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Aperçu texte


PROBLÈME OUVERT
Il existe quatre points M1, M2, M3, M4 en remarquant que
EAB(– 6 ; 6) et RCD(– 8 ; 8), donc que (AB) // (CD).
La droite (CD) a pour équation x + y – 8 = 0.
d1 : x – y + 6 = 0 et d2 : x – y – 6 = 0 ;
donc : M1(1 ; 7) et M2(7 ; 1).
Si M est un point de (CD), il a pour coordonnées (x ; 8 – x).
YAM(x – 6 ; 8 – x) et TBM(x ; 2 – x) ; donc :
TAM · TBM = (x – 6)x + (8 – x)(2 – x)
= 2x2 – 16x + 16.
Donc YAM · TBM = 0 ⇔ x2 – 8x + 8 = 0
⇔ x = 4 – 212 ou x = 4 + 212 ;
d’où : M3 4 – 212 ; 4 + 212 et M4 4 + 212 ; 4 – 212 .



aj
ai

EXERCICES

Application (page 245)

1

a) BC2 = (250)2 + (340)2 – 500 × 340 cos 75° ;
BC = 366,20 m.
(250)2 + BC2 – (340)2
b) cos qB =
≈ 0,44 ;
500 × BC
qB ≈ 63,7° et qC ≈ 41,3°.
81 + 25 – 144
38
=–
; d’où qA ≈ 115°.
90
90
144 + 25 – 81 11
=
; d’où qB ≈ 43°.
cos qB =
120
15
Il en résulte que qC ≈ 22°.

2

cos qA =

12
= 128 – 6412.
2
BC2 = 64 2 – 12 et BC = 882 – 12.
13
CD2 = 64 + 36 – 96 ×
= 100 – 4813.
2
CD2 = 4 25 – 1213 et CD = 2925 – 1213.
Le périmètre est donc égal à 14 + 2925 – 1213 + 882 – 12.

3

BC2 = 64 + 64 – 128 ×

64 + 16 – 36
44 11
=
= .
64
64 16
121 135
2
=
et sin kABC > 0 ;
b) sin kABC = 1 –
256 256
3415
d’où : sin kABC =
.
16
3415
.
2. a) AH = 4 sin kABC =
4
1
b) Aire(ABC) = BC × AH = 3415.
2

4

1. a) cos kABC =

BC2
AB2 + AC2 = 2AO2 +
,
2
soit 64 + 49 = 2AO2 + 50.
317 3414
=
.
2AO2 = 63, d’où AO =
12
2
3421
et
De même, la médiane issue de B a pour mesure
2
3413 3426
=
.
celle issue de C,
12
2
2
6 1. MA2 + MC2 = 2MB2 + AC soit 9 + MC2 = 18 + 8 ;
2
d’où : MC2 = 17 et MC = 417.
BD2
soit 9 + MD2 = 34 + 8 ;
2. MB2 + MD2 = 2MC2 +
2
d’où : MD2 = 33 et MD = 433.

5

AC2
soit 225 + 169 = 2OB2 + 98 ;
2
OB2 = 148, d’où : OB = 2437 et DB = 4437.

7

AB2 + BC2 = 2OB2 +

AC2
2
BD2
2
2
2
et MB + MD = 2MO +
.
2
Or AC = BD ; d’où : MA2 + MC2 = MB2 + MD2.

8

MA2 + MC2 = 2MO2 +

9

1. MA2 + MB2
= 2MO2 +

M
AB2
,
2

1

2
2
A
B
O
soit 10 = 2MO + 8,
2
donc MO = 1.
2. M est un point du cercle Ꮿ de centre O et de rayon 1.
2

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications

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