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Les applications pédagogiques

APPLICATIONS
PEDAGOGIQUES-2
***
CINEMATIQUE DU
SOLIDE

Rachid MESRAR
__________________________________________________________________________________
Rachid MESRAR
Applications pédagogiques – Cinématique du solide

1

Application pédagogique n° 1 : mouvement d’une demidemi-boule en contact avec un plan fixe
Notions abordées :
Paramétrage d'un solide
Torseur cinématique
Axe instantané de rotation et de glissement (AIRG)
Invariant scalaire – Invariant vectoriel
On considère une demi-boule homogène (S), de rayon R, de masse m et de centre d’inertie
G. On note O le centre du cercle de la base et on admettra que OG =
r r r

r

3R
. Un repère
8

orthonormé direct R(G, x , y , z ) est lié à (S) de telle sorte que l’axe (G, z ) soit confondu avec
GO et de même sens (voir figure).

r
z0

r
z

ϕ

r
z0

θ

(S)
O
O0

r
y0

G

ψ
I
r
x0

r
u

r r

Cette demi-boule est en contact ponctuel en I avec le plan (O0 , x0 , y0 ) d’un repère
r r r
orthonormé direct R0 (O0 , x0 , y0 , z0 ) que l’on suppose galiléen. Le solide (S) est situé dans la
région O0 z0 ≥ 0 , le point O restant à la cote z = R dans (R0).
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Rachid MESRAR
Applications pédagogiques – Cinématique du solide

2

Q1Paramétrer la position de la demi-boule en utilisant les angles d’Euler.
Q2Construire les figures de calcul.
Q3Déterminer le vecteur instantané de rotation de (S) dans son mouvement par rapport
r r r
à (R0) et donner ses composantes dans la base (u , w, z ) .
Q4r r
Déterminer la condition géométrique de contact entre (S) et le plan (O, x0 , y0 ) .
Q5Quel est alors le nombre de degrés de liberté du système ?
Q6r r r
Calculer la vitesse du centre d’inertie G de (S) par ses composantes dans la base (u , w, z ) .
Q7Calculer l’accélération du centre d’inertie G de (S) par ses composantes dans la
r r r
base (u , w, z ) .

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3

Solution détaillée
R1La position de (S) peut être définie par les coordonnées (x, y, z) de G dans (R0) et par les
angles d’Euler (ψ , θ , ϕ ) déterminés par la succession des repères orthonormés directs
suivants :
r
r
r
r r r
r r r
r r r
r r r
ψ , z0 )
(θ ,u )
ϕ ,z )
R' (G, x0 , y0 , z0 ) (
→ R1 (G, u , v , z0 ) 
→ R2 (G, u , w, z ) (
→ R(G, x , y , z )

(R’) a ses axes respectivement parallèles à ceux de (R0) et de même sens.

R2-

r
z

r
y

r
x

r
z

R3Le vecteur instantané de rotation de (S) dans son mouvement par rapport à (R0) est donné
par :

r

r

r

r

r

r

r

r

Ω ( S / R0 ) = Ω ( R / R0 ) = Ω ( R / R2 ) + Ω ( R2 / R1 ) + Ω ( R1 / R0 ) = ϕ& z + θ& u + ψ& z0
r r r
r r r
Avec R1 (G , u , v , z0 ) le premier repère intermédiaire et R2 (G , u , w, z ) est le deuxième
repère intermédiaire.
Soit :

r

r

r

r

Ω ( S / R0 ) = ψ& z0 + θ& u + ϕ& z
r r r

Ou encore dans la base (u , w, z ) :

r

r

r

r

Ω ( S / R0 ) = θ&u + ψ& sin θw + (ϕ& + ψ& cos θ ) z

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R4Le contact géométrique en I est nécessairement traduit par une condition sur les
paramètres de position ( x, y , z,ψ , θ , ϕ ) . Celle-ci est obtenue en exprimant que si le contact a
lieu alors :

r
O0 I . z0 = 0

r
⇒ (O0 G + GO + OI ). z0 = 0
r
r 3R r
r r
⇒ ( xx0 + yy0 + zz0 +
z − Rz0 ). z0 = 0
8
D’où :

3
z = R(1 − cos θ ) (Lg)
8
R5La condition (Lg) obtenue dans la question 4- permet de réduire le nombre de paramètres
de position indépendants de 6 à 5.
Le nombre de degrés de liberté du système est alors 5 qui sont ( x, y ,ψ , θ , ϕ ) .

R6r
dO G 
r
r 3R &
r
V (G / R0 ) =  0  = x&x0 + y& y0 +
θ sin θz0
8
 dt  R0
r
r
r
r
r
r
= x& (cosψu − sinψ cos θw + sinψ sin θz ) + y& (sinψu + cosψ cos θw − cosψ sin θz )

+

r
3R &
r
θ sin θ (sin θw + cos θz )
8

D’où :


x& cosψ + y& sinψ
r

3R & 2
V (G / R0 ) =
θ sin θ
 − x& sinψ cos θ + y& cosψ cos θ +
8

 x& sinψ sin θ − y& cosψ sin θ + 3 R θ& sin θ cos θ
r r r 
8
( u ,w, z ) 

R7-

r

 dV (G / R0 ) 
r
r 3 R &&
r
(θ sin θ + θ& 2 cos θ ) z0
 = &x&x0 + &y&y0 +
dt
8

 R0

γ (G / R0 ) = 

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r
r
r
r
r
r
= x&&(cosψu − sinψ cos θw + sinψ sin θz ) + &y&(sinψu + cosψ cos θw − cosψ sin θz )
r
3 R &&
r
+
(θ sin θ + θ& 2 cos θ )(sin θw + cos θz )
8
D’où :


&x& cosψ + &y& sinψ


r
3 R &&

(θ sin θ + θ& 2 cos θ ) sin θ
γ (G / R0 ) =
− &x& sinψ cos θ + &y& cosψ cos θ +
8

 &x& sinψ sin θ − &y& cosψ sin θ + 3 R (θ&& sin θ + θ& 2 cos θ ) cos θ
r r r 
8
( u ,w , z ) 

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Application pédagogique n° 2 : mouvement d’un système pendulaire
Notions abordées
Condition de roulement sans glissement
Torseur cinématique
Soit le système (S) constitué des deux solides suivants :
- (D) est un disque de masse m1, de centre C et de rayon R.
- (T) est une tige rectiligne de masse m2, de centre d’inertie G et de longueur 2L.
La tige (T) est articulée sur le disque (D) par une liaison rotoïde sans frottement d’axe
r
(C , z 0 ) .
r
r r r
Le disque (D) roule sans glisser sur l’axe (O, x0 ) du repère de référence R0 (O , x0 , y0 , z0 ) .
r
On notera I le point de (D) en contact avec l’axe (O, x0 ) .
Les paramètres la position de (S) sont :
- x(t) l’abscisse du centre C de (D).
r
- ϕ (t ) = ( x0 , CM ) où M est un point lié à (D) (voir figure)
r r
r r
- θ ( t ) = ( x0 , u ) = ( y 0 , v ) .

r
y0

r
y0

θ

r
u

r
v

M

ϕ

(D)

r
x0

C

r
x0

I

O

x(t)

θ

E

G

(T)

Q1Montrer que la condition de roulement sans glissement au point I de (D) sur
r
l’axe (O, x0 ) est :
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x& + Rϕ& = 0
Dans la suite du problème cette relation sera prise en compte.
Q2Déterminer les élément de réduction en C du torseur cinématique de (D) dans son
mouvement par rapport à (R0).
Q3Donner les élément de réduction en G du torseur cinématique de (T) dans son mouvement
par rapport à (R0).

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Solution détaillée
R1-

r
r
r
r
r
r
r
V ( I ∈ D / R0 ) = V (C ∈ D / R0 ) + Ω ( D / R0 ) ∧ CI = x&x0 + ϕ&z0 ∧ ( − Ry0 ) = ( x& + Rϕ& ) x0
La condition de roulement sans glissement impose :

r
r
V ( I ∈ D / R0 ) = 0
Soit :

x& + Rϕ& = 0
R2Les élément de réduction en C du torseur cinématique de (D) dans son mouvement par
rapport à (R0) sont :

r
Ω ( D / R0 )
[ϑ ( D / R0 )]=  r
V (C / R0 )
C
Avec

r

r

Ω ( D / R0 ) = ϕ&z0
Et

r
 OC 
r
r
V (C / R0 ) = 
 = x&x 0 = − Rϕ&x0
 dt  R0
D’où :

r
r
 Ω ( D / R0 ) = ϕ&z0
[ϑ ( D / R0 )]=  r
r
&
V
(
C
/
R
)
=

R
ϕ
x

0
0
C
R3-

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Les élément de réduction en G du torseur cinématique de (T) dans son mouvement par
rapport à (R0) sont :

r
Ω (T / R0 )
[ϑ (T / R0 )]=  r
V (G / R0 )
G
Avec

r

r

Ω (T / R0 ) = θ&z0
Et
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
V (G / R0 ) = V (C / R0 ) + Ω (T / R0 ) ∧ CG = x&x0 + θ&z0 ∧ ( − Lv ) = x&x0 + Lθ&u = − Rϕ&x0 + Lθ&u

D’où :

r

r

Ω (T / R0 ) = θ&z0
[ϑ (T / R0 )]=  r
r
&ur
&
V
(
G
/
R
)
=

R
ϕ
x
+
L
θ
0
0
G

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