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dc2 3m 13 14 .pdf


Nom original: dc2-3m-13-14.pdf
Titre: 4 Math
Auteur: toshiba

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n° : 2

Durée : 2 heures

3 Math1-4

Le 12/02/2014

Exercice 1 :(5 points)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
points d'affixes respectives
1) A tout nombre complexe z, différent de

et

et

.

on associe le nombre complexe z' =

a) Ecrire sous forme cartésienne z' lorsque z = .
b) Déterminer z pour que z' = .
c) Déterminer les ensembles suivants : (E) = {M(z)
2) a) Ecrire
et sous forme trigonométrique.
b) Placer les points A et B.
c) Ecrire

. On désigne par A , B et C les

/ z' est réel}

.

(F) = {M(z)

/ |z'| = 1}.

sous forme trigonométrique puis sous forme cartésienne.

d) En déduire les valeurs exactes de cos

et sin(

.

Exercice 2 : (7 points)
Soit f la fonction définie par
, où a et b sont deux réels. On désigne par (Cf) sa
représentation graphique dans un repère orthonormé
.
1) Déterminer les réels a et b pour que f admet un extrémum en 1 de valeur 0.
Dans la suite de l'exercice on prend a = 3 et b =
, donc
.
2) a) Etudier les variations de f.
b) Montrer que le point
est un centre de symétrie de (Cf).
c) Donner une équation de la tangente (T) à (Cf) au point I, puis étudier la position relative de (Cf) par
rapport à (T).
d) Etudier les branches infinies de (Cf) puis tracer (T) et (Cf). (On placera le point d'abscisse
).
e) Donner le signe de f(x).
3) Soit la fonction g définie sur IR par g(x) =

.

a) Etudier les variations de g .
b) En déduire le minimum de g.
4) Soit h la fonction définie par h(x) = x² + 2x.
a) Tracer (Ch) dans le même repère
.
b) Soit la droite (Dm) :
, où m est un réel.
Etudier suivant les valeurs de m le nombre de points d'intersection de (Dm) et (Ch).
c) Lorsque (Dm) coupe (Ch) en deux points distincts M' et M", déterminer l'ensemble des milieux Im de
[M'M"] lorsque m varie.
5) Soit la fonction  définie par :
a) Etudier la continuité et la dérivabilité de  en
.
b) Tracer (C) puis dresser le tableau de variation de .

Exercice 3 : (5 points)
Dans la figure ci-contre ABC est un triangle isocèle rectangle en A et de sens direct .
On désigne par O le centre du cercle (C) circonscrit au triangle ABC et par (OI) la médiatrice de [AC].
1) Soit R la rotation d’angle

qui transforme C en A.

Montrer que I est le centre de R.
2) Soit D l’image de A par R, montrer que I, B et D sont alignés.
3) Soit J le point de [AB] tel que AJ = CO.
Montrer que R(O) = J.
4) Les droites (IA) et (CB) se coupent en E.
Montrer que R(E) = B et CE = AD.
5) a) Montrer que les droites (JD) et (AB) sont perpendiculaires.
b) En déduire que les points J , E et D sont alignés.

Exercice 4 : (3 points)
Soit f la fonction définie par f(x) =

.

1) a) Montrer que pour tout réel x ,
b) Résoudre dans IR puis dans [0 ,
2) Soit g la fonction définie sur [0 ,

, l’inéquation f(x) > 0.
par :

.

a) Montrer que :
b) Résoudre dans [0 ,

, l’inéquation g(x)

1.

Bon Travail


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