172446 C10 livre prof.pdf


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Aperçu texte


18
7
26 a) cos 2x = 2(cos x)2 – 1 = – 1 = – .

25
25
8
1
b) cos 2x = 1 – 2(sin x)2 = 1 – = .
9 9
1 8
27 a) sin x < 0 et (sin x)2 = 1 – = ;
9 9
212
d’où : sin x = –
.
3
2
7
b) cos 2x = 2(cos x)2 – 1 = – 1 = – .
9
9
412
sin 2x = 2 sin x cos x = –
.
9
9
7
28 a) cos x < 0 et (cos x)2 = 1 – = ;
16 16
17
donc : cos x = – .
4
3
17 317
b) sin 2x = 2 sin x cos x = 2 × – × –
=
.
4
4
8
7
1
cos 2x = 2(cos x)2 – 1 = – 1 = – .
8
8

EXERCICES

29

cos π8 =





2

1 + cos

12
π
1+
2
2 + 12
4 =
=
2
4

2
π
et cos > 0 ;
8
π 82 + 12
.
donc : cos =
8
2
π
1 – cos
π 2
4 = 2 – 12 et sin π > 0 ;
sin
=
2
8
8
4
donc : sin

π 82 – 12
=
.
8
2

30 a) 1 + cos 2x + cos x = 2 cos2 x + cos x
= cos x(2 cos x + 1).
b) (cos x – sin x) = (cos x) + (sin x)2 – 2 sin x cos x
= 1 – sin 2x.
c) (cos x + sin x)(cos x – sin x) = cos2 x – sin2 x = cos 2x.
2

2

Activités de recherche (page 252)

35 Deux solutions pour un problème

36 Trigonométrie et pentagone régulier

• Les outils :
– Équation d’un cercle.
– Relation de Chasles et produit scalaire.
• Les objectifs :
– Trouver un ensemble de points avec et sans repère.
– Reconnaître une équation d’un cercle.

• Les outils :
– Produit scalaire.
– Angle de deux vecteurs.
– Formules de duplication.
• Les objectifs :
– Trouver l’angle de deux vecteurs en utilisant deux formes
du produit scalaire.
– Établir des égalités d’angles à l’aide des formules de
duplication.
1
1
5
15
1. a) PH2 = OP2 + OH2 =
+ = , soit PH = .
16 4 16
4
15 1 (15 – 1)
b) OI = PI – PO =
– =
4 4
4
(15 + 1)
et OJ = OP + PJ =
.
4
c) B se projette orthogonalement en I sur (OA) ;
donc : EOA · EOB = AOI · EOA.
Or AOI et EOA sont colinéaires et de même sens,
15 – 1
donc : EOA · EOB =
.
4
15 + 1
car EOA et AOJ sont colid) EOA · EOC = EOA · ZOJ = –
4
néaires de sens contraires.
2. a) EOA · EOB = OA × OB × cos α = cos α
et EOA · ROC = OA × OC × cos β = cos β.
15 – 1
15 – 1
b) EOA · EOB = cos α =
, soit cos α =
.
4
4
15 + 1
15 + 1
• EOA · ROC = cos β = –
, soit cos β = –
.
4
4
OJ 15 + 1
• ROC · AOJ = OJ2 = OC × OJ cos γ, soit cos γ =
=
.
OC
4
2
(15 – 1)
6 – 215 – 8
–1=
,
3. a) cos 2α = 2 cos2 α – 1 = 2
16
8
15 + 1
soit cos 2α = –
= cos β.
4

A. Avec un repère
1. a) A(2 ; 0), B(2 ; 2), C(0 ; 2), I(1 ; 1) et M(x ; y).
TMO · RMA = (– x)(2 – x) + (– y)(– y)
= x2 + y2 – 2x.
MA2 + MC2 = (2 – x)2 + y2 + x2 + (y – 2)2
= 2x2 + 2y2 – 4x – 4y + 8.
b) M ∈ Ᏹ ⇔ TMO · RMA = 4
⇔ x2 + y2 – 2x – 4 = 0 [1].
M ∈ Ᏺ ⇔ 2x2 + 2y2 – 4x – 4y = 0
⇔ x2 + y2 – 2x – 2y = 0 [2].
c) [1] s’écrit (x – 1)2 + y2 = 5,
donc Ᏹ est le cercle de centre J(1 ; 0) et de rayon 15.
Or JC = JB = 9IA2 + AB2 = 15 ; donc Ᏹ passe par B et C.
[2] s’écrit (x – 1)2 + (y – 1)2 = 2, donc Ᏺ est le cercle de
centre I(1 ; 1) et de rayon 12. Or IO2 = 2, donc Ᏺ est le
cercle circonscrit au carré OABC.
B. Sans repère
1. a) TMO · RMA = (EMJ + AJO) · (EMJ + pJA).
Or pJA = – AJO ; donc TMO · RMA = MJ2 – JO2 = MJ2 – 1.
b) M ∈ Ᏹ ⇔ MJ2 – 1 = 4 ⇔ MJ = 15.
Donc Ᏹ est le cercle de centre J passant par B.
AC2
2. a) MA2 + MC2 = 2MI2 +
= 2MI2 + 4.
2
b) M ∈ Ᏺ ⇔ 2MI2 + 4 = 8 ⇔ 2MI2 = 2.
Donc Ᏺ est le cercle de centre I passant par O, c’est-à-dire
le cercle circonscrit au carré OABC.

Chapitre 10 ● Produit scalaire : applications

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