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Les applications pédagogiques

APPLICATIONS
PEDAGOGIQUES-1
***
LES TORSEURS

Rachid MESRAR
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Rachid MESRAR
Applications pédagogiques – Les torseurs

1

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Rachid MESRAR
Applications pédagogiques – Les torseurs

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Rachid MESRAR
Applications pédagogiques – Les torseurs

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Rachid MESRAR
Applications pédagogiques – Les torseurs

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Application pédagogique 3
Dans le repère R(O, xr, yr , zr ) , on donne les trois points A(1, 1, 1), B(1, 0, 0) et C(0,
1, 2) et les trois moments associés respectivement à chaque point :

r
r
r
 H ( A) = − x + ay + 3z
r r
r

(
)
H
B
=

x
+
y
+
b
z

 H (C ) = xr − yr + czr

r

1- Déterminer a, b et c pour que H soit un champ équiprojectif.
r
r
2- Déterminer La résultante R du torseur [T] admettant H comme champ de
moments.
Solution

r
r
 H ( A). AB = H ( B ). AB
r
r
r
H
(
A
).
AC
=
H
(C ). AC

1- Le champ H est équiprojectif si et seulement si : r
r
 H ( B ).BC = H (C ).BC


Déterminons les coordonnées des vecteurs AB, AC et BC .

AB = (0,−1,−1) AC = ( −1,0,1) BC = ( −1,1,2)

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Rachid MESRAR
Applications pédagogiques – Les torseurs

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r
r
H ( A). AB = H ( B ). AB
 − 1  0   − 1  0 
     
⇔  a . − 1 =  1 . − 1 ⇔ −a − 3 = −1 − b ⇔ b − a = 2
 3   − 1  b   − 1
     

r
r
H ( A). AC = H (C ). AC
 − 1   − 1   1   − 1
     
⇔  a . 0  =  − 1. 0  ⇔ 1 + 3 = −1 − c ⇔ c = 5
 3  1   c  1 
     

r
r
H ( B ). BC = H (C ). BC
 − 1  − 1  1   − 1
     
⇔  1 . 1  =  − 1. 1  ⇔ 1 + 1 + 2b = −1 − 1 + 10 ⇔ b = 3
 b  2   5  2 
     
Et d’après la première équation a = 1.
r

2- Si H est un champ de vecteurs équiprojectif, alors il est également le
r
champ de moments d’un torseur qui admet pour résultante R .
r
Soit (x, y, z) les coordonnées de R .
r
r
H et R doivent

vérifier la relation de transport des moments d’un torseur :

 − 1   − 1  x   0 
r
r
r
       
x = 0
H ( A) = H ( B ) + R ∧ BA ⇔  1  =  1  +  y  ∧  − 1 ⇔ 
y = z
 3   3   z   − 1
       

Nous avons également :

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Rachid MESRAR
Applications pédagogiques – Les torseurs

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 − 1  1   0   − 1
r
r
r
       
y = 2
H ( B ) = H (C ) + R ∧ CB ⇔  1  =  − 1 +  y  ∧  1  ⇔ 
z = 2
 3   5  z  2 
       

D’où :

r
R(0,2,2)

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