MECANIQUE DU SOLIDE
INDEFORMABLE
SM3-SMI3

Rachid MESRAR
Professeur de l’enseignement supérieur
Département de physique
Faculté des sciences
Agadir

Contact : r.mesrar@uiz.ac.ma

CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES

« L’inertie est une propriété intrinsèque,
absolue de la matière »

1

CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES

Objectifs pédagogiques
Déterminer le centre d’inertie d’un solide
par le calcul intégral
Déterminer le moment d’inertie d’un
solide par rapport à un axe
Définir l’opérateur d’inertie d’un solide
Déterminer la matrice d’inertie d’un
solide en utilisant la symétrie matérielle
(planaire, de révolution, sphérique)
Savoir appliquer le théorème de Koenig
2

CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES

Notions abordées
Centre d’inertie d’un système continu
Centre d’inertie d’un système composé
Propriété de symétrie
Moment d’inertie d’un solide par rapport
à un axe
Opérateur d’inertie
Matrice d’inertie
Base principale d’inertie
3

CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES

Notions abordées - Suite
Symétrie matérielle
Symétrie planaire
Symétrie de révolution
Symétrie sphérique
Théorème de Huygens
Théorème de Huygens généralisé
Théorème de Koenig
Matrice d’inertie d’un système matériel
composé
4

CHAPITRE 3 : GEOMETRIE DES MASSES

PLAN DU COURS
1- CENTRE D’INERTIE
2- MOMENT D’INERTIE PAR RAPPORT
A UN AXE
3- OPERATEUR D’INERTIE – MATRICE
D’INERTIE
4- MATRICE D’INERTIE D’UN SYSTEME
COMPOSE
5

1- CENTRE D’INERTIE

Paul GULDIN
(1577-1643)

6


G

Volume
élémentaire

Hypothèse: les solides étudiés sont homogènes
7



« Les 3 densités »

Densité surfacique

2

- Solide à densité linéique
- Solide à densité surfacique
- Solide à densité volumique

Densité volumique

3

m
ρ=
V

Densité linéique

1

m
σ=
S

m
λ=
L

8

1-1-DEFINITION

On appelle centre d’inertie (ou centre de masse)
d’un solide le point unique noté G tel que :

GP
dm
(
P
)
=
0
∫

P∈( S )

C’est le barycentre des particules
qui composent le solide

Définition mathématique

C’est le point par rapport

auquel la masse est
uniformément répartie

Définition physique
9

1-2-POSITION DU CENTRE D’INERTIE



1
OG =
m

∫ OPdm

P∈( S )

En effet:

Pondération de
la position
par la masse

GP = GO + OP

∫ OPdm = ∫ OGdm

P∈( S )

P∈( S )

∫ OPdm = OG ∫ dm

P∈( S )

P∈( S )

C.Q.F.D.

10

1-3-COORDONNEES DU CENTRE D’INERTIE



1
1
xG =
xdm ; yG =
ydm
∫
∫
m P∈( S )
m P∈( S )

;

1
zG =
zdm
∫
m P∈( S )

1-4- SYSTEME COMPOSE



1 n
OG = ∑ mi OGi
m i =1

1-5- PROPRIETE DE SYMETRIE



Si un solide homogène possède un élément (point, axe,
plan) de symétrie, alors G appartient à cet élément.
11

2- MOMENT D’INERTIE PAR
RAPPORT A UN AXE

Francis Georges BINET
(1800-1873)

12


r
u

α 
r  
u = β 
γ 
 ( R0 )

 x
 
OP =  y 
z
 ( R )
0

13

2-1-DEFINITION



I ( S / ∆) =

∫

2

PH dm

P∈( S )

2-2-CALCUL

II suffit de remarque que le triangle (OPH) est
rectangle en H:

r
PH = OP . sin( u , OP )

Or
D’où:

r
r
r
r
u ∧ OP = u . OP . sin(u, OP) = OP . sin(u, OP)

r
PH = u ∧ OP
14



α x β z − γy
r
u ∧ OP = β ∧ y = γx − αz
γ z αy − βx
2

= ( β z − γy ) 2 + (γx − αz ) 2 + (αy − β x ) 2

PH

= α 2 ( y 2 + z 2 ) + β 2 ( x 2 + z 2 ) + γ 2 ( x 2 + y 2 ) − 2 βγ yz − 2αγxz − 2αβ xy
I (S / ∆) =

∫ [PH ] dm
2

P ∈( S )

=α

2

2
2
(
y
+
z
) dm + β
∫

P ∈( S )

− 2 βγ

∫ yzdm

P ∈( S )

− 2 αγ

2

2
2
(
x
+
z
)dm + γ
∫

2

P ∈( S )

∫ xzdm

P ∈( S )

− 2 αβ

2
2
(
x
+
y
) dm
∫

P∈( S )

∫ xydm

P ∈( S )

15

On définit les six constantes d’inertie suivantes:
Moments d’inertie

r
A = ∫ ( y + z )dm = moment d ' inertie de ( S ) / l ' axe(O , x0 )
2

2

P∈( S )

r
B = ∫ ( x + z )dm = moment d ' inertie de ( S ) / l ' axe (O , y0 )
2

2

P∈( S )

r
C = ∫ ( x + y )dm = moment d ' inertie de ( S ) / l ' axe (O, z0 )
2

2

P∈( S )

Produits d’inertie

r r
D = ∫ yzdm = produit d ' inertie de ( S ) / plan (O, y0 , z0 )
P∈( S )

r r
E = ∫ xzdm = produit d ' inertie de ( S ) / plan (O, x0 , z0 )
P∈( S )

r r
F = ∫ xydm = produit d ' inertie de ( S ) / plan (O , x0 , y0 )
P∈( S )

16

Signification physique
Les moments d’inertie caractérisent la répartition
de la masse du solide autour de l’axe de rotation.
Les produits d’inertie caractérisent l’absence de
symétrie matérielle du solide. Ils indiquent que
le solide n’admet pas de plans de symétrie.

Finalement, on obtient:

I ( S / ∆ ) = α A + β B + γ C − 2 βγD − 2αγE − 2αβF
2

2

2

Forme quadratique
17

3-MATRICE D’INERTIE

Louis POINSOT
(1777-1859)

18

3-1- OPERATEUR D’INERTIE
Définition

r
C’est l’opérateur linéaire qui à tout vecteur u fait
correspondre le vecteur :

r
r
JO (S, u ) =

r
∫ OP ∧ (u ∧OP )dm

P∈( S )

Propriété
L’opérateur d’inertie est une application linéaire
symétrique.
19

3-2- MATRICE D’INERTIE
L’opérateur d’inertie étant linéaire symétrique, il est
donc représentable par une matrice symétrique*.

[
[
[

]

r
r
2
2
OP ∧ (u ∧ OP) = α ( y + z ) − βxy − γxz x0 +
r
2
2
− αxy + β ( x + z ) − γyz y0 +
2
2 r
− αxz − βyz + γ ( x + y ) z0

]
]

Soit sous forme matricielle

(*) TA

=A

20

r
x0

r
y0


 ( y2 + z2 )dm
 P∈∫(S )

r
(OP∧ (u ∧ OP))dm =  − ∫ xydm
∫
P∈( S )
P∈( S )

 − ∫ xzdm

P∈( S )


r
z0

α 
− ∫ xydm
− ∫ xzdm  
 
P∈( S )
P∈( S )
 β 
2
2
( x + z )dm
− ∫ yzdm  
∫
P∈( S )
P∈( S )
 
2
2
γ 

(
x
y
)
dm
− ∫ yzdm
+
∫
 
P∈( S )
P∈( S )
 

Soit


 ( y 2 + z 2 )dm
 P∈∫( S )

(S ) r
M O .u =  − ∫ xydm
P∈( S )

 − ∫ xzdm

P∈( S )


 α 
− ∫ xydm
− ∫ xzdm  
 
P∈( S )
P∈( S )
 β 
2
2
( x + z )dm
− ∫ yzdm  
∫
P∈( S )
P∈( S )
 
2
2
γ 

(
x
y
)
dm
− ∫ yzdm
+
∫
 
P∈( S )
P∈( S )
 
21

D’où la matrice d’inertie :

M O( S )


 ( y 2 + z 2 )dm
 P∈∫( S )

=  − ∫ xydm
P∈( S )

 − ∫ xzdm

P∈( S )



− ∫ xydm
− ∫ xzdm 

P∈( S )
P∈( S )

2
2
( x + z )dm
− ∫ yzdm 
∫
P∈( S )
P∈( S )

2
2
(
x
y
)dm 
− ∫ yzdm
+
∫

P∈( S )
P∈( S )


La matrice d’inertie est symétrique et caractérise
la répartition de la masse du solide par rapport
aux axes du repère (R0).
22

Ou encore

Moments d’inertie



M

(S )
O

 A

= − F
− E


−F
B

−E

− D

− D C ( xr , yr , zr )
0 0 0

Exprimée au point O
Exprimée dans la base de (R0)

Forme de Binet
23

Remarque importante

Si le repère (R0) est fixe par rapport au solide
supposé indéformable, alors les quantités A, B, C,
D, E et F restent constantes au cours du temps
et caractérisent l’inertie du solide dans ce repère.
La matrice d’inertie est donc calculée une fois pour
toute. C’est une caractéristique d’inertie du solide,
au même titre que la masse ou le centre d’inertie.

24

A ou D

MOYEN MNEMOTECHNIQUE



Permutation circulaire

x
x

Retenir uniquement

A = I Ox =

∫(y

2

+ z )dm
2

y

x

xz

P∈( S )

et

D = I yz =

∫ yzdm

P∈

B, C, E et F sont déterminées par
permutation circulaire.
25

3-3- EXPRESSION DU MOMENT D’INERTE EN FONCTION DE LA
MATRICE D’INERTIE

On vient de voir (§ 2)

I ( S / ∆ ) = α A + β B + γ C − 2 βγD − 2αγE − 2αβF
2

2

2

Soit sous forme matricielle:



− E  α 
 
− D  β 
− D C  γ 
−F
B

 A

I ( S / ∆ ) = (α , β , γ ) − F
− E


D’où la relation :



I ( S / ∆) = I

(S )
∆

[

]

r
(S) r
= [u ]. M O .[u ]
T

Forme matricielle

26

3-4- BASE PRINCIPALE D’INERTIE
Il existe toujours en tout point, au moins une base orthonormée
directe dans laquelle la matrice d'inertie est diagonale (produits
d'inertie nuls). Cette base est appelée base principale d'inertie.


M

(S )
O

 Ap

= 0
0


0
Bp
0

0

0
C p 

Axes principaux
d’inertie
r r r
( x p , y p ,z p )

Ap, Bp et Cp sont appelés moments principaux d’inertie

3-5- SYMETRIE MATERIELLE
On dit qu’il y a symétrie matérielle quand il y a à la fois
symétrie géométrique et symétrie de répartition de la
masse pour le système matériel considéré.
27

Symétrie planaire
Symétrie
matérielle

Propriété

Forme de la
matrice
d’inertie

2 plans de
symétrie

D=E=F=0

A 0 0


(S)
MO =  0 B 0 
 0 0 C

R

1 plan de symétrie
Cas du plan xOy

(tous les produits
d’inertie sont
nuls)

D=E=0

F ≠0

Exemple: cube, parallélépipède

 A − F 0


(S)
MO = − F B 0
 0 0 C

R
28

Symétrie planaire - suite
Symétrie
matérielle

Propriété

Forme de la
matrice d’inertie

1 plan de
symétrie :
Cas du plan xOz

D=F=0

 A 0 − E


(S)
MO =  0 B 0 
− E 0 C 

R

1 plan de
symétrie :
Cas du plan yOz

E=F=0

E ≠0

D≠ 0

0 
A 0


(S)
MO =  0 B − D
0 −D C 

R
29

Symétrie de révolution


Si un système (S) est invariant dans toute translation le long
d’un axe et dans toute rotation autour de ce même axe, il
possède alors la symétrie de révolution.
On parle aussi d’axe
r
de symétrie de révolution (ici (O , z0 ) .)
30

Symétrie de révolution - suite
Symétrie
matérielle

Propriété

r
(O,z0 ) est un axe
de révolution

C
 A 0 0
2
A = B = + ∫ z dm (S) 

MO =  0 A 0 
2 P∈( S )
(relation très utilisée
dans les calculs)

Forme de la
matrice
d’inertie

 0 0 C r

(−,−,z0 )

Exemple: cylindre, cône, disque
La symétrie de révolution est aussi appelée symétrie
cylindrique.

31

Symétrie sphérique



Un système (S) présente la symétrie sphérique s’il est
invariant
autour d’un point O0 . Les trois
r dans rtoute rotation
r
axes(O0 , x0 ), (O0 , y0 ) et (O0 , z0 ) sont des axes de symétrie de
révolution.
32

Symétrie sphérique - suite
Symétrie
matérielle

(S) admet la
symétrie
sphérique

Propriété

Forme de la
matrice
d’inertie

 A 0 0

D = E = F = 0 (S) 
MO = 0 A 0
et A = B = C
 0 0 A r r r
(x0,y0,z0)


Exemple: sphère, boule
33

Symétrie
matérielle

Propriété

Forme de la
matrice d’inertie

2 plans de
symétrie
orthogonaux

Les produits d’inertie
sont tous nuls :
D=E=F=0

r est un axe Les produits d’inertie
(O, z )
de révolution

sont tous nuls, et

C
A=B=
+
2
(S) admet la
symétrie
Sphérique

∫

z 2 dm

P ∈( S )

M O( S )

et

0
B
0

0

0
C  ( xr , yr , zr )

 A 0 0


(S)
MO =  0 A 0 
 0 0 C r

(−,−,z )

Les produits d’inertie
sont tous nuls:

D=E=F=0

A

=0
0


MO(S )

A=B=C

Ce qu’il faut absolument savoir

 A 0 0


=  0 A 0
 0 0 A r r r

( x , y , z )
34

3-6- THEOREME DE HUYGENS

Hypothèse



(∆ )

(∆G )

( ∆ ) //( ∆ G )

XG

(S)

d


I ( S ) = I ( S ) + md
∆

∆

G

2
(∆, ∆

G

)

(1629-1695)

Le théorème de Huygens est aussi appelé
théorème des axes parallèles.
35

3-7-THEOREME DE HUYGENS GENERALISE
THEOREME DE KOENIG
(1712-1757)



(RG) // (R0)
Repère barycentrique



 xG 
 
OG =  yG 
z 
(R )  G 
0

Il permet de déterminer la matrice centrale d’inertie d’un
solide connaissant sa matrice en un point donné et
réciproquement.
36

Théorème de Koenig


M

(S)
O

 yG2 + zG2

(S)
= M G + m − xG yG
−x z
G G


Forme matricielle

− xG yG
2
2
xG + zG
− yG zG

Théorème de Huygens généralisé



 A = AG + m( yG2 + zG2 )

2
2
 B = BG + m( xG + zG )
C = C + m( x 2 + y 2 )
G
G
G


− xG zG 

− yG zG 
2
2 
xG + yG 
Forme analytique

 D = DG + m. yG zG

 E = EG + m. xG zG
 F = F + m. x y
G
G G

37

4- MATRICE D’INERTIE D’UN
SYSTEME COMPOSE

38

Soient Σ =

n

UΣ
i =1

sous-systèmes

i

un système matériel composé de n

Σi

, P un point de l’espace et (B)

une base donnée, alors :



n r
r
J (Σ, P ) = ∑ J (Σi , P )
i =1



n

M B (Σ, P ) = ∑ M B (Σi , P )
i =1

39

FIN DU CHAPITRE 3

MERCI DE VOTRE
ATTENTION
Rachid MESRAR
Professeur de l’enseignement supérieur
Département de physique
Faculté des sciences
Agadir

email: r.mesrar@uiz.ac.ma