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2013-2014

4 ANNEE SECONDAIRE

ANIS BEN ALI

TECHNIQUES ET METHODES

AL
I

Techniques de recherches de primitives

Technique et méthode : Comment déterminer la primitive de f sur I
:

f ( x) = cos3 x sin x

I = ℝ

L’expression de f en fonction de la variable u est:

Voici une solution :

f ( x ) = cos 3 x sin x

f (u ) = u

3

(− u ')

BE
N

Ou encore:

Ici, il s’agit d’une fonction trigonométrique, mais
attention le schéma d’intégration à utiliser est le
schéma « puissance » suivant:
n
∫u ×u'=

Posons :
u est dérivable
Sur ℝ , et :

n +1

u
+k
n +1

F (u ) =

∫

Par
linéarité:

∫k×

f (u ) d u =

3
−
u
'
u
∫

f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx

Utilisons le schéma d’intégration de (un) :

sin

IS

u n +1
∫ u × u ' = n +1 + k
n

cos

AN

On reconnaît le schéma
d’intégration général en (un).

F (u ) = − ∫ u ' u 3

Rappel sur les dérivées de
fonctions trigonométriques:

− sin

3

Déterminons la primitive F de f:

u ( x) = cos x
u '( x) = − sin x
−u '( x) = sin x

− cos

f (u ) = − u 'u

u 3 +1
−1 4
F (u ) = −
+k =
u +k
3+1
4

d
d x

Il s’agit d’un moyen mnémotechnique pour
retrouver les schémas des dérivées de fonctions
trigonométriques:
La dérivée d’un sinus donne un cosinus, on
tourne d’un quart de tour dans le sens antitrigonométrique pour dériver (sens horaire) .
Ainsi, la dérivée d’un cosinus donne un
(-sinus), et ainsi de suite.

Puis en revenant à la variable x, les primitives
F de f sur ℝ sont:

−1
F (x) =
co s 4 x + k
4

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