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Les applications pédagogiques

APPLICATIONS
PEDAGOGIQUES-3
***
CENTRE D’INERTIE

Rachid MESRAR
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Rachid MESRAR
Applications pédagogiques – Centre d’inertie

1

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Rachid MESRAR
Applications pédagogiques – Centre d’inertie

2

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Rachid MESRAR
Applications pédagogiques – Centre d’inertie

3

-Application pédagogique n° 3
Déterminer le centre d’inertie d’une demi-sphère de rayon R et de masse
volumique ρ . En déduire la position du centre d’inertie d’un culbuto constitué
de la demi-sphère précédente surmontée d’un cylindre de même rayon, de
hauteur h et de même masse volumique. Pour quelle valeur de h, le centre
d’inertie du culbuto est confondu avec le centre O de la sphère ?
r
y
R

h

O

r
x

r
z

- Demi sphère de rayon R , de masse m1 =

2
ρπR 3
3

r
Par raison de symétrie, le centre d’inertie G se trouve sur l’axe (O, y ) . On
découpe la demi sphère en disques élémentaires d’axe (O, yr ) , d’épaisseur dy, de
rayon r et de masse :

dm = ρπr 2 dy
On a :
D’où :

x = R cosθ , y = R sin θ ⇒ dy = R cosθdθ

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Rachid MESRAR
Applications pédagogiques – Centre d’inertie

4

π
2

∫ ydm = ρπR ∫ cos

m1 yG =

4

(S )

0

3

θ sin θdθ =

ρπR 4
4

⇒ yG =

3R
8
2
3

3
- Culbuto composé d’une demi sphère de rayon R, de masse m1 = ρπR , et

d’un cylindre de rayon R, de hauteur h et de masse m2 = ρπR 2 h .
Pour des raisons de symétrie, le centre d’inertie G du culbuto se trouve sur
r
l’axe (O, y ) . Soit G1 le centre d’inertie de la sphère seule, et G2 le centre
d’inertie du cylindre seul, avec :

yG1 = −

h
3R
y
=
G2
2
8 et

Le culbuto étant composé de la sphère et du cylindre, on a :

yG =

m1 yG1 + m2 y G2
m1 + m2

Soit :
2
3
h
ρπR 3 ( − R ) + ρπR 2 h( )
3( 2h 2 − R 2 )
3
8
2
yG =
⇒ yG =
2
4 ( 3h + 2 R )
3
2
ρπR + ρπR h
3

Le centre d’inertie du culbuto sera confondu avec O pour h =

R
.
2

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Rachid MESRAR
Applications pédagogiques – Centre d’inertie

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