Série 3 ex 4 .pdf

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1

n

𝑁>𝑛

𝑟1′ = −𝑟1 =

𝑛−1
𝑛+1

1) 𝐴 𝑇1 = 𝑎0 𝑡1 𝑡2 (𝑟1′ 𝑟2 )0 𝑒 −𝑗 0
𝐴 𝑇2 = 𝑎0 𝑡1 𝑡2 (𝑟1′ 𝑟2 )1 𝑒 −𝑗𝜑
𝐴 𝑇3 = 𝑎0 𝑡1 𝑡2 (𝑟1′ 𝑟2 )2 𝑒 −𝑗 2𝜑

𝐴 𝑇𝑁 = 𝑎0 𝑡1 𝑡2 (𝑟1′ 𝑟2 )(𝑁−1) 𝑒 −𝑗 (𝑁−1)𝜑
𝑁

𝐴𝑇 =

𝐴 𝑇𝑖 = 𝐴 𝑇1 + 𝐴 𝑇2 + 𝐴 𝑇3 + ⋯ + 𝐴 𝑇𝑁
𝑖=1

= 𝑎0 𝑡1 𝑡2 (𝑟1′ 𝑟2 )0 𝑒 −𝑗 0 + 𝑎0 𝑡1 𝑡2 (𝑟1′ 𝑟2 )1 𝑒 −𝑗𝜑 + 𝑎0 𝑡1 𝑡2 (𝑟1′ 𝑟2 )2 𝑒 −𝑗 2𝜑 + ⋯ + 𝑎0 𝑡1 𝑡2 (𝑟1′ 𝑟2 )(𝑁−1) 𝑒 −𝑗 (𝑁−1)𝜑
𝐴 𝑇 est une suite géométrique de raison 𝑟1′ 𝑟2 𝑒 −𝑗𝜑 Alors :
𝐴 𝑇 = 𝑎0 𝑡1 𝑡2

1−(𝑟1′ 𝑟2 𝑒 −𝑗𝜑 )𝑁 −1−0+1
1−𝑟1′ 𝑟2 𝑒 −𝑗𝜑

⇒

D’où 𝐴 = lim 𝐴 𝑇 = lim 𝑎0 𝑡1 𝑡2
𝑁→+∞

Avec
Donc

𝑁→+∞

𝑁

lim 𝑟1′ = 0

1−(𝑟1′ 𝑟2 )𝑁 𝑒 −𝑗𝑁𝜑
1−𝑟1′ 𝑟2 𝑒 −𝑗𝜑

1−(𝑟1′ 𝑟2 )𝑁 𝑒 −𝑗𝑁 𝜑
1−𝑟1′ 𝑟2 𝑒 −𝑗𝜑

𝑟1′ < 1

𝑐𝑎𝑟

𝑁→+∞

𝐴 𝑇 = 𝑎0 𝑡1 𝑡2

1

𝐴 = 𝑎0 𝑡1 𝑡2 1−𝑟 ′ 𝑟

1 2𝑒

On a Ι = 𝐴 𝐴∗ =

1−𝑟1′ 𝑟2

−𝑗𝜑

𝑎 0 2 𝑡 1 2 𝑡2 2
𝑒 −𝑗𝜑 (1−𝑟1′ 𝑟2 𝑒 𝑗𝜑 )

Or

Ι0 = 𝑎0 2 ; 𝑇1 = 𝑡1 2

Or

𝑅1 = 𝑟12 ; 𝑅2 = 𝑟22

𝑒𝑡 𝑇2 = 𝑡2 2

Ι 0 𝑇1 𝑇2
𝑗𝜑 −𝑟 ′ 𝑟 𝑒 −𝑗𝜑 +(𝑟 ′ 𝑟 )2
𝑒
1 2
1 2
1 2

= 1−𝑟 ′ 𝑟
=

Ι 0 (1−𝑅1 )(1−𝑅2 )
2

1−2𝑟1′ 𝑟2 cos 𝜑+𝑟1′ 𝑟22

D’ou

Ι = Ι0

2

𝑒𝑡 𝑟1′ = (−𝑟1 )2 = 𝑟12

(1−𝑟1 2 )(1−𝑟2 2 )
1+𝑟1 2 𝑟22 +2𝑟1 𝑟2 cos 𝜑

2) Pour Ι soit maximale : Ιmax

Ιmax = Ι0

⇒ φ = (2k + 1)π

(1−𝑟1 2 )(1−𝑟2 2 )

⇒

1+𝑟1 2 𝑟22 −2𝑟1 𝑟2

Ιmax = Ι0

3) La lumière réfléchie soit totalement supprimée

c-à-d

(1−𝑟1 2 )(1−𝑟2 2 )
(1−𝑟1 𝑟2 )2

Ιtransmise = Ιmax = Ι0

 Calcule de l’indice n :
(1 − 𝑟1 2 )(1 − 𝑟2 2 )
Ιmax = Ι0 = Ι0
(1 − 𝑟1 𝑟2 )2
2
⇒ (1 − 𝑟1 𝑟2 ) = 1 − 𝑟1 2 1 − 𝑟2 2
⇒ 1 + 𝑟1 2 𝑟22 − 2𝑟1 𝑟2 = 1 − 𝑟2 2 − 𝑟1 2 + 𝑟1 2 𝑟2 2
⇒ −2𝑟1 𝑟2 + 𝑟2 2 + 𝑟1 2 = 0
⇒ (𝑟1 − 𝑟2 )2 = 0
1−𝑛
1+𝑛

𝑛−𝑁

⇒

𝑟1 = 𝑟2

⇒

1−𝑛 𝑛+𝑁 = 𝑛−𝑁 1+𝑛

⇒

2𝑁 = 2𝑛2

⇒

𝑛 = 1.69

d’où

⇒

= 𝑛+𝑁
𝑛 + 𝑁 − 𝑛2 − 𝑛𝑁 = 𝑛 + 𝑛2 − 𝑁 − 𝑛𝑁

⇒

𝑛= 𝑁

⇒

𝑛 = 1.3

 Calcule de l’épaisseur minimale :
On a 𝜙 =

2𝜋
𝜆0

𝛿=

2𝜋
𝜆0

2𝑛𝑒 cos 𝑟

⇒ 𝜙=

2𝜋
𝜆0

2𝑛𝑒

𝑐𝑎𝑟 𝑙 ′ 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒

Et on a pour Ιmax = Ι0 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑠𝑖 𝜙 = (2𝑘 + 1)𝜋
D’où 𝜙 =
Pour 𝑒𝑚𝑖𝑛
Alors

2𝜋
𝜆0

2𝑛𝑒 = 2𝑘 + 1 𝜋
𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑠𝑖

⇒

𝑒 = (2𝑘 + 1)

𝜆0
4𝑛

𝑘=0

𝜆0
𝑒𝑚𝑖𝑛 = 4𝑛
= 4𝜆0𝑁

⇒

𝑒𝑚𝑖𝑛 = 0.111 𝜇𝑚



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