Techniques et methodes Calcul intégral.pdf
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2013-2014
4 ANNEE SECONDAIRE
ANIS BEN ALI
AL
I
« TECHNIQUES ET METHODES »
calcul intégral
Enoncés: Calculer l’intégrale de la fonction proposée:
J =
2)
π
∫ π cos
3
−
x sin xdx
Une puissance paire étant
toujours positive: ( -1 )4 = 1
Voici une solution :
2)
J =
π
∫π
cos 3 x sin xdx
−
BE
N
x → cos 3 x sin x
est la fonction F définie comme suit
( voir technique de recherche
de primitive page suivante )
1
F : x → − cos 4 x
4
J =
∫ π cos
−
3
f ( x )dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a )
b
−a
f ( t )dt = 0
f ( x ) = cos 3 x sin x
f ( − x ) = cos3 ( − x ) sin ( − x )
sin ( − x ) = − sin x
π
1
J = − cos 4 x
4
−π
J = −
Puis:
D’où:
f ( − x ) = cos 3 x × ( − sinx )
f ( − x ) = − cos 3 x sin x
F ( x ) a = F ( b ) − F ( a )
f (− x) = − f
b
1
cos 4 π − cos 4 ( −π )
4
1
4
4
J =−
− 1) − ( − 1)
(
4
J =−
cos x = cos ( − x )
La fonction cosinus étant paire, cosx = cos(-x)
la fonction sinus étant impaire sin(-x)= - sin x
π
1
c o s 4 x
−π
4
AN
a
∫
a
étudions la parité de f:
x sin xdx
IS
∫
Remarque et rappel de cours: Si une
fonction f est continue et impaire sur un
intervalle I, symétrique par rapport à
zéro, alors pour tout a de I :
Ici,
Utilisons la propriété du cours:
b
1
1
[1 − 1 ] = − × 0
4
4
J = 0
Une primitive de la fonction :
π
J = −
(x)
Par conséquent f étant impaire et les bornes d’intégration
étant symétriques par rapport à zéro, il est bienvenu
d’appliquer directement la propriété du cours, et par
conséquent de se passer, dans le cas présent, de tout
calcul:
J = 0
CALCUL INTEGRAL