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MECANIQUE DU SOLIDE
INDEFORMABLE
SM3-SMI3
Rachid MESRAR
Professeur de l’enseignement supérieur
Département de physique
Faculté des sciences
Agadir
Contact : r.mesrar@uiz.ac.ma
CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES
« L’inertie est une propriété intrinsèque,
absolue de la matière »
1
CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES
Objectifs pédagogiques
Déterminer le centre d’inertie d’un solide
par le calcul intégral
Déterminer le moment d’inertie d’un
solide par rapport à un axe
Définir l’opérateur d’inertie d’un solide
Déterminer la matrice d’inertie d’un
solide en utilisant la symétrie matérielle
(planaire, de révolution, sphérique)
Savoir appliquer le théorème de Koenig
2
CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES
Notions abordées
Centre d’inertie d’un système continu
Centre d’inertie d’un système composé
Propriété de symétrie
Moment d’inertie d’un solide par rapport
à un axe
Opérateur d’inertie
Matrice d’inertie
Base principale d’inertie
3
CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES
Notions abordées - Suite
Symétrie matérielle
Symétrie planaire
Symétrie de révolution
Symétrie sphérique
Théorème de Huygens
Théorème de Huygens généralisé
Théorème de Koenig
Matrice d’inertie d’un système matériel
composé
4
CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES
PLAN DU COURS
1- CENTRE D’INERTIE
2- MOMENT D’INERTIE PAR RAPPORT
A UN AXE
3- OPERATEUR D’INERTIE – MATRICE
D’INERTIE
4- MATRICE D’INERTIE D’UN SYSTEME
COMPOSE
5
1- CENTRE D’INERTIE
Paul GULDIN
(1577-1643)
6
G
Volume
élémentaire
Hypothèse: les solides étudiés sont homogènes
7
« Les 3 densités »
Densité surfacique
2
- Solide à densité linéique
- Solide à densité surfacique
- Solide à densité volumique
Densité volumique
3
m
ρ=
V
Densité linéique
1
m
σ=
S
m
λ=
L
8
1-1-DEFINITION
On appelle centre d’inertie (ou centre de masse)
d’un solide le point unique noté G tel que :
GP
dm
(
P
)
=
0
∫
P∈( S )
C’est le barycentre des particules
qui composent le solide
Définition mathématique
C’est le point par rapport
auquel la masse est
uniformément répartie
Définition physique
9
1-2-POSITION DU CENTRE D’INERTIE
1
OG =
m
∫ OPdm
P∈( S )
En effet:
Pondération de
la position
par la masse
GP = GO + OP
∫ OPdm = ∫ OGdm
P∈( S )
P∈( S )
∫ OPdm = OG ∫ dm
P∈( S )
P∈( S )
C.Q.F.D.
10
1-3-COORDONNEES DU CENTRE D’INERTIE
1
1
xG =
xdm ; yG =
ydm
∫
∫
m P∈( S )
m P∈( S )
;
1
zG =
zdm
∫
m P∈( S )
1-4- SYSTEME COMPOSE
1 n
OG = ∑ mi OGi
m i =1
1-5- PROPRIETE DE SYMETRIE
Si un solide homogène possède un élément (point, axe,
plan) de symétrie, alors G appartient à cet élément.
11
2- MOMENT D’INERTIE PAR
RAPPORT A UN AXE
Francis Georges BINET
(1800-1873)
12
r
u
α
r
u = β
γ
( R0 )
x
OP = y
z
( R )
0
13
2-1-DEFINITION
I ( S / ∆) =
∫
2
PH dm
P∈( S )
2-2-CALCUL
II suffit de remarque que le triangle (OPH) est
rectangle en H:
r
PH = OP . sin( u , OP )
Or
D’où:
r
r
r
r
u ∧ OP = u . OP . sin(u, OP) = OP . sin(u, OP)
r
PH = u ∧ OP
14
α x β z − γy
r
u ∧ OP = β ∧ y = γx − αz
γ z αy − βx
2
= ( β z − γy ) 2 + (γx − αz ) 2 + (αy − β x ) 2
PH
= α 2 ( y 2 + z 2 ) + β 2 ( x 2 + z 2 ) + γ 2 ( x 2 + y 2 ) − 2 βγ yz − 2αγxz − 2αβ xy
I (S / ∆) =
∫ [PH ] dm
2
P ∈( S )
=α
2
2
2
(
y
+
z
) dm + β
∫
P ∈( S )
− 2 βγ
∫ yzdm
P ∈( S )
− 2 αγ
2
2
2
(
x
+
z
)dm + γ
∫
2
P ∈( S )
∫ xzdm
P ∈( S )
− 2 αβ
2
2
(
x
+
y
) dm
∫
P∈( S )
∫ xydm
P ∈( S )
15
On définit les six constantes d’inertie suivantes:
Moments d’inertie
r
A = ∫ ( y + z )dm = moment d ' inertie de ( S ) / l ' axe(O , x0 )
2
2
P∈( S )
r
B = ∫ ( x + z )dm = moment d ' inertie de ( S ) / l ' axe (O , y0 )
2
2
P∈( S )
r
C = ∫ ( x + y )dm = moment d ' inertie de ( S ) / l ' axe (O, z0 )
2
2
P∈( S )
Produits d’inertie
r r
D = ∫ yzdm = produit d ' inertie de ( S ) / plan (O, y0 , z0 )
P∈( S )
r r
E = ∫ xzdm = produit d ' inertie de ( S ) / plan (O, x0 , z0 )
P∈( S )
r r
F = ∫ xydm = produit d ' inertie de ( S ) / plan (O , x0 , y0 )
P∈( S )
16
Signification physique
Les moments d’inertie caractérisent la répartition
de la masse du solide autour de l’axe de rotation.
Les produits d’inertie caractérisent l’absence de
symétrie matérielle du solide. Ils indiquent que
le solide n’admet pas de plans de symétrie.
Finalement, on obtient:
I ( S / ∆ ) = α A + β B + γ C − 2 βγD − 2αγE − 2αβF
2
2
2
Forme quadratique
17
3-MATRICE D’INERTIE
Louis POINSOT
(1777-1859)
18
3-1- OPERATEUR D’INERTIE
Définition
r
C’est l’opérateur linéaire qui à tout vecteur u fait
correspondre le vecteur :
r
r
JO (S, u ) =
r
∫ OP ∧ (u ∧OP )dm
P∈( S )
Propriété
L’opérateur d’inertie est une application linéaire
symétrique.
19
3-2- MATRICE D’INERTIE
L’opérateur d’inertie étant linéaire symétrique, il est
donc représentable par une matrice symétrique*.
[
[
[
]
r
r
2
2
OP ∧ (u ∧ OP) = α ( y + z ) − βxy − γxz x0 +
r
2
2
− αxy + β ( x + z ) − γyz y0 +
2
2 r
− αxz − βyz + γ ( x + y ) z0
]
]
Soit sous forme matricielle
(*) TA
=A
20
r
x0
r
y0
( y2 + z2 )dm
P∈∫(S )
r
(OP∧ (u ∧ OP))dm = − ∫ xydm
∫
P∈( S )
P∈( S )
− ∫ xzdm
P∈( S )
r
z0
α
− ∫ xydm
− ∫ xzdm
P∈( S )
P∈( S )
β
2
2
( x + z )dm
− ∫ yzdm
∫
P∈( S )
P∈( S )
2
2
γ
(
x
y
)
dm
− ∫ yzdm
+
∫
P∈( S )
P∈( S )
Soit
( y 2 + z 2 )dm
P∈∫( S )
(S ) r
M O .u = − ∫ xydm
P∈( S )
− ∫ xzdm
P∈( S )
α
− ∫ xydm
− ∫ xzdm
P∈( S )
P∈( S )
β
2
2
( x + z )dm
− ∫ yzdm
∫
P∈( S )
P∈( S )
2
2
γ
(
x
y
)
dm
− ∫ yzdm
+
∫
P∈( S )
P∈( S )
21
D’où la matrice d’inertie :
M O( S )
( y 2 + z 2 )dm
P∈∫( S )
= − ∫ xydm
P∈( S )
− ∫ xzdm
P∈( S )
− ∫ xydm
− ∫ xzdm
P∈( S )
P∈( S )
2
2
( x + z )dm
− ∫ yzdm
∫
P∈( S )
P∈( S )
2
2
(
x
y
)dm
− ∫ yzdm
+
∫
P∈( S )
P∈( S )
La matrice d’inertie est symétrique et caractérise
la répartition de la masse du solide par rapport
aux axes du repère (R0).
22
Ou encore
Moments d’inertie
M
(S )
O
A
= − F
− E
−F
B
−E
− D
− D C ( xr , yr , zr )
0 0 0
Exprimée au point O
Exprimée dans la base de (R0)
Forme de Binet
23
Remarque importante
Si le repère (R0) est fixe par rapport au solide
supposé indéformable, alors les quantités A, B, C,
D, E et F restent constantes au cours du temps
et caractérisent l’inertie du solide dans ce repère.
La matrice d’inertie est donc calculée une fois pour
toute. C’est une caractéristique d’inertie du solide,
au même titre que la masse ou le centre d’inertie.
24
A ou D
MOYEN MNEMOTECHNIQUE
Permutation circulaire
x
x
Retenir uniquement
A = I Ox =
∫(y
2
+ z )dm
2
y
x
xz
P∈( S )
et
D = I yz =
∫ yzdm
P∈
B, C, E et F sont déterminées par
permutation circulaire.
25
3-3- EXPRESSION DU MOMENT D’INERTE EN FONCTION DE LA
MATRICE D’INERTIE
On vient de voir (§ 2)
I ( S / ∆ ) = α A + β B + γ C − 2 βγD − 2αγE − 2αβF
2
2
2
Soit sous forme matricielle:
− E α
− D β
− D C γ
−F
B
A
I ( S / ∆ ) = (α , β , γ ) − F
− E
D’où la relation :
I ( S / ∆) = I
(S )
∆
[
]
r
(S) r
= [u ]. M O .[u ]
T
Forme matricielle
26
3-4- BASE PRINCIPALE D’INERTIE
Il existe toujours en tout point, au moins une base orthonormée
directe dans laquelle la matrice d'inertie est diagonale (produits
d'inertie nuls). Cette base est appelée base principale d'inertie.
M
(S )
O
Ap
= 0
0
0
Bp
0
0
0
C p
Axes principaux
d’inertie
r r r
( x p , y p ,z p )
Ap, Bp et Cp sont appelés moments principaux d’inertie
3-5- SYMETRIE MATERIELLE
On dit qu’il y a symétrie matérielle quand il y a à la fois
symétrie géométrique et symétrie de répartition de la
masse pour le système matériel considéré.
27
Symétrie planaire
Symétrie
matérielle
Propriété
Forme de la
matrice
d’inertie
2 plans de
symétrie
D=E=F=0
A 0 0
(S)
MO = 0 B 0
0 0 C
R
1 plan de symétrie
Cas du plan xOy
(tous les produits
d’inertie sont
nuls)
D=E=0
F ≠0
Exemple: cube, parallélépipède
A − F 0
(S)
MO = − F B 0
0 0 C
R
28
Symétrie planaire - suite
Symétrie
matérielle
Propriété
Forme de la
matrice d’inertie
1 plan de
symétrie :
Cas du plan xOz
D=F=0
A 0 − E
(S)
MO = 0 B 0
− E 0 C
R
1 plan de
symétrie :
Cas du plan yOz
E=F=0
E ≠0
D≠ 0
0
A 0
(S)
MO = 0 B − D
0 −D C
R
29
Symétrie de révolution
Si un système (S) est invariant dans toute translation le long
d’un axe et dans toute rotation autour de ce même axe, il
possède alors la symétrie de révolution.
On parle aussi d’axe
r
de symétrie de révolution (ici (O , z0 ) .)
30
Symétrie de révolution - suite
Symétrie
matérielle
Propriété
r
(O,z0 ) est un axe
de révolution
C
A 0 0
2
A = B = + ∫ z dm (S)
MO = 0 A 0
2 P∈( S )
(relation très utilisée
dans les calculs)
Forme de la
matrice
d’inertie
0 0 C r
(−,−,z0 )
Exemple: cylindre, cône, disque
La symétrie de révolution est aussi appelée symétrie
cylindrique.
31
Symétrie sphérique
Un système (S) présente la symétrie sphérique s’il est
invariant
autour d’un point O0 . Les trois
r dans rtoute rotation
r
axes(O0 , x0 ), (O0 , y0 ) et (O0 , z0 ) sont des axes de symétrie de
révolution.
32
Symétrie sphérique - suite
Symétrie
matérielle
(S) admet la
symétrie
sphérique
Propriété
Forme de la
matrice
d’inertie
A 0 0
D = E = F = 0 (S)
MO = 0 A 0
et A = B = C
0 0 A r r r
(x0,y0,z0)
Exemple: sphère, boule
33
Symétrie
matérielle
Propriété
Forme de la
matrice d’inertie
2 plans de
symétrie
orthogonaux
Les produits d’inertie
sont tous nuls :
D=E=F=0
r est un axe Les produits d’inertie
(O, z )
de révolution
sont tous nuls, et
C
A=B=
+
2
(S) admet la
symétrie
Sphérique
∫
z 2 dm
P ∈( S )
M O( S )
et
0
B
0
0
0
C ( xr , yr , zr )
A 0 0
(S)
MO = 0 A 0
0 0 C r
(−,−,z )
Les produits d’inertie
sont tous nuls:
D=E=F=0
A
=0
0
MO(S )
A=B=C
Ce qu’il faut absolument savoir
A 0 0
= 0 A 0
0 0 A r r r
( x , y , z )
34
3-6- THEOREME DE HUYGENS
Hypothèse
(∆ )
(∆G )
( ∆ ) //( ∆ G )
XG
(S)
d
I ( S ) = I ( S ) + md
∆
∆
G
2
(∆, ∆
G
)
(1629-1695)
Le théorème de Huygens est aussi appelé
théorème des axes parallèles.
35
3-7-THEOREME DE HUYGENS GENERALISE
THEOREME DE KOENIG
(1712-1757)
(RG) // (R0)
Repère barycentrique
xG
OG = yG
z
(R ) G
0
Il permet de déterminer la matrice centrale d’inertie d’un
solide connaissant sa matrice en un point donné et
réciproquement.
36
Théorème de Koenig
M
(S)
O
yG2 + zG2
(S)
= M G + m − xG yG
−x z
G G
Forme matricielle
− xG yG
2
2
xG + zG
− yG zG
Théorème de Huygens généralisé
A = AG + m( yG2 + zG2 )
2
2
B = BG + m( xG + zG )
C = C + m( x 2 + y 2 )
G
G
G
− xG zG
− yG zG
2
2
xG + yG
Forme analytique
D = DG + m. yG zG
E = EG + m. xG zG
F = F + m. x y
G
G G
37
4- MATRICE D’INERTIE D’UN
SYSTEME COMPOSE
38
Soient Σ =
n
UΣ
i =1
sous-systèmes
i
un système matériel composé de n
Σi
, P un point de l’espace et (B)
une base donnée, alors :
n r
r
J (Σ, P ) = ∑ J (Σi , P )
i =1
n
M B (Σ, P ) = ∑ M B (Σi , P )
i =1
39
FIN DU CHAPITRE 3
MERCI DE VOTRE
ATTENTION
Rachid MESRAR
Professeur de l’enseignement supérieur
Département de physique
Faculté des sciences
Agadir
email: r.mesrar@uiz.ac.ma