Exercices corrigés Bac sc exp .pdf



Nom original: Exercices corrigés Bac sc-exp.pdf
Auteur: mak

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4ème Sc-exp
Tunis ,Tél :27509639

Série d’exercices :
Corrigés

Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014
Exercice n°1 :

On considère la suite
définie sur IN* par
1) Montrer que
est une suite décroissante.
2) a) Calculer .
b) A l’aide d’une intégration par parties ,montrer que :
c) Calculer .
3) a) Montrer que pour tout n IN* :
a) Calculer alors
et

dx.

; n IN*.

.
.

Exercice n°2 :
Soit la fonction définie sur IR par
.Soit (C) sa courbe dans un repère
orthonormé
.
1) a) Dresser le tableau de variation de f .
b) Montrer que la droite D :x=1 est un axe de symétrie de la courbe (C).
c) Préciser la branche infinie de (C) au voisinage de
.
d) Tracer (C).
2) Soit F la fonction définie sur

par

a) Montrer que F dérivable sur

.

et que F ‘(x) = 1.

b) En déduire que F(x) =x et que

.

3) a) A l’aide d’une intégration par partie ,montrer que

.

b) Vérifier que pour tout réel x on a :

.

c) Calculer alors l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C) , l’axe des abscisses et
les droites x = 1 et x = 2.
Exercice n°3 :
L’espace
Soit S=

est rapporté à un repère orthonormé

.
.

1) Montrer que S est une sphère dont on déterminera le centre I et le rayon R.
2) Soit P le plan d’équation :x-2y+2z+2=0.
a) Montrer que l’intersection entre S et P est un cercle (C).
b) Déterminer les coordonnées de centre A et le rayon r du cercle (C).
3) Soit M(a,b,-1) un point de la sphère S où a et b sont deux réels et Q le plan d’équation :
Q :(a -1)x + (b+2)y + z – a + 2b+3=0
a) Montrer que M appartient au plan Q.
b) Montrer que S et Q sont tangents en M.

Correction
Exercice n°1 :
On considère la suite

définie sur IN* par

dx.

1)
donc
.On en déduit que
que
décroissante .
2) a)

.On a montrer que

IN* on a

et donc
.Donc

est une suite

posons :

Les fonctions u et v sont dérivables sur [1, e] ,de plus u ‘ et v’ sont continues sur [1,e] .On peut
donc effectuer une intégration par parties .On obtient donc :

posons :

Les fonctions u et v sont dérivables sur [1, e],de plus u ‘ et v’ sont continues sur [1,e] .On peut
donc effectuer une intégration par parties .On obtient donc :

; n IN*.

et donc

c)
3) a) On a :

Démonstration par récurrence :

pour n=1 on a

(Vrai) (En utilisant la différence)

On suppose que

montrons que

Or

.On a

IN*
c) On a :

or
donc

et

. De même on a
or

et

donc

.

Exercice n°2 :
IR
1) a) f dérivable sur IR et
Tableau de variation :

b)(2-x)

IR et
.Donc D :x=1 est un axe de symétrie de la courbe (C).

c)

posons

si

et on obtient :

et donc la courbe (C) admet une branche
parabolique de direction (xx’) au voisinage de

2) Soit F la fonction définie sur

par

.

.

donc F est dérivable sur

Et
b)On a : F’(x)=1

=1.
or F(0)=k=

et donc F(x)=x.

.
3) a)

:

Les fonctions u et v sont dérivables sur [1, 2] ,de plus u ‘ et v’ sont continues sur [1,2] .On peut
donc effectuer une intégration par parties .On obtient donc :
.
(Simple à vérifier).
c)A

dt

.
Exercice n°3:
S=

.

1)
c’est une équation d’une sphère de centre I(1,-2,-2) et
De rayon R=2.
2) a)

donc S et P sont sécantes suivant un cercle (C).

b) r

.Soit

le centre de (C) .A est le projeté orthogonal de I sur P.

c'est-à-dire

A(
3) a)Q :(a -1)x + (b+2)y + z – a + 2b+3=0 M(a,b,-1)
(a -1)a + (b+2)b -1 – a + 2b+3=
Or M
donc M
.
car M
de plus M

donc

on dit donc S et P sont tangents .


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