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MECANIQUE DU SOLIDE
INDEFORMABLE
SM3-SMI3-ERDD3

Rachid MESRAR
Professeur de l’enseignement supérieur
Département de physique
Faculté des sciences
Agadir

email: r.mesrar@uiz.ac.ma

CHAPITRE 4 : CINETIQUE
« La cinétique est définie à partir de la
cinématique en introduisant la notion
de masse »
CINETIQUE = CINEMATIQUE + MASSE

1

CHAPITRE 44: :CINETIQUE
CHAPITRE
CINETIQUE
Objectifs
Préparer le terrain pour le principe fondamental
de la dynamique
Modéliser les trois grandeurs suivantes:
- La quantité de mouvement d’un solide
- La quantité d’accélération d’un solide
- L'énergie cinétique d’un solide

Savoir calculer les moments cinétique et
dynamique d’un système mécanique

2

CHAPITRE 4 : CINETIQUE
Notions abordées









Principe de conservation de la masse
Résultante cinétique
Moment cinétique
Loi de transport des moments cinétiques
Théorème de Koenig
Torseur cinétique
Moment cinétique d’un solide en l’un des ses
points
Résultante dynamique
3

CHAPITRE 4 : CINETIQUE
Notions abordées - Suite
Moment dynamique
Loi de transport des moments dynamiques
Théorème de Koenig
Torseur dynamique
Relation entre les torseurs cinétique et
dynamique
Energie cinétique - Théorème de Koenig

Eléments cinétiques d’un système matériel
4

CHAPITRE 4 : CINETIQUE
PLAN DU COURS
1- TORSEUR CINETIQUE
2- TORSEUR DYNAMIQUE
3- RELATION ENTRE LES TORSEURS CINETIQUE
ET DYNAMIQUE
4- MOMENT CINETIQUE D’UN SOLIDE EN L’UN DE
SES POINTS
5- ENERGIE CINETIQUE
6- ELEMENTS CINETIQUES D’UN SYSTEME DE
SOLIDES
5

1- TORSEUR CINETIQUE

6

1-1- PRINCIPE DE CONSERVATION DE LA MASSE



r

d  r
dF ( P , t )
dm
 ∫ F ( P, t )dm  = ∫
dt  P∈( Σ )
 P∈( Σ ) dt

1-2-TORSEUR CINETIQUE D’UN SYSTEME MATERIEL



r
RC =

r
∫ V ( P / R0 )dm



P∈( Σ )
[C (Σ / R0 )]=  r
r
σ A (Σ / R0 ) = ∫ AP ∧ V ( P / R0 )dm
P∈( Σ )
A

7

1-3-DETERMINATION DE LA RESULTANTE
CINETIQUE

r
RC =

r
∫ V ( P / R0 )dm =

P∈( Σ )

 d OP 

 dm
∫
dt  R
P∈( Σ ) 
0

D’après le principe de conservation de la masse:

 

 d  ∫ OPdm  


r
  P∈( Σ )


RC = 

dt







8

1
OG =
OP
dm
∫
m P∈( Σ )

Or

Ce qui donne

D’où :

r
 d OG 
RC = m 

dt

 R0


r
r
RC = mV (G / R0 )
9

1-4- DETERMINATION DU MOMENT CINETIQUE

r
σ A (Σ / R0 ) = ∫ AP ∧ V ( P / R0 )dm =
r

P∈( Σ )

r
= ∫ BP ∧ V ( P / R0 )dm +
P∈( Σ )
1
444
24443
r

r
∫ ( AB + BP) ∧ V ( P / R0 )dm

P∈( Σ )

r
∫ AB ∧ V ( P / R0 )dm

P∈( Σ )

σ B ( Σ / R0 )

Or le vecteur AB ne dépend pas du point d’intégration courant P

r
σ A (Σ / R0 ) = σ B (Σ / R0 ) + AB ∧ ∫ V ( P / R0 )dm
r

r

P∈( Σ )
1
442
443
r
RC

10

D’où la loi de transport des moments cinétiques :



r
σ A ( Σ / R0 ) = σ B ( Σ / R0 ) + m V (G / R0 ) ∧ AB
r

r

Conclusion


r
RC =

r
r
∫V(P / R0)dm= mV(G / R0)



P∈(Σ)
r
r
[C(Σ / R0 )]=  r
r
σ A(Σ / R0 ) = ∫ AP∧V (P / R0 )dm = σB (Σ / R0 ) + mV (G / R0 ) ∧ BA
P∈(Σ)
A

11

1-5-THEOREME DE KOENIG POUR LE MOMENT
CINETIQUE
En appliquant la loi de transport des moments cinétiques
entre un point A et le centre d’inertie G du système, il vient:

r
σ A (Σ / R0 ) = σ G (Σ / R0 ) + mV (G / R0 ) ∧ AG
144
42444
3
r

r

« Moment cinétique en A de la masse
concentrée m centrée en G »

Cette relation porte le nom de théorème de
Koenig pour le moment cinétique.
12

2- TORSEUR DYNAMIQUE

13

2-1- TORSEUR DYNAMIQUE D’UN SYSTEME
MATERIEL



r
RD =

r


Γ ( P / R0 )dm
∫

P∈( Σ )
[D(Σ / R0 )]=  r
r
δ A (Σ / R0 ) = ∫ AP ∧ Γ ( P / R0 )dm
P∈( Σ )
A

2-2- DETERMINATION DE LA RESULTANTE
DYNAMIQUE

r
r
r
 dV ( P / R0 ) 
RD = ∫ Γ ( P / R0 )dm = ∫ 
 dm
dt
R
P∈( Σ )
P∈( Σ ) 
0

14

  r

 d  ∫ V ( P / R0 )dm 
r
r


r   P∈(Σ)
 dRC 
 dV (G / R0 ) 


RD = 
=
= m



dt
dt  R
dt


 R0


0



 R0
D’où :



r
r
RD = mΓ(G / R0 )
15

2-3- DETERMINATION DU MOMENT DYNAMIQUE

r

δA(Σ / R0 ) =

r

r

∫ΣAP∧Γ (P/ R )dm= ∫Σ(AB+ BP) ∧Γ (P/ R )dm
0

0

P∈( )

=

P∈( )

r

r

∫ΣBP∧Γ (P/ R )dm+ ∫ΣAB∧Γ (P/ R )dm
0

P∈( )

144424443

0

P∈( )

δB (Σ / R0 )

Or le vecteur AB ne dépend pas du point d’intégration courant P :

r

r

r
δ A ( Σ / R0 ) = δ B ( Σ / R0 ) + AB ∧ ∫ Γ ( P / R0 ) dm
P∈( Σ )

1442
443
r
RD

16

D’où la loi de transport des moments dynamiques:



r

r

r
δ A ( Σ / R 0 ) = δ B ( Σ / R 0 ) + m Γ ( G / R 0 ) ∧ AB

Conclusion


r
RD =

r

r


Γ (P / R0 )dm= mΓ (G / R0 )
∫

P∈(Σ )
r
r
r
[D(Σ / R0 )]=  r
δ A(Σ / R0 ) = ∫ AP∧ Γ (P / R0 )dm= δB (Σ / R0 ) + mΓ (G / R0 ) ∧ BA
P∈(Σ )
A

17

2-4-THEOREME DE KOENIG POUR LE MOMENT
DYNAMIQUE
En appliquant la loi de transport des moments dynamiques
entre un point A et le centre d’inertie G du système, il vient:

r

r

r
δ A (Σ / R0 ) = δ G (Σ / R0 ) + mΓ(G / R0 ) ∧ AG
1442443
« Moment dynamique en A de la masse
concentrée m centrée en G »

Cette relation porte le nom de théorème de Koenig
pour le moment dynamique.
18

3- RELATION ENTRE LES TORSEURS
CINETIQUE ET DYNAMIQUE

19

3-1- RELATION ENTRE LES RESULTANTES
CINETIQUE ET DYNAMIQUE

r
r
 RC = mV (G / R0 )
r
r
 RD = mΓ(G / R0 )

r
 dV (G / R0 ) 
Or r
Γ (G / R0 ) = 

dt

R

0

D’après le principe de conservation de la masse :



r
r
 d RC 
RD = 

 dt  R 0
20

3-2- RELATION ENTRE LES MOMENTS CINETIQUE ET
DYNAMIQUE

r
σ A (Σ / R0 ) = ∫ AP ∧ V ( P / R0 )dm =
r

P∈( Σ )

r
∫ ( AO + OP ) ∧ V ( P / R0 )dm

P∈( Σ )

Par dérivation, il vient :
r
r
r
r
r
 dσ A (Σ / R0 ) 
= ∫ V ( P / R0 ) − V ( A / R0 ) ∧ V ( P / R0 ) + AP ∧ Γ( P / R0 ) dm


dt
 R0 P∈( Σ )
r
r
r
= −V ( A / R0 ) ∧ ∫ V ( P / R0 )dm + ∫ AP ∧ Γ( P / R0 )dm

[(

)

P∈( Σ )

]

P∈( Σ )

r
r
r
= −V ( A / R0 ) ∧ mV (G / R0 ) + δ A (Σ / R0 )

D’où :



r

r
r
 dσ A (Σ / R0 ) 
+ V ( A / R0 ) ∧ mV (G / R0 )
δ A (Σ / R0 ) = 

dt

 R0
r

21

Cas particuliers très importants car
fréquemment rencontrés :
- Cas où le point A est fixe dans (R0):



r

 dσ A (Σ / R0 ) 
δ A (Σ / R0 ) = 

dt

 R0
r

- Cas où le point A est confondu avec G:



r

 dσ G (Σ / R0 ) 
δ G (Σ / R0 ) = 

dt

 R0
r

22

4-MOMENT CINETIQUE D’UN SOLIDE
EN L’UN DE SES POINTS

23

1- THEOREME
Soit (S) un solide de masse m, de centre
d’inertie G et soit A un point appartenant à
(S) et (R0) un repère orthonormé direct,
alors :



r
r
(S )
σ A ( S / R0 ) = m AG ∧ V ( A / R0 ) + M A Ω( S / R0 )
r

24

Démonstration

r
σ A ( S / R0 ) = ∫ AP ∧ V ( P / R0 )dm
r

P∈( S )

r
r
r
V ( P / R0 ) = V ( A / R0 ) + Ω( P / R0 ) ∧ AP

∀P ∈ (S )
25

r
r
σ A(S / R0 ) = ∫ AP ∧ (V ( A/ R0 ) + Ω(S / R0 ) ∧ AP)dm
r

P∈( S )

r
= ∫ AP ∧V ( A/ R0 )dm+
P∈( S )

r
∫ AP∧ (Ω(S / R0 ) ∧ AP)dm

M∈( S )

r

 r
(S)


= ∫ APdm ∧V ( A/ R0 ) + M A Ω(S / R0 )


 P∈( S )

r
r
(S)
= mAG ∧V ( A/ R0 ) + M A Ω(S / R0 )
26

2- CAS PARTICULIERS TRES IMPORTANTS

- Cas où le point A est fixe dans (R0):



r

σ A ( S / R0 ) = M

(S)
A

r

Ω ( S / R0 )

- Cas où le point A est confondu avec le
centre d’inertie G :



r

σ G ( S / R0 ) = M

(S )
G

r

Ω ( S / R0 )
27

5- ENERGIE CINETIQUE

28

5-1- ENERGIE CINETIQUE D’UN SYSTEME MATERIEL



1
T ( Σ / R0 ) =
2

r2
V
(
P
/
R
)
dm
0
∫

P∈( Σ )

5-2- EXPRESSION DE L’ENERGIE CINETIQUE EN
FONCTION DES TORSEURS CINEMATIQUE ET
CINETIQUE



2T ( S / R0 ) = [C( S / R0 )] ⊗ [ϑ ( S / R0 )]
29

Démonstration
r2
2T ( S / R0 ) = ∫ V ( P / R0 )dm
=

∫ [(

P∈( S )

)

]

r
r
r
V ( A / R0 ) + Ω ( S / R0 ) ∧ AP V ( P / R0 ) dm

P∈( S )

r
r
= ∫ V ( A / R0 )V ( P / R0 )dm +
P∈( S )

r
= V ( A / R0 )

r
∫ V ( P / R0 )dm +

P∈( S )

r

r
∫ (Ω (S / R0 ) ∧ AP)V ( P / R0 )dm

P∈( S )

r
r
∫ (V ( P / R0 ),Ω (S / R0 ), AP)dm

P∈( S )

r
(car V ( A / R0 ) est indépendante du po int courant P)
30

(

)

r
r
r
= V ( A / R0 ) mV (G / R0 ) + Ω( S / R0 )

r
∫ ( AP ∧V ( M / R0 ))dm

P∈( S )

(

)

r
r
= V ( A / R0 ) mV (G / R0 ) +

r
r
∫ (Ω( S / R0 ), AP,V ( P / R0 ))dm

P∈( S )

(

)

r
r
r
r
= V ( A / R0 ) mV (G / R0 ) + Ω( S / R0 ).σ A ( S / R0 )
r
r
mV (G / R0 ) Ω ( S / R0 )
=  r
⊗ r
σ
(
S
/
R
)
V
(
A
/
R
)
A
0

0

A
A
31

Remarque importante
La valeur de l’énergie cinétique est indépendante
du point de calcul A car le comoment de deux
torseurs est invariant. Il est donc recommandé de
choisir un point A qui rend le calcul plus facile :
point fixe dans (R0) ou point coïncidant avec le
centre d’inertie G.

32

5-3- ENERGIE CINETIQUE D’UN SOLIDE
INDEFORMABLE


r
1 r2
1T r
(S )
T ( S / R0 ) = m V ( A / R0 ) + Ω ( S / R0 ) M A Ω ( S / R0 )
2
2
r
r
+ m Ω ( S / R0 ). AG ∧ V ( A / R0 )

[

]

Pour la démonstration voir cours polycopié
33

5-4- CAS PARTICULIERS TRES IMPORTANTS

- Cas où le point A est fixe dans (R0):



r
1T r
(S)
T ( S / R0 ) = Ω( S / R0 ) M A Ω( S / R0 )
2

- Cas où le point A est confondu avec le
centre d’inertie G:
« Energie cinétique de la masse
concentrée m centrée en G »



r
1 r2
1T r
(S)
T ( S / R0 ) = mV (G / R0 ) + Ω ( S / R0 ) M G Ω (S / R0 )
2
2
Théorème de Koenig pour l’énergie cinétique

34

6- ELEMENTS CINETIQUES D’UN
SYSTEME DE SOLIDES

35

6-1- TORSEUR CINETIQUE



n

[C (Σ / R0 )] = ∑ [C ( Si / R0 )]
i =1

Avec



 r
 R C ( Σ / R 0 ) =
 r
σ A ( Σ / R 0 ) =


n

∑

i =1
n

r
RC ( Si / R0 )
r

∑σ
i =1

A

(Si / R0 )

36

6-2- TORSEUR DYNAMIQUE



n

[D(Σ / R0 )] = ∑ [D( Si / R0 )]
i =1

Avec



r
R D (Σ / R0 ) =
r

δ A (Σ / R0 ) =

n

∑
i =1
n

r
R D ( S i / R0 )
r

∑δ
i =1

A

( S i / R0 )
37

6-3- ENERGIE CINETIQUE



n

T (Σ / R0 ) = ∑ T ( Si / R0 )
i =1

38

FIN DU CHAPITRE 4

MERCI DE VOTRE
ATTENTION
Rachid MESRAR
Professeur de l’enseignement supérieur
Département de physique
Faculté des sciences
Agadir

email: r.mesrar@uiz.ac.ma