Techniques et methodes Calcul intégral.pdf


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2013-2014

4 ANNEE SECONDAIRE

ANIS BEN ALI

TECHNIQUES ET METHODES

AL
I

Techniques de recherches de primitives

Technique et méthode : Comment déterminer la primitive de f sur I :
2x − 3
I = ℝ
f ( x) =
2
x − 3x + 5

f (u ) = u

Voici une solution :

2x − 3

f ( x) =



1
2

u '

Cette transformation a pour but de « mettre f
sous la forme de notre schéma général
d’intégration » noté ci dessous.

BE
N

x2 − 3x + 5

Technique & Méthode:

En remarquant que le numérateur
est la dérivée du polynôme se trouvant
sous la racine du dénominateur :
Posons :

u n +1
∫u ×u ' = n +1 + k
n

A

u ( x) = x − 3x + 5
2

Puis intégrons ( passage de A à B):

F (u ) =

Remarque: u ne s’annule pas sur R et est
strictement positif car ∆ =9 - 28= -19,
donc u du signe de a, donc positif .

u '( x ) = 2 x − 3

( x ) ' = nx

F (u

n −1

u'
f (u ) =
u

IS

Changeons de
variable, passons
de la variable x à
la variable u,
f devient comme
ci contre, et nous
désirons un
schéma de la
forme ci contre,
Alors utilisons les
propriétés
suivantes:

n

AN

L’expression de f avec la variable u sous
la forme souhaitée est:

f (u ) =

u '

u

1
2

= u



1
2

u '

−1
+1
2

u
u1 2
=
+ k =
+ k
−1
1
2
+1
2

F (u ) = 2 × u + k = 2 u + k

u n +1
∫ u ×u ' = n +1 + k

u =u

)



f ( u ) du = ∫ u − 1 2 u '
A
B

1
2

n

1
= a −n
n
a

B

1
2

Puis en revenant à la variable x, les primitives
F de f sur R sont :

F ( x) = 2 x2 − 3x + 5 + k
Vous pouvez toujours retenir la
formule ci contre, mais dans un
souci d’économie de
mémorisation et aussi de gestion
des calculs, il est bien de retenir
la manière de procéder
précédente.

CALCUL INTEGRAL



u'
=2 u +k
u