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Exercices avec solutions sur les séries numériques

Exercices sur les séries numériques
Déterminer la nature des séries numériques suivantes :
I.
1
n2
(n!)2
(n!)2
1
1
/
/
/
b
c
d
∑ n(n + 1)(n + 2) ∑ n3 + 1 ∑ (2n)! ∑ n 2 e / ∑ (ln(n))n f / ∑ ln(n 2 + n + 1)
n ≥1
n ≥0
n ≥0
n≥2
n≥2
n ≥0 2

a/

g/

n2

∑ (n + δ )n

δ <

n ≥0

k /

∑

1
2

h/

1
1
(e n − e n +a ) a > 0

1 + 2 + ... + n

∑ 12 + 22 + ... + n 2

i/

n ≥0

l/

n ≥1

1

∑ (1-cos n )

n ≥1

j/

∑ 2-

n

n ≥0

n

∑ (n n + 1 − 1)

n ≥1

II.
Etudier la nature des séries numériques suivantes
dont les termes génraux sont :
n2

−n 2

⎛ 2n + 1 ⎞
⎛ an ⎞
⎛ a⎞
1/ u n = ⎜
⎟ ; 2 /un = ⎜
⎟ a > 0; 3 / u n = ⎜ 1 + ⎟ a réel ;
⎝ 3n + 4 ⎠
⎝ n +1⎠
⎝ n⎠
n
a
4 /un =
a > 0;
(1 + a )(1 + a ) 2 ...(1 + a ) n
1
1
1
5 / u n = an ln(1 + ) − b cos( ) + c sin( ) a , b , c réels ;
n
n
n
1
⎡⎣ (−1) n n + k ) ⎤⎦ k réel ;
6 / u n = (−1) n ( n 2 + 1 − n ); 7 / u n = 2
n +1
1
π
sin x
sin x
8 /un = ∫ n
dx ; 9 / u n = ∫ n
dx ;
2
0 1 + ch x
0 1+ x 2
n

n

⎛ n ⎞
10 / u n = ⎜⎜
⎟⎟ ;
+
n
1
⎝
⎠

11/ u n = (−1) n (tan

⎡ (−1) ⎤
13 / u n = ln ⎢1 + a ⎥ a > 0;
n ⎦
⎣
n

1
1
− sin
);
n
n

12 /

(−1) n
1
cos ;
n
n

1
n ;
n + (−1) n
n sin

14 / u n = (−1) n

15 / u n = sin ⎡π n 2 + 1 ⎤ ; 16 / u n = cos ⎡π n 2 + n + 1 ⎤ .
⎣
⎦
⎣
⎦
16 / u n = ln(n ) + a ln(n + 2) + b ln(n + 3).

III.
+∞

a/

∑u
n =0

n

, un = ∫

( n +1)π

nπ

e − x sin xdx (indication : poser t = x − nπ ).

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques

∑u

n

,

∑u

n

,

d/

∑u

n

e/

∑u

b/

n ≥2

c/

n ≥2

1 ⎞
⎛
u n = ln ⎜1 − 2 ⎟.
⎝ n ⎠
⎛ (−1) n
u n = ln ⎜1 +
n
⎝

⎞
⎟.
⎠

⎛1
⎞
, u n = sin ⎜ + n ⎟π .
⎝n
⎠

n

, u n = sin(π n 2 + 1).

(−1) n
.
α n +1
1. Montrer que la série numérique de terme général u n est convergente et que:
f/ Soient α > 0 et la suite numérique u n définie par u n =

∑ un =
n ≥0

1

1

∫ 1 + tα .
0

n

En déduire :

(-1)
= ln2,
∑
n ≥0 n + 1

(-1) n π
= ,
∑
4
n ≥ 0 2n + 1

π
(-1) n 1
= (ln 2 +
).
∑
3
3
n ≥ 0 3n + 1

Commentaire : Cet exercice a pour objectif d’étudier une série numérique alternée. Grâce à une
expression de sa somme, on retrouve quelques résultats classiques

IV.
Séries de Bertrand
Soient α et β deux réels
Le but de cet exercice est d' étudier les séries numériques ∑ u n avec u n =
n≥2

1
.
n (ln(n)) β
α

1+α
.
2
1
Démontrer :
u n = O( γ )
n
En déduire la nature de la série de Bertrand dans ce cas.

1) Etude du cas α > 1. On pose γ =

2) Etude du cas α < 1.
En déduire la nature de série de Bertrand dans ce cas.

3) Etude du cas α = 1.
a) On considére le fonction f β : t

Démontrer :

∃ n0 ∈

1
sur ] 1, + ∞[
t(ln(t)) β
,  f β décroissante sur ] n 0 , + ∞[

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques

b) On suppose β = 1. En comparant avec une intégrale, démontrer que la série de Bertrand diverge.
c) On suppose β > 1. En comparant avec une intégrale, démontrer que la série de Bertrand converge.
d) Etudier le cas β < 1.
Commentaire : Cet exercice classique traite des séries de Bertrand. Il a l’avantage, d’utiliser diverses
méthodes pour étudier une série numérique (comparaison avec une série numérique, comparaison avec
une intégrale).

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques

Solutions
I.
1
1
1
∼
est convergente (série de Riemann
, la série ∑
3/
2
3/
n (n + 1)(n + 2) n
n 2

a / On a u n =
avec α =

3
> 1), on en déduit que la série ∑ u n est convergente (critère d 'équivalence )
2
2

b / Critère de D ' Alembert :

u n +1 ((n + 1)!)2 (2n )! ⎡ (n + 1)!⎤ (2n )!
=
=
(2(n + 1))! (n !) 2 ⎢⎣ n ! ⎥⎦ (2n + 2)!
un

u n +1
1
n +1 1
= lim (n + 1)2
= lim
= < 1,
(2n + 2)(2n + 1) n →+∞ 4n + 2 4
n →+∞ u n
n →+∞
la série est donc convergente .
lim

2

2

2

n
u
((n + 1)!) 2 2n
⎡ (n + 1)!⎤ 2
=
c / Critère de D ' Alembert : n +1 =
2
2
2 ⎢⎣ n ! ⎥⎦
un
2( n +1) (n !)
2( n +1)

lim (n + 1)2

n →+∞

1
22n +1

= lim

(n + 1)2

n →+∞ e (2 n +1) ln 2

= 0 < 1, la série est donc convergente .

d / La série est àtermes positifs , on peut donc appliquer le critère d 'équivalence :
on a u n =

n2
3

n +1

∼

1
1
, la série harmonique ∑ est divergente , donc la série ∑ u n est divergente .
n
n
n

⎡ ln(n ) ⎤
u
(ln( n )) n
1
.
e / Critère de D ' Alembert : n +1 =
=⎢
⎥
un
(ln(n + 1))n +1 ⎣ ln(n + 1)) ⎦ ln(n + 1)
u
u
1
0 ≤ n +1 ≤
on a :
⇒ lim n +1 = 0 < 1, la série est donc convergente .
ln(n + 1)
un
n →+∞ u n
1 1 ⎤
1 1
⎡
) ⎥ = 2 ln(n ) + ln(1 + +
)
f / ln(n 2 + n + 1) = ln ⎢ n 2 (1 + +
2
n n ⎦
n n2
⎣
1 1
ln(1 + + )
2
v
1
ln(n + n + 1)
n n2
, on a n =
considérons v n =
= 1+
⇒ un ∼v n ,
2 ln(n )
2 ln(n )
2 ln(n )
un
comme ln x < x pour x > 0 ⇒

1
1
1
, la série ∑
>
est divergente , il en est de même
2 ln(n ) 2n
2n

pour la série ∑v n (critère de comparaison ) et donc la série ∑ u n est divergente (critère d 'équivalence ).

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques
2

u
u
(n + 1) 2 (1 + δ )n ⎛ n + 1 ⎞
1
1
g / n +1 =
.
=⎜
.
, d 'où lim n +1 =
.
⎟
un
1+ δ
n →+∞ u n
⎝ n ⎠ 1+ δ
n2
(1 + δ )n +1
1
1
1
∗ Si − < δ < 0 ⇒ < δ + 1 < 1 ⇒
> 1 ⇒ ∑ u n est divergente .
2
2
1+ δ
1
1
∗ Si 0 < δ < ⇒ δ + 1 > 1 ⇒
< 1 ⇒ ∑ u n est convergente .
2
1+ δ
∗ Si δ = 0 ⇒ u n = n 2 ne tend pas vers 0 et la série est donc divergente .

n (n + 1)
n (n + 1)(2n + 1)
et 12 + 22 + 32 + ... n 2 =
,
2
6
1 + 2 + 3 + ... + n
3
3
3 3
1
un =
=
, comme ∑
= ∑ est divergente alors
∼
2
2
2
2
2n + 1 2n
2n 2 n
1 + 2 + 3 + ... n
h / On a : 1 + 2 + 3 + ... + n =

∑u n est divergente (critère d 'équivalence ).
1
x2
1
1
1 ⎞
1
⎛
, on a auV 0 : cos x = 1 −
+ o (x 2 ) d 'où u n = 1 − cos = 1 − ⎜1 −
+o( )⎟ ∼
,
n
2
n
n 2 ⎠ 2n 2
⎝ 2n 2
1
1
la série ∑
est con v ergente (série de Riemann ) d 'où ∑ u n est convergente (critère d ' équivalence ).
2 n2

i / u n = 1 − cos

j ) u n = 2− n = e − n ln 2 , on a lim n 2e − n ln 2 = 0 ⇒ ∃N : n > N , e − n ln 2 ≤ 1,
n →+∞

1
u n = 2− n <
pour n assez grand .
n2

d 'où
La série ∑

On a

d 'où
1
en

1
n2

est con v ergente (série de Riemann ) d 'où ∑ u n est convergente (critère de comparaison ).

1
1 1
1⎛ a
1 ⎞ 1 a
1
= ⋅
= ⎜1 − + o ( ) ⎟ = −
+o( )
2
n + a n 1+ a n ⎝ n
n ⎠ n n
n2
n
1
e n +a

2

1
1 a
1
1
⎛1 a ⎞ 1⎛1 a ⎞
= 1+ ⎜ −
+ ⎜ −
+ o ( ) = 1+ −
+
+o( )
⎟
⎟
2
2
2
2
2
n n
n
2n
n2
⎝ n n ⎠ 2! ⎝ n n ⎠
1

1

1
1
1
a
1
a
= 1+ +
+ o ( ), on a finalement u n = e n +a − e n =
+o( ) ∼
.
n 2n 2
n2
n2
n2
n2
1
Comme ∑
est convergente (série de Riemann ) ⇒ ∑ u n est convergente (critère d 'équivalence ).
n2

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques

Re marquons que u n < 0 ∀n ,
1

1

1 1

1

1

1

− +o ( 2 )
− ln(1+ )
− ( +o ( ))
n
n =e n n
n = e n2
n = 1 − 1 + o ( 1 ),
on a n
=e n
n +1
n2
n2
1
1
1
d 'où u n = −
+o( ) ∼ −
.
2
2
n
n
n2
1
Comme ∑ −
est convergente (série de Riemann ) ⇒ ∑ u n est convergente (critère d 'équivalence ).
n2

II.
1/ La série est àtermes positifs , en appliquant
le critère de Cauchy :
1
⎛ 2n + 1 ⎞ 2
u n = (u n ) n = ⎜
⎟ → < 1,
⎝ 3n + 4 ⎠ 3
donc la série ∑ u n est CV .
n

2 / La série est àtermes positifs , en appliquant
le critère de Cauchy :
n

1
n

n

n

⎛ an ⎞ ⎛ a ⎞
n
u n = (u n ) = ⎜
⎟ =⎜
⎟ →a ,
+
+
n
1
1
1/
n
⎝
⎠ ⎝
⎠

donc
⎧0
⎪
⎪1
⎨
⎪e
⎪+∞
⎩

n

u n tend vers :
si a < 1

la série ∑ u n est CV

si a = 1

la série ∑ u n est CV

si a > 1

la série ∑ u n est DV .

3 / La série est àtermes positifs , en appliquant
le critère de Cauchy :
n

1
n

⎛ x ⎞
u n = (u n ) = ⎜1 + ⎟
⎝ n⎠

−n

=

1
⎛ x ⎞
⎜1 + ⎟
⎝ n⎠

n

→ e −x

si x > 0
⎪⎧la série ∑ u n est CV
⎨
⎪⎩la série ∑ u n est DV si x < 0
si x = 0 u n = 1 et le terme général ne tend pas vers 0
la série ∑ u n est DV .

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques

4 / La série est àtermes positifs , en appliquant
le critère de d ' Alembert :
u n +1
a
=
→ 0 quand n → +∞
un
(1 + a ) n +1
la série ∑ u n est CV .

5 / La série est de signe constant
1
→ 0, d 'où
n
1
⎛ 1⎞ 1
⎛ 1 ⎞
ln ⎜ 1 + ⎟ = − 2 + o ⎜ 2 ⎟
⎝ n ⎠ n 2n
⎝n ⎠
⎛1⎞
⎛1⎞
cos ⎜ ⎟ = 1 + o ⎜ ⎟
⎝n ⎠
⎝n ⎠

quand n → +∞,

⎛1⎞ ⎛1⎞
⎛1⎞
sin ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + o ⎜ ⎟
⎝n ⎠ ⎝n ⎠
⎝n⎠
a 1
⎛1⎞
u n = (a − b ) + (c − ) + o ⎜ ⎟
2 n
⎝n ⎠
⎧
⎪si a ≠ b , u n ne tend pas vers 0 et la série ∑ u n est DV
⎪
a
a 1
⎪
⎨si a = b et c ≠ , u n ∼ (c − ) , la série harmonique est DV et donc ∑ u n est DV
2
2 n
⎪
⎪
1
⎛ 1 ⎞
⎪si a = b = 2c alors u n ∼ o ⎜ n 2 ⎟ , la série ∑ n 2 est CV et donc ∑ u n est CV
⎝ ⎠
⎩
6 / Série alternée , u n = (−1) n v n
1

v n = n 2 +1 − n =
v n +1 =

1
n 2 +1 + n

Remarquons que

<

n 2 +1 + n
1

∑u

→0

n 2 +1 + n
n

= v n ⇒ (v n ) est décroissante , donc

n 'est pas absolument CV ( u n =

1
n 2 +1 + n

∑u
∼

n

est CV .

1
).
2n

(−1) n n
k
+ 2
= v n +w n
2
n +1 n +1
(−1) n n
n
→ 0 en décroissant donc ∑v n est CV ,
vn = 2
, ∑v n série alternée avec 2
n +1
n +1
k
1
1
wn = 2
∼ 2 , la série ∑ 2 est CV (série de Riemann ), donc ∑w n est CV ,
n +1 n
n
la série ∑ u n est CV car somme de deux séries CV .
7 / un =

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques
8 / La série est à termes positifs
1

1
1
sin x
1
n
n
dx
≤
sin
xdx
≤
xdx = 2
2
∫
∫
0
0
1 + ch x
2n

0 ≤ un = ∫ n
0

1

∑n

est une série CV ⇒ ∑ u n est CV (critère de comparaison )

2

9/ n∈

1
0≤
1+ π 2

π2

∑ 2n

2

1
1
⎡ π⎤
≤
≤1
alors pour x ∈ ⎢ 0, ⎥ ⊂ [ 0, π ] et
2
1+ π
1+ x 2
⎣ n⎦

*

∫

n
0

lim n 2
1

∑n

π

sin xdx ≤ u n ≤ ∫ sin xdx = 1 − cos
n
0

π
n

∼

π2
2n 2

est CV ⇒ ∑ u n est CV (critère d 'équivalence ).

10 / u n = e

n →+∞

π

1 ⎞
⎛
− n ln ⎜1+
⎟
n⎠
⎝

e
e

n

=e

= 0 ⇒ n2

est CV ⇒ ∑

1
1 ⎞
⎛ 1
−n ⎜
− +o ( ) ⎟
n ⎠
⎝ n 2n

e
n

e

=e

1
− n + +o (1)
2

e

∼
e

n

≤ 1 à partir d 'un certain rang ⇒

e
e

n

≤

1
n2

e

est CV (critère de comparaison )
e n
d 'où ∑ u n est CV (critère d 'équivalence ).
2

1
1
1
⎛ 1 ⎞
= 1/2 − 3/2 + o ⎜ 3/2 ⎟
n
n n
⎝n ⎠
1
1
1
⎛ 1 ⎞
= 1/2 + 3/2 + o ⎜ 3/2 ⎟
tan
2n
n n
⎝n ⎠
1
1
u n ∼ 3/2 , ∑ 3/2 est CV ⇒ ∑ u n est absolument CV donc CV .
2n
2n

11/ sin

(−1) n
1 (−1) n
⎛ 1 ⎞
cos =
+ o ⎜ 3/2 ⎟
n
n
n
⎝n ⎠
(−1) n
1
∑ n est CV (série alternée avec n → 0 en décroissant
donc ∑ u n est CV .

12 /

⎛ (−1) n ⎞ (−1) n
1
13 / u n = ln ⎜1 + a ⎟ = a + v n avec v n ∼ 2a
2n
n ⎠
n
⎝
n
(−1)
1
∑ n a série altérnée CV ( n a → 0 en décroissant )
1
donc la série ∑ u n est CV si a > .
2

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques
1
n = (−1) n
n + (−1) n

1
n
14 / u n = (−1) n
⎛ (−1) n ⎞
n ⎜1 +
⎟
n ⎠
⎝
n
⎛ 1 ⎞ ⎤ ⎡ (−1)
⎛ 1 ⎞⎤
n ⎡ 1
u n = (−1) ⎢ 1/2 + o ⎜ 3/2 ⎟ ⎥ ⎢1 − 1/2 + o ⎜ ⎟ ⎥
n
⎝ n ⎠⎦ ⎣
⎝ n ⎠⎦
⎣n
n sin

n sin

(−1) n 1
⎛ 1 ⎞
− + o ⎜ 3/2 ⎟
n
n
⎝n ⎠
la série ∑ u n est somme d 'une série CV et une série DV elle est donc DV .

un =

⎡
1 ⎤
1
1 ⎤
π
1 ⎤
⎡
⎡
u n = sin ⎢ nπ 1 + 2 ⎥ = sin ⎢ nπ (1 + 2 + o ( 4 ) ⎥ = sin ⎢ nπ +
+ o ( 3 )⎥
2n
2n
n ⎦
n ⎦
n ⎦
⎣
⎣
⎣
1 ⎤
1 ⎤ (−1) n π
1
⎡π
⎡π
u n = (−1) n sin ⎢ + o ( 3 ) ⎥ = (−1) n ⎢ + o ( 3 ) ⎥ =
+o( 3 )
2n
n ⎦
n ⎦
n
⎣ 2n
⎣ 2n
la série

∑u

n

est somme de deux séries CV est CV .

1 1
π 3π
1 ⎤
⎡
⎤
⎡
v n = cos ⎢ nπ (1 + + 2 )1/2 ⎥ = cos ⎢ nπ + +
+ o ( 2 )⎥
n n
2 8n
n ⎦
⎣
⎦
⎣
1 ⎤ (−1) n +1π
1
⎡ 3π
v n = (−1) n +1 sin ⎢ + o ( 2 ) ⎥ =
+o( 3 )
8n
n ⎦
n
⎣ 8n
la série

∑v

n

est somme de deux séries CV est CV .

⎛ 2⎞
⎛ 3⎞
16 / on a u n = ln n + a ln n + a ln ⎜ 1 + ⎟ + b ln n + a ln ⎜ 1 + ⎟
⎝ n⎠
⎝ n⎠
1
1
d 'où u n ∼ (1 + a + b ) ln n + (2a + 3b ) + 0( 2 ) si n → +∞,
n
n
la série sera donc convergente si :
⎧1 + a + b = 0
⇔ a = −3 et b = 2; si non la série est divergente .
⎨
⎩2a + 3b = 0

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques

III.
a / En posant t = x − n π on a :
π

π

u n = ∫ e − (t + nπ ) sin(t + nπ )dt = e − nπ (−1) n ∫ e −t sin tdt = K (−e −π ) n ;
0

0

la série ∑ (−e ) est une série géométrique CV ( −e −π < 1)
−π n

n ≥0

sa somme est donc

1
, on en déduit que la série ∑ u n est CV et sa somme est
1 + e −π
n ≥0

K
. Il nousreste àcalculer K , par une double intégration par parties on obtient
1 + e −π
1
1
K = (1 + e −π ) , d 'où ∑ u n = .
2
2
n ≥0
b / La série est termes négatifs , on a :
1 ⎞
1
1
⎛
u n = ln ⎜1 − 2 ⎟ ∼ − 2 ; − ∑ 2 est CV (série de Riemann α = 2 < 1)
n
n
⎝ n ⎠
donc la série ∑ u n est CV (critère de comparaison ).
⎛ n 2 −1 ⎞
1 ⎞
⎛
On au n = ln ⎜ 1 − 2 ⎟ = ln ⎜ 2 ⎟ = ln(n + 1) + ln(n − 1) − 2 ln n ;
⎝ n ⎠
⎝ n ⎠
u 2 = ln 3 + ln1 − 2 ln 2
u 3 = ln 4 + ln 2 − 2 ln 3
u 4 = ln 5 + ln 3 − 2 ln 4
u 5 = ln 6 + ln 4 − 2 ln 5
...
u N − 4 = ln(N − 3) + ln(N − 5) − 2 ln(N − 4)
u N −3 = ln(N − 2) + ln(N − 4) − 2 ln(N − 3)
u N − 2 = ln(N − 1) + ln(N − 3) − 2 ln(N − 2)
u N −1 = ln(N ) + ln(N − 2) − 2 ln(N − 1)
uN

= ln(N + 1) + ln(N − 1) − 2 ln(N )

S N = u 2 + u 3 + u 4 + ... + u N − 2 + u N −1 + u N = − ln 2 + ln(N + 1) − ln(N )
⎛ N +1⎞
S N = − ln 2 + ln ⎜
⎟ → − ln 2; et ∑ u n = − ln 2.
⎝ N ⎠

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques
⎛ 1+ 2p ⎞
⎛ 2p ⎞
1
) = ln ⎜
⎟ = − ln ⎜
⎟
2p
⎝ 2p ⎠
⎝ 1+ 2p ⎠

c / Remarquons que u 2 p = ln(1 +

⎛
1 ⎞
u 2 p = − ln ⎜1 −
⎟ = − u 2 p +1.
⎝ 1+ 2p ⎠
∑ u n est donc une série alternée , calculons les sommes partielles :
S 2 p +1 = (u 2 + u 3 ) + (u 4 + u 5 ) + ... + (u 2 p − 2 + u 2 p −1 ) + (u 2 p + u 2 p +1 ) = 0,
⎛ 2p ⎞
S 2 p = (u 2 + u 3 ) + (u 4 + u 5 ) + ... + (u 2 p − 2 + u 2 p −1 ) + u 2 p = − ln ⎜
⎟ → 0.
⎝ 1+ 2p ⎠
lim S n = 0 ⇒ la série ∑ u n est CV et sa somme est nulle .
n →+∞

d / On a

⎛1
⎞
⎛π
⎞
⎛π ⎞
u n = sin ⎜ + n ⎟ π = sin ⎜ + nπ ⎟ = (−1) n sin ⎜ ⎟ .
⎝n
⎠
⎝n
⎠
⎝n⎠

pour n > 1, 0 <

π
n

≤

π

⎛π
sin ⎜
⎝n

2

⎞
⎟ est positif ,
⎠

∑u

n

est donc une série altéernée ,

⎛π ⎞
⎛ π ⎞
et on a sin ⎜ ⎟ > sin ⎜
⎟ car la fonction sin est croissante
⎝n⎠
⎝ n +1⎠
⎛π ⎞
⎛π ⎞
⎡ π⎤
sur ⎢0, ⎥ par suite sin ⎜ ⎟ est décroissante , comme lim sin ⎜ ⎟ = 0 la série est CV .
n →+∞
⎝n⎠
⎝n⎠
⎣ 2⎦

π

e / Ecrivons π n 2 + 1 = nπ + π ( n 2 + 1 − n ) = nπ +

π

d 'où u n = (−1) n sin
sin

π
n +1 + n
2

n +1 + n
2

est positif ,

comme 0 <

,

∑u

n

n +1 + n
2

π
n +1 + n
2

≤

π
2

est donc une série altéernée ,

⎛
⎞
⎛
⎞
π
π
⎟ car la fonction sin est croissante
et on a sin ⎜
> sin ⎜
⎟
2
⎜ (n + 1) 2 + 1 + n + 1 ⎟
⎝ n +1 + n ⎠
⎝
⎠

π
π
⎡ π⎤
=0
sur ⎢0, ⎥ par suite sin
est décroissante , comme lim sin
2
2
n →+∞
⎣ 2⎦
n +1 + n
n +1 + n
la série est CV .
N
1
(−1) n
= ∑ (−1)n ∫ t αn dt
0
n=0 αn + 1
n=0
N

f/ On a SN = ∑
=∫

1 N

0

1 − (− t α ) N +1
dt
0
1+ tα

∑ (− t α )n dt = ∫
n=0

1

α( N +1)
1t
1
N +1
dt
−
(
−
1)
∫0 1 + t α dt
0 1+ tα

=∫

1

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques
α( N +1)
1t
1
1
1
α( N +1)
dt
dt
≤
≤
α
α
∫0 1 + t
∫0 t dt = α(N+1)+1
0 1+ t
Par passage à la limite, on obtient

On a donc SN − ∫

1

+∞
1
1
(−1) n
1
dt
⇒
=∫
dt.
∑
α
0 1+ t
0 1+ tα
n=0 αn + 1
+∞
1 1
(−1) n
1
• α =1→ ∑
=∫
dt = [ ln(1 + t) ]0 = ln 2.
0
1+ t
n=0 n + 1

SN → ∫

1

1
(−1) n
1
π
• α=2→∑
=∫
dt = Arctg 1 − Arctg 0 = .
2
0
1+ t
4
n=0 2n + 1
+∞

1
(−1) n
1
• α =3→∑
=∫
dt,
0
1 + t3
n=0 3n + 1
1
décomposons
en éléments simples:
1 + t3
1
1⎛ 1
t−2 ⎞
= ⎜
− 2
⎟ ; et on a
3
1+ t
3 ⎝ 1+ t t − t +1⎠
1⎡
t−2 ⎤ 1⎡ 1
2t − 1
3
1 ⎤
− 2
= ⎢− × 2
+ × 2
puis
⎢
⎥
3 ⎣ t − t + 1 ⎦ 3 ⎣ 2 t − t + 1 2 t − t + 1 ⎥⎦
+∞

2
2
⎤
⎛ 1 ⎞ 3 3 ⎡⎛ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎞
t − t + 1 = ⎜ t − ⎟ + = ⎢⎜
⎜ t − ⎟ ⎟ + 1⎥
⎝ 2 ⎠ 4 4 ⎢⎣⎝ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎠
⎥⎦
2

1
4
1
4
3
2/ 3
= ×
= ×
2
t − t + 1 3 ⎡⎛ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎞
⎤ 3 2 ⎡⎛ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎞ 2 ⎤
⎢⎜
⎢⎜
⎜ t − ⎟ ⎟ + 1⎥
⎜ t − ⎟ ⎟ + 1⎥
⎣⎢⎝ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎠
⎦⎥
⎣⎢⎝ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎠
⎦⎥
2

d'où
1

1

∫ 1+ t
0

3

1 1 1
1 1 1
2t − 1
dt + ∫ − × 2
dt +
∫
0
0
3 1+ t
3
2 t − t +1
1 3 14
3
2/ 3
dt
+ × ∫ ×
0
3 2 3 2 ⎡⎛ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎞ 2 ⎤
⎢⎜
⎜ t − ⎟ ⎟ + 1⎥
⎣⎢⎝ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎠
⎦⎥

dt =

1

1
1
1
1 ⎡
2
1 ⎤
1
= [ ln(t+1)]0 − ⎡⎣ ln(t 2 − t + 1) ⎤⎦ +
arctg( (t − ) ⎥
⎢
0
3
6
2 ⎦0
3⎣
3

1

1

∫ 1+ t
0

3

1
1
1
× 2Arctg( ),
dt = ln 2 − 0 +
3
3
3

d'où
1
(−1) n
1
1
π
dt = (ln 2 +
).
=∫
∑
3
0
1+ t
3
3
n=0 3n + 1
+∞

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques

IV.

1+ α
> 1, on a :
2
1
1
nγ × α
= α −1
→0
β
n (ln n)
β
2
n (ln n)

• Si α > 1, soit γ =

donc pour n assez grand on a
comme ∑

∑n

α

1
1
< γ;
β
n (ln n)
n
α

1
est CV (série de Riemann avec γ > 1), alors
nγ

1
est CV (critère de comparaison des STP).
(ln n)β

• Si α < 1, 1 − α > 0, on a :
n×

1
n1−α
=
→ +∞,
n α (ln n)β (ln n)β

donc pour n assez grand on a :
comme ∑

1
1
>
β
n (ln n)
n
α

1
est DV (série harmonique) alors
n

1
est DV (critère de comparaison).
(ln n)β
• Si α = 1, considérons la fonction
1
fβ (x) =
; fβ est dérivable sur ]1, + ∞[ et
x(ln x)β

∑n

α

pour tout x > 1: f β' (x) = −

(ln x)β −1
(ln x + β);
x 2 (ln x) 2β

pour x > e−β , ln x > −β ⇒ ln x + β > 0, d'où
fβ est décroissante, donc pour N > max(2, e −β )

∫

+∞

N

+∞

fβ (x)dx et

1

∑ n(ln n)
n=N

β

sont de même nature

(critère de comparaison d'une série et d'une intégrale).
si β = 1,

X

1
[ ln(ln x)]
∫N x ln x dx = xlim
→+∞
N
= lim (ln(ln X) − ln(ln N)) = +∞;
+∞

x →+∞

donc l'intégrale est DV et par suite la série

1

∑ n(ln n) est DV.

A. El Caidi

Exercices avec solutions sur les séries numériques
X

⎡ ( ln x )1−β ⎤
si β ≠ 1, ∫
dx = lim ⎢
⎥
β
N
x →+∞
x ( ln x )
⎢⎣ 1 − β ⎥⎦ N
si β < 1
⎧ +∞
1−β
1−β
ln X )
ln N )
(
(
⎪
) = ⎨ ( ln N )1−β
= lim (
−
x →+∞
1− β
1− β
si β > 1
⎪−
1− β
⎩
1
⎧
⎪∑ n(ln n)β est CV si β > 1
⎪
donc ⎨
.
1
⎪∑
est DV si β < 1
⎪⎩ n(ln n)β
+∞

1

A. El Caidi



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