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Les applications pédagogiques

APPLICATIONS
PEDAGOGIQUES-5
***
CINETIQUE

Rachid MESRAR
__________________________________________________________________________________
Rachid MESRAR
Applications pédagogiques - Cinétique

1

Application pédagogique n° 1 : mouvement d’une tige
Notions abordées
Torseur cinématique
Matrice d’inertie
Torseur cinétique
Torseur dynamique
dynamique
Energie cinétique
r r r

Soit un repère orthonormé direct R0 (O , x0 , y0 , z0 ) par rapport auquel une tige rectiligne
homogène (T) de masse m et de longueur l est en mouvement de telle sorte que :
- L’une des extrémités reste constamment confondue avec le point O, l’autre étant notée A.
r
- OA tourne autour de l’axe (O, z0 ) et fait avec lui un angle θ tel que : θ = (Oz0 , OA) .
r r
On note R(O, x , y, z ) le repère orthonormé direct lié à la tige de telle sorte que (T) soit
r r
r
porté par (O, z ) et ψ (t ) = ( x0 , x )
r
z0

r
z0

r
z

A

θ
r
y

O

r
x0

r
y0

ψ
r
x

Q1- Déterminer les éléments de réduction au point O du torseur cinématique [ V (T / R0 ) ]
associé au mouvement de (T) par rapport à (R0).
r r r
Q2- Déterminer la matrice d’inertie en O de (T) relativement à la base ( x , y , z ) .
Q3- Déterminer les éléments de réduction en O du torseur cinétique [CC (T / R0 )] associé au
mouvement de (T) par rapport à (R0).
Q4- Déterminer les éléments de réduction en O du torseur dynamique [Ð
Ð (T / R0 ) ] associé
au mouvement de (T) par rapport à (R0).
Q5- Calculer l’énergie cinétique de (T) dans son mouvement par rapport à (R0).
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Rachid MESRAR
Applications pédagogiques - Cinétique

2

Solution
Solution détaillée
R1Les éléments de réduction au point O du torseur cinématique [ V (T / R0 ) ] sont :
r
r
r
Ω (T / R0 ) = ψ&z0 + θ&y
r
[ϑ (T / R0 )]=  r
V
(
O

T
/
R
)
=
0

0
O

R2-

r r

La matrice d’inertie en O de (T) relativement à la base ( w, v , z ) est :

M

(T )
O

 ml 2

 3

= 0
 0




0


0
0

 ( xr , yr ,zr )

0
ml 2
3
0

En effet, si P est un point de (T) alors on a : P (0, 0, z). Par conséquent tous les produits
d’inertie sont nuls et C = I Oz = 0 .
Par ailleurs :
l

ml 2
m
A = B = ∫ z dm = λ ∫ z dz =
car λ =
3
l
P∈( T )
0
2

2

R3Les éléments de réduction en O du torseur cinétique [CC (T / R0 )] associé au mouvement de
(T) par rapport à (R0) sont :

r
mV (G / R0 )
[C (T / R0 )] =  r
σ (T / R0 )
O O
Avec :

__________________________________________________________________________________
Rachid MESRAR
Applications pédagogiques - Cinétique

3

r
r
 d OG 
r r l
l  dz 
l r
l r r
r r
V (G / R0 ) = 
 =   = (ψ&z0 + θ&y ) ∧ z = ψ& ( z0 ∧ z ) + θ&( y ∧ z )
2
2
 dt  R0 2  dt  R0 2
r l r
l
= ψ& sin θy + θ&x
2
2
Et

r

r

σ O (T / R0 ) = M O( T ) Ω (T / R0 )
Avec

r

r

r

r

r

r

r

r

Ω (T / R0 ) = ψ&z0 + θ&y = ψ& (cos θz − sin θx ) = −ψ& sin θx + θ&y + ψ& cos θz
D’où :

 ml 2

 3
r
r

σ O (T / R0 ) = M O(T ) Ω(T / R0 ) =  0
 0


D’où :

0
ml 2
3
0


0
 − ψ& sin θ 


0  θ&



0  ψ& cos θ 



ml 2
r ml 2 &r
σ O (T / R0 ) = −
ψ& sin θx +
θy
3
3
r

R4Les éléments de réduction en O du torseur dynamique [Ð
Ð (T / R0 ) ] associé au mouvement
de (T) par rapport à (R0) sont donnés par :

r
mΓ (G / R0 )
r

Ð (T / R0 )]= 
(T / R0 )
δ
O O
Avec

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4

r l &r  
 l
r
&
ψ
θ
d
sin
y
+ θx  

 2
r
 dV (G / R0 ) 
2 


Γ (G / R0 ) = 
 =
dt
dt


 R0 


R0
r
r
r l
l
dy 
l &&r l &  dx 

&
= (ψ&& sin θ + ψ&θ cos θ ) y + ψ& sin θ   + θx + θ  
2
2
2  dt  R0
 dt  R0 2

 r
 − ψ& sin θ   0   − ψ& cos θ 
r

   

r
d
y
 
&

θ
=
(
R
/
R
)

y
=

1
=
0






0
  dt 
R0







 ψ& cos θ   0   − ψ& sin θ 



 − ψ& sin θ   1   0 
r
  dxr 
   

r 
   = Ω ( R / R0 ) ∧ x =  θ&
 ∧  0  = ψ& cos θ 
 ψ& cos θ   0   − θ& 
  dt  R0

   



D’où :

r
r l
r l
r
l
Γ(G / R0 ) = (θ&& − ψ& 2 sin θ cosθ ) x + (ψ&& sin θ + 2ψ&θ& cosθ ) y − (ψ& 2 sin 2 θ + θ& 2 ) z
2
2
2

Et

r
r
r
r
 dσ O (T / R0 ) 
 dσ O (T / R0 ) 
δ O (T / R0 ) = 
=
+

(
R
/
R
)

σ
0
O (T / R0 )



dt
dt

R0
R
r

r
r ml 2 &&
ml 2
 dσ O (T / R0 ) 
&

 = − 3 (ψ&& sin θ + ψ&θ cos θ ) x + 3 θy
dt
R
 ml 2
 

ml 2 &
−
ψ& sin θ   −
θψ& cos θ 
3
 

 − ψ& sin θ   3 2
2
r


r
ml
ml




2
Ω ( R / R0 ) ∧ σ O (T / R0 ) =  θ&  ∧ 
θ&  =  −
ψ& sin θ cos θ 
3
3
 ψ& cos θ  



0
0



 


 

__________________________________________________________________________________
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5

D’où :

 ml 2

−
(ψ&& sin θ + 2ψ&θ& cos θ ) 
 23

2
 ml && ml & 2

r
θ−
ψ sin θ cos θ 

δ O (T / R0 ) = 3
3




0



 rrr

( x , y ,z )

R5L’énergie cinétique de (T) dans son mouvement par rapport à (R0) est :

T (T / R0 ) =

r
1 r2
1 r
mV (O / R0 ) + T Ω(T / R0 ) M O( T ) Ω(T / R0 )
2
2

 ml 2

 3
1

= 0 + ( −ψ& sin θ , θ&,ψ& cos θ ) 0
2
 0


ml 2
ml 2 & 2
=
(ψ& sin θ ) 2 +
θ
6
6

0
ml 2
3
0


0
 − ψ& sin θ 


0  θ&



0  ψ& cos θ 



D’où :

ml 2 & 2
T (T / R0 ) =
(θ + ψ& 2 sin 2 θ )
6

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6

Application pédagogique n° 2 : mouvement d’un pendule simple
Notions abordées
Torseur cinématique
Torseur cinétique
Torseur
Torseur dynamique
Energie cinétique
Considérons un pendule simple constitué d’une tige rectiligne (T) de longueur l,
homogène , de masse m et de centre d’inertie G.

r
y

(S0)

O

r
y0

θ

G

(T)

r
x
r
x0

r r r

Soit R0 (O , x0 , y0 , z0 ) un repère orthonormé direct lié à un bâti (S0). La tige (T) a une liaison
r r r
r
pivot d’axe (O, z0 ) avec (S0). Soit R(O, x , y , z ) un repère orthonormé direct lié à (T) tel que :
OG =

r r
l r
x et θ = ( x0 , x ) .
2

Q1- Déterminer le torseur cinématique en O de (T) dans son mouvement par rapport à
(R0).
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7

Q2- Déterminer le torseur cinématique en G de (T) dans son mouvement par rapport à
(R0).
Q3- Déterminer par deux méthodes différentes le torseur cinétique en O de (T) dans son
mouvement par rapport à (R0).
Q4- Déterminer de deux manières différentes le torseur cinétique en G de (T) dans son
mouvement par rapport à (R0).
Q5- Déterminer le torseur dynamique en O de (T) dans son mouvement par rapport à (R0).
Q6- Déterminer par deux méthodes différentes le torseur dynamique en G de (T) dans son
mouvement par rapport à (R0).
Q7- Calculer de deux manières différentes l’énergie cinétique de (T) dans son mouvement
par rapport à (R0).

__________________________________________________________________________________
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8

Solution détaillée
R1Le torseur cinématique en O de (T) dans son mouvement par rapport à (R0) est :

r
r
Ω (T / R0 ) = θ&z0
r
[ϑ (T / R0 )] =  r
V
O
R
=
0
(
/
)
0
O
R2Le torseur cinématique en G de (T) dans son mouvement par rapport à (R0) est :

r
r
Ω (T / R0 ) = θ&z0
[ϑ (T / R0 )] =  r
V (G / R0 )
G

r
r
 d OG 
r l &r r l &r
l  dx 
l r
V
(
G
/
R
)
=
=
=
(

(
T
/
R
)

x
) = (θz0 ∧ x ) = θy


0
0
Avec


2
2
 dt  R0 2  dt  R0 2
D’où :

r

r
 Ω (T / R0 ) = θ&z0
r
=
l &r

[ϑ (T / R0 )]
V
(
G
/
R
)
=
θy
0


2
G
R3Le torseur cinétique en O de (T) dans son mouvement par rapport à (R0) est :

r
mV (G / R0 )
[C (T / R0 )] =  r
σ (T / R0 )
O O
r

Calcul du moment cinétique σ O (T / R0 ) :
Première méthode :

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9

r
OP

V
( P / R0 )dm


r

σ O (T / R0 ) =

P∈( T )

r

Soit P un point appartenant à (T) alors OP = xx et par suite on a :

r
r
r
r
r
r
V ( P / R0 ) = V (O / R0 ) + Ω (T / R0 ) ∧ OP = θ&z0 ∧ xx = xθ&y
142
4
3
r
0

Donc on a :

r

σ O (T / R0 ) =

r
OP

V
( P / R0 )dm =


P∈( T )

r
&yr )dm = θ&zr
(
x
x

x
θ
0


P∈( T )

∫ x dm
2

P∈( T )

m
dx où λ est la densité linéique de (T) :
l
l
r
m &r
ml 2 &r
2
σ O (T / R0 ) = θz0 ∫ x dx =
θz 0
l
3
0

Sachant que dm = λdx =

Deuxième méthode : Plus simple

[

σ O (T / R0 ) = [M O(T ) ]
r



0
r
Ω (T / R0 ) =  0


0


]

0
ml 2
3
0



0  0 
  ml 2 &r

0 0  =
θz 0
 
3
&
ml 2  θ 

3 

D’où :

l &r
 r
θy
m
V
(
G
/
R
)
=
m
0

2
[C (T / R0 )] = 
r
ml 2 &r
σ O (T / R0 ) =
θz 0
3
O

R4Le torseur cinétique en G de (T) dans son mouvement par rapport à (R0) est :

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l r
 r
mV (G / R0 ) = m θ&y
[C (T / R0 )] = 
2
r

σ G (T / R0 )
G

r

Calcul du moment cinétique σ G (T / R0 )

:

Première méthode :
r
ml 2 &r
l &r l r ml 2 &r ml 2 &r
ml 2 &r
σ G (T / R0 ) = σ O (T / R0 ) + mV (G / R0 ) ∧ OG =
θz 0 + m θy ∧ x =
θz 0 −
θz 0 =
θz 0
3
2
2
3
4
12
r

r

Deuxième méthode :

[

σ G (T / R0 ) = [M G(T ) ]
r



0
r
Ω (T / R0 ) =  0


0


]

0
ml 2
12
0



0  0 
  ml 2 &r

0 0  =
θz
  12 0
&
ml 2 θ 

12 

D’où :

l &r
 r
m
V
(
G
/
R
)
=
m
θy
0

2
[C (T / R0 )] = 
2
r
σ G (T / R0 ) = ml θ&zr0
12
G

R5Le torseur dynamique en O de (T) dans son mouvement par rapport à (R0) est :

r
mΓ(G / R0 )
[ D (T / R0 )]=  r
δ (T / R0 )
O 0
Calcul de la résultante dynamique
r
r
 dV (G / R0 ) 
r
l  &&r &  dy   l &&r & &r
l &&r & 2 r
 d l &r 
Γ (G / R0 ) = 
 =  ( θy ) = θy + θ    = θy + θ (θz0 ∧ y ) = θy − θ x
dt
2
 R0 2 
 dt  R0  2

 R0  dt 2
r

[

]

[

D’où :
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]

r

mΓ (G / R0 ) =

[

ml &&r & 2 r
θy − θ x
2

]

Calcul du moment dynamique au point O
Le point O étant fixe dans (R0), il vient :

r
ml 2 &&r
 dσ O (T / R0 ) 
δ 0 (T / R0 ) = 
=
θz0

dt
3

 R0
r

D’où :

[

ml &&r & 2 r
 r
m
Γ
(
G
/
R
)
=
θy − θ x
0

2
[ D(T / R0 )]= 
2
r
r
ml
 δ 0 (T / R0 ) =
θ&&z0
3
O

]

R6Le torseur dynamique en G de (T) dans son mouvement par rapport à (R0) est :

r
mΓ(G / R0 )
[ D(T / R0 )]=  r
δ (T / R0 )
G G
Calcul du moment dynamique au point G
Première méthode
G étant le centre d’inertie de (T), il vient

r
ml 2 &&r
 dσ G (T / R0 ) 
δ G (T / R0 ) = 
 = 12 θz0
dt

R0
r

Deuxième méthode :

r

r

r

δ G (T / R0 ) = δ O (T / R0 ) + mΓ (G / R0 ) ∧ OG

[

]

ml 2 &&r ml &&r & 2 r l r ml 2 &&r ml 2 &&r
ml 2 &&r
=
θz 0 +
θy − θ x ∧ x =
θz 0 −
θz 0 =
θ z0
3
2
2
3
4
12
__________________________________________________________________________________ 12
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D’où :

[

ml &&r & 2 r
 r
θy − θ x
m
(
G
/
R
)
Γ
=
0

2
[ D(T / R0 )]=  r
2
ml
r
 δ G (T / R0 ) =
θ&&z0
12
G

]

R7Calcul de l’énergie cinétique de (T) dans son mouvement par rapport à (R0):

Première méthode :

T (T / R0 ) =

r2
r
1
r
&
V
(
P
/
R
)
dm
V
(
P
/
R
)
=
x
θ
y
0
avec
0
2 P∈∫( T )

Ce qui donne :

T (T / R0 ) =

θ2
2

2
x
∫ dm

P∈( T )

l
m
mθ& 2
ml 2 & 2
2
dx ⇒ T (T / R0 ) =
x dx =
θ
Or dm = λdx =
2l ∫0
6
l

Deuxième méthode
méthode :
En utilisant le comoment des torseurs cinématiques et cinétique de (T) dans son
mouvement par rapport à (R0) :
r
r  mVr (G / R ) = m l θ&yr
&
Ω (T / R0 ) = θz0 
0
2
r
r
2
2T (T / R0 ) = [ V (T / R0 ) ]O.[CC (T / R0 )] O= 
. r
V (O / R0 ) = 0
σ O (T / R0 ) = ml θ&zr0
O
3
O
=

ml 2 & 2
θ
3

D’où :

ml 2 & 2
θ
T (T / R0 ) =
6
__________________________________________________________________________________ 13
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Application pédagogique n° 3 : cône en mouvement sur un plan

r

On considère un cône (S) d’axe de symétrie de révolution (O, z ) dont le point O reste
immobile sur un plan (π ) .

r
z0

r
z

(S )
r
y

θ

r
y0

O

ϕ

ψ

(π )

r
x
r
x0
r
u

r r r

r

Soit R0 (O, x0 , y0 , z0 ) un repère orthonormé direct lié à (π ) dont l’axe (O, z0 ) est dirigé suivant
r r r
la verticale ascendante. Soit R(O, x , y , z ) un repère lié à (S).
La position de la base de (R) par rapport à la base de (R0) est définie par les trois angles
d’Euler (ψ , θ , ϕ ) .

r
y0

r
v ψ

r
z

r
z0

θ

r
y

r
z0

r
x

r
w

r
u

ψ

r

ϕ w

r
x0

θ
r
u

ϕ
r
v

r
z

r
u

1- Montrer que la matrice d’inertie de (S) au point O est de la forme :

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Applications pédagogiques - Cinétique

M O( S )

A 0 0


= 0 A 0
0 0 C r

 ( −, −,z )

2- Déterminer le moment cinétique au point O de (S) dans son mouvement par rapport à
(R0).
3- Déterminer le moment dynamique au point O de (S) dans son mouvement par rapport à
(R0).
4- Calculer l’énergie cinétique de (S) dans son mouvement par rapport à (R0).

Solution détaillée
r

1- La forme de la matrice d’inertie de (S) en O se justifie par le fait que l’axe (O, z ) est un
axe de symétrie de révolution. Par ailleurs cette forme est valable pour toute base se
r r r
r r r
r
terminant par z , c’est le cas par exemple des bases ( x , y , z ) et (u , w, z ) (deuxième base
intermédiaire).
2- Le moment cinétique au point O de (S) dans son mouvement par rapport à (R0) est :
r

r

σ O ( S / R ) = M O( S ) .Ω ( S / R )

Avec
r

r

r

r

r

r

r

Ω ( S / R ) = ψ&z0 + θ&u + ϕ&z = θ&u + ψ& sin θw + (ϕ& + ψ& cos θ ) z

D’où :

θ&
 A 0 0 



σ O ( S / R ) = M O( S ) .Ω ( S / R ) =  0 A 0  ψ& sin θ 
 0 0 C ϕ& + ψ& cos θ 



r

r

r
r
r
= Aθ&u + Aψ& sin θw + C (ϕ& + ψ& cos θ ) z

3- Le moment dynamique au point O de (S) dans son mouvement par rapport à (R0) est :
r
r
r r r r
r
 dσ O ( S / R ) 
 dσ O ( S / R ) 
δ O (S / R) = 
=
+

((
u
,
w
,
z
)
/
R
)

σ
O ( S / R)


 r r r
dt
dt

R
( u ,w , z )
r

Avec
r
r
r
r
 dσ O ( S / R ) 
= Aθ&&u + A(ψ&& sin θ + ψ&θ& cos θ ) w + C (ϕ&& + ψ&& cos θ − ψ&θ& sin θ ) z


dt
R
__________________________________________________________________________________ 15
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Applications pédagogiques - Cinétique

Et
Aθ&
Cψ& sin θ (ϕ& + ψ& cos θ ) − Aψ& 2 sin θ cos θ
θ&
r r r r
r
Ω ((u , w, z ) / R ) ∧ σ O ( S / R ) = ψ& sin θ ∧ Aψ& sin θ =
Aψ&θ& cos θ − Cθ&(ϕ& + ψ& cos θ )
ψ& cos θ C (ϕ& + ψ& cos θ )
0

D’où :
r

δ O ( S / R)=
r r r
( u ,w, z )

Aθ&& + Cψ& sin θ (ϕ& + ψ& cos θ ) − Aψ& 2 sin θ cos θ
Aψ&& sin θ + 2 Aψ&θ& cos θ − Cθ&(ϕ& + ψ& cos θ )
C (ϕ&& + ψ&& cos θ − ψ&θ& sin θ )

4- L’énergie cinétique de (S) dans son mouvement par rapport à (R0) est :
T ( S / R) =

r
1 r2
1 r
mV (O / R0 ) + T Ω ( S / R ) M O( S ) Ω ( S / R )
2 44244
1
3 2
r
0


θ&
 A 0 0 



1 &
= (θ ,ψ& sin θ , ϕ& + ψ& cos θ ) 0 A 0  ψ& sin θ 
2
 0 0 C  ϕ& + ψ& cos θ 



=

A &2
C
(θ + ψ& 2 sin 2 θ ) + (ϕ& + ψ& cos θ ) 2
2
2

__________________________________________________________________________________ 16
Rachid MESRAR
Applications pédagogiques - Cinétique



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