téchniques et méthodes calcul intégral Mr Anis ben Ali.pdf


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2013-2014

4 ANNEE SECONDAIRE

ANIS BEN ALI

AL
I

« TECHNIQUES ET METHODES »
calcul intégral

Enoncés: Calculer l’intégrale de la fonction proposée:
J =

2)

π

∫ π cos

3



x sin xdx

Une puissance paire étant
toujours positive: ( -1 )4 = 1

Voici une solution :

2)

J =

π

∫π

cos 3 x sin xdx



BE
N

x → cos 3 x sin x

est la fonction F définie comme suit
( voir technique de recherche
de primitive page suivante )

1
F : x → − cos 4 x
4

J =

∫ π cos


3

f ( x )dx =  F ( x )  a = F ( b ) − F ( a )
b

−a

f ( t )dt = 0

f ( x ) = cos 3 x sin x

f ( − x ) = cos3 ( − x ) sin ( − x )

sin ( − x ) = − sin x

π

 1

J =  − cos 4 x 
 4
 −π

J = −

Puis:

D’où:

f ( − x ) = cos 3 x × ( − sinx )
f ( − x ) = − cos 3 x sin x

 F ( x )  a = F ( b ) − F ( a )

f (− x) = − f

b

1
 cos 4 π − cos 4 ( −π ) 
4
1
4
4
J =−
− 1) − ( − 1) 
(

4
J =−

cos x = cos ( − x )

La fonction cosinus étant paire, cosx = cos(-x)
la fonction sinus étant impaire sin(-x)= - sin x

π
1
 c o s 4 x 
−π
4

AN

a



a

étudions la parité de f:

x sin xdx

IS



Remarque et rappel de cours: Si une
fonction f est continue et impaire sur un
intervalle I, symétrique par rapport à
zéro, alors pour tout a de I :

Ici,

Utilisons la propriété du cours:
b

1
1
[1 − 1 ] = − × 0
4
4

J = 0

Une primitive de la fonction :

π

J = −

(x)

Par conséquent f étant impaire et les bornes d’intégration
étant symétriques par rapport à zéro, il est bienvenu
d’appliquer directement la propriété du cours, et par
conséquent de se passer, dans le cas présent, de tout
calcul:

J = 0

CALCUL INTEGRAL