canon homog correc .pdf


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Correction du D.S.T.
Exercice 1 ( 13 points )
1
23 2 625
2 x−

.
3
4
48
1°) Il semble que f admette un minimum ≈ −13 qui est atteint pour x ≈ 2,875 .
2
2
1
23
625 1
23
23
625
2

= ( 2 x ) −2×( 2 x ) ×
+

2°) f ( x ) = 2 x−
=
3
4
48 3
4
4
48
1
529
625
4 2 23
529
625 4 2 23
529 625
4 x 2 −23 x+

x+

x+

= x−
= x−
=
3
16
48
3
3
3×16
48
3
3
48
48
4 2 23
96 4
23
x−
x− = x 2−
x −2
3
3
48 3
3

(

f est la fonction définie sur ℝ par : f ( x ) =

(

(

)

(

)

( ) ( ))

)

2
1
2
2
1
1
4
1
x−4 2 x+ = x×2 x+ x× −4×2 x −4× = x 2+ x−8 x−2 =
3
2
3
3
2
2 3
3
4 2 1
24
4 2 23
x + x−
x−2 =
x−
x−2 = f ( x )
3
3
3
3
3

3°)

(

)(

)

4 2 23
529
625
4
23 2 625
4 2
23
23 2
625
x−

x −2×x×
+

x−
x+

=
=
=
3
8
48
3
8
8
48
3
4
64
48
4 2 4 23
4 529 625
4 2 23
529
625
4 2 23
529 625
x− ×
x+ ×

x+

x−
x+

= x−
=
3
3
4
3
64
48
3
3
3×16
48
3
3
48
48
4 2 23
96 4 2 23
= x −
x−
= x−
x−2= f ( x )
3
3
48 3
3

4°)

(

(

)

( ))

(

)

5°) Dresser le tableau de variations de f en justifiant rapidement.
4
23 2 625
x−

Puisque f ( x ) =
, alors d'après le cours sur la forme canonique, on a :
3
8
48
4
23
625
a= >0 et le minimum a pour coordonnées
;−
. D'où le tableau :
3
8
48

(

)

(

x

−∞

)

+∞

23/8

f

-625/48
6°) Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

( 23 x−4)(2 x+ 12 )=0 ⇔ 23 x−4=0 ou 2 x+ 12 =0
2
3
1
1
1
x=4÷ =4×( )=6 ou x=− ÷2=− donc S={− ;6 }
3
2
2
4
4

a) f ( x ) =0 ⇔

4 2 23
4 2 23
x−
x−2=−2 ⇔
x−
x=0 ⇔
3
3
3
3
1
23
23
x=0 ou 4 x−23=0 ⇔ x=0 ou x=
donc S= 0 ;
3
4
4

b) f ( x ) =−2 ⇔

{

}



1
x ( 4 x−23 ) =0 ⇔
3

c)

625
4
23 2 625
625
4
23
x−

=−
x−
f ( x ) =−


3
8
48
48
3
8
48
2
23
23
23
23
x−
=0 ⇔ x− =0 ⇔ x=
donc S=
8
8
8
8

(

(

)

(

)

2

) =0 ⇔

{ }

d) f ( x ) =−14 est impossible puisqu'on démontré au 5°) que f admet un minimum
625
≈ −13,02 . Donc S=∅
égal à −
48
11
13
7°) Comparer f
et f
sans calculer leurs valeurs.
8
8
11 13 23
23
< <
On a
. De plus, d'après 5°), f est strictement décroissante sur −∞;
.
8
8
8
8
11
13
>f
Donc f
.
8
8

( )

( )

]

]

( ) ( )

Exercice 2 ( 4 points )

f est la fonction définie par f ( x ) =5−

2 x+1 −4 x+1
+
.
3 x+2
6 x+4

2
2
2
3
⇔ x≠− . Donc D f =ℝ \ −
1°) C.E. : 3 x +2≠0 ⇔
4 62
3
3
6 x+4≠0
x≠− =
6
3
2 x+1 −4 x+1
6 x+4 2×( 2 x +1 ) −4 x+1
+
=5×

+
2°) f ( x ) =5−
=
3 x+2
6 x+4
6 x+4 2×( 3 x+2 )
6 x+4
5×( 6 x+4 ) −2×( 2 x+1 ) +(−4 x+1 )
30 x+20−( 4 x+2 ) −4 x+1
30 x+20−4 x−2−4 x+1
=
=
6 x+4
6 x+4
6 x+4
22 x +19
a x +b
=
ce qui est de la forme
donc f est bien une fonction homographique.
6 x+4
c x+d

{

x≠−

{

{ }

Exercice 3 ( 3 points )

f est une fonction qui s'écrit sous la forme f ( x ) =a x 2+b x +c .Donc on peut l'écrire sous forme
2
canonique : f ( x ) =a ( x−α ) +β . D'après son tableau de variations :
x

-9/4
85/8

2

f

19/9
On déduit que : α=−

9
85
, β=
4
8

2
2
19
9
85 19
9
85 19
+ =
+ =
⇔ a 2− −
⇔ a 2+

4
8
9
4
8
9
9
289 85 19
289 19 85
17 2 85 19
a
+ =
⇔ a×
⇔ a×
+ =
= −
4
8
9
16
8
9
16
9
8
289
613
613
16
1226
⇔ a×
⇔ a= −
=−
×
=−
16
72
72
289
2601

De plus, f ( 2 ) =

( ( ))

( )

(

)( )

(

)

1226
9 2 85
1226
9
9 2 85
2
× x+
+
× x +2×x× +
+
donc f ( x ) =−
= −
=
2601
4
8
2601
4
4
8
1226
9
81
85
1226
1226 9
1226 81 85

× x 2+ x+
+
× x 2−
× x−
× +
= −
=
2601
2
16
8
2601
2601 2
2601 16
8
1226
613
5517 85
1226
613
2381
× x 2−
x−
+
× x 2−
x+
= −
= −
2601
289
2312
8
2601
289
289
1226
613
2381
× x 2−
x+
donc f ( x ) =−
2601
289
289

(

(

)

)

(

( ))


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