎝ 5 5 2⎠ 3 ⎝ 5 10⎠
1
2
7
1 9
3
=
= × ⎛⎜ + ⎞⎟ = ×
3 ⎝10 10⎠ 3 10 10
7 5 5 1 7 5 6 1 7 1 1
B= −
: + = −
× + = − +
8 12 6 8 8 12 5 8 8 2 8
7 4 1 4 1
= − + = =
8 8 8 8 2
1 5⎞ ⎛ 1 5⎞ ⎛ 1 35⎞ ⎛ 7 10⎞
+
:
+
= −
+
:
+
C = ⎛⎜ −
⎝ 14 2⎟⎠ ⎜⎝ 2 7⎟⎠ ⎜⎝ 14 14⎟⎠ ⎜⎝14 14⎟⎠
34 17 34 14
=
:
=
×
=2
14 14 14 17
17

SC3

A=

22 × 24
26
=
= 23
(2−1 )−3
23
(11−1 )2 × 113 11−2 × 113 111
=
=
B=
= 11−1
112
112
112
C = 0,0014 × 1 0004 = (0,001 × 1 000)4 = 14 = 1
D = 53 × 2−1 × 512 × 2−14 = (53 × 512) × (2−1 × 2−14)
1 15
5 15
= 515 × 2−15 = 515 × ⎛⎜ ⎞⎟ = ⎛⎜ ⎞⎟ = 2,515
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
18

SC3

A=

Aire (ABCD)
= 2n.
Aire (A n B n C n D n )

Exercices

À l’oral
4
8 12 4
+
=
=
15 15 15 5
3 7 4 1
− + = =
8 8 8 2
5 11 −6

=
= −1
6 6
6
5 9 −14
− − =
= −7
2 2
2
1 1 2 1 3
+ = + =
2 4 4 4 4
2 1 4 1 3 1
− = − = =
3 6 6 6 6 2

21

b.
c.
d.
e.
f.

SC3

a.

9 12 9 × 3 × 4 9
×
=
=
4 6
4 × 2× 3 2
2 15 2 × 3 × 5 5
=
b. ×
=
3 8
3× 2× 4 4
10 9 5 × 2 × 3 × 3
c.
× =
=6
3 5
3×5
1 1 6 1× 1× 2 × 3 1
d. × × =
=
3 2 5
3× 2×5
5
21 12 3 × 7 × 3 × 4
e.
×
=
=9
4
7
4×7
25
25 × 4 × 2
×8=
= 50
f.
4
4
22

SC3

a.

Chapitre

1

Calcul numérique

11

© Éditions Belin, 2012.

b. DOCUMENT À PHOTOCOPIER
(ANNEXE 3)
n
n
n
an
1
1
1
⎛ a⎞




= an×
= a n × ⎜ ⎟ = ⎜a × ⎟ = ⎜ ⎟ .
⎝ b⎠

⎝ b⎠
b⎠
bn
bn
−5
6

5
2,1
2,1 6
14
14
= ⎛⎜ ⎞⎟ = 7−5 •
= ⎛⎜ ⎞⎟ = 0,36
c. •
⎝ 2⎠
⎝ 7⎠
76
2−5

2 4 2 9 3
: = × =
3 9 3 4 2
3 9 3 2 1
d. : = × =
4 2 4 9 6
1
3
f. 5 : = 5 × = 15
3
1

24 1. Vrai. En effet :

b.

1
x
= 1 × = x (avec x = 0).
1
1

x
2. Vrai. En effet : l’inverse d’un nombre x non nul
est x −1.
3. Faux. En effet : l’opposé de −5 est 5.
4. Vrai. En effet : si x × y = 1, alors x et y sont non
1
nuls et y = .

x

5. Faux. En effet : l’inverse de

3 1
= .
3 4 4
Alexandra a dépensé un quart de son argent de
poche.
1 3
1− = .
4 4
Il reste à Alexandra les trois quarts de son argent de
poche.
25

SC3

1

1
est 4.
4

×

⎛ 2 1 ⎞ 10 − ⎛ 4 + 1 ⎞
26 SC3 1 − ⎜ + ⎟ =
⎝ 5 10⎠ 10 ⎜⎝10 10⎟⎠
10 5
5
1
=

=
=
10 10 10 2
La pelouse occupe la moitié du jardin.
1 2 1
= = .
6 6 3
Charles obtient un tiers des bonbons.
1 1
3
1 1
1 − ⎛⎜ + ⎞⎟ = 1 − = 1 − = .
⎝ 6 3⎠
6
2 2
Aline obtient la moitié des bonbons.
27

SC3

a. 34 × 3 −7 = 3 −3
× 2−5 × 23 = 29
100 × 10 −3 × 105 = 102
5120 × 5230 = 5350
73 × 72 = 75
(−2,1) −15 × (−2,1) −5 = (−2,1) −20
2−17 × 2 = 2−16
(−1)0 × (−1)2 = (−1)2 = 1

28

b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.



a. (22)3 = 26
b.
= (−1)15 = 1
c. ((−2,6)4)12 = (−2,6)48
30

SC3

(−13)5

d. (4,3 −2) −5 = 4,310
e. (−56) −10 = (−5) −60
9
54
⎛ 2⎞ 6 ⎞
⎛ 2⎞
f. ⎜ ⎛⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
⎝ ⎝ 3⎠ ⎠
⎛ ⎛ 5⎞ −8 ⎞
g. ⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎝ 7⎠ ⎠

−7

⎛ 1⎞ 3 ⎞
h. ⎜ ⎛⎜ − ⎟ ⎟
⎝ ⎝ 2⎠ ⎠

−10

29

SC3

a.

712
= 77
75

c.

( −3)−60
= (−3) −5
( −3)−55

e.

310
= 34
36

g.

( −9)−3
= (−9)7
( −9)−10

12

20
= 26
2−6
1012
d.
= 1032
10−20
b.

7, 45
= 7,4 −2
7, 47
13
h.
= 1−6 = 1
19
f.

1⎞
= ⎛⎜ − ⎟
⎝ 2⎠

−30

1⎞
= ⎛⎜ ⎟
⎝ 2⎠

−30

1

⎛ 3 0⎞
i. ⎜ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎟ = 1
⎝ ⎝ 4⎠ ⎠
a. 0,111 × 1011 = (0,1 × 10)11 = 111 = 1
× 59 = (− 4 × 5)9 = (−20)9
107 ⎛10⎞ 7
= ⎜ ⎟ = 27
⎝ 5⎠
57
2
2
⎛ 1⎞ × 2 = ⎛ 1 × ⎞ = 12 = 1
2
2⎟
⎜⎝
⎜⎝ ⎟⎠

2
2
63 ⎛ 6⎞ 3
= ⎜ ⎟ = 23
33 ⎝ 3⎠
8
8
8
8
⎛ 3⎞ × ⎛ 5⎞ = ⎛ 3 × 5⎞ = ⎛ 3⎞ = 1,58
⎜⎝ ⎟⎠
⎟⎠
⎜⎝
⎜⎝ ⎟⎠
⎜⎝ ⎟⎠
5
2
5 2
2

31

b.
c.
d.
e.
f.

SC3

(− 4)9

1. Vrai. En effet : (23)2 = 26 et (22)3 = 26
2. Vrai. En effet : 2 n × 2 p = 2 n + p ; n et p étant
deux entiers relatifs.
3. Faux. En effet : si a est non nul, a 0 = 1.
4. Vrai. En effet : si a est non nul, a 0 = 1.
5. Faux. En effet : (2 × 10)2 = 202 = 400.
32

SC3

33 Les nombres A, D, E et F sont écrits en notation
scientifique.
34 a. 320 000 = 3,2 × 105
b. 364,7 = 3,647 × 102
c. 2,93 = 2,93 × 100
d. 0,003 = 3 × 10 −3

Je m’entraîne

SC3

211

5⎞ 56
= ⎛⎜ ⎟
⎝ 7⎠

5 3 5 6 −1
1
− = − =
=−
8 4 8 8
8
8
1 2⎞
4⎞
5
1
⎛1
×2= ×2=1
B = ⎛⎜ + ⎟ × 2 = ⎜ + ⎟ × 2 =
⎝10 10⎠
⎝10 5⎠
10
2
3 5
3 25 −22
11
C=
− =

=
=−
20 4 20 20
20
10
5 4⎞ 1
5 12⎞ 1
⎛ −7⎞ 1


D = −⎜ − ⎟ + = −⎜ − ⎟ + = −⎜ ⎟ +
⎝ 21⎠ 3
⎝ 21 21⎠ 3
⎝ 21 7⎠ 3
1 1 2
= + =
3 3 3
1 5⎞
4 ⎛ 4 15⎞
4 ⎛ −11⎞
4
×
×
=
=

E = ⎛⎜ − ⎟ ×
⎝ 3 4⎠ 33 ⎜⎝12 12⎟⎠ 33 ⎜⎝ 12 ⎟⎠ 33
−11 × 4
1
=
=−
3 × 4 × 3 × 11
9
1 13
1
1 1 2 1 3
F= +
×
= + = + =
2 2 26 2 4 4 4 4
35

SC3

A=

© Éditions Belin, 2012.

1 1 1 2 2
: = × =
3 2 3 1 3
5 1 5 4
c. : = × = 10
2 4 2 1
1 1
1 10
e. :
= ×
=2
5 10 5 1
23 a.

25 16 9 5 × 5 × 4 × 4 × 3 × 3
×
× =
=5
12 15 4
3× 4×3×5× 4
8 3 5 4 × 2× 3×5
3
1
B=
× × =
=
=
45 4 2 5 × 9 × 4 × 2 3 × 3 3
1 24 25 1 × 3 × 8 × 5 × 5 2 × 4 × 5 20
C= ×
×
=
=
=
2 15
7
2× 3×5×7
2×7
7
5
4
7 × 7 × 5 × 2 × 2 14
D = 49 ×
×
=
=
14 25
2×7×5×5
5
2 1 2 5 2 1 5 4 − 1+ 5 8 4
E= − × + = − + =
= =
3 4 3 6 3 6 6
6
6 3
5
1
7
1
10
1
21
1⎞
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛

F = ⎛⎜ + ⎟ × ⎜ − ⎟ = ⎜ + ⎟ × ⎜
⎝ 2 4⎠ ⎝11 33⎠ ⎝ 4 4⎠ ⎝ 33 33⎟⎠
11 20 11 × 4 × 5 5
=
×
=
=
4 33 4 × 11 × 3 3
SC3

A=

24 18 24 14 4 × 6 × 2 × 7 8
:
=
×
=
=
21 14 21 18 3 × 7 × 3 × 6 9
45 9
45 13 5 × 9 × 13 5
B=
:
=
×
=
=
26 13 26 9
2 × 13 × 9 2
48 72 48 21 2 × 3 × 8 × 3 × 7 2
C=
:
=
×
=
=
49 21 49 72 7 × 7 × 8 × 3 × 3 7
1⎞



4⎞

1

b.
c.
d.
e.
f.
1

38 A = ⎜ 2 + 3 : ⎟ : 7 = ⎜ 2 + 3 × ⎟ × = 14 × = 2


4⎠
1⎠ 7
7

1 5 1 1 5 5 1 25
24
= −12
− : = − × = −
=−
2 2 5 2 2 1 2 2
2
1 1
+
3 6 ⎛ 2 1⎞ : ⎛ 2 − 1⎞ = 3 : 1 = 1 × = 2
=⎜ + ⎟ ⎜
4
C=

1 1 ⎝ 6 6⎠ ⎝ 4 4⎠ 6 4 2

2 4
1 15 1
3−

5 = 5 5 = 14 : 15 = 14 × 7 = 98
D=
1 14 1
5 7
5 15 75
2+
+
7
7 7
B=

Thème de convergence

⎛ 1 + 1 + 1 ⎞ = 1 − ⎛ 10 + 2 + 5 ⎞

⎜⎝

10 50 20⎠
100 100 100⎠
17
83
= 1−
=
100 100
83
La part des transports routiers était de
.
100
39 1 − ⎜


40 SC3 a. −2 est négatif et 24 est pair, donc :
(−2)24 est positif.
b. 3 est positif, donc : 3 −5 est positif.
c. −17 est négatif et 7 est impair, donc :
(−17)7 est négatif.
d. 2 est positif, donc : 210 est positif.
e. −21 est négatif et 15 est impair, donc :
(−21) −15 est négatif.
f. −20 est négatif et 2 est pair, donc : (−20) −2 est
positif, et par conséquent : −(−20) −2 est négatif.

1. a est positif, donc an et a −n sont positifs.
Par conséquent : a3, a6, a −2 et a −5 sont positifs et
−a3 est négatif.
a est positif, donc −a est négatif. D’autre part, 5 est
impair, donc (−a)5 est négatif.
41

42 a. 7 = 30 × 71

b.
c.
d.
e.
f.

21 = 31 × 71
63 = 32 × 71
27 = 33 × 70
147 = 31 × 72
189 = 33 × 71

43 a. 60 = 22 × 31 × 51

37 A =



2. a. a est négatif et 3 est impair, donc a3 est négatif.
b. a est négatif et 6 est impair, donc a6 est positif.
c. a est négatif et 2 est pair, donc a −2 est positif.
d. a est négatif et 5 est impair, donc a −5 est négatif.
e. a est négatif et 3 est impair, donc a3 est négatif,
d’où : −a3 est positif.
f. a est négatif, donc −a est positif. Par conséquent
(−a)5 est positif.

270 = 21 × 33 × 51
750 = 21 × 31 × 53
360 = 23 × 32 × 51
45 = 20 × 32 × 51
48 = 24 × 31 × 50

A = (9 + 5) −1 × 2 × (8 − 1) = 14 −1 × 2 × 7
=
× 14 = 1
25 − 9
=1
B=
16
C = 9 + 10 + 25 − (9 + 25 ) = 44 − 34 = 10
D = 8 − 15 + 7 = 0
44

SC3

14 −1

45 SC3 A = (10 − 9) × 7 − 4 = 3
B = 0 × (37 − 43) − 1 = 0 − 1 = −1
1 75
= 25
C = (100 − 25) × =
3
3
D = (21 + 1) × 123 = 22 × 123 = 2 706
E = 1 000 − 100 + 10 − 1 = 909
100 000 + 10 000
= 110
F=
1 000
46 1. A = 152 × 22 + 503 × 22

= (15 × 2)2 + 50 × (50 × 2)2 = 900 + 50 × 10 000
≈ 500 000.
2. Un ordre de grandeur de A est 5 × 105.
3. Un ordre de grandeur de A + 1 sera aussi 5 × 105.
47 a. Un ordre de grandeur de 210 est : 103.

b.
c.
d.
e.
f.

Un
Un
Un
Un
Un

ordre
ordre
ordre
ordre
ordre

de
de
de
de
de

grandeur
grandeur
grandeur
grandeur
grandeur

de
de
de
de
de

76 est : 105.
321 est : 1010.
5 −15 est : 10 −11.
3 −20 est : 10 −10.
11−3 est : 10 −3.

48 16 × 32 = 24 × 25 = 29
L’éleveur pourra avoir 29 petits tenrecs au maximum.
Thème de convergence

SC3

49 1 L = 103 mL
103 × 106 = 109
Dans un litre d’eau de mer, il y a environ 109 bactéries,
soit un milliard de bactéries.
Chapitre

1

Calcul numérique

13

© Éditions Belin, 2012.

36

50 a. 356 × 103 = 3,56 × 105

b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.

10 −5

63

10 −4

25 ×
= 2,5 ×
0,56 × 107 = 5,6 × 106
0,007 × 102 = 7 × 10 −1
41,89 × 10 −8 = 4,189 × 10 −7
56 000 × 10 −4 = 5,6 × 100
345 × 10 −1 = 3,45 × 101
0,045 × 10 −4 = 4,5 × 10 −6
245,6 × 10 −2 = 2,456 × 100

A = 3 −2

C = 11−2

B = 514

a5 × a −9
a −4
=
= a2

6
a
a −6
a −2 × a −1 a −3
B=
=
= a −1
a −6 × a 4
a −2
a 3 × ( a −3 ) 3
a −6
C=
=
= a −33
a12 × a15
a 27
64

51 x = 3 000 = 3 × 103 ; y = 250 = 2,5 × 102 ;

SC3

A=

A = 33 × 35 = 38
B=
× 2−2 = 22
−1
C = 5 × 53 × 54 = 56
D = 106 ×104 × 10 −6 = 104
65

z=6=6×
A = x + y + z = 3 256 = 3,256 × 103
B = z (x + y) = 19 500 = 1,95 × 104
C = x (y − z) = 732 000 = 7,32 × 105
D = xyz = 4 500 000 = 4,5 × 106
100

SC3

24

DOCUMENT À PHOTOCOPIER

66

(ANNEXE 4)

1.

52 104 ⬍ A ⬍ 105

10 −6

SC3

10 −5

⬍B⬍
104 ⬍ C ⬍ 105
10 −4 ⬍ D ⬍ 10 −3
103 ⬍ E ⬍ 104
10 −1 ⬍ F ⬍ 100

2. Vrai

1,6756 × 10−27

3. Faux

4. Faux

2 × 10−27
≈ 0,2 × 104 ≈ 2 × 103
9,109 4
10 × 10−31
Un proton est 2 000 fois plus lourd qu’un électron.
54

55

× 10−31

SC3

D = 105



A = 108

56

SC3

A=

57

SC3

A = a17

55

B = 108
E = 10 −10
B=

D = a10
58

SC3

D = (−7)1
59

SC3

d. a −30

120

C = 106
F = 1013

1
C = ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 2⎠

B = a0

14

3
D = ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 5⎠

−2

C = a1
1 −1
F = ⎛⎜ ⎞⎟ = a1
⎝ a⎠

E = a0
A = 2,91

B = (− 4)0
E = 11−1

C = (−5) −1
F = 712

a. a5

b. a −3
e. a7

c. a −12
f. a −57

60 SC3 A = 0 −14 = 0
B = 1,58
C = 9 −40
D = 790 = 1
E = (−1)100 = 1
F = (−2)1 = −2
2 6
1 −18
1 − 44
G = ⎛⎜ ⎞⎟
H = ⎛⎜ − ⎞⎟
I = ⎛⎜ ⎞⎟
= 1044
⎝ 7⎠
⎝10⎠
⎝ 9⎠

A = a −30
D = a0 = 1
61

SC3

62

SC3

A = 35 × 3 −6 = 3 −1 =

26
B=
= 23 = 8
23
C = 2−2 × 25 = 23 = 8

14

B = a −10
E = a −1

C = a −102
F = a100
1
3

2.

On conjecture que :
aire (Q1)
aire (Q 2n+1)

= 4 n et

aire (Q 2 )
aire (Q 2n+2 )

= 4 n.

67 SC3 a. (5a)2 = 25a2
b. (− 4a)3 = − 64a3
c. 8a3 = (2a)3
d. −27a3 = (−3a)3
68 SC3 A = 0,0014 × 1 0004 = (0,001 × 1 000)4
= 14 = 1
B = (0,252)3 × 76 = 0,256 × 76 = (0,25 × 7)6 = 1,756
1
C = 53 × 2−1 × 512 × 2−14 = 515 × 2−15 = 515 ×
15
2
15
⎛ 5⎞
= ⎜ ⎟ = 2,515
⎝ 2⎠
7 × 34
D=
= 7 × 34 × 73 = 74 × 34 = (7 × 3)4 = 214
7−3

A = (2 × 0,5)5 = 15 = 1
B = (0,001 × 10) −6 =0,01−6 = (10 −2) −6 = 1012
C = 35 × 45 = (3 × 4)5 = 125
D = 310 × 210 = (3 × 2)10 = 610
69

SC3

A = (ab)7
B=
× b −5 = (ab) −5
4
C = a × b4 = (ab)4
D = a −12 × b −12 = (ab) −12
70

SC3

a −5

© Éditions Belin, 2012.

53 1. Vrai

A = 52 × 33
B=
× 5 −3 × 24 × 57 = 28 × 54
2
7 × 2 × 7 × 73
C=
= 2−3 × 76
24
53 × 33
D=
= 55 × 32
5−2 × 3
SC3

24

b −4

72 SC3 A =
×
B = a9 × b8
a3 × b−2
= a2 × b −4
C=
a × b2
a5 × b−1
D=
= a −1 × b −3
a6 × b2

a10

74 A = x 2 (x + 1)

B = x 2 (3x 3 − 5)
C = x −7 (1 + x) = x −6 (x −1 + 1)
D = 8x 3 + 9x 2 = x 2 (8x + 9)
75 A = 1021 (23 × 102 + 1 200) = 3 500 × 1021

= 3,5 × 1024
B = 10 −9 (3,56 × 102 + 56) = 412 × 10 −9 = 4,12 × 10 −7
C = 10 −40 (234 × 103 − 45 021) = 188 979 × 10 −40
= 1,889 79 × 10 −35
104 × (520 − 4 × 102 ) 120 × 104
=
6 × 10−3
6 × 10−3
7
8
= 20 × 10 = 2 × 10
1011 × (3, 24 + 0,02 × 102 ) 5, 24 × 1011
B=
=
5 × 102
5 × 102
= 1,048 × 109
76 A =

Je m’entraîne au brevet
8
5
13
+
=
20 20 20
8
5
3
B=

=
20 20 20
77 A =

13
13 20 13
C = 20 =
×
=
3
20 3
3
20
c. C

1⎞ ⎞
⎛ 1 1 3⎞
⎛1 1 ⎛
+ × ⎜1 − ⎟ ⎟ = 1 − ⎜ + × ⎟
⎝ 4 3 4⎠
4 3 ⎝
4⎠ ⎠
1 1⎞
2 1

= 1− ⎜ + ⎟ = 1− =
⎝ 4 4⎠
4 2
1
Il lui reste , soit la moitié de sa propriété.
2
1
2. × 40 = 20
2
La superficie actuelle de sa propriété est de
20 hectares.
79 1. 1 − ⎜


SC3

b. A

D = 26

c. C
E = (4 × 3)5 = 125

F = 59

7
9
14
9
5
1

=

=
=
15 30 30 30 30 6
25 × 3 106 × 10−2
2. B =
= 37,5 × 102
×
2
102
La notation scientifique de B est 3,75 × 103.
L’écriture décimale de B est 3 750.
83 1. A =

B = 320 (1 − 3) = −2 × 320
C = 511 (5 + 1) = 6 × 511
D = 729 (72 + 1) = 50 × 729

b. C

81 a. A
82

73 A = 29 (2 − 1) = 29

78 a. C

80 1. A = 200 + 10 + 0,1 + 0,02 = 210,12
2. A = 2,101 2 × 102
3. A = 21 012 × 10 −2
12
4. A = 210 +
100

84 a. A

b. C

c. A

6 17 7 6 17 12 17 −5
1

× = −
=

=
=−
5 14 5 5 10 10 10 10
2
3 × 4 105 × (10−3 )2
B=
= 0,75 × 103
×
16
10−4
L’écriture décimale de B est 750.
La notation scientifique de B est 7,5 × 102.
85 1. A =

86 a. B

b. C

c. C

J’approfondis
100 1. a. Si un nombre est pair alors la moitié de

ce nombre est un nombre entier et donc un nombre
décimal.
Si un nombre est impair alors il est la somme
d’un nombre pair et de 1. Alors sa moitié est
la somme de la moitié d’un nombre pair et de 0,5.
On en déduit que c’est un nombre décimal.
b. Si a est un nombre entier alors, d’après
a
la question précédente, est un nombre décimal.
2
La moitié d’un nombre décimal est un nombre
décimal.
a
Ainsi la moitié de est aussi un nombre décimal
2
a
et ainsi de suite. Donc
est un nombre décimal.
2n
2. a. Le reste de la division euclidienne d’un nombre
entier par 5 est 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4.
Quel que soit un nombre entier n, il peut s’écrire sous
la forme : 5k ou 5k + 1 ou 5k + 2 ou 5k + 3 ou
5k + 4, où k est un entier représentant le quotient
de la division euclidienne du nombre entier n par 5.
1
D’où : n s’écrit : k ou k + 0,2 ou k + 0,4 ou k + 0,6
5
ou k + 0,8.
On a, dans tous les cas, la somme d’un nombre
entier et d’un nombre décimal.
1
n est donc toujours un nombre décimal.
5
Chapitre

1

Calcul numérique

15

© Éditions Belin, 2012.

71

10 8
3
15
+

15 6 5
12
12
12
101 A =
= 12 =
× =
10 1
9
12 9 6

6 6
6
1
1
1
3 8
B = 1+
= 1+
= 1+ = 1+ =
1
2
5
5 5
1+
1+
3
3
3
2
102 IJK est rectangle en K, donc d’après le théorème

de Pythagore :
IJ 2 = IK 2 + JK 2 = 212 × 3 + 212 = 212 (3 + 1)
= 212 × 4 = 212 × 22 = 422
On en déduit que : IJ = 42
103 2. Les points B, A et M d’une part, et les points

C, A et N d’autre part, sont alignés dans le même
ordre.
AB 37
AC (3−1)−4
=
= 32 et
=
= 32
5
AM 3
AN
32
AB
AC
D’où :
=
AM AN
Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès,
les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
3. On peut alors dans ce cas appliquer le théorème
AB
AC BC
de Thalès :
.
=
=
AM AN MN
AB
= 32 et MN = 33 × 10.
Or :
AM
BC
, soit :
Donc : 32 =
33 × 10
BC = 32 × 33 × 10 = 35 × 10.
104 1. A = 4 = 22

B = 9 = 32
2. On peut conjecturer que D = 52.
3. D = 25 = 52

16

C = 16 = 4 2

105 1. 294 = 6 × 72

2. n3 − n2 = n2 × (n − 1).
Si on prend n = 7, on obtient 72 × (7 − 1) soit :
72 × 6 = 294.
106 1. a. Un nombre pair est un multiple de 2,

donc on peut l’écrire sous la forme :
2 × n avec n entier naturel.
b. (2n)2 = 22 × n2 = 2 × 2 × n2 = 2 × (2n2)
Donc (2n)2 est un nombre pair.
(2n)3 = 23 × n3 = 2 × 22 × n2 = 2 × (4n2)
Donc (2n)3 est un nombre pair.
2. a. Un nombre impair est un nombre qui s’écrit
sous la forme de la somme d’un nombre pair et
de 1 soit : 2n + 1.
b. (2n + 1)2 = (2n + 1) × (2n + 1) = 4n2 + 4n + 1
= 2 × (2n2 + 2n) + 1
On peut écrire (2n + 1)2 sous la forme de la somme
d’un nombre pair et de 1 donc (2n + 1)2 est un
nombre impair.
(2n + 1)3 = (2n + 1)2 × (2n + 1)
= (4n2 + 4n + 1) × (2n + 1)
= 8n3 + 4n2 + 8n2 + 4n + 2n + 1
= 2 × (4n3 + 6n2 + 3n) + 1
On peut écrire (2n + 1)3 sous la forme de la somme
d’un nombre pair et de 1 donc (2n + 1)3 est un
nombre impair.
−33 × 7−4 × 5−1
= 31 × 52 × 7−6
−5−3 × 32 × 72
33 × 4 −6 × 104 × 3−3 × 25−3
B=
= 2−7 × 30 × 51
4 −1 × 10−3 × 24
107 A =

⎛ 2⎞

108 A = ⎜ ⎟
⎝ 3⎠

2 3⎞
= ⎛⎜ × ⎟
⎝ 3 2⎠

10

10

3⎞
× ⎛⎜ ⎟
⎝ 2⎠

11

2⎞
= ⎛⎜ ⎟
⎝ 3⎠

10

×

3 ⎛ 3⎞ 10
×⎜ ⎟
2 ⎝ 2⎠

3
3 3
= 110 × =
2
2 2
3 × 10−6
8
B = 4 −3 ×
= 4 −3 × 4 3 × 10 3
23 × 10−9
= 40 × 10 3 = 1 000.
×

109 A = (ab) −3 × (ab)2 = (ab) −1 = 5 −1 = 0,2

7
× a2 × b2 = 3,5 × (ab)2 = 3,5 × 52
2
= 3,5 × 25 = 87,5
B=

110 A = (ab × a)8 = (a2 × b)8 = (−2)8 = 28 = 256

15 × a4 × a−3 × b−3
= 15 × a −2 × b −1
a3 × b−2
= 15 × (a2b) −1 = 15 × (−2) −1 = −7,5

B=

5
111 2−3 = 0,125 ; 2(3 ) = 2243 ;

2−5 = 0,031 25 ;
Donc :

5
2(3 )



3
2(5 )

3

2(5 ) = 2125

⬎ 2−3 ⬎ 2−5

112 (3a)2 = 9a2 ; 2 × a2 = 2a2 ; 3a × a = 3a2 ;
2a × 3a = 6a2 ; 2a × 2a = 4a2.
Le plus grand nombre est (3a)2.

© Éditions Belin, 2012.

b. Si a est un nombre entier alors, d’après
a
la question précédente, est un nombre décimal.
5
Le cinquième d’un nombre décimal est un nombre
décimal.
a
Ainsi le cinquième de est aussi un nombre décimal
5
a
et ainsi de suite. Donc
est un nombre décimal.
5p
a
a
1
=
×
3.
n
p
n
2 ×5
2
5p
a
1
Or, d’après les questions 1 et 2,
et
sont
n
5p
2
des nombres décimaux.
On sait que le produit de deux nombres décimaux
est un nombre décimal.
a
Donc
est un nombre décimal.
n
2 × 5p
4. • 256 000 = 256 × 1 000 = 28 × 103
= 28 × 23 × 53 = 211 × 53.
Donc, d’après la question 3, A est un nombre décimal.
• 25 × 160 = 52 × 16 × 10 = 52 × 24 × 2 × 5 = 53 × 25.
Donc, d’après la question 3, B est un nombre décimal.

(52)5

= 45 ×
× 125
5
= (4 × 25) × 125
= 1005 × 125
=1010 × 125
On en déduit que 45 × 513 s’écrit avec 13 chiffres.
114 On considère les deux rectangles d’aire 4a × a.
L’aire de ces deux rectangles superposés comme sur
la figure est égale à : 2 × 4a2 − a2 = 7a2.
L’aire des rectangles superposés comporte l’aire
a × 4a
colorée et deux aires chacune égale à
.
2
a × 4a
= 3a2.
L’aire verte est donc égale à : 7a2 − 2 ×
2
L’aire de la surface colorée est donc égale à 3a2.
115 1. On a 1 grain de riz sur la 1re case, 2 × 1 soit
21 grains de riz sur la 2e case, 2 × 2 soit 22 grains
de riz sur la 3e case, 2 × 22 soit 23 grains de riz
sur la 4e case, 2 × 23 soit 24 grains de riz
sur la 5e case,…, et 2 × 262 soit 263 grains de riz
sur la 64e case.
2. Un ordre de grandeur de 263 est 1019.
La demande de Sessa n’est donc pas réalisable.
−7
47
4 7
1
1
⎛ 3⎞ =
=
=−
= − ⎛⎜ ⎞⎟
7
7
7
⎝ 3⎠
4
3
3
⎛ − 3⎞

⎜⎝ ⎟⎠
7
4
4

116 ⎜ − ⎟
⎝ ⎠

117 1. Pour tout entier n, on a :
2n+1 − 2n = 2n × 2 − 2n × 1 = 2n (2 − 1) = 2n
2. S = (21 − 20) + (22 − 21) + (23 − 22) + …
+ (250 − 249) + (251 − 250)
51
0
51
3. S = 2 − 2 = 2 − 1
118 1. a. Le programme de calcul de Rémi pour
trouver 65 est le suivant :
• Il a tout d’abord effectué : 22, soit 4.
• Puis il a calculé 43 soit 64.
• Il a ensuite ajouté 1.
b. Le programme de Jeanne pour trouver 257 est le
suivant :
• Elle a tout d’abord effectué : 23, soit 8.
• Puis elle a calculé 28, soit 256.
• Elle a ensuite ajouté 1.
c. Il est difficile de savoir qui a raison car, sans
parenthèses, il est difficile de connaître le calcul
prioritaire. Par convention, on considère que la priorité
de calcul est 2 n, soit le programme de Jeanne.
4

2. a. • Pour n = 4 : 2(2 ) + 1 = 65 536 + 1 = 65 537
5
• Pour n = 5 : 2(2 ) + 1 = 4 294 967 296 + 1
= 4 294 967 297
b. • Pour n = 4 : B = (22)4 + 1 = 256 + 1 = 257
• Pour n = 5 : B = (22)5 + 1 = 1 024 + 1 = 1 025
On obtient des résultats inférieurs.

119 1. 2n2 + n = n (2n + 1) = n (n + n + 1)

2. Si on prend n = 5, on obtient :
2 × 52 + 5 = 5 × (5 + 5 + 1) = 5 × 11 = 55.

120 1. 100 x − x = 412,121 212… − 4,121 212… = 408
2. Or : 100 x − x = 99 x.
408
.
Donc : 99 x = 408, soit : x =
99
Argumenter et débattre
121 Le raisonnement de Maxime est correct.
Il a utilisé la définition d’une puissance, puis
il a changé l’ordre des facteurs d’un produit.
Ensuite, il a, à nouveau, utilisé la définition
d’une puissance.
Le dernier chiffre d’une puissance de 3 peut être 1,
3, 9 ou 7, mais jamais 0.
Puisque 1027 s’écrit avec un 1 suivi de 27 zéros,
il a pu conclure que 3027 se termine par 27 zéros.
122 • Pour n = 1, il y a de multiples possibilités.

Par exemple : 21 + 31 = 51.
• Pour n = 2, on a par exemple :
4 2 + 32 = 52 ou 62 + 82 = 102… On peut faire le lien
avec le théorème de Pythagore.
123 • 3216 = (25)16 = 280

• 1620 = (24 )20 = 280
On en déduit que : 3216 = 1620.
124 • 4 4 = (22)4 = 28

• 88 = (23)8 = 224 = (28)3 = (4 4)3
Il faut élever 4 4 à la puissance 3 pour obtenir 88.
125 1 024 = 210 et 220 = (210)2 = 1 024 2

1 000 000 = 1 0002
Comme 1 024 est supérieur à 1 000 alors 1 024 2 est
supérieur à 1 0002.
On en déduit que : 220 ⬎ 1 000 000.
126 1 m3 = 1 000 dm3

On obtient 1 000 cubes de volume 1 dm3.
Chaque cube de 1 dm3 a des arêtes de 1 dm donc
si on empile tous ces cubes, on obtient une tour
de hauteur 1 000 dm soit de 100 m.
Atelier découverte
127 1. 20 = 1 ; 21 = 2 ; 22 = 4 ; 23 = 8 ; 24 = 16.
2. • Écriture binaire de 0 : 0
• Écriture binaire de 1 : 1
• Écriture binaire de 2 : 10
• Écriture binaire de 3 : 11
• Écriture binaire de 4 : 100
• Écriture binaire de 5 : 101
• Écriture binaire de 6 : 110
• Écriture binaire de 7 : 111
• Écriture binaire de 8 : 1000
• Écriture binaire de 9 : 1001
Chapitre

1

Calcul numérique

17

© Éditions Belin, 2012.

113 45 × 513 = 45 × 510 × 53

130 1. a. téra : 1012 ; giga : 109 ; méga : 106

18

b. • 0,05 To = 0,05 × 1012 o = 5 × 1010 o
= 5 × 1010 × 8 bits = 40 × 104 Mb = 4 × 105 Mb
= 27 × 55 Mb.
• 16 ko = 16 × 103 o = 16 × 103 × 8 bits
= 128 × 10 −3 Mb = 27 × 10 −3 Mb.
• 400 Go = 400 × 109 o = 4 × 1011 × 8 bits
= 4 × 8 × 105 Mb = 210 × 55 Mb.
2. a. • 1 Mio = 1 024 Kio = 1 024 × 210 o = 220 o.
• 1 Gio = 1 024 Mio = 1 024 × 220 o = 230 o.
• 1 Tio = 1 024 Gio = 1 024 × 230 o = 240 o.
b. • kilo : 103 ;
méga : 106 = (103)2 ;
3
9
3
giga : 10 = (10 ) ;
téra : 1012 = (103)4 ; etc.
10
• kibi : 2 ;
mébi : 220 = (210)2 ;
3
30
10
gibi : 2 = (2 ) ;
tébi : 240 = (210)4 ; etc.

© Éditions Belin, 2012.

3. • L’écriture binaire de 1 est : 1
• L’écriture binaire de 2 est : 10
• L’écriture binaire de 4 est : 100
• L’écriture binaire de 8 est : 1000
• L’écriture binaire de 16 est : 10000
On remarque que l’écriture binaire des puissances
de 2 est formée d’un 1 suivi de plusieurs 0.
4. On remarque que 2n s’écrit en binaire par un 1
suivi de n zéros.
5. • L’écriture décimale de 11011 est : 27
• L’écriture décimale de 1100 est : 12
• L’écriture décimale de 10111 est : 23
• L’écriture décimale de 100000 est : 32

Activité 1

Annexe 1
Annexe
a.
33 a.

• (a 2)3 =

• (a−3)2 =

×

×

×
1

=
a

1

• (a5)−2 =

1

=

1

×

1

1

=

×a

a

=

×

1

=

a

(a5)
• (a−3)−1 =

=a
1

=a

a

=a

a

=a

a

Annexe 2
a.

1

(

a3 × b3 = a ×

a−2 × b −2 =

Annexe 3
b.

2

Activité 2

an
=a
bn

Annexe 4

1
×

×
×

) × (b ×
1
×

=

) = (a × b) × (

×

1

(

)×(

×

) ×(

×

1

=

) (

×

×

)

×

) = (a × b)
= (a × b)

Activité 2
×

1

=a

×

1

=

×

1

n

=

n

Je m’entraîne

2.

Chapitre

1

Calcul numérique

19

© Éditions Belin, 2012.

66 1.

Calcul littéral
EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008
Connaissances

Capacités

Commentaires

2. Nombres et calculs
2.3 Écritures littérales
Factorisation.

Identités remarquables.

– Factoriser des expressions algébriques
dans lesquelles le facteur est apparent.

Les travaux se développent dans trois directions :
– utilisation d’expressions littérales donnant lieu à
des calculs numériques ;
– utilisation du calcul littéral pour la mise en équation
et la résolution de problèmes ;
– utilisation pour prouver un résultat général (en particulier
en arithmétique).
Les activités visent la maîtrise du développement ou de
la factorisation d’expressions simples.

– Connaître les identités :
(a + b)(a − b) = a2 − b2
(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
(a − b) 2 = a2 − 2ab + b2
– Les utiliser dans les deux sens sur des
exemples numériques ou littéraux simples.

Dans le cadre du socle commun, les élèves connaissent
l’existence des identités remarquables et doivent savoir
les utiliser pour calculer une expression numérique mais
aucune mémorisation des formules n’est exigée.

Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et
des compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d’activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne
font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous
les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d’enseignement du programme.

Ouverture

Activités

L’énergie correspond à environ 36 × 1025 J.
•c=

E
m

QCM
2 A

3 B

4 C
8 C

5 B

6 C

7 A

9 A

10 C

11 B

12 a. −8 x + 12
c. 3 x 2 − 8 x

b. −35 + 5 x
d. 54 x + 30 x 2

13 a. 5 x + 5

b. −6 x 2 − 12
d. x + 6 y − 7
f. 8 x 2 − 6 x

14 a. 6 x 2 + 23 x + 20

b. −6 x 2 + 23 x − 21
d. 6 x 2 − 19 x + 15

c. 13 x − 7
e. 6 x + 12
c.

−30 x 2

− 9 x + 12

15 1. et c.

2. et d.

16 a. 7( x − y )
c. x ( x + 1)
e. 8( − x + 1)
17 a. Pour x = 4, A = 5.
b. Pour x = −1, A = 5.

20

Objectifs

1. a. B est un produit dont les facteurs sont x et
(2 + x) ;
D est un produit dont les facteurs sont 2 et (3x − 4).
b. A = 3(x + 2) ; C = x (7 + x ) ; E = 5x (x − 3)
2. a. Le premier produit a pour facteurs (3x − 1) et
(x − 2) ; le deuxième produit a pour facteurs 5 et (x − 2).
b. A = (x − 2)[(3 x − 1) + 5] = ( x − 2)(3 x + 4)

Je prends un bon départ

1 C

1

– Savoir reconnaître une expression factorisée ;
– Savoir factoriser lorsque le facteur commun est un
nombre ou une expression littérale.

3. et b.

4. et a.

b. 3( x + 2 y )
d. 4 x (1 + x )
f. 3 x (2 x − 1)

2

Objectifs

– Établir l’identité remarquable (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
à partir de deux situations :
• géométrique lorsque a et b sont positifs, ce qui
permet de visualiser le double produit 2ab ;
• algébrique, ce qui permet d’établir l’égalité quels que
soient les nombres a et b.
– Utiliser cette identité remarquable sur des expressions
littérales.

1. a. Aire du carré EIJL = a2
Aire du carré JMGK = b2
Aire du rectangle IFMJ = ab
Aire du rectangle LJKH = ab
b. Aire de EFGH = (a + b)2
ou Aire de EFGH = a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2

© Éditions Belin, 2012.

E
•m=
c2

b. • x 2 + 12 x + 36 = ( x + 6)2
• 9 x 2 + 30 x + 25 = (3 x + 5)2
• 4 x 2 + 14 x + 49 ne se factorise pas.

c. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. a. ( a + b )2 = ( a + b )( a + b )
b. ( a + b )( a + b ) = a2 + ab + ab + b2
Ainsi : ( a + b )2 = a2 + 2 ab + b2
3. a.
+ 6x + 9
c. 4 x 2 + 20 x + 25
e. 25 x 2 + 20 xy + 4 y 2

x2

3

b.
+ 14 x + 49
d. 16 + 24 x + 9 x 2

x2

Objectifs

– Établir l’identité remarquable (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
à partir de deux situations :
• géométrique lorsque a et b sont positifs, ce qui
permet de visualiser le double produit 2ab ;
• algébrique, ce qui permet d’établir l’égalité quels que
soient les nombres a et b.
– Utiliser cette identité remarquable sur des expressions
littérales.

1. a. Aire de GFID = (a − b)2
b. Aire de ABCD = a2
Aire de ABHG = ab
Aire de EBCI = ab
Aire de EBHF = b2
c. Aire de GFID = (a − b)2
= Aire de ABCD − Aire de ABHG
− Aire de EBCI + Aire de EBHF
= a2 − ab − ab + b2 = a2 − 2ab + b2
2. a. ( a − b )2 = ( a − b )( a − b )
b. ( a − b )( a − b ) = a2 − ab − ab + b2
Ainsi : ( a − b )2 = a2 − 2 ab + b2
3. a. x 2 − 4 x + 4
c. 9 x 2 − 30 x + 25
e. 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2

4

b. x 2 − 12 x + 36
d. 25 − 60 x + 36 x 2

Objectifs

– Établir l’identité remarquable (a + b)(a − b) = a2 − b2
à partir de deux situations :
• géométrique lorsque a et b sont positifs ;
• algébrique, ce qui permet d’établir l’égalité quels que
soient les nombres a et b.
– Utiliser cette identité remarquable sur des expressions
littérales.

1. a. Aire de la figure bleue = a2 − b2
b. Longueur du rectangle = a + b
Largeur du rectangle = a − b
Aire du rectangle = (a + b)(a − b)
c. ( a + b )( a − b ) = a2 − b2

(ANNEXE 2)
2. a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER
• x 2 − 2 x + 1 = x 2 − 2 × 1 × x + 12 = ( x − 1)2
• 9 x 2 − 24 x + 16 = (3 x )2 − 2 × 3 x × 4 + 42 = (3 x − 4)2
b. • ( x − 3)2
• 4 x 2 − 10 x + 25 ne se factorise pas.
• (9 − 2 x )2

3. a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER
• x 2 − 25 = x 2 − 52 = ( x + 5)( x − 5)
• 4 x 2 − 9 = (2 x )2 − 32 = (2 x + 3)(2 x − 3)
b. • ( x + 4)( x − 4)
• ( x + 1)( x − 1)
• (3 x + 7)(3 x − 7)
• (5 + 4 x )(5 − 4 x )

(ANNEXE 3)

Savoir-faire
18 a. −6 x − 2
c. 4 x 2 + x − 21
e. 2 x 2 + 8 x − 26

b. 20 x − 38
d. − x 2 − 4 x − 5
f. 2 x 2 + 8 x + 22

19 a. (4 x + 3)(3 x + 7)
c. ( x − 6)( x − 5)
e. (2 x + 3)( x + 7)

b. ( x − 7)( x + 8)
d. (3 x − 1)(4 x − 1)
f. ( x + 5)(5 x − 1)

20 a. 9 x 2 + 30 x + 25
c. 25 x 2 − 20 x + 4
e. 4 − 12 x + 9 x 2
g. 16 x 2 + 56 x + 4

b. 9 x 2 − 1
d. 16 − 49 x 2
f. 25 x 2 − 9
h. 1 − 4 x 2

21 a. ( x + 5)2
c. (4 x + 1)2
e. (4 + 3x)2

b. ( x + 9)( x − 9)
d. (3 x + 4)(3 x − 4)
f. ( x + 10)( x − 4)

22 a. (3 + x )(3 − x )
c. (3 + x )(1 − x )
e. (3 + 5 x )(3 − 5 x )

b. (3 − 2 x )2
d. (5 x − 3)2
f. (7 x + 2)2

23

2. ( a + b )( a − b ) = a2 − ab + ba − b2 = a2 − b2
3. a. x 2 − 9
1
d. x 2 −
4

c. 9 x 2 − 4

e. 4 x 2 − y 2

f. 25 − 9 x 2

Objectif

Savoir factoriser à l’aide des identités remarquables.

1. a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER
(ANNEXE 1)
• x 2 + 8 x + 16 = x 2 + 2 × 4 × x + 42 = ( x + 4)2
• 4 x 2 + 12 x + 9 = (2 x )2 + 2 × 6 × x + 32 = (2 x + 3)2
Chapitre

2

Calcul littéral

21

© Éditions Belin, 2012.
2011.

5

b. x 2 − 49

35 a. x 2 + 2 x + 1

c.
+ 6x + 9
e. x 2 + 14 x + 49

b. 4 + 4 x + x 2
d. x 2 + 10 x + 25
f. 16 + 8 x + x 2

36 a. x 2 − 2 x + 1
c. 25 − 10 x + x 2
e. 1 − 4 x + 4 x 2

b. x 2 − 8 x + 16
d. 4 − 12 x + 9 x 2
f. 9 − 24 x + 16 x 2

x2

37 a. x 2 − 1

c. 25 −

On constate, grâce au tableur, que l’affirmation de
Perle est exacte.
Remarque : on peut démontrer cette conjecture :
G = x2 − 9 − x2 + 2 x + 9 = 2 x

Exercices

x2

38

SC3

On obtient b. (3 x + 4)2

39

SC3

On obtient b. (6 x − 5)2

40 a. (x + 1)2

c. (x +
e. (x + 10)2

b. (x − 2)2
d. (x − 6)2
f. (2 x + 1)2

41 a. ( x + 1)( x − 1)
c. (3 + x )(3 − x )
e. (2 x + 1)(2 x − 1)

b. ( x + 2)( x − 2)
d. ( x + 10)( x − 10)
f. (1 + 5 x )(1 − 5 x )

3)2

À l’oral
b. −2 x − 6
d. −8 y + 4 y 2
f. 10 ab − 5 a2 + 5 a

c. 6 y − 15
e. −6 a2 + 8 a

25 a. (2 x + 3)(3 x + 5) = 6 x 2 + 10 x + 9 x + 15

b. (4 x − 7)(5 x + 2) = 20 x 2 + 8 x − 35 x − 14
c. (5 + 6 x )(3 + 4 x ) = 15 + 20 x + 18 x + 24 x 2
d. (3 − 7 x )(2 x − 5) = 6 x − 15 − 14 x 2 + 35 x
26 a. x 2 + 3 x + 2

c.

x2

b. −x 2 + x + 2
d. x 2 − 3 x + 2

+x−2

b. −2 − 3 x + 7
d. 5 b + 4 a + 3
f. − x − 5 y + 2

28 a. 6( x + 1)
c. 5 x ( x + 2)
e. −4(2 x + 3 y )

b. 2(2 x − 3 y )
d. x (7y − 2)
f. 3 x (3 − x )

29 a. b(2 a + 5)
c. a( a − b )
e. 7 b( a − 2 b + 4 a2 )

b. 4( a − 2 b )
d. 3 b(2 + b )
f. 5 ab( a2 + 3 ab − 2 b )

31 a. x

b. (2x + 1)

d. (x + 3)

47

1. a.

2. a.

− 49

32

SC3

On obtient b.

33

SC3

On obtient c.

4 2
x −1
9

34

SC3

a. Faux

22

45 a. 3 x 2 + 4 x + 6 x + 8 = 3 x 2 + 10 x + 8
b. −8 x 2 + 6 x + 20 x − 15 = −8 x 2 + 26 x − 15
c. 15 x 2 − 25 x − 6 x + 10 = 15 x 2 − 31x + 10
d. −28 x 2 + 63 x + 16 x − 36 = −28 x 2 + 79 x − 36
2
2
e. 3 x 2 + 2 x + x + = 3 x 2 + 3 x +
3
3
1 2 2
1
1 2 1
f. x + x − x − 2 = x + x − 2
9
3
3
9
3

b. 3 x − 4 x 2 − x − 5 x + 4 x 2 + 10 − 8 x = −11x + 10
c. −4 x 2 + 14 x − 6 x + 21 − 6 x − 15 x 2 + 8 + 20 x
= −19 x 2 + 22 x + 29

c. (4 − x)

9x 2

d. Faux

43 a. 4 x − 20 + 2 x + 2 = 6 x − 18
b. 6 x + 8 + 3 x − 6 = 9 x + 2
c. 15 − 10 x − 2 x − 6 = −12 x + 9
d. −6 x + 15 − 4 + x = −5 x + 11

46 a. 20 x − 12 + 2 x 2 + 8 x − x − 4 = 2 x 2 + 27 x − 16

b. 8 y
d. −3 y 2
f. 3 x 2

c. 4 x 2
e. −8 x + 4 x 2

42 a. 5 x + 1 − 2 + 3 x + 2 x − 4 = 10 x − 5
b. −2 + 3 x 2 − x − 4 x 2 + 2 x − 5 = − x 2 + x − 7
c. 6 x 2 − x + 7 − 4 x 2 − 8 x + 3 = 2 x 2 − 9 x + 10

44 a. 7 − 8 x − 3 + 10 x 2 − 8 x − 3 x 2 = 7 x 2 − 16 x + 4
b. 12 x 2 − 18 x − x − 2 + 20 − 8 x 2 = 4 x 2 − 19 x + 18
c. −8 x − 12 x 2 + 7 x 2 − 3 x + 1 − 6 x + 15 = −5 x 2 − 17 x + 16

27 a. 4 + 2 x + 5
c. 3 a − 1 − 6 b
e. y + x − 8

30 a. 9 x

Je m’entraîne

b. Vrai
e. Vrai

c. Faux

b. On peut écrire
le titre : (4 x − 3)(2 x + 5)

b. On peut écrire
le titre : 8 x 2 + 14x − 15

© Éditions Belin, 2012.

24 a. 28 + 4 x

b. x 2 − 9
d. 9 x 2 − 16

48 • A et T
•C et S

• B et R
• D et U.

49 a. (2 x + 3)( −5 x + 2) = −10 x 2 − 11x + 6

b. (3 x + 2)(2 x − 5) = 6 x 2 − 11x − 10
c. (4 x − 3)(3 x − 2) = 12 x 2 − 17 x + 6

50 1. A = x 2 − 2 x + 3 x − 6 − x 2 − x = −6

2. Pour x = 2 010, A = 2 013 × 2 008 − 2 010 × 2 011.
Donc l’expression est égale à −6, d’après la question 1.
51 a. 4(2 x + 3)

c. 6(5 x − 2)
e. 3 x ( x + 2)

b. 5(3 x + 2)
d. −7( x + 4)
f. 4 x (4 x + 5)

52 a. 6(3 x 2 − 5 x + 6)
b. 5 x (8 x 2 + 5 x + 2)
c. 2 x 2 (3 x 2 + 4 x + 5)
53 a. 5( x + 3) b. 7(2 x + 1)
c. 7(6 x + 5)
d. 3(3 x 2 − 2)
e. 4 x ( −2 x + 3)
f. 4 x (7 + 5 x )
g. 5 x 2 (2 x + 3) h. 7 x ( x 2 + 6 x + 2) i. 9 x ( x + 1)
54 a. (5 − x )[( −3 + 4 x ) − (2 − 7 x )]
= (5 − x )( −3 + 4 x − 2 + 7 x ) = (5 − x )(11x − 5)
b. (5 − x )[(3 x − 2) + (4 x + 7)]
= (5 − x )(3 x − 2 + 4 x + 7) = (5 − x )(7 x + 5)
c. (5 − x )[(5 − x ) + 3 x ] = (5 − x )(5 − x + 3 x )
= (5 − x )(2 x + 5)
d. (5 − x )[1 + (5 − x )] = (5 − x )(1 + 5 − x )
= (5 − x )( − x + 6)
55 a. x (5 x − 1) + x (2 x + 3) = x (5 x − 1 + 2 x + 3)

= x (7 x + 2)
b. 5 x (2 + x ) − (3 + x )(2 + x ) = (2 + x )[5 x − (3 + x )]
= (2 + x )(4 x − 3)
c. ( x − 4)( x + 7) + ( x − 4)(2 x − 5)
= ( x − 4)( x + 7 + 2 x − 5) = ( x − 4)(3 x + 2)
56 a. A = (4 x − 3)[2 x + 7) − (6 − x )]
= (4 x − 3)(2 x + 7 − 6 + x ) = (4 x − 3)(3 x + 1)
b. B = (3 x + 1)[(3 x + 1) + (2 x − 3)] = (3 x + 1)(5 x − 2)
c. C = ( x − 2)[(3 + 7 x ) − ( x − 2)]
= ( x − 2)(3 + 7 x − x + 2) = ( x − 2)(6 x + 5)
d. D = (2 x − 5)[4 x − 3(2 x − 5)]
= (2 x − 5)(4 x − 6 x + 15) = (2 x − 5)( −2 x + 15)
57 a. A = (3 x − 4)[( − x + 9) + (7 x + 2)]
= (3 x − 4)( − x + 9 + 7 x + 2) = (3 x − 4)(6 x + 11)
b. B = (4 − x )[(3 x + 5) − ( − x − 2)]
= (4 − x )(3 x + 5 + x + 2) = (4 − x )(4 x + 7)
c. C = (4 x − 1)[(4 x − 1) − ( x + 6)]
= (4 x − 1)(4 x − 1 − x − 6) = (4 x − 1)(3 x − 7)
d. D = (2 x + 1)[3( x − 5) + (6 x − 7)]
= (2 x + 1)(3 x − 15 + 6 x − 7) = (2 x + 1)(9 x − 22)

58

SC3

DOCUMENT À PHOTOCOPIER

(ANNEXE 4)

DOCUMENT À PHOTOCOPIER

(ANNEXE 5)

DOCUMENT À PHOTOCOPIER

(ANNEXE 6)

a. ( x + 3)2 = x 2 + 2 × x × 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
b. (5 + x )2 = 52 + 2 × 5 × x + x 2 = 25 + 10 x + x 2
c. (3 x + 4)2 = (3 x )2 + 2 × 3 x × 4 + 42 = 9 x 2 + 24 x + 16
59

SC3

a. ( x − 7)2 = x 2 − 2 × x × 7 + 72 = x 2 − 14 x + 49
b. (2 x − 3)2 = (2 x )2 − 2 × 2 x × 3 + 32 = 4 x 2 − 12 x + 9
c. (5 − 4 x )2 = 52 − 2 × 5 × 4 x + (4 x )2 = 25 − 40 x + 16 x 2
60

a.
b.
c.
d.

SC3

( x + 3)( x − 3) = x 2 − 32 = x 2
(3 x + 5)(3 x − 5) = (3 x )2 − 52
(2 + 7 x )(2 − 7 x ) = 22 − (7 x )2
(2 x − 9)(2 x + 9) = (2 x )2 − 92

−9
= 9 x 2 − 25
= 4 − 49 x 2
= 4 x 2 − 81

61 a. x 2 + 8 x + 16

b. 49 + 14 x + x 2
d. 16 x 2 + 40 x + 25
f. 81 + 36 x + 4 x 2

62 a. y 2 + 12 y + 36

b. 64 + 16 y + y 2
d. 100 y 2 + 60 y + 9
f. y 4 + 6 y 2 + 9

63 a. 64 x 2 + 48 x + 9

b. 25 + 70 x + 49 x 2
1
d. x 2 + x + 1
4
4
1
f. 4 x 2 + x +
3
9

c.
+ 10 x + 1
e. 9 x 2 + 12 x + 4
25 x 2

c.
+ 60 y + 25
e. 16 + 24 y + 9 y 2
36 y 2

c. x 2 + x +
e. x 2 +

1
4

4
4
x+
3
9

64 a. x 2 − 4 x + 4
c. 36 x 2 − 12 x + 1
e. 9 x 2 − 42 x + 49

b. 25 − 10 x + x 2
d. 16 x 2 − 24 x + 9
f. 100 − 60 x + 9 x 2

65 a. x 2 − 12 x + 36

b. 9 + 30 x + 25 x 2
1 2
d.
x −x+4
16
1
f. 9 − 2 x + x 2
9

c. 49 x 2 − 28 x + 4
e.

1 2
25
x +x+
25
4

66 a. t 2 − 36
c. 9 t 2 − 100

b. 25 − 4 t 2
d. t 4 − 1

67 a. x 2 − 9 y 2

c. y 2 −

b. 9 x 2 − 25 y 2
1
d. y 2 − 1
9

1
9

68 1. a. R = (3 x − 5)2

b. R = 9 x 2 − 30 x + 25
2. • Pour x = −2, R = 121
5
• Pour x = , R = 0.
3
69 A = −5 x 2 − 4 x + 8
70 1. a. 961
2. a. 2 401
3. a. 2 499

B = 13 x 2 − 24 x − 9

b. 2 601
b. 4 761
b. 9 991
Chapitre

c. 10 404
c. 9 604
c. 399,99

2

Calcul littéral

23

© Éditions Belin, 2012.
2011.

3. Il semble que les deux expressions sont égales
(4 x − 3)(2 x + 5) = 8 x 2 + 20 x − 6 x − 15
= 8 x 2 + 14 x − 15
La conjecture est donc vraie.

b. 10 −5

1. On entre la formule :

72

=(A2+3)*(A2-3)-A2^2 .

2. Les valeurs qui vont apparaître sont toutes égales
à −9 ; on peut conjecturer que cela est vrai pour
toute valeur de x.
3. ( x + 3)( x − 3) − x 2 = x 2 − 3 x + 3 x − 9 − x 2 = −9
La conjecture est donc démontrée.
−48 x 2

73 A =
− 24 x − 3
C = 3 x2 + 6 x − 9
74

a.
b.
c.
d.

SC3

−16 x 2

B=
− 8x − 4
D = 2 x 2 + 20 x + 54

DOCUMENT À PHOTOCOPIER

(ANNEXE 7)

x 2 + 14 x + 49 = x 2 + 2 × 7 × x + 72 = ( x + 7)2
x 2 − 10 x + 25 = x 2 − 2 × 5 × x + 52 = ( x − 5)2
x 2 − 16 = x 2 − 42 = ( x + 4)( x − 4)
9 x 2 − 64 y 2 = (3 x )2 − (8 y )2 = (3 x + 8 y )(3 x − 8 y )

75 a. (2 x + 1)2
b. Cette expression ne peut pas se factoriser.
c. (3 x + 4)2
d. (5 x + 4)2

85 a. ( x + 5)( x − 1)
c. (5 x + 1)( −5 x + 9)
e. ( − x + 5)(3 x − 5)

b. (2 x + 3)(2 x − 1)
d. (3 x + 1)( − x + 1)
f. (5 x − 3)( x + 3)

86 a. (3 x + 1)( − x − 5)
c. (5 x + 3)( −7 x + 5)

b. (2 x + 5)( −4 x + 1)
d. (5 x + 9)( x − 5)

87 1. x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2)2

2. A = ( x + 2)(6 x + 5)

88 1. 4 x 2 − 20 x + 25 = (2 x − 5)2
2. B = (2 x − 5)(5 x − 3)
89 1. x 2 − 25 = ( x + 5)( x − 5)

2. C = ( x − 5)(4 x + 6) = 2( x − 5)(2 x + 3)
90 1. A = 8 x 2 + 10 x + 3
2. A = (4 x + 3)(2 x + 1)
3. • Pour x = 0, on utilise l’expression développée de
A et on obtient A = 3.
3
• Pour x = − , on utilise l’expression factorisée de A
4
et on obtient A = 0.

76 a. (4 x + 3)2
b. (2 x + 5)2
c. et d. Ces expressions ne peuvent pas se factoriser.
2

2

1⎞

⎛1
b. ⎛⎜ x + ⎟

2
4⎠
c. Cette expression ne peut pas se factoriser.
2
1

d. ⎛⎜ x + 5⎟

⎝5
77 a. ⎜ x + 3⎟



78 a. ( x − 4)2

b. ( x − 2)2

c. ( x − 5)2
d. Cette expression ne peut pas se factoriser.
79 a. (4 x − 1)2

b. Cette expression ne peut pas se factoriser.
c. (9 x − 2)2
d. (5 x − 3)2
80 a. ( x − 6)2

b. Cette expression ne peut pas se factoriser.
c. (6 − 5 x )2
d. (3 x − 1)2
81 a. Cette expression ne peut pas se factoriser.

b. (3 x − 8)2
c. Cette expression ne peut pas se factoriser.
d. (10 x + 3)2
82 a. ( x + 4)2

c. (3 x

+ 1)2

83 a. ( x + 8)( x − 8)

c. (2 x + 3)(2 x − 3)
e. (1 + 4 x )(1 − 4 x )

b. ( x − 7)2
d. (1 + 6 x )2
b. (9 + x )(9 − x )
d. (5 x + 6)(5 x − 6)
f. (7 x + 2)(7 x − 2)

84 a. (3 x + 1)(3 x − 1)
b. (10 x + 11)(10 x − 11)
c. (4 + 9 x )(4 − 9 x )
d. (5 x + 2)(5 x − 2)
e. Cette expression ne peut pas se factoriser.
f. ( x 2 + 1)( x 2 − 1) = (x2 + 1) (x + 1) (x − 1)

24

Je m’entraîne au brevet
91 1. B

4. A

2. B
5. B

3. C
6. A

92 1. A = 2 x 2 − 9 x − 5

2. Pour x = −3, A = 40.

93 1. a. (10 + 1)2 − 102 − 1 = 112 − 100 − 1
= 121 − 100 − 1 = 20
b. ( −3 + 1)2 − ( −3)2 − 1 = ( −2)2 − 9 − 1
= 4 − 9 − 1 = −6
c. (1,5 − 1)2 − 1,52 − 1 = 0,52 − 2, 25 − 1
= 0, 25 − 2, 25 − 1 = −3
2. Il semble que le résultat fourni par ce programme
de calcul soit le double du nombre choisi.
Soit x le nombre choisi :
( x + 1)2 − x 2 − 1 = x 2 + 2 x + 1 − x 2 − 1 = 2 x .
La conjecture est donc bien vérifiée.
94 1. a. ( x − 1)2 = x 2 − 2 x + 1

b. 992 = (100 − 1)2 = 1002 − 2 × 100 + 1
= 10 000 − 200 + 1 = 9 801
2. ( x − 1)( x + 1) = x 2 − 1
b. 99 × 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 1002 − 1
= 10 000 − 1 = 9 999
95 1. H = 2 x + 16
2. I = (7 x + 2)(7 x − 8)
96 1. Pour x = −1, E = − 48.
2. E = −25 x 2 + 30 x + 7
3. E = (5 x + 1)( −5 x + 7)
97 1. a. AB = 7 cm et AF = 6 cm
b. Aire du rectangle FECD = FE × FD = 7 × 1 = 7 cm2

© Éditions Belin, 2012.

71 1. A = 12a
2. a. 12 000

2. a. FD = (2 x + 1) − ( x + 3) = 2 x + 1 − x − 3 = x − 2
b. Aire de FECD = FE × FD = (2 x + 1)( x − 2)
c. Aire de ABCD = (2 x + 1)2
Aire de ABEF = (2 x + 1)( x + 3)
d. Aire de FECD = Aire de ABCD − Aire de ABEF
= (2 x + 1)2 − (2 x + 1)( x + 3)
e. Du premier membre au deuxième membre,
l’égalité traduit une factorisation.

J’approfondis
112 1. a. Pour x = 5, A = 0 et B = 0.

b. On a l’égalité A = B pour la valeur particulière
x = 5, mais on ne sait pas si c’est encore le cas pour
toutes les valeurs de x ; on ne peut donc en conclure
que A = B.
2. A = 6 x 2 + 14 x − 30 x − 70 + x 2 − 10 x + 25
= 7 x 2 − 26 x − 45
B = 16 x 2 + 16 x + 4 − (9 x 2 + 42 x + 49)
= 16 x 2 + 16 x + 4 − 9 x 2 − 42 x − 49 = 7 x 2 − 26 x − 45
Donc : A = B.
113 A = 25 − 30 x + 9 x 2 − 14 + 7 x 2 = 16 x 2 − 30 x + 11

B
− 1 − 30 x + 12
Donc : A = B.

= 16 x 2

− 30 x + 11

conséquent, A et B ne sont pas égales pour tout
nombre x.
115 a. (7 x −
− (5 x + 2)(6 x − 7)
= 49 x 2 − 42 x + 9 − (30 x 2 − 35 x + 12 x − 14)
= 49 x 2 − 42 x + 9 − 30 x 2 + 35 x − 12 x + 14
= 19 x 2 − 19 x + 23
L’égalité est donc vraie.
b. (3 x − 4)(3 x + 4) − 4 x (2 x + 1)
= 9 x 2 − 16 − 8 x 2 − 4 x = x 2 − 4 x − 16
L’égalité est donc vraie.
c. (4 x + 3)2 − ( x − 2)2
= (4 x + 3 + x − 2)(4 x + 3 − x + 2) = (5 x + 1)(3 x + 5)
L’égalité est donc vraie.

3)2

116 1. Ꮽ = ( x + 2)2 − x 2
2. Ꮽ = x 2 + 4 x + 4 − x 2 = 4 x + 4
117 1. ( x + 1)2 − x 2

2. Ꮽ = x 2 + 2 x + 1 − x 2 = 2 x + 1
3. Ꮽ = 14
2. a. x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1)2

= π x 2 + 2π x + π − π x 2 = 2 π x + π.
D’où : Ꮽ = π (2x + 1).
2. Pour x = 3, Ꮽ ≈ 22 cm2.
Thème de convergence
122 1. 72 km ⋅ h −1 = 20 m ⋅ s −1

2. DF = 0,08 × 202 = 0,08 × 400 = 32 m
3. a. 0,08( V1 + 10)2 − 0,08V12
= 0,08( V12 + 20V1 + 100) − 0,08V12
= 1,6 V1 + 8 = 1,6( V1 + 5)
L’augmentation de distance de freinage est bien
égale à 1,6( V1 + 5).
b. 1,6 × (20 + 5) = 1,6 × 25 = 40.
La distance de freinage augmente de 40 m.
123 A = (6 x + 1)(9 x + 5)
C = 2 x ( x − 4)

B = ( x − 5)( − x − 8)

124 a. 7( x 2 + 2 x + 1) = 7( x + 1)2

114 Par exemple, pour x = 0, A = 9 et B = 8 ; par

118 1. a. 2 x + 8 = 2( x + 4)

121 1. Ꮽ = π (x + 1)2 − π x 2 = π (x 2 + 2x + 1) − π x 2

b. A = ( x + 4)(2 x − 1)
b. B = ( x + 1)(5 x + 2)

119 1. a. −1 × (3 x − 2) = −3 x + 2

b. A = (3 x − 2)( x + 5)
2. B = (2 x − 5)( x + 1)
C = (4 x − 3)(4 x − 4) = 4(4 x − 3)( x − 1)
D = ( x + 6)(3 x + 4)
E = ( x − 4)(5 x + 3)

b. 7( x 2 − 6 x + 9) = 7( x − 3)2
c. 7( x 2 − 4) = 7( x + 2)( x − 2)
125 A = ( x − 2)( x + 8)
C = ( x − 3)(6 x − 5)

B = (4 x + 1)(2 x − 7)
D = (3 x − 1)(7 x + 2)

126 1. ( a + b )2 + ( a − b )2
= a2 + 2 ab + b2 + a2 − 2 ab + b2
= 2 a2 + 2 b2 = 2( a2 + b2 )
2. ( a + b )2 − ( a − b )2
= a2 + 2 ab + b2 − ( a2 − 2 ab + b2 )
= a2 + 2 ab + b2 − a2 + 2 ab − b2 = 4 ab
3. D’une part : ( a2 + b2 )2 = a4 + 2 a2 b2 + b4
D’autre part : ( a2 − b2 )2 + (2 ab )2
= a4 − 2 a2 b2 + b4 + 4 a2 b2 = a4 + 2 a2 b2 + b4
L’égalité est donc vérifiée.
4. ( a + b + c )2 = ( a + b + c )( a + b + c )
= a2 + ab + ac + ba + b2 + bc + ca + cb + c 2
= a2 + b2 + c 2 + 2 ab + 2 bc + 2 ac
5. ( a − 1)( a2 + a + 1) = a3 + a2 + a − a2 − a − 1 = a3 − 1
L’égalité est donc vérifiée.
127 A = 512 + 2 × 56 + 1 − 512 + 1 − 2 × 56 + 2 = 4

B=

518 − 52
52 (516 − 1)
=
= 52 = 25
(58 + 1)(58 − 1)
516 − 1

128 RT 2 = (5 x + 15)2 = 25 x 2 + 150 x + 225

RS2 + ST 2 = (3 x + 9)2 + (4 x + 12)2
= 9 x 2 + 54 x + 81 + 16 x 2 + 96 x + 144
= 25 x 2 + 150 x + 225
RT 2 = RS2 + ST 2, on a donc l’égalité de Pythagore
dans le triangle RST et on peut ainsi affirmer que le
triangle RST est rectangle en S.
Chapitre

2

Calcul littéral

25

© Éditions Belin, 2012.
2011.

= 16 x 2

120 1. L’opposé de 5 est −5.
On a 52 = ( −5)2 = 25 .
2. a. L’opposé de x + 5 est : −x − 5.
On a : ( x + 5)2 = ( − x − 5)2.
b. ( − x − 5)2 = ( x + 5)2 = x 2 + 10 x + 25.
3. a. x 2 + 6 x + 9
b. 49 + 14 x + x 2
c. 4 x 2 + 4 x + 1

130 1. Ꮽ = x 2 −

π x2

4
π x2 ⎞
⎛ 2 π x2 ⎞ ⎤

⎡ 2
2. Ꮽ’ = 4 ⎢x − 2 ⎜ x −
= 4 ⎜ x2 − 2 x2 +




4 ⎠⎦
2 ⎟⎠

= 4 x 2 − 8 x 2 + 2π x 2 = 2π x 2 − 4 x 2 = 2( π − 2) x 2
Argumenter et débattre
131 a. Vrai

b. Faux

c. Vrai

d. Faux

e. Vrai

132 1. Pour a = 1 et b = 5, A = 5.
2. Pour a = −2 et b = −3, A = 6.
1
3. A = [ a2 + 2 ab + b2 − ( a2 − 2 ab + b2 )]
4
1 2
1
= ( a + 2 ab + b2 − a2 + 2 ab − b2 ) = × 4 ab = ab
4
4
Alex a raison : le nombre A est bien égal au produit
des nombres a et b.
133 n2 − 24 n + 144 = ( n − 12)2, donc pour n = 12
l’expression n2 − 24 n + 144 est égale à zéro.
Anatole n’a donc pas raison.
134 a2 − b2 = ( a + b )( a − b ) donc : ( a + b ) × 13 = 156

156
= 12
13
a + b = 12 et a − b = 13 donc : 2 a = 25 soit a = 12,5.
b = 12,5 − 13 = −0,5

d’où : a + b =

Atelier découverte
135 1. et 2. On obtient 13 nœuds et douze intervalles.
On ferme d’abord la corde : on obtient 12 nœuds
et 12 intervalles. On place la main ou un piquet sur
n’importe quel nœud, on compte 3 intervalles et on
place une main ou un piquet sur le 4e nœud.
On compte 4 intervalles, on place une dernière main
ou un dernier piquet sur le 8e nœud et on tend la
corde. Ainsi, on obtient un triangle avec des côtés
respectivement égaux à 3, 4, 5 intervalles réguliers.
Comme 32 + 42 = 52, on a l’égalité de Pythagore
dans le triangle et par conséquent le triangle a un
angle droit.
3. et 4. Si le nombre de nœuds est 25, on construit
un triangle avec des côtés respectivement égaux à 6,
8, 10 intervalles réguliers. Comme 62 + 82 = 102,
on a l’égalité de Pythagore dans le triangle et par
conséquent le triangle a un angle droit. Le triplet
pythagoricien associé à cet angle droit est (6, 8, 10).

26

Si le nombre de nœuds est 37, on construit un triangle
avec des côtés respectivement égaux à 9, 12,
15 intervalles réguliers. Comme 92 + 122 = 152,
on a l’égalité de Pythagore dans le triangle et par
conséquent le triangle a un angle droit. Le triplet
pythagoricien associé à cet angle droit est (9, 12, 15).
138 1. a. 652 + 722 = 9 409 = 972 et

452 + 602 = 5625 = 752 donc les triplets (65, 72, 97)
et (45, 60, 75) sont des triplets pythagoriciens.
b. D’une part : ( m2 + n2 )2 = m4 + 2 m2 n2 + n4
D’autre part : ( m2 − n2 )2 + (2 mn )2
= m4 − 2 m2 n2 + n4 + 4 m2 n2 = m4 + 2 m2 n2 + n4
On a ainsi : ( m2 + n2 )2 = ( m2 − n2 )2 + (2 mn )2.
Les quinze triplets babyloniens sont donc bien
des triplets pythagoriciens.
2. D’une part : (2 n2 + 2 n + 1)2 = [2 n2 + (2 n + 1)]2
= 4 n4 + (2 n + 1)2 + 4 n2 (2 n + 1)
= 4 n 4 + 4 n2 + 4 n + 1 + 8 n3 + 4 n2
= 4 n 4 + 8 n3 + 8 n2 + 4 n + 1
D’autre part : (2 n + 1)2 + (2 n2 + 2 n )2
= 4 n2 + 4 n + 1 + 4 n 4 + 8 n3 + 4 n2
= 4 n 4 + 8 n3 + 8 n2 + 4 n + 1
On a ainsi : (2 n2 + 2 n + 1)2 = (2 n + 1)2 + (2 n2 + 2 n )2
Les expressions données par Pythagore fournissent
donc des triplets pythagoriciens.
3. ( m2 − 1)2 + (2 m )2 = m4 − 2 m2 + 1 + 4 m2
= m4 + 2 m2 + 1 = ( m2 + 1)2
Les expressions données par Platon fournissent
des triplets pythagoriciens.
4. a. 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102 donc le triplet
(6, 8, 10) est pythagoricien.
• On ne peut pas trouver n entier tel que 2 n + 1 = 6,
donc on ne peut pas retrouver le triplet (6, 8, 10)
à l’aide des expressions de Pythagore.
• En prenant m = 3 dans les expressions de Platon,
on obtient bien le triplet (6, 8, 10).
b. D’une part : [ k ( m2 + n2 )]2 = k 2 ( m2 + n2 )2
= k 2 ( m4 + 2 m2 n2 + n4 ) = k 2 m4 + 2 k 2 m2 n2 + k 2 n4
D’autre part : [ k ( m2 − n2 )]2 + (2 kmn )2
= k 2 ( m2 − n2 )2 + 4 k 2 m2 n2
= k 2 ( m4 − 2 m2 n2 + n4 ) + 4 k 2 m2 n2
= k 2 m4 − 2 k 2 m2 n2 + k 2 n4 + 4 k 2 m2 n2
= k 2 m4 + 2 k 2 m2 n2 + k 2 n4
On a donc l’égalité et les expressions données par
Euclide correspondent à des triplets pythagoriciens.
c. 2 × (4 − 1) = 2 × 3 = 6 ;
2 × 2 × 2 × 1= 8 ;
2 × (4 + 1) = 2 × 5 = 10
Le triplet (6, 8, 10) est un des triplets d’Euclide avec
k = 2, m = 2 et n = 1.
d. • En prenant k = 1, on obtient les triplets
babyloniens à partir d’un triplet donné par Euclide.
• En prenant k = 1 et n = 1, on obtient les triplets
donnés par Platon à partir d’un triplet donné par
Euclide.
© Éditions Belin, 2012.

129 Ꮽ = Aire du carré ABCD − aire de la partie non
coloriée
x⎞ 2
x 2 ⎛ π⎞ 2
= ⎜1 − ⎟ x
Ꮽ = x 2 − π ⎛⎜ ⎟ = x 2 − π

⎝ 2⎠
4
4⎠

Activité 5

Annexe 1
a.

• x 2 + 8x + 16 = x 2 + 2 ×

• 4 x 2 + 12x + 9 =

a.

( )2 + 2 ×

• x 2 − 2x + 1 = x 2 − 2 ×

( )2 −

Annexe 4
58 a.

b.
c.

(3x + 4)2 =

Annexe 5
b.
c.

(2x − 3)2 =
(5 − 4x)2 =

60 a.

b.
c.
d.

=

×

(

(

=

2

)(

=

(



)2

)



)(

)



×

+2×

( )

2

×

2

+

+2×

2

+

×

=…

=…

+

2

=…

Je m’entraîne
2

( )
2

2

−2×

×

−2×

+

×

−2×

+

×

+

( )

2
2
2

=…

=…
=…

Je m’entraîne
2

(2 + 7x)(2 − 7x) =
(2x − 9)(2x + 9) =

( )

2

( )

2

2







2
2

( )



2
2

=…
=…
=…
=…

Je m’entraîne

x 2 +14x + 49 = x 2 + 2 ×

x 2 − 10x + 25 = x 2 − 2 ×

×x+
×x+

2
2

x 2 − 16 = x 2 −

2

2

(

(

= x+

= x−

(
)( x − )
2
) − ( ) = ( + )(
d. 9x 2 − 64y2 = (
c.

)2

= x−

+

+
+

+2×

(x + 3)(x − 3) =

Annexe 7
b.

2

(3x + 5)(3x − 5) =

74 a.

2

2

(x − 7)2 =

Annexe 6

(

2

Je m’entraîne

(x + 3)2 =

(5 + x)2 =

59 a.

2

• x 2 − 25 = x 2 −

• 4 x2 − 9 =

+

Activité 5

Annexe 3
a.

+

×x+

( )2 − 2 ×

• 9x 2 − 24x + 16 =

3

×

)2
)2

= x+

Activité 5

Annexe 2
2

(
2
=(
2

×x+

= x+



)2

)2

)
Chapitre

2

Calcul littéral

27

© Éditions Belin, 2012.
2011.

1

Diviseurs – PGCD
EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008
Connaissances

Capacités

Commentaires

2. Nombres et calculs
− Connaître et utiliser un algorithme
donnant le PGCD de deux entiers
(algorithme des soustractions, algorithme
des soustractions, algorithme d’Euclide).
− Calculer le PGCD de deux entiers.

2.1 Nombres entiers
et rationnels
Diviseurs communs à deux
entiers, PGCD.

− Déterminer si deux entiers donnés sont
premiers entre eux.

− Simplifier une fraction donnée pour
la rendre irréductible.

Fractions irréductibles.

Plusieurs méthodes peuvent être envisagées.
La connaissance de relations arithmétiques entre
nombres − que la pratique du calcul mental à permis de
développer − permet d’identifier des diviseurs communs
de deux entiers.
Le recours à une décomposition en produits de facteurs
premiers est possible dans des cas simples mais ne doit
pas être systématisée.
Les tableurs, calculatrices et logiciels de calcul formel
sont exploités.
Dans le cadre du socle commun, les élèves utilisent
leur calculatrice pour rendre irréductible une fraction
donnée.

Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des
compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d’activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne font
pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous les
élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d’enseignement du programme.

Ouverture
On peut paver le rectangle de dimensions 21 × 15
avec 35 carrés rouges de côté 3.
• On peut paver un rectangle de dimensions 14 × 18
avec 63 carrés de côté 2.
• On peut paver un rectangle de dimensions 25 × 35
avec 35 carrés de côté 5.
Je prends un bon départ

d. Les diviseurs positifs de 27 sont : 1 ; 3 ; 9 ; 27.
e. Les diviseurs positifs de 54 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ;
18 ; 27 ; 54.
13 1. a.

18 3
=
24 4

81 9
=
45 5
8×5 5
2. a.
=
8×4 4
3 × 10
d.
=1
5×6
d.

35 5
=
14 2
55 5
e.
= .
22 2
2× 9 2
=
b.
27
3
6×7 7
e.
= .
3×8 4
b.

c.

26 13
=
44 22

c.

7×2 1
=
4×7 2

QCM
2 B

3 A

4 B

5 C

6 B

7 B

8 A

9 C

10 B

11 a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER

Diviseur
Nombre
567
144
2 316
1 548
780

2

3

4

X
X
X
X

X
X
X
X
X

X
X
X
X

Activités
(ANNEXE 1)

5

9

10

X
X
X
X

X

12 a. Les diviseurs positifs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;
6 ; 8 ; 12 ; 24.
b. Les diviseurs positifs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35.
c. Les diviseurs positifs de 40 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ;
10 ; 20 ; 40.

28

1

SC3

Objectifs

− Revoir la définition d’un diviseur.
− Découvrir la notion de plus grand diviseur commun.
− Découvrir la définition de deux nombres premiers entre
eux.

1. a. 7 divise 28 car le reste de la division euclidienne
de 28 par 7 est égal à 0. (28 = 7 × 4)
b. 1 et 28 sont des diviseurs de 28 car :
28 = 28 × 1 + 0.
c. 7 est un diviseur de 42 car : 42 = 7 × 6 + 0.
2. a. • Tous les diviseurs positifs de 28 sont : 1 ; 2 ;
4 ; 7 ; 14 ; 28.
• Tous les diviseurs positifs de 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ;
7 ; 14 ; 21 ; 42.
b. Les diviseurs positifs communs à 28 et à 42 sont :
1 ; 2 ; 7 ; 14.

© Éditions Belin, 2012.

1 A

2

Objectifs

− Revoir la simplification d’une fraction.
− Découvrir la notion de fraction irréductible.
− Connaître la méthode permettant d’obtenir la fraction
irréductible égale à une fraction donnée à partir du PGCD
du numérateur et du dénominateur.

78 13
132 66
=
b.
=
90 15
86
43
58
29
105 7
c.
=
d.
= .
114 57
75 5
2. a. 78 et 90 ont été divisés par 6 pour obtenir la
78
fraction irréductible égale à
.
90
b. PGCD (78 ; 90) = 6.
78
c. Pour obtenir la fraction irréductible égale à
,
on a divisé 78 et 90 par leur PGCD égal à 6. 90
1. a.

d. Pour obtenir la fraction irréductible égale à une
fraction donnée, il suffit de diviser le numérateur
et le dénominateur par leur PGCD.
3. a. • PGCD (132 ; 86) = 2
• PGCD (58 ; 114) = 2
• PGCD (105 ; 75) = 15.
b. On vérifie que les fractions irréductibles égales
aux fractions proposées à la question 1 s’obtiennent
en divisant le numérateur et le dénominateur par leur
PGCD.

3

Objectifs

− Découvrir la propriété : PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a − b),
a étant plus grand que b.
− Utiliser cette propriété pour déterminer le PGCD de deux
nombres.

1. a. 4 est un diviseur de 248 et de 32 car :
248 = 4 × 62 et 32 = 4 × 8.
b. 248 − 32 = 216.
c. 4 est un diviseur de 216 car : 216 = 4 × 54.
d. On peut conjecturer que si un nombre est un
diviseur commun à deux nombres, alors il est aussi
un diviseur de leur différence.

2. a. Si d un diviseur commun à a et b, alors a et b
sont des multiples de d, d’où : il existe deux entiers n
et n’ tels que : a = d n et b = d n’.
b. a − b = d n − d n’ = d(n − n’).
c. La différence a − b est donc un multiple de d,
par conséquent d est un diviseur de a − b.
3. a. Si a − b = 0, alors a = b, d’où :
PGCD (a ; b) = a (ou b).
b. PGCD (144 ; 48) = 48
et PGCD (144 − 48 ; 48) = PGCD (96 ; 48) = 48.
c. PGCD (144 ; 48) = PGCD (96 ; 48)
= PGCD (96 − 48 ; 48) = PGCD (48 ; 48) = 48.
d. Pour déterminer le PGCD de deux nombres entiers
en n’effectuant que des soustractions, il suffit de
soustraire le plus petit nombre au plus grand, puis
effectuer successivement les soustractions entre cette
différence et le plus petit terme de la différence
jusqu’à obtenir 0. Le PGCD est alors égal à la dernière
différence non nulle.

4

Objectifs

− Découvrir la propriété PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r),
r étant le reste de la division euclidienne de a par b.
− Utiliser cette propriété pour déterminer le PGCD de deux
nombres.

1. a. Le quotient de la division euclidienne de 154
par 42 est égal à 3 et le reste est égal à 28.
b. 14 est un diviseur de 154 et de 42 car :
154 = 14 × 11 et 42 = 14 × 3.
c. 14 est aussi un diviseur du reste 28 de la division
euclidienne de 154 par 42, car : 28 = 14 × 2.
d. On peut conjecturer que si un nombre est un
diviseur commun à deux nombres, alors il est aussi
un diviseur du reste de la division euclidienne du plus
grand nombre par le plus petit.
2. a. a = b × q + r, d’où : r = a − b × q.
b. Si d un diviseur commun à a et b, alors a et b sont
des multiples de d, d’où : il existe deux entiers n et n’
tels que : a = d n et d = d n’.
r = a − b × q = d n − d n’ × q = d(n − n’ q).
Le reste r est donc un multiple de d, donc d est un
diviseur de r.
3. a. Si le reste de la division euclidienne de a par b
est égal à 0, alors a est un multiple de b (ou b est un
diviseur de a).
On a alors : PGCD (a ; b) = b.
b. PGCD (154 ; 42) = 14 et PGCD (42 ; 28) = 14.
c. PGCD (154 ; 42) = PGCD (42 ; 28) = PGCD (28 ; 14)
(car 14 est le reste de la division euclidienne de 42
par 28).
Le reste de la division euclidienne de 28 par 14 est
égal à 0. 14 est donc un diviseur de 28, donc :
PGCD (28 ; 14) = 14.
d. Pour déterminer le PGCD de deux nombres entiers
en n’effectuant que des divisions euclidiennes, il suffit
de diviser le plus grand nombre par le plus petit, puis
effectuer successivement les divisions du diviseur de
la division précédente par son reste jusqu’à obtenir
un reste égal à 0. Le PGCD est alors égal au dernier
reste non nul.
Chapitre

3

Diviseurs – PGCD

29

© Éditions Belin, 2012.

c. Le plus petit diviseur positif commun à 28 et à 42
est 1.
d. Le plus grand diviseur commun à 28 et à 42 est 14.
3. a. Le plus grand diviseur commun à deux nombres
égaux est égal à ces nombres.
b. Le plus grand diviseur commun à deux nombres
lorsque l’un est un multiple de l’autre est égal au plus
petit de ces deux nombres.
4. a. PGCD (25 ; 40) = 5
b. PGCD (110 ; 44) = 22
c. PGCD (30 ; 30) = 30
d. PGCD (25 ; 50) = 25.
5. a. PGCD (45 ; 32) = 1.
b. • PGCD (28 ; 63) = 7, donc 28 et 63 ne sont pas
premiers entre eux.
• PGCD (72 ; 30) = 6, donc 72 et 30 ne sont pas
premiers entre eux.
• PGCD (62 ; 35) = 1, donc 62 et 35 sont premiers
entre eux.
• PGCD (27 ; 50) = 1, donc 27 et 50 sont premiers
entre eux.

14 1. a. 182 − 117 = 65 ; 117 − 65 = 52 ;
65 − 52 = 13 ; 52 − 13 = 39 ; 39 − 13 = 26 ;
26 − 13 = 13 ; 13 − 13 = 0. D’où : PGCD (182 ; 117) = 13.
b. 728 − 630 = 98 ; 630 − 98 = 532 ; 532 − 98 = 434 ;
434 − 98 = 336 ; 336 − 98 = 238 ; 238 − 98 = 140 ;
140 − 98 = 42 ; 98 − 42 = 56 ; 56 − 42 = 14 ;
42 − 14 = 28 ; 28 − 14 = 14 ; 14 − 14 = 0.
D’où : PGCD (728 ; 630) = 14.
c. 333 − 189 = 144 ; 189 − 144 = 45 ; 144 − 45 = 99 ;
99 − 45 = 54 ; 54 − 45 = 9 ; 45 − 9 = 36 ; 36 − 9 = 27 ;
27 − 9 = 18 ; 18 − 9 = 9 ; 9 − 9 = 0.
D’où : PGCD (333 ; 189) = 9.
d. 245 − 165 = 80 ; 165 − 80 = 85 ; 85 − 80 = 5 ;
80 − 5 = 75 ; 75 − 5 = 70 ; 70 − 5 = 65 ; 65 − 5 = 60 ;
60 − 5 = 55 ; 55 − 5 = 50 ; 50 − 5 = 45 ; 45 − 5 = 40 ;
40 − 5 = 35 ; 35 − 5 = 30 ; 30 − 5 = 25 ; 25 − 5 = 20 ;
20 − 5 = 15 ; 15 − 5 = 10 ; 10 − 5 = 5 ; 5 − 5 = 0.
D’où : PGCD (245 ; 165) = 5.
2. a. 540 − 180 = 360 ; 360 − 180 = 180 ;
180 − 180 = 0. D’où : PGCD (540 ; 180) = 180.
b. 392 −161 = 231 ; 231 − 161 = 70 ; 161− 70 = 91 ;
91 − 70 = 21 ; 70 − 21 = 49 ; 49 − 21 = 28 ;
28 − 21 = 7 ; 21 − 7 = 14 ; 14 − 7 = 7 ; 7 − 7 = 0.
D’où : PGCD (392 ; 161) = 7.
c. 880 − 784 = 96 ; 784 − 96 = 688 ; 688 − 96 = 592 ;
592 − 96 = 496 ; 496 − 96 = 400 ; 400 − 96 = 304 ;
304 − 96 = 208 ; 208 − 96 = 112 ; 112 − 96 = 16 ;
96 − 16 = 80 ; 80 − 16 = 64 ; 64 − 16 = 48 ;
48 − 16 = 32 ; 32 − 16 = 16 ; 16 − 16 = 0.
D‘où : PGCD (880 ; 784) = 16.
d. 783 − 325 = 458 ; 458 − 325 = 133 ;
325 − 133 = 192 ; 192 − 133 = 59 ; 133 − 59 = 74 ;
74 − 59 = 15 ; 59 − 15 = 44 ; 44 − 15 = 29 ;
29 − 15 = 14 ; 15 − 14 = 1 ; 14 − 1 = 13 ; 13 − 1 = 12 ;
12 − 1 = 11 ; 11 − 1 = 10 ; 10 − 1 = 9 ; 9 − 1 = 8 ;
8−1=7;7−1=6;6−1=5;5−1=4;
4 − 1 = 3 ; 3 − 1 = 2 ; 2 − 1 = 1 ; 1 − 1 = 0.
D’où : PGCD (783 ; 325) = 1.
3. a. 279 − 155 = 124 ; 155 − 124 = 31 ;
124 − 31 = 93 ; 93 − 31 = 62 ; 62 − 31 = 31 ;
31 − 31 = 0. D’où : PGCD (155 ; 279) = 31.
b. 204 − 68 = 136 ; 136 − 68 = 68 ; 68 − 68 = 0.
D’où : PGCD (68 ; 204) = 68.
c. 184 − 154 = 30 ; 154 − 30 = 124 ; 124 − 30 = 94 ;
94 − 30 = 64 ; 64 − 30 = 34 ; 34 − 30 = 4 ;
30 − 4 = 26 ; 26 − 4 = 22 ; 22 − 4 = 18 ; 18 − 4 = 14 ;
14 − 4 = 10 ; 10 − 4 = 6 ; 6 − 4 = 2 ; 4 − 2 = 2 ;
2 − 2 = 0. D‘où : PGCD (154 ; 184) = 2.
d. 175 − 126 = 49 ; 126 − 49 = 77 ; 77 − 49 = 28 ;
49 − 28 = 21 ; 28 − 21 = 7 ; 21 − 7 = 14 ; 14 − 7 = 7 ;
7 − 7 = 0. D’où : PGCD (175 ; 126) = 7.
15 1. a. 182 = 117 × 1 + 65 ; 117 = 65 × 1 + 52 ;

65 = 52 × 1 + 13 ; 52 = 13 × 4 + 0.
D’où : PGCD (182 ; 117) = 13.
b. 728 = 630 × 1 + 98 ; 630 = 98 × 6 + 42 ;
98 = 42 × 2 + 14 ; 42 = 14 × 3 + 0.
D’où : PGCD (728 ; 630) = 14.

30

c. 333 = 189 × 1 + 144 ; 189 = 144 × 1 + 45 ;
144 = 45 × 3 + 9 ; 45 = 9 × 5 + 0.
D’où : PGCD (333 ; 189) = 9.
d. 245 = 165 × 1 + 80 ; 165 = 80 × 2 + 5 ;
80 = 5 × 16 + 0. D’où : PGCD (245 ; 165) = 5.
2. a. 540 = 180 × 3 + 0. D’où : PGCD (540 ; 180) = 180.
b. 392 = 161 × 2 + 70 ; 161 = 70 × 2 + 21 ;
70 = 21 × 3 + 7 ; 21 = 7 × 3 + 0.
D’où : PGCD (392 ; 161) = 7.
c. 880 = 784 × 1 + 96 ; 784 = 96 × 8 + 16 ;
96 = 16 × 6 + 0. D‘où : PGCD (880 ; 784) = 16.
d. 783 = 325 × 2 + 133 ; 325 = 133 × 2 + 59 ;
133 = 59 × 2 + 15 ; 59 = 15 × 3 + 14 ; 15 = 14 × 1 + 1 ;
14 = 1 × 14 + 0. D’où : PGCD (783 ; 325) = 1.
3. a. 279 = 155 × 1 + 124 ; 155 = 124 × 1 + 31 ;
124 = 31 × 4 + 0. D’où : PGCD (155 ; 279) = 31.
b. 204 = 68 × 3 + 0. D’où : PGCD (68 ; 204) = 68.
c. 184 = 154 × 1 + 30 ; 154 = 30 × 5 + 4 ;
30 = 4 × 7 + 2 ; 4 = 2 × 2 + 0.
D‘où : PGCD (154 ; 184) = 2.
d. 175 = 126 × 1 + 49 ; 126 = 49 × 2 + 28 ;
49 = 28 × 1 + 21 ; 28 = 21 × 1 + 7 ; 21 = 7 × 3 + 0.
D’où : PGCD (175 ; 126) = 7.
16 1. a.

612 51
=
156 13

b.

213
71
=
840 280

187
est une fraction irréductible.
351
784
170 34
f.
=2
g.
=
392
245 49
d.

805 161
=
335 67
435 15
e.
=
928 32
117 13
h.
=
189 21
c.

17 PGCD (150 ; 180) = 30, donc le plus grand nombre
d’équipes ayant la même répartition de garçons et de
filles que le professeur peut constituer avec 150 filles
et 180 garçons est égal à 30. Chaque équipe sera
composée de 5 filles et de 6 garçons.
18 a. PGCD (8 954 ; 658) = 2.
b. PGCD (873 ; 1 650) = 3.
c. PGCD (3 025 ; 2 875) = 25.
d. PGCD (532 ; 875) = 7.
19 a. PGCD (651 ; 746) = 1.
b. PGCD (258 ; 1 214) = 2.
c. PGCD (4 584 ; 1 216) = 8.
c. PGCD (1 372 ; 770) = 14.

Exercices

À l’oral
20 a. Vrai.

b. Vrai.

c. Faux.

d. Vrai.

21 a. Les diviseurs positifs de 25 sont : 1 ; 5 ; 25.
b. Les diviseurs positifs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18.
c. Les diviseurs positifs de 32 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32.
d. Les diviseurs positifs de 63 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 63.
22 1. Faux (car 6 ⬎ 4).
4. Faux.

2. Vrai.
5. Faux.

3. Vrai.
6. Vrai.

© Éditions Belin, 2012.

Savoir-faire

SC3

24 SC3 a. PGCD (2 ; 6) = 2
c. PGCD (14 ; 28) = 14

b. PGCD (15 ; 45) = 15
d. PGCD (6 ; 27) = 3

25 Le plus grand diviseur commun à 27 et 12 est la
dernière différence non nulle, soit 3.
26 1. • 58 = 16 × 3 + 10.
Dividende : 58 ; diviseur : 16 ; quotient : 3 ; reste : 10.
• 16 = 10 × 1 + 6.
Dividende : 16 ; diviseur : 10 ; quotient : 1 ; reste : 6.
• 10 = 6 × 1 + 4.
Dividende : 10 ; diviseur : 6 ; quotient : 1 ; reste : 4.
• 6 = 4 × 1 + 2.
Dividende : 6 ; diviseur : 4 ; quotient : 1 ; reste : 2.
• 4 = 2 × 2 + 0.
Dividende : 4 ; diviseur : 2 ; quotient : 2 ; reste : 0.
2. Le plus grand diviseur commun à 58 et 16 est le
dernier reste non nul, soit 2.
27 a + b = 12 avec a ⬎ b et PGCD (a ; b) = 1,
d’où : a = 11 et b = 1 ou a = 7 et b = 5.

35
28 a.
n’est pas irréductible, car 35 et 14 sont
14
⎛ 35 = 5⎞
divisibles par 7. ⎜⎝

14 2⎠
40
b.
est irréductible.
23
9
c.
n’est pas irréductible, car 9 et 27 sont
27
⎛ 9 = 1⎞
divisible par 3 (et 9). ⎜⎝

27 3⎠
12
d.
n’est pas irréductible, car 12 et 54 sont
54
⎛ 12 = 2⎞
divisibles par 2 (et 3). ⎜⎝

54 9⎠
29 a. 2 744 et 3 128 sont divisibles par 2, donc la

2 744
⎛ 2 744 343⎞
=
n’est pas irréductible. ⎜
⎝ 3 128 391⎟⎠
3 128
b. 1 155 et 4 970 sont divisibles par 5, donc la fraction
1155
33 ⎞
⎛ 1155
n’est pas irréductible. ⎜
=
⎝ 4 970 142⎟⎠
4 970
c. 243 et 45 sont divisibles par 9, donc la fraction
243
243 27⎞
= ⎟
n’est pas irréductible. ⎛⎜

45
45
5⎠
d. 3 346 et 970 sont divisibles par 2, donc la fraction
3 346
⎛ 3 346 1673⎞
n’est pas irréductible. ⎜
=

⎝ 970
485 ⎠
970

fraction

30 a.

18 3
=
24 4

b.

40 8
=
25 5

c.

28 4
=
49 7

d.

63 7
=
36 4

31

6 750 6 750 : 54 125
=
=
.
4 212 4 212 : 54
78

7 × 5 × 12 × 9 × 4 7
= .
45 × 48 × 3
3
6 × 25 × 13 13
B=
= .
50 × 3 × 4
4
32 A =

50
est irréductible car PGCD (50 ; 49) = 1.
49
b. 50 et 49 sont premiers entre eux.
50 50 × 3 150
=
.
2. a.
=
49 49 × 3 147
b. PGCD (150 ; 147) = 3.
33 1. a.

Je m’entraîne
34 a. 30 est le plus petit multiple commun à 6 et à
10, donc les deux bus se retrouveront au même arrêt
dans 30 minutes, soit à 8 h 50 min.
35 1. A = 5 634

2. B = 1 374

a. Les diviseurs positifs communs à 55 et 60
sont : 1 et 5. D’où : PGCD (55 ; 60) = 5.
b. Les diviseurs positifs communs à 56 et 42 sont :
1 ; 2 ; 7 ; 14. D’où : PGCD (56 ; 42) = 14.
c. Les diviseurs positifs communs à 54 et 78 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 6. D’où : PGCD (54 ; 78) = 6.
36

SC3

1. a. 364 = 2 × 2 × 7 × 13
et 156 = 2 × 2 × 3 × 13.
b. PGCD (364 ; 156) = 2 × 2 × 13 = 52.
2. a. 225 = 3 × 3 × 5 × 5 et 210 = 2 × 3 × 5 × 7.
b. PGCD (225 ; 210) = 3 × 5 = 15.
37

SC3

38 a. 285 − 114 = 171 ; 171 − 114 = 57 ; 114 − 57 = 57 ;
57 − 57 = 0. D’où : PGCD (285 ; 114) = 57.
b. 364 −195 = 169 ; 195 − 169 = 26 ; 169 − 26 = 143 ;
143 − 26 = 117 ; 117 − 26 = 91 ; 91 − 26 = 65 ;
65 − 26 = 39 ; 39 − 26 = 13 ; 26 − 13 = 13 ; 13 − 13 = 0.
D’où : PGCD (364 ; 195) = 13.
c. 987 − 378 = 609 ; 609 − 378 = 231 ;
378 − 231 = 147 ; 231 − 147 = 84 ; 147 − 84 = 63 ;
84 − 63 = 21 ; 63 − 21 = 42 ; 42 − 21 = 21 ; 21 − 21 = 0.
D’où : PGCD (987 ; 378) = 21.
d. 500 − 448 = 52 ; 448 − 52 = 396 ; 396 − 52 = 344 ;
344 − 52 = 292 ; 292 − 52 = 240 ; 240 − 52 = 188 ;
188 − 52 = 136 ; 136 − 52 = 84 ; 84 − 52 = 32 ;
52 − 32 = 20 ; 32 − 20 = 12 ; 20 − 12 = 8 ; 12 − 8 = 4 ;
8 − 4 = 4 ; 4 − 4 = 0. D’où : PGCD (500 ; 448) = 4.
e. 273 − 189 = 84 ; 189 − 84 = 105 ; 105 − 84 = 21 ;
84 − 21 = 63 ; 63 − 21 = 42 ; 42 − 21 = 21 ; 21 − 21 = 0.
D’où : PGCD (273 ; 189) = 21.
f. 945 − 756 = 189 ; 756 − 189 = 567 ;
567 − 189 = 378 ; 378 − 189 = 189 ; 189 − 189 = 0.
D’où : PGCD (945 ; 756) = 189.
39 a. 3 575 − 2 730 = 845 ; 2 730 − 845 = 1 885 ;
1 885 − 845 = 1 040 ; 1 040 − 845 = 195 ;
Chapitre

3

Diviseurs – PGCD

31

© Éditions Belin, 2012.

a. Les diviseurs positifs communs à 14 et 49
sont : 1 ; 7.
b. Les diviseurs positifs communs à 35 et 50 sont :
1 ; 5.
c. Les diviseurs positifs communs à 27 et 63 sont :
1 ; 3 ; 9.
d. Les diviseurs positifs communs à 40 et 72 sont :
1 ; 2 , 4 ; 8.
23

40 a. 616 = 495 × 1 + 121 ; 495 = 121 × 4 + 11 ;
121 = 11 × 11 + 0. D’où : PGCD (616 ; 495) = 11.
b. 162 = 114 × 1 + 48 ; 114 = 48 × 2 + 18 ;
48 = 18 × 2 + 12 ; 18 = 12 × 1 + 6 ; 12 = 6 × 2 + 0.
D’où : PGCD (162 ; 114) = 6.
c. 624 = 408 × 1 + 216 ; 408 = 216 × 1 + 192 ;
216 = 192 × 1 + 24 ; 192 = 24 × 8 + 0.
D’où : PGCD (624 ; 408) = 24.
d. 703 = 456 × 1 + 247 ; 456 = 247 × 1 + 209 ;
247 = 209 × 1 + 38 ; 209 = 38 × 5 + 19 ;
38 = 19 × 2 + 0. D’où : PGCD (703 ; 456) = 19.
e. 294 = 84 × 3 + 42 ; 84 = 42 × 2 + 0.
D’où : PGCD (294 ; 84) = 42.
f. 252 = 72 × 3 + 36 ; 72 = 36 × 2 + 0.
D’où : PGCD (252 ; 72) = 36.
41 a. 1 681 = 108 × 15 + 61 ; 108 = 61 × 1 + 47 ;
61 = 47 × 1 + 14 ; 47 = 14 × 3 + 5 ; 14 = 5 × 2 + 4 ;
5 = 4 × 1 + 1 ; 4 = 1 × 4 + 0.
D’où : PGCD (1 681 ; 108) = 1.
b. 6 652 = 924 × 7 + 184 ; 924 = 184 × 5 + 4 ;
184 = 4 × 46 + 0. D’où : PGCD (6 652 ; 924) = 4.
c. 1 599 = 273 × 5 + 234 ; 273 = 234 × 1 + 39 ;
234 = 39 × 6 + 0. D’où : PGCD (1 599 ; 273) = 39.
d. 2 312 = 145 × 15 + 137 ; 145 = 137 × 1 + 8 ;
137 = 8 × 17 + 1 ; 8 = 1 × 8 + 0.
D’où : PGCD (2 312 ; 145) = 1.

32

e. 3 473 = 2 162 × 1 + 1 311 ; 2 162 = 1 311 × 1 + 851 ;
1 311 = 851 × 1 + 460 ; 851 = 460 × 1 + 391 ;
460 = 391 × 1 + 69 ; 391 = 69 × 5 + 46 ;
69 = 46 × 1 + 23 ; 46 = 23 × 2 + 0.
D’où : PGCD (3 473 ; 2 162) = 23.
f. 1 003 = 697 × 1 + 306 ; 697 = 306 × 2 + 85 ;
306 = 85 × 3 + 51 ; 85 = 51 × 1 + 34 ; 51 = 34 × 1 + 17 ;
34 = 17 × 2 + 0. D’où : PGCD (1 003 ; 697) = 17.
42 a. PGCD (789 ; 502) = 1, donc 789 et 502
sont premiers entre eux.
b. PGCD (451 ; 625) = 1, donc 451 et 625
sont premiers entre eux.
c. PGCD (936 ; 1 118) = 26, donc 936 et 1 118
ne sont pas premiers entre eux.
d. PGCD (1 429 ; 976) = 1, donc 1 429 et 976
sont premiers entre eux.
e. PGCD (615 ; 1 476) = 123, donc 615 et 1 476
ne sont pas premiers entre eux.
f. PGCD (444 ; 725) = 1, donc 444 et 725
sont premiers entre eux.
43 1. a. PGCD (381 ; 1 016) = 127.

b.
c.
d.
2.
b.
c.
d.

PGCD (576 ; 1 248) = 96.
PGCD (2 459 ; 634) = 1.
PGCD (5 560 ; 1 872) = 8.
a. PGCD (425 ; 1 050) = 25.
PGCD (975 ; 793) = 13.
PGCD (478 ; 799) = 1.
PGCD (671 ; 542) = 1.

44 1. a. PGCD (682 ; 78) = 2.

b.
c.
d.
2.
b.
c.
d.

PGCD (451 ; 244) = 1.
PGCD (597 ; 343) = 1.
PGCD (1 145 ; 870) = 5.
a. PGCD (250 ; 984) = 2.
PGCD (735 ; 381) = 3.
PGCD (682 ; 884) = 2.
PGCD (613 ; 521) = 1.

45 1. PGCD (294 ; 210) = 42.
On peut composer au maximum 42 équipes.
2. 294 : 42 = 7 et 210 : 42 = 5.
Chaque équipe sera composée de 7 Français et 5 Italiens.
46 1. a. 92 = 3 × 30 + 2 et 138 = 3 × 46.
L’apiculteur pourra obtenir au maximum 30 lots
composés de 3 pots de miel de lavande et de 3 pots
de miel de thym.
b. Il restera 2 pots de miel de lavande et 48 pots
de miel de thym.
2. a. PGCD (92 ; 138) = 46.
L’apiculteur pourra réaliser au maximum 46 lots
identiques en utilisant tous ses pots.
b. 92 : 46 = 2 et 138 : 46 = 3.
Chaque lot sera composé de 2 pots de miel de lavande
et de 3 pots de miel de thym.

1036
7
=
1776 12
9 434 4 717
c.
=
7 310 3 655
47 a.

b.
d.

2 584 17
=
5 472 36
3 068
4 366

=

26
37

© Éditions Belin, 2012.

845 − 195 = 650 ; 650 − 195 = 455 ; 455 − 195 = 260 ;
260 − 195 = 65 ; 195 − 65 = 130 ; 130 − 65 = 65 ;
65 − 65 = 0. D’où : PGCD (3 575 ; 2 730) = 65.
b. 10 780 − 3 520 = 7 260 ; 7 260 − 3 520 = 3 740 ;
3 740 − 3 520 = 220 ; 3 520 − 220 = 3 300 ;
3 300 − 220 = 3 080 ; 3 080 − 220 = 2 860 ;
2 860 − 220 = 2 640 ; 2 640 − 220 = 2 420 ;
2 420 − 220 = 2 200 ; 2 200 − 220 = 1 980 ;
1 980 − 220 = 1 760 ; 1 760 − 220 = 1 540 ;
1 540 − 220 = 1 320 ; 1 320 − 220 = 1 100 ;
1 100 − 220 = 880 ; 880 − 220 = 660 ; 660 − 220 = 440 ;
440 − 220 = 220 ; 220 − 220 = 0.
D’où : PGCD (10 780 ; 3 520) = 220.
c. 5 148 − 1 386 = 3 762 ; 3 762 − 1 386 = 2 376 ;
2 376 − 1 386 = 990 ; 1 386 − 990 = 396 ;
990 − 396 = 594 ; 594 − 396 = 198 ; 396 − 198 = 198 ;
198 − 198 = 0. D’où : PGCD (5 148 ; 1 386) = 198.
d. 9 240 − 3 822 = 5 418 ; 5 418 − 3 822 = 1 596 ;
3 822 − 1 596 = 2 226 ; 2 226 − 1 596 = 630 ;
1 596 − 630 = 966 ; 966 − 630 = 336 ; 630 − 336 = 294 ;
336 − 294 = 42 ; 294 − 42 = 252 ; 252 − 42 = 210 ;
210 − 42 = 168 ; 168 − 42 = 126 ; 126 − 42 = 84 ;
84 − 42 = 42 ; 42 − 42 = 0.
D’où : PGCD (9 240 ; 3 822) = 42.
e. 416 − 325 = 91 ; 325 − 91 = 234 ; 234 − 91 = 143 ;
143 − 91 = 52 ; 91 − 52 = 39 ; 52 − 39 = 13 ;
39 − 13 = 26 ; 26 − 13 = 13 ; 13 − 13 = 0.
D’où : PGCD (325 ; 416) = 13.
f. 960 − 392 = 568 ; 568 − 392 = 176 ;
392 − 176 = 216 ; 216 − 176 = 40 ; 176 − 40 = 136 ;
136 − 40 = 96 ; 96 − 40 = 56 ; 56 − 40 = 16 ;
40 − 16 = 24 ; 24 − 16 = 8 ; 16 − 8 = 8 ; 8 − 8 = 0.
D’où : PGCD (392 ; 960) = 8.

48 1. PGCD (1725 ; 2 445) = 15.

1725 1725 : 15 115
.
=
=
2 445 2 445 : 15 163
1725 110 115 110
5
2.
.

=

=
2 445 163 163 163 163
49 DOCUMENT À PHOTOCOPIER

Fraction

a
b

PGCD (a ; b)

(ANNEXE 2)

Fraction irréductible
a
égale à
b
26
15

962
555

37

324
405

81

4
5

441
756

63

7
12

Je m’entraîne au brevet
50 1. PGCD (2 277 ; 1 449) est la dernière
différence non nulle, soit 207.
2. La formule écrite dans la cellule C2 est : =A2–B2 .
51 1. a. PGCD (850 ; 714) = 34.

850 850 : 34 25
.
=
=
714 714 : 34 21
2. a. PGCD (5 148 ; 2 431) = 143.
5 148 5 148 : 143 36
b.
.
=
=
2 431 2 431: 143 17

b.

• Les diviseurs positifs de 108 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 27 ; 36 ; 54 ; 108.
• Les diviseurs positifs de 70 sont :
1 ; 2 ; 5 ; 7 ; 10 ; 14 ; 35 ; 70.
b. Le plus grand diviseur commun aux nombres 126,
108 et 70 est 2.
2. a. d = PGCD (126 ; 108) = 18.
b. PGCD (d ; 70) = PGCD (18 ; 70) = 2.
On peut remarquer que pour calculer le PGCD de
trois nombres, on peut déterminer le PGCD de deux
nombres, puis le PGCD de ce PGCD et du troisième
nombre.
66 1. a. PGCD (2 940 ; 1 092) = 84.
b. PGCD (2 100 ; 1 092) = 84.
2. Le plus grand diviseur commun aux trois nombres
2 940, 1 092 et 2 100 est donc 84.
67 1. • 1 080 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5.
• 1 764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7.
2. Le PGCD de 1 080 et 1 764 est le produit des
facteurs communs, soit :
PGCD (1 080 ; 1 764) = 2 × 2 × 3 × 3, soit :
PGCD (1 080 ; 1 764) = 36.
68 1. PGCD (92 ; 115) = 23.
92 : 23 = 4 et 115 : 23 = 5. La fraction irréductible
92
4
égale à
est donc égale à .
115
5
2.

52 1. PGCD (330 ; 270) = 30.
2. Chaque plaque est un carré de côté 30 cm.
330 : 30 = 11 et 270 : 30 = 9.
Il y aura 11 plaques sur la longueur et 9 sur la largeur,
soit 99 plaques isolantes au total.
53 1. PGCD (1 394 ; 255) = 17.
2. a. L’artisan peut réaliser au maximum 17 colliers
identiques en utilisant toutes ses graines.
b. 1 394 : 17 = 82 et 255 : 17 = 15.
Il y aura 82 graines d’açaï et 15 graines palmier pêche
par collier.

1737 9
735
7
=
=
b.
1544 8
2 520 24
3 700 25
5 341 49
=
=
c.
d.
.
2 072 14
1635 15
1737
735
9 7
34 17
2. A =
+
= +
=
=
1544 2 520 8 24 24 12
3 700 5 341 25 49 35
.
B=
×
=
×
=
2 072 1635 14 15
6
64 1. a.

65 SC3 1. a. • Les diviseurs positifs de 126 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9 ; 14 ; 18 ; 21 ; 42 ; 63 ; 126.

Chapitre

3

Diviseurs – PGCD

33

© Éditions Belin, 2012.

J’approfondis

4 16 40 60
.
=
=
=
5 20 50 75
b. On place les points M (16 ; 20), N (40 ; 50)
et P (60 ; 75).
c. On peut remarquer que les points M, N et P
appartiennent à la droite (AB).
4. Pour trouver les fractions égales à une fraction
donnée, on détermine la fraction irréductible égale
à cette fraction, puis on place les points A et B ayant
pour abscisses et ordonnées respectivement les
numérateurs et les dénominateurs de chaque fraction.
Les fractions égales à la fraction donnée sont les
fractions dont le numérateur et le dénominateur sont
respectivement égaux à l’abscisse et à l’ordonnée
(nombres entiers) d’un point de la droite (AB).
3. a.

69 1. Toutes les longueurs possibles (en nombre
entier de cm) du côté d’une part sont tous les diviseurs
communs à 110 et 88, soit : 1 cm, 2 cm, 11 cm, 22 cm.
Sachant que ces longueurs doivent être comprises
entre 4 cm et 12 cm, il y a donc une seule possibilité :
11 cm.
2. 110 : 11 = 10 et 88 : 11 = 8.
Il y aura alors 10 parts sur la longueur et 8 parts sur
la largeur, soit 80 parts carrées de 11 cm de côté.
70 Les nombres possible de panneaux contenant
autant de photos de paysages que de portraits sont
les diviseurs communs à 224 et 288, soit :
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32.

Nombre
Nombre
Nombre
de
de paysages de portraits
panneaux par panneau par panneau
1
224
288
2
112
144
4
56
72
8
28
36
16
14
18
32
7
9

Nombre
par
panneau
512
256
128
64
32
16

1. La plus grande longueur possible pour l’arête d’un
cube est le plus grand diviseur commun à 48, 40
et 72, soit : 8 cm.
2. 72 : 8 = 9 ; 48 : 8 = 6 et 40 : 8 = 5.
9 × 6 × 5 = 270. Il faudra donc 270 cubes d’arête
8 cm pour remplir la boîte.
74 1. La formule saisie en A2 permet de déterminer
le plus petit nombre entre les nombres entrés en
A1 et en B1 et la formule saisie en B2 permet
d’effectuer la différence entre le plus grand des deux
nombres de la ligne précédente et le plus petit pour
ne pas obtenir de résultat négatif.
2. On étend ces formules jusqu’à obtenir une
différence nulle, soit jusqu’à la ligne 16.
3. Le PGCD de 1 848 et 2 040 est la dernière
différence non nulle, soit 24.

Sachant que le nombre total de photos par panneau
ne doit pas excéder 40, le photographe pourra ainsi
réaliser 16 panneaux contenant chacun 14 paysages
et 18 portraits ou 32 panneaux contenant chacun
7 paysages et 9 portraits.
71 1. a. PGCD (798 ; 1 045) = 19.

b.
c.
2.
b.
c.

798
798 : 19
42
.
=
=
1045 1045 : 19 55
42 84
798
84
, d‘où :
.
=
=
55 110
1045 110
a. PGCD (392 ; 504) = 56.
392 392 : 56 7
=
= .
504 504 : 56 9
7 21
392 21
, d’où :
.
=
=
9 27
504 27

75 1. La formule que l’on doit entrer dans la cellule
B2 puis étendre verticalement pour obtenir les valeurs
de n2 − 1 pour toutes les valeurs de n de la colonne A
est : =A2^2–1 .
2. Si on obtient 0 dans la colonne C, alors le nombre
de la forme n2 − 1 correspondant est divisible par 4.
3. a.

Thème de convergence

73 Une boîte a la forme d’un parallélépipède
rectangle de dimensions 48 cm, 40 cm et 72 cm.
On souhaite remplir cette boîte avec des cubes
identiques dont la longueur de l’arête est un nombre
entier de centimètres.

34

© Éditions Belin, 2012.

72 La distance entre deux arbustes doit être égale
à un nombre entier de mètres, c’est donc un diviseur
commun à 1 309 et 1 001, soit : 1 m, 7 m ; 11 m ;
77 m.
Sachant que cette distance est comprise entre 3 m
et 8 m, il ne reste qu’une seule possibilité : 7 m.
Périmètre du terrain : 2(1 309 + 1 001), soit 4 620 m.
Nombre d’arbustes nécessaires pour entourer ce
terrain : 4 620 : 7, soit 660.

Démonstration
• Si n est impair, alors n peut s’écrire sous la forme
2k + 1, k étant un entier naturel.
D’où : n2 − 1 = (2k + 1)2 − 1 = 4k2 + 4k + 1 − 1
= 4(k2 + k).
Par conséquent lorsque n est impair, le nombre n2 − 1
est un multiple de 4, donc est divisible par 4.
• Si n est pair non nul, alors n peut s’écrire sous la
forme 2k, k étant un entier naturel non nul.
D’où : n2 − 1 = (2k)2 − 1 = 4k2 − 1 = 4(k2 − 1) + 3.
Par conséquent lorsque n est pair, le nombre n2 − 1
n’est pas un multiple de 4, donc n’est pas divisible
par 4 (le reste de la division de n2 − 1 par 4 est alors
égal à 3).
76 1. a. Soit a et b deux entiers strictement positifs
multiples de 71. Il existe donc deux nombres entiers n
et n’ tels que : a = 71n et b = 71n’.
a + b = 1 065,
d’où : 71n + 71n’ = 1 065.
On obtient ainsi : 71(n + n’) = 1 065.
D’où : n + n’ = 15.

n
1
2
3
4
5
6
7

n’
14
13
12
11
10
9
8

a
71
142
213
284
355
426
497

b
994
923
852
781
710
639
568

On obtient ainsi 14 possibilités de couples (a ; b) :
(71 ; 994) ; (142 ; 923) ; (213 ; 852) ; (284 ; 781) ;
(355 ; 710) ; (426 ; 639) ; (497 ; 568) ; (568 ; 497) ;
(639 ; 426) ; (710 ; 355) ; (781 ; 284) ; (852 ; 213) ;
(923 ; 142) ; (994 ; 71).
b. Si 71 est le PGCD de a et b, cela signifie que les
nombres n et n’ sont premiers entre eux.
On obtient ainsi 8 possibilités de couples (a ; b) :
(71 ; 994) ; (142 ; 923) ; (284 ; 781) ; (497 ; 568) ;
(568 ; 497) ; (781 ; 284) ; (923 ; 142) ; (994 ; 71).
2. a. Soit a et b deux entiers strictement positifs
(a ⬎ b) tels que PGCD (a ; b) = 37.
Il existe donc deux nombres entiers n et n’ tels que :
a = 37n et b = 37n’ avec n et n’ premiers entre eux.
a + b = 444,
d’où : 37n + 37n’ = 444.
On obtient ainsi : 37(n + n’) = 444.
D’où : n + n’ = 12.
n
11
7

n’
1
5

a
407
259

b
37
185

On obtient ainsi 2 possibilités de couples (a ; b) :
(407 ; 37) ; (259 ; 185).

Argumenter et débattre
77 1. Vrai. En effet, deux nombres pairs sont
toujours divisibles par 2.
2. Faux. Par exemple, 15 et 27 sont impairs et ne sont
pas premiers entre eux, puisqu’ils sont divisibles par 3.
3. Vrai. En effet, si les quotients de a par d et de
b par d n’étaient pas premiers entre eux, alors d ne
serait pas le plus grand diviseur commun à a et b.
4. Faux. Par exemple : PGCD (14 ; 6) = 2
et PGCD (38 ; 4) = 2, et 14 ≠ 38 ; 6 ≠ 4.
5. Faux. Par exemple : PGCD (24 ; 40) = 8
et PGCD (48 ; 80) = 16.
On a : PGCD (2a ; 2b) = 2 × PGCD (a ; b).
78 1. Soit x, x + 1 et x + 2, trois nombres entiers
consécutifs. x + x + 1 + x + 2 = 3x + 3 = 3(x + 1).
La somme de trois nombres entiers consécutifs est
donc toujours un multiple de 3.
2. • x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x + 6 = 4(x + 1) + 2.
On ne peut pas affirmer que la somme de quatre
nombres entiers consécutifs est toujours un multiple
de 4.
• x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 5x + 10 = 5(x + 2).
On peut donc affirmer que la somme de cinq nombres
entiers consécutifs est toujours un multiple de 5.
• x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 = 6x + 15
= 6(x + 2) + 3.
On ne peut donc pas affirmer que la somme de six
nombres entiers consécutifs est toujours un multiple
de 6.
•x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6
= 7x + 21 = 7(x + 3).
On peut donc affirmer que la somme de sept nombres
entiers consécutifs est toujours un multiple de 7. Etc.
79 Si le reste de la division euclidienne d’un nombre
n par 2, par 3, par 4, par 5, par 6, par 7, par 8
ou par 9 est toujours égal à 1, alors le reste de la
division euclidienne du nombre n – 1 par 2, par 3,
par 4, par 5, par 6, par 7, par 8, par 9 est égal à 0.
Ce qui signifie que le nombre n – 1 est un multiple
de 2, de 3, de 4, de 5, de 6, de 7, de 8 et de 9.
Par exemple :
n – 1 = 5 × 6 × 7 × 8 × 9 = 15 120, d’où : n = 15 121.
Vérification :
15 121 = 2 × 7 560 + 1
15 121 = 3 × 5 040 + 1
15 121 = 4 × 3 780 + 1
15 121 = 5 × 3 024 + 1
15 121 = 6 × 2 520 + 1
15 121 = 7 × 2 160 + 1
15 121 = 8 × 1 890 + 1
15 121 = 9 × 1 680 + 1

45䊐
soit irréductible,
216
le numérateur et le dénominateur ne doivent avoir
aucun diviseur commun autre que 1.
216 est divisible par 2, donc 45䊐 ne doit pas être
divisible par 2. Par conséquent, donc 䊐 ne peut être
remplacé par 0, 2, 4, 6, 8.
216 est divisible par 3, donc 45䊐 ne doit pas être
divisible par 3. Par conséquent, 䊐 ne peut être
remplacé par 0, 3, 6, 9.
80 Pour que la fraction

Chapitre

3

Diviseurs – PGCD

35

© Éditions Belin, 2012.

b. Les nombres n2 − 1 sont divisibles par 4 pour
n = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ou 19.
c. On peut conjecturer que le nombre n2 − 1 est
divisible par 4 lorsque n est un nombre impair.

Il reste trois possibilités : 1, 5 et 7.
PGCD (451 ; 216) = 1 ; PGCD (455 ; 216) = 1
et PGCD (457 ; 216) = 1. Par conséquent 䊐 peut être
remplacé par 1 ou par 5 ou par 7 pour que la fraction
45䊐
soit irréductible.
216

b. On obtient un nombre triangulaire en ajoutant
au nombre triangulaire précédent respectivement
les nombres 2, 3, 4, 5, 6, etc.
1 + 2 = 3 ; 3 + 3 = 6 ; 6 + 4 = 10 ; 10 + 5 = 15 ;
15 + 6 = 21 ; 21 + 7 = 28 ; etc.
En B3, on entre la formule : =B2+A3 .
2. a.

81 PGCD (780 ; 494) = 26.
780 et 494 sont des multiples de 26, donc la somme
de toutes les masses des caisses est aussi un multiple
de 26. Or 8 630 = 26 × 331 + 24. Donc 8 630 n’est
pas un multiple de 26. Par conséquent, le transporteur
a tort.

Atelier découverte
83 1. • Les diviseurs de 28 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ;
28. Et 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
• Les diviseurs de 496 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 31 ; 62 ;
124 ; 248 ; 496.
Et 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496.
• Les diviseurs de 8 128 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ;
64 ; 127 ; 254 ; 508 ; 1 016 ; 2 032 ; 4 064 ; 8 128.
Et 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508
+ 1 016 + 2 032 + 4 064 = 8 128.
1 1 1 1 1
1
2. • + + + +
+
= 2.
1 2 4 7 14 28
1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
• + + + +
+
+
+
+
+
= 2.
1 2 4 8 16 31 62 124 248 496
1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
• + + + +
+
+
+
+
+
1 2 4 8 16 32 64 127 254 508
1
1
1
1
+
+
+
+
= 2.
1016 2 032 4 064 8 128
3. En ajoutant les inverses de tous les diviseurs d’un
nombre parfait, on obtient toujours 2.

85 1. a. Les dix premiers nombres triangulaires sont :
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 35, 44, 54, 65.

36

b. Les nombres parfaits 6, 28, 496 sont des nombres
triangulaires.
86 • Un nombre presque parfait est un nombre
entier n tel que la somme de ses diviseurs (lui-même
compris) est égale à 2n – 1.
• Un nombre abondant est un nombre inférieur à la
somme de ses diviseurs (excepté lui-même).
• Un nombre déficient est un nombre supérieur à la
somme de ses diviseurs (excepté lui-même).

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84 1. Les cinq nombres parfaits qui suivent
33 550 336 sont : 8 589 869 056 ; 137 438 691 328 ;
2 305 843 008 139 952 128 ;
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 ;
191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303
638 130 997 321 548 169 216.
2. Les deux derniers chiffres de ces nombres parfaits
se terminent par des multiples de 4 (28, 96, 36, 56, 76,
16), donc il semblerait que les nombres parfaits sont
tous des multiples de 4.
3. • 6 = 21(22 – 1)
• 28 = 22(23 – 1)
• 496 = 24(25 – 1)
• 8 128 = 26(27 – 1)
On peut conjecturer que les nombres parfaits peuvent
s’écrire sous la forme : 2n(2n + 1 – 1), n étant un
nombre entier.
4. 23(24 – 1) = 120. Or 120 n’est pas un nombre
parfait. Tous les nombres de la forme 2n(2n + 1 – 1) ne
sont donc pas des nombres parfaits.

Annexe 1

Je prends un bon départ

11

Diviseur

Nombre

2

3

4

5

9

10

567
144
2 316
1 548
780

Annexe 2

Je m’entraîne

49

Fraction

a
b

PGCD (a ; b)

Fraction irréductible égale à

a
b

962
555
81

4
5

Chapitre

3

Diviseurs – PGCD

37

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441
756

Équations et inéquations
à une inconnue
EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008
Connaissances

Capacités

Commentaires

2. Nombres et calculs
2.4 Équations et
inéquations du
premier degré
Problèmes du premier
degré : inéquation du
premier degré à une
inconnue.
Problèmes se ramenant
au premier degré :
équations produits.

– Mettre en équation un problème.
– Résoudre une inéquation du premier
degré à une inconnue à coefficients
numériques ; représenter ses solutions
sur une droite graduée.
– Résoudre une équation mise sous la
forme A (x) ⋅ B (x) = 0, où A (x) et B (x)
sont deux expressions du premier degré
de la même variable x.

La notion d’équation ne fait pas partie du socle commun.
Néanmoins, les élèves peuvent être amenés à résoudre
des problèmes du premier degré (méthode arithmétique,
méthode par essais successifs, …).
L’étude du signe d’un poduit ou d’un quotient de deux
expressions du premier degré de la même variable est hors
programme.

Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et
des compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d’activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne
font pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous
les élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d’enseignement du programme.

Ouverture
Si Td = 3 jours et d = 4 jours, alors F =
soit : F ≈ 1,93.

0,7 × 4
+ 1,
3

12 1. a. x + 5 ⬍ 8
c. 6x ⬍ 18
2. a. 3 + x ⭓ 1
c. 4x ⭓ −8
13 1.
•x⭐2

Pour une grippe de force 2 :
1
1
p ⬎ 1 − , soit : p ⬎ .
2
2
Pour une grippe de force 4 :
1
3
p ⬎ 1 − , soit : p ⬎ .
4
4

A

b. x − 2 ⬍ 1
d. −7x ⬎ −21
b. x − 8 ⭓ −10
d. −9x ⭐ 18

0

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

• x ⬎ −5

A

2 C

3 A

4 B

5 C

6 B

7 B

8 C

B = −5x − 10

4

5

6

B
1

2

3

4

5

6

Activités

C = −8x + 6

10 a. D = x (7 − 2x)

E = (2 + x)[x + (4x − 5)] = (2 + x)(5x − 5)
= 5(2 + x)(x − 1)
F = (x − 8)[(3x + 7) − (2x − 1)] = (x − 8)(x + 8)
b. G = (x + 4)(x − 4)
H= (5 + x) (5 − x)
I = (7x + 9)(7x − 9)
11 1. On note x le nombre inconnu.
L’équation demandée est : 2(x + 5) = x + 4.
2. En développant 2(x + 5) dans le premier membre,
on obtient l’équation 2x + 10 = x + 4, dont la
solution est le nombre − 6.
Le nombre cherché est − 6.

38

3

1

Objectif

Savoir mettre en équation et résoudre un problème
du premier degré à une inconnue.

1. a. On ne peut pas trouver facilement une
solution de l’équation 4x + 12 = 30 − 2x .
b. 4x + 12 = 30 − 2x .
6x + 12 = 30. On a ajouté 2x aux deux
membres de l’égalité.
6x = 18. On a retranché 12 aux deux
membres de l’égalité.
x = 3.
On a divisé par 6 les deux
membres de l’égalité.
c. la solution de l’équation 4x + 12 = 30 − 2x est 3.

© Éditions Belin, 2012.

1 B

A = −51x + 18

2

2. L’abscisse x d’un point qui appartient au segment
[AB] vérifie : −2 ⭐ x ⭐ 4

QCM

9

1

0

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
Je prends un bon départ

B

2. On note x le nombre auquel pense Manon.
Le problème se traduit par l’équation
4x + 12 = 30 − 2x, dont la solution est 3, d’après
la résolution précédente.
Manon a pensé au nombre 3.
Objectifs

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

– Découvrir la notion d’équation produit nul.
– Savoir résoudre une telle équation.

1. a. Lorsque l’on multiplie un nombre quelconque
par zéro, le produit est égal à zéro.
Si a = 0 ou b = 0, alors a × b = 0.
b. Le produit de deux nombres ne peut pas être nul
si aucun des deux nombres n’est nul.
Si a × b = 0, alors a = 0 ou b = 0.
c. Les seules valeurs possibles de a et b telles que
le produit a × b soit nul sont a = 0 ou b = 0.
2. a. Le premier membre de cette équation est
un produit, et le deuxième membre est zéro.
5
b. x − 3 = 0 lorsque x = 3 ; 4x + 5 = 0 lorsque x = − .
4
c. Les solutions de l’équation (x − 3)(4x + 5) = 0
5
sont donc les nombres 3 et − .
4

3

Objectifs

– Savoir résoudre une inéquation du premier degré
à une inconnue.
– Représenter ses solutions sur une droite graduée.

1. a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER

x
2x − 3

−6
−15

−3
−9

5
7

6
9

(ANNEXE 1)

8
13

9,5
16

b. L’inéquation 2x − 3 ⭐ 7 n’a pas une seule solution.
En effet, d’après ce qui précède, les nombres − 6 ; −3
et 5 sont des solutions de cette inéquation.
c. Les nombres −10 ; −8 ; 0 ; 1 et 2,4 par exemple
sont des solutions de l’inéquation 2x − 3 ⭐ 7.
2. a. Étape 1 : on ajoute 3 à chaque membre de
l’inéquation.
Étape 2 : on réduit chaque membre de l’inéquation.
Étape 3 : on divise chaque membre de l’inéquation
par 2.
Étape 4 : on simplifie chaque membre de l’inéquation.
b. Les solutions de l’inéquation 2x − 3 ⭐ 7 sont les
nombres inférieurs ou égaux à 5.
c. L’inéquation 2x − 3 ⭐ 7 admet donc une infinité
de solutions.
d. D’après la question précédente, 5 est une solution
de l’inéquation 2x − 3 ⭐ 7. En effet : 5 ⭐ 5.
3. On reprend les mêmes étapes que pour
l’inéquation 2x − 3 ⭐ 7, et on obtient : x ⬍ 5.
Les solutions de l’inéquation 2x − 3 ⬍ 7 sont donc
les nombres inférieurs à 5.
4. a. Sur la première figure, le crochet est tourné
vers la partie grise (rouge sur le manuel), ce qui
n’est pas le cas sur la deuxième figure : lorsque
le crochet est tourné vers la partie grise (rouge sur

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

• 2x − 3 ⬍ 7
2x ⬍ 10
x⬍5
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0

4

Objectif

Savoir mettre en inéquation et résoudre un problème
du premier degré à une inconnue.

1. L’aire du rectangle ADMT est égale à 4x .
2. a. M ∈ [DC] donc : MC = DC − DM, soit MC = 7 − x .
b. Les dimensions du rectangle MCRS sont 3 et
7 − x (exprimés en cm).
Donc l’aire du rectangle MCRS est égale à 3(7 − x).
3. a. L’information « L’aire du rectangle ADMT
doit être supérieure à celle du rectangle MCRS »
se traduit par l’inéquation : 4x ⬎ 3(7 − x).
b. 4x ⬎ 3(7 − x)
4x ⬎ 21 − 3x
7x ⬎ 21
x ⬎ 3.
Les solutions de l’inéquation 4x ⬍ 3(7 − x) sont
les nombres supérieurs à 3.
Elles sont représentées en gris sur la droite graduée
ci-dessous.
0

1

2

3

4

5

4. a. DM est une distance, donc x est positif et M
appartient au segment [DC], donc x est inférieur ou
égal à 7. D’où : 0 ⭐ x ⭐ 7.
b. L’aire du rectangle ADMT est donc supérieure
à celle du rectangle MCRS pour les valeurs de x
comprises entre 3 et 7, c’est-à-dire lorsque le point
M appartient au segment [CD], à une distance
supérieure à 3 cm du point D.

Savoir-faire
14 a. Les solutions de l’équation (4 − 7x)2 = 81

5 13
et .
7
7
b. Les solutions de l’équation 49 = (2x + 3)2
sont −5 et 2.
c. Les solutions de l’équation (5x − 8)2 = (1 + 4x)2
7
sont et 9.
9
sont −

Chapitre

4

Équations et inéquations à une inconnue

39

© Éditions Belin, 2012.

2

le manuel), le nombre −1 fait partie des solutions
de l’inéquation ; s’il est tourné vers la partie noire,
le nombre −1 en est exclu.
b. • 2x − 3 ⭐ 7
2x ⭐ 10
x⭐5

15 Les solutions sont représentées en gris sur
les droites graduées ci-dessous.
9
a. On obtient x ⬍ − .
–3 –2 –1 0 1
10
b. On obtient x ⭐ 4.

c. On obtient x ⬍
–0,05

0

0

1
.
19
0,05

1

2

0,1

3

4

20 1. La réponse correcte est c. 7(x + 11) = 63.
2. La solution de l’équation 7(x + 11) = 63 est −2.
Le nombre cherché est −2.

5

0,5

16 Soit x le nombre de fourchettes vendues.
On traduit le problème par l’inéquation :
4,5x + 25 艌 79.
On obtient : x 艌 12.
Marie devra vendre au moins 12 fourchettes pour
que le montant total de ses ventes soit au moins égal
à 79 €.

21 1. Le premier membre (3x + 7)(13 − x) est
un produit et le deuxième membre est zéro, donc
l’équation (3x + 7)(13 − x) = 0 est une équation
produit nul.
2. • Le deuxième membre de l’équation
(− 4x + 1)(11 − 2x) = 3 n’est pas nul, donc l’équation
(− 4x + 1)(11 − 2x) = 3 n’est pas une équation
produit nul.
• Le premier membre de l’équation
4(3 − 2x) − 6(x + 7) = 0 n’est pas un produit,
donc l’équation 4(3 − 2x) − 6(x + 7) = 0 n’est pas
une équation produit nul.
22 Les réponses correctes sont b. et d.

17

b. L’égalité −x 3 + x 2 + 12x = 0 est vraie pour −3, 0
et 4 donc −3, 0 et 4 sont trois solutions de l’équation
−x 3 + x 2 + 12x = 0.
2. On peut conjecturer que :
• −x 3 + x 2 + 12x ⬍ 0 pour −3 ⬍ x ⬍ 0 et x ⬎ 4.
• −x 3 + x 2 + 12x ⬎ 0 pour x ⬍ −3 et 0 ⬍ x ⬍ 4.

Exercices

À l’oral
18 1. • −2 × 3 + 7 = 1 ; on n’obtient pas −1, donc
3 n’est pas une solution de l’équation −2x + 7 = −1.
• −2 × 4 + 7 = −1 ; on obtient −1, donc 3
est une solution de l’équation −2x + 7 = −1.
• −2 × (−3) + 7 = 13 ; on n’obtient pas −1, donc 3
n’est pas une solution de l’équation −2x + 7 = −1.
2. 5 × (−2) − 1 = −11 et 4 × (−2) + 9 = 1 :
les résultats sont différents, donc −2 n’est pas
une solution de l’équation 5x − 1 = 4x + 9.
19 1. La solution de l’équation 3x + 2 = 5 est
le nombre 1.
2. La solution de l’équation 4 − x = 1 est le nombre 3.

40

23 1. • Équation (x − 5)(x + 2) = 0.
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
x − 5 = 0 ou x + 2 = 0.
x = 5 ou
x = −2.
Les solutions de l’équation (x − 5)(x + 2) = 0
sont −2 et 5.
• Équation (4x − 3)(5 + x) = 0.
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
4x − 3 = 0 ou 5 + x = 0.
3
x = ou x = −5.
4
Les solutions de l’équation (4x − 3)(5 + x) = 0
3
sont −5 et .
4

2. • Équation 5(x − 7) = 0.
En divisant les deux membres de l’égalité par 5, on
obtient x − 7 = 0, soit : x = 7.
La solution de l’équation 5(x − 7) = 0 est 7.
• Équation x (8 − x) = 0
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
x = 0 ou 8 − x = 0.
x = 0 ou
x = 8.
Les solutions de l’équation x (8 − x) = 0 sont 0 et 8.
24 1. a. x 2 − 4 = 0 s’écrit (x + 2)(x − 2) = 0,
qui est une équation produit nul.
b. 25 − x 2 = 0 s’écrit (5 + x)(5 − x) = 0, qui est
une équation produit nul.
c. x 2 = 49 s’écrit x 2 − 49 = 0, ou encore
(x + 7)(x − 7) = 0, qui est une équation produit nul.
d. x 2 − 2x + 1 = 0 s’écrit (x − 1)2 = 0, ou encore
(x − 1)(x − 1) = 0, qui est une équation produit nul.
2. a. Les solutions sont −2 et 2.
b. Les solutions sont −5 et 5.
c. Les solutions sont −7 et 7.
d. La solution est 1.

© Éditions Belin, 2012.

1. a.

2. Faux.
5. Vrai.

4. Vrai.

26 Les nombres entiers relatifs x qui vérifient
l’encadrement proposé sont, pour chaque question :
1. −3 ; −2 ; −1 ; 0 et 1.
2. −2 ; −1 ; 0 et 1.
3. − 6 et −5.
4. −1 ; 0 et 1.
5. −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 et 3.
6. 1 et 2.
27 DOCUMENT À PHOTOCOPIER

1. x ⬍ 4,5.
3. −2 ⭐ x ⬍ 1,5.
a. x + 1 ⬍ 7.
c. 2x ⬍ 12.
e.

x
2

⬍ 3.

(ANNEXE 2)

2. x 艌 −1.
4. − 4 ⬍ x ⭐ − 0,5.

28 DOCUMENT À PHOTOCOPIER

(ANNEXE 3)

b. x − 6 ⬍ 0.
d. −3x ⬎ −18.
f.

x
−3

4
4
3+5 8
= = 2 et
= =2;
5−3 2
4
4
on obtient le même résultat, donc 3 est une solution
x+5
4
.
=
de l’équation
5− x
4
d.

3. Vrai.
6. Faux.

⬎ −2.

29 Les réponses qui conviennent sont b. et c.
30 1. Le problème se traduit par : x + 3 ⬎ 43.
Les nombres possibles sont les nombres supérieurs
à 40.
2. Le problème se traduit par : 5x ⬍ 125.
Les nombres possibles sont les nombres inférieurs
à 25.
31 Parmi les nombres proposés, seuls les nombres −2 ;

1
; 2 et 3 sont des solutions de l’inéquation proposée.
2
En effet, les solutions de l’inéquation sont les
nombres x tels que : x 艌 −2.

Je m’entraîne
32 1. Faux. En effet : 5 − 3 × (− 4) = 17.
2. Vrai. En effet : − 4 × (−3) − 9 = 3 et 6 + (−3) = 3.
33 1. 7 − 3 = 4 et 2 × 3 + 16 = 22. On n’obtient
pas le même résultat, donc 3 n’est pas une solution
de l’équation 7 − x = 2x + 16.
2. 7 − (−3) = 10 et 2 × (−3) + 16 = 10. On obtient
le même résultat, donc −3 est une solution de
l’équation 7 − x = 2x + 16.
34 a. 5 × 3 − 2 = 13, donc 3 est une solution de
l’équation 5x − 2 = 13.
b. 3 × (3 − 5) = 3 × (−2) = −6 et
−12 + 2 × 3 = −12 + 6 = − 6 ; on obtient le même
résultat, donc 3 est une solution de l’équation
3(x − 5) = −12 + 2x .
3
c. Chaque membre de l’égalité est égal à (soit 1)
3
lorsque x est égal à 3, donc 3 est une solution de
3 x
l’équation = .
x 3

35 1. Par exemple, les équations x + 1 = 0 ;
5x = −5 et −2x + 9 = 11 ont −1 pour solution.
2. Par exemple, les équations 4x = 10 ; 2x + 3 = 8
et 2,5 + x = 10x − 20 ont 2,5 pour solution.
4
1
3. Par exemple, les équations x = 1 ; x + = 1
3
4
3
et 4x − 5 = −2 ont pour solution.
4
36 On obtient les solutions suivantes :

a. −2

b. − 4,5

c. − 4,5

d.

7
(ou 3,5)
2

37 On obtient les solutions suivantes :

a.

5
(ou 1,25)
4

1
11
21
f.
(ou 4,2)
5

b. 5

d. −1

e.

c.

8
21

38 On obtient les solutions suivantes :

a.

3
(ou 1,5)
2

d. −7

b. −9

c. −

2
3

f. 1

e. −

17
7

39 On obtient les solutions suivantes :

a. −

2
3

b. −

40 a. x +

23
(ou − 0,46)
50

2
x=5
3

b. x +

c. 3.

2
=5
3

c.

d. 1
5
x=5
3

41 1. L’âge actuel du père de Martin est 25 + x .
2. Le problème est traduit par l’équation
(25 + x) + 10 = 2(x + 10), soit la réponse b.
x + 35 = 2(x + 10)
x + 35 = 2x + 20
x = 15.
3. Martin a 15 ans, et son père a 40 ans.
42 On obtient les solutions suivantes :

b. −2

a. 2

c.

10
7

d. 4

43 Le problème se traduit par l’équation
3(5 + x) = 20,4 ; que l’on résout :
3(5 + x) = 20,4
15 + 3x = 20,4
3x = 5,4
x = 1,8.
On a donc : x = 1,8 cm.
44 1. 450(1 + x) = 538,2

450 + 450x = 538,2
450x = 88,2
x = 0,196.

Chapitre

4

Équations et inéquations à une inconnue

41

© Éditions Belin, 2012.

25 1. Vrai.

45 a. Les solutions sont 5 et 11.

4
et 7.
3
2 4
c. Les solutions sont et .
5
9
8
d. Les solutions sont − et 9.
11
b. Les solutions sont

46 a. Les solutions sont 0 et 6.

1
b. Les solutions sont 0 et .
3
1
1
c. Les solutions sont − et .
2
2
d. La solution est 6.
47 a. La solution est

11
.
4

4
b. La solution est .
3
2
3
c. Les solutions sont − et .
3
4
7
12
d. Les solutions sont et − .
2
5
48 1. Par exemple : (x − 4)(x + 3) = 0.

2. Par exemple : (3x + 2)(7x − 5) = 0.

49 a. 5x 2 + 3x = 0 s’écrit x (5x + 3) = 0.

3
et 0.
5
b. 4(x + 2) + (x − 3) (x + 2) = 0 s’écrit (x + 2)(1 + x) = 0.
Les solutions sont −2 et 1.
c. (2x + 3)(5 − 2x) + (5 − 2x)(9 − x) = 0
s’écrit (5 − 2x)(x + 12) = 0.
5
Les solutions sont −12 et .
2
d. (x − 7)2 − (3 − 5x)(x − 7) = 0
s’écrit (x − 7)(6x − 10) = 0.
5
Les solutions sont et 7.
3

Les solutions sont −

50 a. x 2 + 4x + 4 = 0 s’écrit (x + 2)2 = 0, qui

équivaut à l’équation x + 2 = 0. La solution est −2.
b. 49x 2 − 28x + 4 = 0 s’écrit (7x − 2)2 = 0, qui
équivaut à l’équation 7x − 2 = 0.
2
La solution est .
7
c. x 2 − 16 = 0 s’écrit (x + 4)(x − 4) = 0.
Les solutions sont − 4 et 4.
d. 81 − 25x 2 = 0 s’écrit (9 + 5x)(9 − 5x) = 0.
9
9
Les solutions sont − et .
5
5
51 Pour chaque cas, on résout les équations
obtenues après factorisation.

42

a. (x + 2)2 − 9 = 0 s’écrit (x + 5)(x − 1) = 0.
Les solutions sont −5 et 1.
b. 4 − (2x + 5)2 = 0 s’écrit (7 + 2x)(−3 − 2x) = 0.
7
3
Les solutions sont − et − .
2
2
c. (6x + 1)2 − (7 + 4x)2 = 0 s’écrit (10x + 8)(2x − 6) = 0.
4
Les solutions sont − et 3.
5
d. (5 − 3x)2 − (−1 + 8x)2 = 0
s’écrit (5x + 4)(−11x + 6) = 0.
4
6
Les solutions sont − et .
5 11
52 1. (x − 2)2 − 16 = x 2 − 4x + 4 − 16 = x 2 − 4x − 12.

2. L’équation x 2 − 4x −12 = 0
s’écrit (x − 2)2 − 16 = 0, ou encore (x + 2)(x − 6) = 0.
Les solutions sont −2 et 6.
53 1. Faux.

2. Faux.

54 1. x ⬎ −2

4. Faux.

2
3. x ⬍ .
3

2. x ⭐ − 6

55 a.
–1 0

3. Vrai.

b.
1

2

3

–2 –1 0

c.
–2 –1 0

1

2

3

d.
1

e.
–3 –2 –1 0

2

3

1

2
1

2

–1 0

1

2

f.

4
–—
3

␲ 4

–4 –3 –2 –1 0

5

1

56 1. 5 × 2 − 7 = 3 et 3 ⬍ 4, donc l’inégalité
5x − 7 ⬍ 4 est vraie lorsque x est égal à 2.
2. 2 × (− 4) + 10 = 2, et 2 n’est pas plus grand que 2,
donc l’inégalité 2x + 10 ⬎ 2 est fausse lorsque x est
égal à − 4.
3. a. 2 × 6 − 3 = 9 et 9 ⬎ 5, donc l’inégalité
2x − 3 ⭐ 5 est fausse lorsque x est égal à 6.
b. 2 × 3 − 3 = 3 et 3 ⭐ 5, donc l’inégalité
2x − 3 ⭐ 5 est vraie lorsque x est égal à 3.
c. 2 × 4 − 3 = 5 et 5 ⭐ 5, donc l’inégalité
2x − 3 ⭐ 5 est vraie lorsque x est égal à 4.
d. 2 × 0 − 3 = −3 et −3 ⭐ 5, donc l’inégalité
2x − 3 ⭐ 5 est vraie lorsque x est égal à 0.
57 1. −8 × 3 − 1 = −25 et −25 ⭐ 7, donc 3 est une
solution de l’inéquation −8x − 1 ⭐ 7.
2. • −8 × (−3) − 1 = 23 et 23 ⬎ 7,
donc −3 n’est pas une solution de l’inéquation
−8x − 1 ⭐ 7.
• −8 × (−1) − 1 = 7 et 7 ⭐ 7,
donc −1 est une solution de l’inéquation
−8x − 1 ⭐ 7.
• −8 × 0 − 1 = −1 et −1 ⭐ 7,
donc 0 est une solution de l’inéquation
−8x − 1 ⭐ 7.

© Éditions Belin, 2012.

2. a. En notant x le taux cherché, l’équation s’écrit
450(1 + x) = 538,2.
b. D’après la question 1, le taux de TVA cherché est
0,196, soit 19,6%.

59 • 9 × 11 − 6 = 93 et −1 + 2 × 11 = 21.
93 ⬎ 21, donc 11 n’est pas une solution de
l’inéquation 9x − 6 ⭐ −1 + 2x .
• 9 × (− 4) − 6 = − 42 et −1 + 2 × (− 4) = −9.
− 42 ⭐ −9, donc − 4 est une solution de l’inéquation
9x − 6 ⭐ −1 + 2x .
5
3
5 3
• 9 × − 6 = et −1 + 2 × = .
7
7
7 7
3
3
5
⭐ , donc est une solution de l’inéquation
7
7
7
9x − 6 ⭐ −1 + 2x .
• 9 × 1 − 6 = 3 et −1 + 2 × 1 = 1.
3 ⬎ 1, donc 1 n’est pas une solution de l’inéquation
9x − 6 ⭐ −1 + 2x .
• 9 × (−7) − 6 = − 69 et −1 + 2 × (−7) = −15.
− 69 ⭐ −15, donc −7 est une solution de l’inéquation
9x − 6 ⭐ −1 + 2x .

3. Il faut ajouter 1, puis 3x à chaque membre de
l’inégalité 7x − 1 ⬎ 9 − 3x pour obtenir l’inégalité
10x ⬎ 10, puis diviser par 10 chaque membre de
cette nouvelle inégalité pour obtenir x ⬎ 1.
63 1. Si 5x − 6 ⬎ −1, alors 5x − 6 + 6 ⬎ −1 + 6,

On a bien : x ⬎ 1.
2. Si −7x + 1 ⬍ 15, alors −7x + 1 − 1 ⬍ 15 − 1,
−7 x 14

.
soit : −7x ⬍ 14 ; d’où :
−7
−7
On a bien : x ⬎ −2.
64 1. c.

2. a.

61 1. Par exemple, les nombres 3 ; 8 et 27 sont

des solutions de l’inéquation 5x − 11 艌 4.
2. Par exemple, les nombres −5 ; 2 et 10 ne sont pas
des solutions de l’inéquation −x + 3 ⬍ −7.
3. Par exemple, les inéquations 2x + 1 艌 8 ;
4x + 2 ⬍ 99 et −5x − 1 ⬎ −52 ont 5 pour solution.
4. Par exemple, les inéquations x + 5 艌 − 4 ;
−2x − 4 ⬎ −2 et − 6x − 13 ⬍ 0 ont −2 pour
solution.
62 1. Il faut retrancher 2 à chaque membre de
l’inégalité 3x + 2 ⬍ 8 pour obtenir l’inégalité
3x ⬍ 6, puis diviser par 3 chaque membre de
cette nouvelle inégalité pour obtenir x ⬍ 2.
2. Il faut retrancher 3 à chaque membre de
l’inégalité −2x + 3 ⬎ −5 pour obtenir l’inégalité
−2x ⬎ −8, puis diviser par −2 chaque membre de
cette nouvelle inégalité pour obtenir x ⬍ 4.

3. b.

65 Les solutions sont représentées en gris sur
les droites graduées ci-dessous.
a. On obtient x ⬍ 2 :
–3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

b. On obtient x ⬎ 17 :
16

17

18

19

–8

–7

c. On obtient x ⬍ −9 :
–10

–9

–6

d. On obtient x 艌 1.
–1

60 a. 2 + 3 × 3 = 11 et 11 艌 −1, donc 3 est
une solution de l’inéquation 2 + 3x 艌 −1.
b. 11 − 5 × 3 = − 4 et − 4 ⭐ 0, donc 3 n’est pas
une solution de l’inéquation 11 −5x ⬎ 0.
c. −15 × 3 − 3 = − 48 et − 48 ⬍ −8, donc 3 est
une solution de l’inéquation −15x − 3 ⬍ −8.
d. 3 + 5 = 8 et 2 − 4 × 3 = −10.
8 艌 −10, donc 3 n’est pas une solution de
l’inéquation x + 5 ⬍ 2 − 4x .

5x 5
⬎ .
5
5

soit : 5x ⬎ 5 ; d’où :

0

1

2

3

4

66 Les solutions sont représentées en gris sur
les droites graduées ci-dessous.
a. On obtient x ⬍ 4 :
2

3

4

5

6

7

b. On obtient x ⬍ −3 :
–4

–3

–2

–1

0

–1

0

7

8

2

3

4

5

0

1

2

3

1

2

c. On obtient x ⬍ −2 :
–4

–3

–2

1

d. On obtient x ⬎ 5 :
4

5

6

67 a. 2x + 1 ⬎ 7

2x ⬎ 6
1
x⬎3
b. − x + 4 ⬍ 3
− x ⬍ −1
–1
x⬎1
3
1
c. + x ⭐
2
2
x ⭐ −1
–3

–2

Chapitre

4

–1

0

Équations et inéquations à une inconnue

43

© Éditions Belin, 2012.

58 • 7 − 3 × (−7) = 28 et 28 ⬎ 11, donc −7 est
une solution de l’inéquation 7 −3x ⬎ 11.
• 7 − 3 × 0 = 7 et 7 ⭐ 11, donc 0 n’est pas
une solution de l’inéquation 7 −3x ⬎ 11.
• 7 − 3 × (−1) = 10 et 10 ⭐ 11, donc −1 n’est pas
une solution de l’inéquation 7 −3x ⬎ 11.
• 7 − 3 × 8 = −17 et −17 ⭐ 11, donc 8 n’est pas
une solution de l’inéquation 7 −3x ⬎ 11.
4
⎛ 4⎞
• 7 − 3 × ⎜ − ⎟ = 11 et 11 ⭐ 11, donc −
⎝ 3⎠
3
n’est pas une solution de l’inéquation 7 −3x ⬎ 11.

d. 7 − x ⭐ −12
− x ⭐ −19
x 艌 19
17

18

19

20

21

b. −2(x −5) ⬎ 9
−2x + 10 ⬎ 9
−2x ⬎ −1
1
x⬍
2

22

68 a. 9 + 4x 艌 7

–2

4x 艌 −2
1
x艌
2
4
5
b. x − ⬍
3
3
x⬍3
–1

0

1

–1

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

2

–2

–1

6

d. −3x + 2 ⬍ −7
−3x ⬍ −9
x⬎3
–1

0

1

1

2

3

4

5

6

7x ⬍ 7
x⬍1
–3

7

2

2

8

9

3

4

71 1. Chacune de ces inéquations est équivalente à :

x ⬍ 2.

72 On résout l’inéquation
–2

1

2. Chacune de ces inéquations est équivalente à :
x ⭓ 3.

69 a. x ⬍ 7 − 6x

–4

0

d. 7(−2x + 5) 艌 −3(4 − 2x)
−14x + 35 艌 −12 + 6x
−20x 艌 − 47
47
x⭐
20

c. 5 − 2x ⭐ 9
−2x ⭐ 4
x 艌 −2
–3

–1

c. − 4x ⬍ −3(2x − 5)
− 4x ⬍ − 6x + 15
2x ⬍ 15
15
x⬍
2

–1

0

1

2

3

b. 5x + 2 ⬍ x −15
4x ⬍ −17
17
x⬍−
4

6x
⬍ 15, soit : 3x ⬍ 15,
2

ou encore : x ⬍ 5.
Les valeurs de x cherchées sont les nombres positifs
inférieurs à 5.
73

1. a.
–5

–4

c. 2 − 4x ⬎ 1 − 6x
2x ⬎ −1
1
x⬎−
2
–2

–1

0

1

2

2
5
⭐ − − 2x
7
7
−x ⭐ −1
x艌1

d. −3x +

–1

0

1

2

3

4

3x + 3 ⬍ − 4
3x ⬍ −7
7
x⬍−
3
–3

44

–2

–1

b. L’égalité x 3 + x 2 − 6x = 0 est vraie pour −3, 0 et
2, donc −3, 0 et 2 sont trois solutions de l’équation
x 3 + x 2 − 6x = 0.
2. On peut conjecturer que :
• −x 3 + x 2 − 6x ⬍ 0 pour x ⬍ −3 et 0 ⬍ x ⬍ 2.
• −x 3 + x 2 − 6x ⬎ 0 pour −3 ⬍ x ⬍ 0 et x ⬎ 2.

© Éditions Belin, 2012.

70 a. 3(x + 1) ⬍ − 4

Thème de convergence

20
, donc : A ≈ 0,38 g/L.
75 × 0,7
30
2. a. On obtient : x =
, soit : x ≈ 71,4.
0,6 × 0,7
b. D’après la question précédente, cet homme pèse
environ 71,4 kg.
74 1. A =

81 n2 − 24n + 144 = (n − 12)2 qui s’annule lorsque

Je m’entraîne au brevet
2. B.

n est égal à 12.
Donc Anatole a tort.

3. A.

82 1. On obtient A = −x 2 + x + 6.

76 1. (5 − 7)2 = (−2)2 = 4.

2. (−2 + 5)2 = 32 = 9.
3. a. On note x le nombre qu’il faut choisir.
(x + 5)2 = 0 revient à x + 5 = 0, soit : x = −5. Il faut
donc choisir le nombre −5 pour que le résultat du
programme A soit 0.
b. On note x le nombre qu’il faut choisir.
(x − 7)2 = 9 revient à (x − 7)2 − 9 = 0,
soit : [(x − 7) + 3][(x − 7) − 3] = 0,
ou encore : (x − 4)(x − 10) = 0.
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
x − 4 = 0 ou x − 10 = 0.
x = 4 ou
x = 10.
Il faut donc choisir le nombre 4 ou le nombre 10
pour que le résultat du programme B soit 9.
4. On note x le nombre qu’il faut choisir.
(x + 5)2 = (x − 7)2 revient à (x + 5)2 − (x − 7)2 = 0,
soit : [(x + 5) + (x − 7)][(x + 5) − (x − 7)] = 0,
ou encore : (2x − 2) × 12 = 0.
Ce qui revient à 2x − 2 = 0, soit : x = 1.
Il faut donc choisir le nombre 1 pour obtenir
le même résultat avec les deux programmes.
77 On note x le nombre de cartouches d’encre
commandées.
On traduit par une équation que les deux tarifs sont
identiques : 17,30x = 14,80x + 15.
On obtient : x = 6.
Les deux tarifs sont identiques pour l’achat de
6 cartouches.
78 1. B.

2. C.

3. A.

79 On note x le nombre cherché.

On traduit le problème par l’équation : x − 3 =
On résout cette équation.
2x
9
On obtient :
= 3, soit x = .
3
2
9
Le nombre cherché est , ou 4,5.
2

x
3

80 1. D =
+ 5x − 6.
2. D = (2x + 3)2 + (x − 5)(2x + 3)
= (2x + 3)[(2x + 3) + (x − 5)] = (2x + 3)(3x − 2).

6x 2

.

2. A = (x − 3)2 + (x − 3)(1 −2x)
= (x − 3)[(x − 3) + (1 −2x)] = (x − 3)(−x − 2).
3. Résoudre A = 0 revient à résoudre
(x − 3)(−x − 2) = 0.
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
x − 3 = 0 ou −x − 2 = 0.
x = 3 ou x = −2.
Les solutions de l’équation A = 0 sont −2 et 3.
83 On note x le nombre cherché.

4−x 5
= .
5− x 4
4−x 5
= , qui, pour x ≠ 5,
On résout l’équation
5− x 4
équivaut à 4(4 − x) = 5(5 − x), ou
16 − 4x = 25 − 5x .
On obtient x = 9.
Le nombre cherché est 9.
On traduit le problème par l’équation :

J’approfondis
96 1. Faux. En effet, cette équation admet pour
solutions les nombres − 4 et 4.
2. Vrai. En effet, si x ⭐ −17, alors 2x + 1 ⭐ −34 + 1,
donc 2x + 1 ⭐ −33.
3. Faux. En effet, la solution de cette équation est 4.
4. Vrai. En effet, si −3x + 2 ⭐ −13, alors −3x ⭐ −15,
donc x 艌 5.
97 En notant L la longueur du terrain, et ᐉ sa largeur,

⎧L + ᐉ = 450
.
on obtient le système : ⎨
⎩ ᐉ = L − 40
La résolution du système donne les dimensions du
terrain : L = 245 m, et ᐉ = 205 m.
7
3
5
+ x = − , soit : x = − .
6
4
12
2. x − 7 = −3, soit : x = 4.
2
15
3. x = 5, soit : x = .
3
2
98 1.

1
7
7
x = , soit : x = .
4
16
12
2. 3(x + 5) = 12, soit x = −1.
3. 3 + x = 2x, soit x = 3.
99 1. x −

Chapitre

4

Équations et inéquations à une inconnue

45

© Éditions Belin, 2012.

75 1. B.

3. Résoudre D = 0 revient à résoudre
(2x + 3)(3x − 2) = 0
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
2x + 3 = 0 ou 3x − 2 = 0.
3
2
x = − ou x = .
2
3
3
2
Les solutions de l’équation D = 0 sont − et .
2
3

104 On note x le nombre de petits-enfants.
On traduit le problème par l’équation :
2x + 3 = 3x −2.
On résout l’équation 2x + 3 = 3x −2.
La solution de cette équation est 5.
Grand-père a 5 petits enfants.
105 1. 2 400x ⭐ 90 000.

x⭐

101 On note x le nombre d’années cherché.

On traduit le problème posé par l’équation
14 + x = 3(2 + x). On résout l’équation 14 + x = 3(2 + x).
On obtient : x = 4.
L’âge de Marie sera le triple de celui de Pierre dans
4 ans (vérification : 2 + 4 = 6, 14 + 4 = 18 et 18 = 3 × 6).
102 a. 3x 2 − 2x + 9 = −3(1− 5x − x 2)

3x 2 − 2x + 9 = −3 + 15x + 3x 2
−17x = −12
12
x= .
17
12
La solution de cette équation est .
17
b. (1 + 4x)2 = (8x + 1)(2x − 3)
1 + 8x + 16x 2 = 16x 2 − 24x + 2x − 3
30x = − 4
2
x=− .
15
2
La solution de cette équation est − .
15
c.
(2x − 5)2 = 3 − 4x (−x + 1)
4x 2 −20x + 25 = 3 + 4x 2 − 4x
−16x = −22
11
x= .
8
11
La solution de cette équation est .
8
103 a.

3x + 4 1− 4 x
+
4
2
3x + 4 2 − 8x
+
4
4
3x + 4 + 2 − 8x
−10x

=
=
=
=

x=

5x
.
4
5x
.
4
5x
−6
3
.
5

3
La solution de cette équation est .
5
3 − 7 x 2x − 1 5x + 2
b.
.

=
9
3
18
6 − 14 x 12 x − 6 5 x + 2
.

=
18
18
18
6 − 14x − 12x + 6 = 5x + 2
−31x = −10
10
x=
31
10
La solution de cette équation est
.
31

46

90 000
2 400

x ⭐ 37,5

Les solutions de l’inéquation 2 400x ⭐ 90 000 sont
les nombres inférieurs ou égaux à 37,5.
2. On note x la hauteur d’eau (en cm) dans l’aquarium.
Volume d’eau (en cm3) dans l’aquarium :
60 × 40 × x = 2 400x .
De plus, 90 L = 90 000 cm3.
On traduit alors le problème par l’inéquation
2 400x ⭐ 90 000.
D’après la question précédente, on obtient :
x ⭐ 37,5.
La hauteur d’eau qu’il ne faut pas dépasser est donc
37,5 cm.
106 a. 1 + 8(2 + x ) ⬎ 5

1 + 16 + 8x ⬎ 5
8x ⬎ −12
12
3
x ⬎ − , soit : x ⬎ − .
8
2

3
Les solutions sont les nombres supérieurs à − .
2
3
–—
2

–3

–2

–1

0

1

b. 2 − 2(x + 4) ⭐ 9x
2 −2x − 8 ⭐ 9x
−11x ⭐ 6
6
x艌− .
11
Les solutions sont les nombres supérieurs ou égaux
6
à− .
11
6
–—
11

–2

3
c. 2 ⎛⎜ +
⎝2
3+

–1

0

1

2

x ⎞⎟ ⬍ 5 − 4x


2 x ⬍ 5 − 4x
6x ⬍ 2
2
1
x ⬍ , soit : x ⬍ .
6
3
1
Les solutions sont les nombres inférieurs à .
3
1

3

–1

0

1

2

© Éditions Belin, 2012.

100 Les droites (AB) et (CD) sont sécantes en O
et les droites (AC) et (BD) sont parallèles, donc
OA OC
d’après le théorème de Thalès, on a :
=
.
OB OD
A ∈ [OB], donc : OB = OA + AB = 3 + 2 = 5 ;
C ∈ [OD], donc : OD = OC + CD = x + 2,5.
3
x
, soit :
On obtient l’équation : =
5 x + 2,5
3(x + 2,5) = 5x, d’où : x = 3,75.

15

2

6

7

8

9

107 On note n la note cherchée.
On traduit le problème par l’inéquation
8,5 + 13 + 9,5 + n
艌 12.
4
8,5 + 13 + 9,5 + n
艌 12.
On résout l’inéquation
4
On obtient : n 艌 17.
Fabien devra obtenir au moins 17 au prochain contrôle.
108 On note x le plus petit de ces nombres.
On traduit le problème :
65 ⭐ x + (x + 1) + (x + 2) ⭐ 68.
• On résout d’abord l’inéquation
65 ⭐ x + (x + 1) + (x + 2).
62
On obtient : x 艌 .
3
• On résout ensuite l’inéquation
x + (x + 1) + (x + 2) ⭐ 68.
65
On obtient : x ⭐ .
3
62
65
Ce qui donne :
⭐x⭐ .
3
3
x étant un nombre entier, on déduit : x = 21.
Les trois entiers cherchés sont 21 ; 22 et 23.
109 a. (x − 5)(x + 2)(5 − 2x) = 0
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
x − 5 = 0 ou x + 2 = 0 ou 5 − 2x = 0.
5
x=5
ou x = −2
ou x = .
2
Les solutions de l’équation (x − 5)(x + 2)(5 −2x) = 0
5
sont 5 ; −2 et .
2
b. De même, les solutions de l’équation
4
x (6 − x)(4 + 11x) = 0 sont 0 ; 6 et − .
11
c. (100 − 9x 2)(x 2 + 2x + 1) = 0
s’écrit (10 + 3x)(10 − 3x)(x + 1)2 = 0.
Les solutions de l’équation (100 − 9x2)(x2 + 2x + 1) = 0
10 10
;
et −1.
sont donc −
3 3
d. (2x + 3)(4x 2 − 16) = 0
s’écrit (2x + 3)(2x + 4) (2x − 4) = 0.
Les solutions de l’équation (2x + 3)(4x 2 − 16) = 0
3
sont donc − ; −2 et 2.
2

110
a. (x − 2)(3x + 5) = (3x + 5)(2x + 3)
(x − 2)(3x + 5) − (3x + 5)(2x + 3) = 0
(3x + 5)[(x − 2) − (2x + 3)] = 0
(3x + 5)(−x − 5) = 0
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
3x + 5 = 0 ou −x − 5 = 0.
5
x=−
ou x = −5.
3
Les solutions de l’équation
5
(x − 2)(3x + 5) = (3x + 5)(2x + 3) sont − et −5.
3
b. (x + 1)2 = (4x − 7)(x + 1)
(x + 1)2 − (4x − 7)(x + 1) = 0
(x + 1)[ (x + 1) − (4x − 7)] = 0
(x + 1)(−3x + 8) = 0
Les solutions de l’équation (x + 1)2 = (4x − 7)(x + 1)
8
sont donc : −1 et .
3
c. (2x + 3)(5 − 3x) = 4x 2 − 9
(2x + 3)(5 − 3x) − (4x 2 − 9) = 0
(2x + 3)(5 − 3x) − (2x + 3)(2x − 3) = 0
(2x + 3)[(5 − 3x) − (2x − 3)] = 0
(2x + 3)(8 − 5x) = 0
Les solutions de l’équation
3 8
(2x + 3)(5 − 3x) = 4x 2 − 9 sont donc − et .
2 5
111 1. a. (x + 1)(x − 3) = 0.
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
x + 1 = 0 ou x − 3 = 0.
x = −1 ou x = 3.
Les solutions de l’équation (x + 1)(x −3) = 0 sont −1
et 3.
b. (x + 1)(x −3) = x 2 − 2x − 3.
c. x 2 − 2x − 3 = 0 s’écrit (x + 1)(x − 3) = 0.
D’après la question 1.a, les solutions de l’équation
x 2 − 2x − 3 = 0 sont donc −1 et 3.
2. a. Dire que le triangle ABC est rectangle en A
revient à dire que l’égalité de Pythagore est vérifiée :
BC2 = AB2 + AC2.
On obtient ainsi : (x + 2)2 = x 2 + (x + 1)2.
b. (x + 2)2 = x 2 + (x + 1)2.
x 2 + 4x + 4 = x 2 + (x 2 + 2x + 1).
−x 2 + 2x + 3 = 0.
Ce qui peut aussi s’écrire : x 2 − 2x − 3 = 0.
D’après la question 1.c, les solutions de l’équation
x 2 − 2x − 3 = 0 sont −1 et 3.
Donc la solution positive de l’équation
(x + 2)2 = x 2 + (x + 1)2 est 3.
c. Lorsque x = 3, x + 1 = 4 et x + 2 = 5.
Le seul triangle rectangle dont les longueurs
des côtés sont trois nombres entiers consécutifs est
le triangle dont les côtés ont pour longueurs 3, 4 et 5.
112 1. On résout l’inéquation 2x + 7 ⭓ −3.
On obtient : x ⭓ −5.
2. On résout l’inéquation 5(4 − 2x) ⭐ 6.
7
On obtient : x ⭓ , soit : x ⭓ 1,4.
5
Chapitre

4

Équations et inéquations à une inconnue

47

© Éditions Belin, 2012.

3
1
(2 x − 4) 艌 x − 7
4
2
3
1
5− x+3 艌 x − 7
2
2
−2x 艌 −15
15
x⭐ .
2
15
Les solutions sont les nombres inférieurs ou égaux à .
2
d. 5 −

115 On note x l’âge actuel de cette personne.
Le problème se traduit par l’équation
3(x + 3) − 3(x − 3) = x .
On obtient : x = 18.
L’âge actuel de cette personne est 18 ans.

(x + 3)2 = 36
(x + 3)2 −36 = 0
[(x + 3) + 6][(x + 3) − 6] = 0
(x + 9)(x − 3) = 0
116 a.

48

Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
x + 9 = 0 ou x − 3 = 0.
x = −9 ou x = 3.
Les solutions de l’équation (x + 3)2 = 36 sont −9 et 3.
(3x − 5)2 = (6 − x)2
(3x −
− (6 − x)2 = 0
[(3x − 5) + (6 − x)] [(3x − 5) − (6 − x)] = 0
(2x + 1)(4x − 11) = 0
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
2x + 1 = 0 ou 4x − 11 = 0.
1
11
x=−
ou x = .
2
4
Les solutions de l’équation (3x − 5)2 = (6 − x)2 sont
1 11
− et .
2
4
c.
9x 2 + 4 = 12x
2
9x − 12x + 4 = 0
(3x − 2)2 = 0
3x − 2 = 0
2
x=
3
2
La solution de l’équation 9x 2 + 4 = 12x est .
3
d.
25x 2 = 10x − 1
2
25x − 10x + 1 = 0
(5x − 1)2 = 0
5x − 1 = 0
1
x=
5
1
La solution de l’équation 25x 2 = 10x − 1 est .
5
b.

5)2

117 a. 4x 2 + 12x + 9 − (2x + 3)(4 − x) = 0

(2x + 3)2 − (2x + 3)(4 − x) = 0
(2x + 3)[(2x + 3) − (4 − x)] = 0
(2x + 3)(3x − 1) = 0
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
2x + 3 = 0 ou 3x − 1 = 0.
3
1
x=−
ou x = .
2
3
Les solutions de l’équation
3
1
4x 2 + 12x + 9 − (2x + 3)(4 − x) = 0 sont − et .
2
3
b.
25x 2 − 49 + (5x − 7)(6 + x) = 0
(5x + 7)(5x − 7) + (5x − 7)(6 + x) = 0
(5x − 7)[(5x + 7) + (6 + x)] = 0
(5x − 7)(6x + 13) = 0
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
5x − 7 = 0 ou 6x + 13 = 0.
7
13
x=
ou x = − .
5
6
Les solutions de l’équation
7
13
25x 2 − 49 + (5x − 7)(6 + x) = 0 sont et − .
5
6
c.
16x 2 − 24 = 1
16x 2 − 25 = 0
(4x + 5)(4x − 5) = 0

© Éditions Belin, 2012.

113 1. a. On note x l’inconnue ; on obtient :
4 − 2x ⭓ 7.
b. On note x l’inconnue ; on obtient : −2(x + 4) ⭐ −3.
2. a. Les solutions sont les nombres x qui vérifient :
3
x⭐− .
2
b. Les solutions sont les nombres x qui vérifient :
5
x⭓− .
2
1+ x
2− x
114 a.

2
4
2 + 2x
2− x

4
4
2 + 2x ⬎ 2 − x
3x ⬎ 0
x⬎0
Les solutions sont les nombres supérieurs à 0.
x−5
x −1
b.
+1⭐
6
3
x − 5 6 2x − 2
+ ⭐
6
6
6
x − 5 + 6 ⭐ 2x − 2
− x ⭐ −3
x 艌 3.
Les solutions sont les nombres supérieurs ou égaux
à 3.
2x + 1
3
c. 4 −
⬍x−
5
10
40 4 x + 2 10 x
3



10
10
10 10
40 − 4x − 2 ⬍ 10x − 3
−14x ⬍ − 41
41
x⬎ .
14
41
Les solutions sont les nombres supérieurs à .
14
−3 − 5 x
−2 x − 7
d.
−2艌4−
14
21
−9 − 15 x 84 168 −4 x − 14



42
42
42
42
−9 − 15x − 84 ⭐ 168 + 4x + 14
−19x 艌 275
275
x⭐−
19
Les solutions sont les nombres inférieurs ou égaux
275
.
à−
19

118 x est un nombre non nul pour les trois équations.

5 x 12
.
=
3
5x
25x 2 = 36
2
25x − 36 = 0
(5x + 6)(5x − 6) = 0
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
5x + 6 = 0 ou 5x − 6 = 0.
6
6
x=−
ou x = .
5
5
6
6
5 x 12
sont − et .
Les solutions de l’équation
=
5
5
3
5x
x + 3 −3
b.
.
=
3
4x
4x (x + 3) = −9
4x 2 + 12x + 9 = 0
(2x + 3)2 = 0
2x + 3 = 0
3
x=−
2
3
x + 3 −3
La solution de l’équation
est − .
=
2
3
4x
27 x
c.
− =x
x 3
27 4 x
=
x
3
4x 2 = 81
4x 2 − 81 = 0
(2x + 9)(2x − 9) = 0
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
a.

2x + 9 = 0 ou 2x − 9 = 0.
9
9
x=−
ou x = .
2
2
Les solutions de l’équation

27

x



x
3

= x sont −

9
9
et .
2
2

119 1. Ꮽblanche = 62 − 6(6 − 2x) − 2x 2 = 12x − 2x 2
= − 2x 2 + 12x .
2. a. (x − 3)2 = 0 s’écrit x − 3 = 0, donc la seule
solution de l’équation (x − 3)2 = 0 est 3.
b. x 2 − 6x + 9 = 0 s’écrit (x − 3)2 = 0, donc, d’après
la question précédente, la solution de l’équation
x 2 − 6x + 9 = 0 est 3.
−2x 2 + 12x − 18 = 0 s’écrit −2(x 2 − 6x + 9) = 0, ou
encore x 2 − 6x + 9 = 0.
Donc la solution de l’équation −2x 2 + 12x − 18 = 0
est 3.
3. Ꮽblanche = 18 cm2, d’où : −2x 2 + 12x = 18, soit :
−2x 2 + 12x − 18 = 0.
La valeur de x pour laquelle l’aire de la partie
blanche est égale à 18 cm2 est donc 3 cm.
120 1. y = 109 − x .

⎧ x + y = 109
.
2. On résout le système ⎨
⎩ ( x + 7)( y − 7) = xy + 28
⎧ y = 109 − x
Ce système s’écrit ⎨
,
⎩ −7 x + 7 y = 77
⎧ y = 109 − x
ou encore ⎨
.
⎩ − x + y = 11
On choisit la méthode par substitution :
on remplace y par 109 − x dans la deuxième
équation.
On obtient : −x + (109 − x) = 11, soit : −2x = −98,
d’où : x = 49.
Puis : y = 109 − 49 = 60.
On vérifie que le couple (49 ; 60) est solution du
système :
49 + 60 = 109 et − 49 + 60 = 11.
Les nombres cherchés sont : x = 49 et y = 60.
Argumenter et débattre
121 1. −2 − 3(−x − 2) − 10x = 1 − 7(6 + x)

−2 + 3x + 6 − 10x = 1 − 42 − 7x
0x = − 45
Ce qui est impossible. En effet, quel que soit le
nombre x, on a : 0x = 0.
Donc l’équation −2 − 3(−x − 2) − 10x = 1 − 7(6 + x)
n’admet pas de solution.
2. −7(x − 5) + 9x = −2(1 − x) + 37
−7x + 35 + 9x = −2 + 2x + 37
0x = 0
Ce qui est toujours vrai quel que soit le nombre x .
Donc l’équation −7(x − 5) + 9x = −2(1 − x) + 37
admet une infinité de solutions.
122 1. 2(x − 7) − 8x ⬍ 1 − 3(6 + 2x)

2x − 14 − 8x ⬍ 1 − 18 − 6x
0x ⬍ −3

Chapitre

4

Équations et inéquations à une inconnue

49

© Éditions Belin, 2012.

Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
4x + 5 = 0 ou 4x − 5 = 0.
5
5
x = − ou
x= .
4
4
5 5
Les solutions de l’équation 16x 2 − 24 = 1 sont − et .
4 4
d. 7x 2 − 6(2x + 3) = 7 − 12x − 2x 2
7x 2 − 12x − 18 = 7 − 12x − 2x 2
9x 2 − 25 = 0
(3x + 5)(3x − 5) = 0
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
3x + 5 = 0 ou 3x − 5 = 0.
5
5
x=−
ou x = .
3
3
Les solutions de l’équation
5
5
7x 2 − 6(2x + 3) = 7 − 12x − 2x 2 sont − et .
3
3
e. (x + 2)(7 − 2x) = −3x 2 + x + 13
7x − 2x 2 + 14 − 4x = −3x 2 + x + 13
x 2 + 2x + 1 = 0
(x + 1)2 = 0
x+1=0
x = −1
La solution de l’équation
(x + 2)(7 − 2x) = −3x 2 + x + 13 est −1.

Cette inégalité est toujours fausse, donc l’inéquation
2(x − 7) − 8x ⬍ 1 − 3(6 + 2x) n’admet pas de
solution.
2. −8x + 13 ⬎ 2(6 − 4x)
−8x + 13 ⬎ 12 − 8x
0x ⬎ −1
Cette inégalité est toujours vraie, donc l’inéquation
−8x + 13 ⬎ 2(6 − 4x) admet une infinité de
solutions.
123 1. Faux. En effet, la solution de cette équation
est 0.
2. Vrai. En effet, cette inéquation équivaut à
0x ⬍ −10.
3. Vrai. En effet, cette équation équivaut à 10x = 0,
soit x = 0.
4. Vrai. En effet, cette inéquation équivaut à
(2x − 1)2 ⬍ 0.
Ce qui es toujours faux, car un carré n’est jamais
strictement négatif.
124 (x + y)2 = (x − y)2 équivaut à 4xy = 0, soit
xy = 0.
L’égalité est vérifiée lorsque x = 0 ou y = 0, et

seulement dans ce cas.
Atelier découverte
A
20

D

x
14
C

1 775

2. D ∈ [AB], E ∈ [AC] et (DE) // (BC).
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a :

x
20
Par conséquent :
= 2 .
34 + x 1 775

x

(34 + x) = 20 × 1 775,
2
soit : 34x + x 2 = 71 000
ou encore : x 2 + 34x − 71 000 = 0.
4. a.
(x − 250)(x + 284) = 0.
x 2 + 284x − 250x −71 000 = 0
x 2 + 34x − 71 000 = 0
3. On déduit :

50

127 1. a. • 2x 2 − 1 = (x − 4)(2x + 3)

2x 2 − 1 = 2x 2 + 3x − 8x − 12
5x + 11 = 0.
• 9x 2 − 12x + 4 = 0
(3x − 2)2 = 0
3x − 2 = 0.
11
,
5
donc l’équation 2x 2 − 1 = (x − 4)(2x + 3) a pour
11
solution − .
5
2
• L’équation 3x − 2 = 0 a pour solution , donc
3
2
l’équation 9x 2 − 12x + 4 = 0 a pour solution .
3
2
2. a.
x + 6x = 7
x 2 + 6x = 16 − 9
2
x + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
(x + 3)2 − 16 = 0
[(x + 3) + 4][(x + 3) − 4] = 0
(x + 7)(x − 1) = 0
b. Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
x + 7 = 0 ou x − 1 = 0.
x = −7 ou x = 1.
Les solutions de l’équation x 2 + 6x = 7 sont donc :
−7 et 1.
b. • L’équation 5x + 11 = 0 a pour solution −

E

B

126 1. On note x la longueur du côté de la ville carrée.
On traduit le problème par l’équation
x 2 − 200x = −10 000.
2. L’équation x 2 − 200x = −10 000 s’écrit
x 2 − 200x + 10 000 = 0, ou encore (x − 100)2 = 0.
On obtient ainsi : x − 100 = 0, soit : x = 100.
3. Le côté de cette ville carrée mesure 100.

AE DE
.
=
AC BC

© Éditions Belin, 2012.

125 1.

b. Résoudre l’équation x 2 + 34x − 71 000 = 0
revient donc à résoudre l’équation
(x − 250)(x + 284) = 0.
Un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est
nul, et seulement dans ce cas.
x − 250 = 0 ou x + 284 = 0.
x = 250
ou x = −284.
Les solutions de l’équation (x − 250)(x + 284) = 0
sont −284 et 250.
5. D’après la question précédente, les solutions de
l’équation x 2 + 34x − 71 000 = 0 sont −284 et 250.
Une longueur étant un nombre positif, on ne retient
que la solution positive: x = 250.
Le côté de la ville carrée mesure donc 250 pas.

Annexe 1

Activité 3

a.

1

−6

x

−3

5

6

8

9,5

2x − 3

27 1.

2.

3.

4.

x - - - 4,5

x - - - -1
-2 - - - x - - - 1,5

28 1.

–1

0

1

2

3

4

5

–2

–1

0

1

2

3

4

–3

–2

–1

0

1

2

–4

–3

–2

–1

0

1

-4 - - - x - - - -0,5

Annexe 3

4.

À l’oral

À l’oral

x +1---7

-3x - - - -18

2.
5.

x -6---0
x
2

3.

---3

6.

Chapitre

4

2x - - - 12

x
-3

- - - -2

Équations et inéquations à une inconnue

51

© Éditions Belin, 2012.

Annexe 2

Racines carrées
EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008
Connaissances

Capacités

Commentaires

− Savoir que, si a désigne un nombre positif,
a est le nombre positif dont le carré est a
2
et utiliser les égalités : ( a) = a, a2 = a.
− Déterminer, sur des exemples numériques,
les nombres x tels que x 2 = a, où a est un
nombre positif.
− Sur des exemples numériques, où a et b
sont deux nombres positifs, utiliser les égalités :
a
a
ab = a ⋅ b ,
(b non nul).
=
b
b

Dans le cadre du socle commun, la seule capacité
exigible, relative à la racine carrée, concerne le
calcul à la calculatrice de la valeur exacte ou
approchée de la racine carrée d’un nombre positif.

2. Nombres et calculs
2.2. Calculs élémentaires
sur les radicaux
Racine carrée d’un nombre
positif.
Produit et quotient de deux
radicaux.

Ces résultats permettent de transformer l’écriture
d’un nombre et de choisir la forme la mieux
adaptée à la résolution d’un problème posé.

Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des
compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d’activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne font
pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous les
élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d’enseignement du programme.

• Pendule du Panthéon : L = 67 m, d’où :
67
T = 2π
s, soit environ 16,4 s.
9, 8
• Pendule du Musée des arts et métiers :
18
L = 18 m, d’où : T = 2π
s, soit environ.
9, 8
1
• Si L = 1 m, alors : T1 = 2π
s, soit environ 2 s.
9, 8
4
s, soit environ 4 s.
• Si L = 4 m, alors : T4 = 2π
9, 8
9
s, soit environ 6 s.
• Si L = 9 m, alors : T9 = 2π
9, 8
On remarque que : T4 ≈ 2 T1 et T9 ≈ 3 T1.

Je prends un bon départ
QCM
1 A

2 B

3 C

4 B

5 B

6 B

7 C

8 B

9 A
10 1. Théorème de Pythagore :
si un triangle est rectangle, alors le carré de la
longueur de l’hypoténuse est égal à la somme
des carrés des longueurs des deux autres côtés
(et réciproquement, si le carré de la longueur du plus
grand côté d’un triangle est égal à la somme des
carrés des longueurs des deux autres côtés, alors
ce triangle est rectangle).
2. a. Le triangle ABC est rectangle en A, donc,
d’après le théorème de Pythagore : BC2 = BA 2 + AC2
= 32 + 42 = 9 + 16 = 25, soit : BC = 5 cm.

52

b. Le triangle EDG est rectangle et isocèle en D.
D’après le théorème de Pythagore :
EG2 = ED2 + DG2 = 32 + 32 = 2 × 9 = 18.
Donc : BC = 18 cm, soit : BC ≈ 4,2 cm.
c. Le triangle HIJ est rectangle en J, donc, d’après le
théorème de Pythagore :
HI2 = HJ2 + JI2. D’où : JH2 = 42 − 22 = 12.
Donc : JH = 12 cm, soit : JH ≈ 3,5 cm.
225 152 ⎛ 15⎞ 2
=
= ⎜ ⎟ = 1,52
100 102 ⎝10⎠
b. 22 500 = 225 × 100 = 152 × 102 = (15 × 10)2 = 1502.
225 152
c. 22,5 =
=
.
10
10
Le nombre 22,5 ne peut donc pas s’écrire sous la
forme du carré d’un nombre décimal.
d. 2 250 = 225 × 10 = 152 × 10.
Le nombre 2 250 ne peut donc pas s’écrire sous la
forme du carré d’un nombre décimal.
225 ⎛ 15⎞ 2
1
e. 0, 225 =
=⎜ ⎟ ×
= 1,52 × 0,1.


1000
10
10
Le nombre 0,225 ne peut donc pas s’écrire sous la
forme du carré d’un nombre décimal.
225
152
f. 0,0 225 =
=
= 0,152.
10 000 1002
11 a. 2,25 =

12 a. 2 × 32 b. 7 × 22

e. 5 ×

42

f. 3 ×

62

c. 3 × 42 d. 2 × 62
g. 10 × 62 h. 10 × 102

Activités

1

Objectifs

− Revoir la propriété : deux nombres opposés ont le
même carré.
− Découvrir la définition de la racine carrée d’un nombre
positif.
− Mettre en évidence qu’en général une calculatrice
ne donne qu’une valeur approchée d’une racine carrée.

© Éditions Belin, 2012.

Ouverture


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