Fonction logarithme népérien 4ème Mathématiques .pdf
Nom original: Fonction-logarithme-népérien-4ème-Mathématiques.pdfTitre: Fonction logarithme népérien 4ème MathématiquesAuteur: kooli
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Fonction logarithme népérien 4ème Mathématiques
Dans tous les exercices le plan est rapporté à un repère orthonormé
, .
Exercice 1
= ln −
>0
Soit la fonction définie sur 0 , +∞ par :
et soit
0 =0
1) a) Montrer que
sa courbe représentative.
est continue à droite en 0
b) Etudier la dérivabilité de
à droite en 0 et interpréter le résultat graphiquement.
2) a) Dresser le tableau de variation de
b) Etudier la branche infinie de
.
c) Déterminer le point I intersection de la courbe (C) avec l’axe des abscisses autre que O.
d) Construire la courbe .
3) Soit
la restriction de
a) Montrer que
à l’intervalle 1 , +∞ .
admet une fonction réciproque
b) Etudier la dérivabilité de
4) Tracer la courbe de
5 a Calculer %
'
définie sur un intervalle que l’on précisera.
à droite en −1
dans le même repère.
ln &
b) En déduire l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites
d’équations = 1 et = (.
Exercice 2
On pose pour tout ∈ *−1 , +∞ ;
,=%
1) a) Vérifier que pour tout
-
&
1+
∈ *−1 , +∞ on a :
et / = % ln
0
10
= 1−
b) En déduire que , = 1 − ln 2.
c) À l’aide d’une intégration par parties, calculer /.
2) Pour tout entier naturel non nul on pose :
34 = % ln
-
+1 +
-
+1 &
10
2 4
&
1+
a) Donner la valeur de 3
b) Montrer que la suite 34 est décroissante et que ∀6 ∈ ℕ∗ on a : 34 ≥ 0.
c) En déduire que la suite réelle 34 4∈ℕ∗ est une suite convergente.
3) a) Montrer que pour tout ∀6 ∈ ℕ∗ on a :
4
1
0≤%
& ≤
6+1
- 1+
b) En déduire la limite de 34 .
Exercice 3
A) Soit la fonction définie par :
= ln 1 + 2 et soit sa courbe représentative.
1) a) Déterminer le domaine de définition de .
b) Etudier les variations de .
2) Soit la fonction définie par :
=
− .
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a) Montrer que l’équation
= 0 admet dans ;− , +∞= exactement deux solutions 0 et > et que
b) En déduire le signe de
sur ;− , +∞=.
<
1<><2
<
et la droite ∆ ∶ B = .
c) Etudier les positions relatives de
3) a) Montrer que ∀ ∈ ;− , +∞= on a :
= ln + ln C + 2D.
<
0
b) Etudier alors la branche infinie de .
b) Tracer
et ∆.
4) a) Montrer que admet une fonction réciproque
b) Construire la courbe EF représentative de
définie sur un intervalle que l’on précisera.
dans le même repère.
5) Soit , > l’aire de la partie du plan limitée par les courbes et EF et les droites d’équations :
= 0 et = >
Montrer que , > = > < − >.
B) Soit la suite G4 définie sur ℕ par : G- = 1 et G41 = G4 ; ∀6 ∈ ℕ.
1) Montrer que ∀6 ∈ ℕ on a : 1 ≤ G4 ≤ >.
2) Montrer que la suite G4 est strictement croissante.
3) En déduire que la suite G4 est convergente et calculer sa limite.
Exercice 4
Pour chacune des questions suivantes une seule réponse est correcte.
définie sur *0 , +∞ par
1) La fonction
a) croissante sur *0 , +∞
2) lim
0→
KL 0 01
b) décroissante sur *0 , +∞
a) 0
3) Une primitive sur ℝ de la fonction
a) < ln
0→
0→1S
+1
ln C
a) +∞
c) n’est pas monotone sur *0 , +∞ .
b) 2
0
↦ 0O1
c) 1
est :
b) ln
<
+1
c) 2ln
<
+1
est égale à :
<01R
a) 0
5) lim
<
KL <01Q
O
est :
est égale à :
0
4) limP
= ln −
01
0
D
b) 1
c) +∞
d) −1
est égale à :
b) 1
c) −∞
Exercice 5
Soit la suite G4 déXinie sur ℕ∗ par G4 =
1) Montrer que ∀6 ∈ ℕ∗ on a : G4 ≥ 0.
1 '
% ln
6
2) a) Montrer que ∀6 ∈ ℕ∗ et ∀ ∈ 1 , (* on a :
41
b) En déduire que la suite G4 est décroissante.
c) En déduire que la suite G4 est convergente.
4
d) −1
&
ln
41
≤ 4 ln
4
'
3) a) Montrer que ∀6 ∈ ℕ∗ on a : G41 = 41 − 6G4
b) Calculer G , G< et GR
'
c) Montrer que ∀6 ∈ ℕ∗ on a : G4 ≤ 4
d) En déduire alors la limite de la suite G4 .
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Exercice 6
d’une fonction définie sur = , (;
1) Dans la figure ci-dessous, on représenté
ésenté la courbe
= Z6
par
R
'
− 3Z6 et les demi- tangentes à la courbe
aux points d’abscisses respectives
'
et (
(
'
réalise une bijection de =' , (; sur
a) En utilisant le graphique : montrer que
2 , 2*. On note
fonction réciproque de et EF la courbe représentative de
.
b) Tracer la courbe EF et les demidemi tangentes à EF aux points d’abscisses respectives
2) Soit la suite \4 4] définie par :
\4
a) Calculer \
'
% ln
4
'
b) En déduire _.
Exercice 7
Soit
&
la fonction définie sur *0 , ∞ par
1) Calculer lima
et montrer que lim
0
0→1S
0→-
2) a) Montrer que pour tout
∈ **0 , ∞ ; ′
1
<
∞.
2
<
ln .
4 ln .
b) Dresser le tableau de variation de .
3) a) Montrer que l’équation
b) Vérifier que 1,8 ? > ? 1,9.
0 admet dans *0 , ∞ une unique solution >.
c) Déduire le signe de g(x) sur **0 , ∞ .
4) On considère la fonction
a) Calculer lima
0→-
b) Montrer que
définie sur *0 , ∞ par
et montrer que lim
0→1S
0.
KL 0
10 O
est dérivable sur *0 , ∞ et ∀ ∈ *0 , ∞ ; ′
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2 et 2.
&
b) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout entier 6 9 1 ; \41
(
1
c) En déduire que \R 6 2(
3) Soit _ l’aire de la partie du plan limité par la courbe EF et les droites d’équations
a Calculer %
la
0
f 0
10 O O
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6
1 \4
0 et B
(
>
c) Vérifier que
<gO
5) a) Etudier les variations de .
b) Tracer la courbe
de .
Exercice 8
On pose ∀6 ∈ ℕ∗ 34 = %
-
1) a) Calculer 3
1
1+
4
&
et
b) Montrer que ∀ ≥ 0 on a : 1 −
4
≤
4
c) En déduire que ∀6 ∈ ℕ∗ on a : 1 −
=%
-
10 i
14
6 4
&
1+ 4
≤ 1.
≤ 34 ≤ 1. Déterminer alors lim 34 .
4→1S
2) a) A l’aide d’une intégration par partie montrer que :
40 i
[On pourra écrire pour 6 ≥ 2 ;
10 i
4
=
= ln 2 − % ln 1 +
40 iEF
10 i
× ]
-
4
&
b) Montrer que ∀ k ≥ 0 on a : 0 ≤ ln 1 + k ≤ k.
1
c En déduire que ∶ 0 ≤ % ln 1 + 4 & ≤
et que lim 4 = ln 2
4→1∞
1+6
∗
3) Montrer que ∀6 ∈ ℕ on a : 4 + 634 = 6 et en déduire lim 6 1 − 34 .
Exercice 9
A) Soit n la fonction définie sur *1 , +∞ par : n
4→1∞
=0
0
+ ln
−1 .
1) a) Montrer que n est dérivable sur *1 , +∞ et que ∀ ∈ *1 , +∞ ; n′
b) Déterminer liman
et lim n
0→1S
0→
=
la fonction définie sur *1 , +∞ par :
=
ln
− 1 et soit
est dérivable sur *1 , +∞ et que ∀ ∈ *1 , +∞ : ′
1) a) Montrer que
O
.
c) Dresser le tableau de variation de n et en déduire que ∀ ∈ *1 , +∞ ; n
B) Soit
0 <
0
> 0.
sa courbe représentative.
=n
.
c) Dresser le tableau de variation de .
2) a) Montrer que le point 3 2 , 0 est un point d’inflexion de
b) Donner une équation cartésienne de la tangente à
c) Déterminer l’intersection de
.
au point 3.
avec la droite o ∶ B =
et étudier les positions relatives de
(on précisera la nature de la branche infinie au voisinage de +∞ )
d) Construire
3) a) Montrer que
b) Montrer que
est une bijection de *1 , +∞ sur ℝ.
la fonction réciproque de
est dérivable sur ℝ et calculer
c) Tracer dans le même repère la courbe ′ représentative de
4) Soit _ l’aire de la partie du plan limitée par la courbe
= 2 et
=3
a) Vérifier que ∀
b) En déduire _
0O
>1;0
=
+1+
p
1+( .
.
l’axe des abscisses et les droites d’équations
0
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et o.
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Exercice 10
Dans le graphique ci-contre Г est la courbe représentative,
dans un repère orthonormé, d’une fonction définie
sur l’intervalle 0 , ∞ et dérivable sur *0 , ∞ .
*Les points q, , et / appartiennent à Г.
Г
*La droite , est la tangente à Г au point ,.
* Г admet une branche parabolique de direction
l’axe des ordonnées au voisinage de ∞.
∞
* Г admet une demi tangente verticale à droite en 0.
1) Par une lecture graphique :
a) Déterminer 0 , 2 , 2( , ′ 2 et ′ 2( .
b) Déterminer lima
0→-
0
0
; lim
et lim
Г
0
0→1S 0
0→1S
c) Justifier que la restriction de à l’intervalle 2 , ∞
admet une fonction réciproque
et préciser l’ensemble de définition de
.
2) On admet que est définie par
1 ln 2 ln , pour tout 9 2 . On désigne par
représentative de et par fEF celle de
dans un repère orthonormé.
Tracer f et fEF .
3) Soit D la partie du plan limité par les axes q , x et q , y et les courbes f et fEF .
f
la courbe
b) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties que
%
<'
<
c) Calculer l’aire D.
Exercice 11
A) Soit la fonction définie sur *0 , ∞ par :
1) a) Calculer lima
et lim
0→-
la fonction définie sur *0 , ∞ par
1) Déterminer
lim
0→-a
3
(<
1
Q
3 ln
0→1S
b) Dresser le tableau de variation dee .
c) Calculer 1 .
2) En déduire que : si 0 ? ? 1 alors
B) Soit
&
et lim
0→1S
2) a) Montrer que ∀ ∈ *0 , ∞ ;
′
=
? 0 et si
3−
1 alors
KL 0
0
0P
f 0
0v
b) Dresser le tableau de variation de .
3) Montrer que l’équation
0 admet dans *0 , ∞ exactement deux solutions > et r et tels que
0,5 ? > ? 0,6 et que 3 < r < 3,1
4) On désigne par la courbe représentative de (unité graphique 2 z{ )
a) Montrer que la droite o: B
3 est une asymptote à
b) Etudier la position de par rapport à o.
c) Tracer o et .
5) Soit t la fonction définie sur *0 , ∞ par : t
KL 0
a) Montrer que ∀ ∈ *0 , ∞ ; u′
0P
1< KL 0
Q0 O
b) Soit _ > l’aire de la partie du plan limité par la courbe
Montrer que _ >
<gv 1wgP 1gO
gO
z{<
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la droite o et les droites
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> et
1
Exercice 12
1) Dans la figure ci-contre, et Г sont
les courbes représentatives dans un repère orthonormé,
des deux fonctions | et } définies sur ℝ
M1 par |
=−
<
+
et }
ln pour
0;} 0
0
Par une lecture graphique :
naître la courbe de chacune des fonctions | et }.
a) Reconnaître
b) Donner le signe de |
} .
2) Soit la fonction définie sur ℝ1 par 0
0 et
R
3 < 1 <
=− +
−
ln
si
>0
2
3 4
est-elle dérivable à droite en 0 ?
3) a) Vérifier que pour tout 9 0 ; ′
|
}
b) Calculer l’aire de la partie du plan limitée par les courbes
et Г et les droites d’équations :
0 et
1.
4) On désigne par la courbe représentative de .
a) Etudier les variations de .
b) Montrer que la courbe coupe l’axe q , x en un seul point autre que q.
On notera > l’abscisse de se point. Vérifier que 1.5 ? > ? 1.6.
c) Tracer (on précisera la demi-tangente
tangente à au point q).
Exercice 13
Г
Pour chacune des questions suivantes une seule réponse est correcte.
KL
~0
1) lim •€L
0→-
est égale à :
-0
2) lim
KL Q01<
3) lim
0v
0→1S
d) −2
est égale à :
√0
a) 2
0→1S KL 0
c) − <
b) ∞
a) ~
b) 1
c) 0
d) ∞
est égale à :
a) 4
b) 1
c)
∞
d) 0
Exercice 14
1) Soit la fonction définie sur *0 , ∞ par
1
ln
a) Dresser le tableau de variation de .
b) Montrer que l’équation
0 admet une unique solution > dans *0 , ∞ et que 3,5 ? > ? 3,6
* , ∞
c) Déterminer le signe de
sur *0
2) Soit la fonction
définie sur *0 , ∞ par :
a) Montrer que ∀ ∈ *0 , ∞ ; on a ′
0
f 0
2
10 O
KL 0
10
et soit
et dresser
ser le tableau de variation de .
b) Soit la droite o ∶ B 2 ; étudier la position de
et o.
On donnera les coordonnées du point 3 intersection de et o.
c) Construire et o (unité graphique 2 z{).
Exercice 15
1) Soit a un réel strictement positif et x un réel de l’intervalle \ , \
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sa courbe représentative.
représentative
1.
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a) Ordonner du plus petit au plus grand les réels
b) En déduire que
‚1
: ln \
1
ln \ :
2) Soit ƒ4 la suite définie pour 6 9 2 par ƒ4
a) Montrer, en utilisant 1 , que ƒ4
b) En déduire lim ƒ4 puis
4→1S
lim
‚
0
,
1
‚
et
‚1
…
<
⋯
R
1 : ln 6 : ƒ4 .
4
KL 4
4→1S
S ‡i
3) On pose, pour tout entier naturel 6 9 2 , G4 ƒ4 ln 6 .
a) Montrer que la suite G4 est minorée.
b) Montrer que la suite G4 est décroissante.
c) En déduire que la suite G4 est convergente.
Exercice 16
On a représenté ci-contre la courbe
de la fonction logarithme népérien (« Z6 »).
1) Placer les points de la courbe d’abscisse ( et √(.
2) Soit la fonction définie sur *0 , ∞ par :
Z6<
Z6
1. On note
sa courbe
représentative.
a) Montrer que lima
∞
0→-
et que lim
0→1S
b) Calculer lim
∞.
0
0→1S 0
Interpréter graphiquement le résultat.
c) Montrer que pour tout réel
< KL 0
0; ′
0
d) Dresser le tableau de variation de .
3) a) Etudier la position relative des courbes
b) Tracer .
Exercice 17
Soit
la fonction définie par :
ln C
et .
10
0
D et soit
1) a) Montrer que le domaine de définition de
b) Montrer que
sa courbe représentative (unité graphique 2 z{)
est * 1 , 1 .
est dérivable sur * 1 , 1 et que ∀ ∈ * 1 , 1 on a ′
<
0O
c) Montrer que est impaire.
2) Dresser le tableau de variation de .
3) Déterminer une équation cartésienne de la tangente „ à la courbe au point q.
4) a) Montrer que pour tout réel k on a : ′ k 9 2.
b) En intégrant les deux membres de l’inégalité précédente sur un intervalle convenablement choisi,
montrer que pour tout 0 : : 1 on a
92 .
5) Construire „ et ainsi que les asymptotes de .
6) a) Soit > ∈ *0 , 1 , calculer en z{< , , > l’aire de la partie du plan limitée par la courbe et les droites
d’équations :
0;
> et B 0.
0
b) Calculer limE, > .
g→
7) a) Montrer que admet une fonction réciproque
b) Construire la courbe EF représentative de
.
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définie, continue et dérivable sur M.
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Exercice 18
1) Soit la fonction définie sur *0 , +∞ par :
a) Etudier le sens de variation de .
b) Calculer 1 puis déterminer le signe de
c) En déduire que : si 0 <
< 1 alors
=
− 1 + 2 ln .
sur *0 , +∞ .
C D > 0 et si
0
> 1 alors
= −
2) On considère la fonction définie sur *0 , +∞ par :
0 =0
On désigne par sa courbe représentative (unité graphique 2 z{)
a) Montre que est dérivable à droite en 0.
b) Calculer ′
pour tout
∈ *0 , +∞ et vérifier que pour tout
c) Dresser le tableau de variation de .
<
C D < 0.
0
ln
>0
> 0 on a : ′
=
C D
0
ˆ
= 0 admet dans *0 , +∞ une unique solution > et que : Q < > < 2
B=
3) a) Vérifier que la demi tangente ∆ à la courbe au point q a pour équation : ‰
≥0
b) Etudier la position de par rapport à ∆.
c) Tracer ∆ et dans le même repère.
4) Soit r un réel de l’intervalle *0 , 1 .
a) Calculer en z{< , l’aire _ r du domaine limité par la courbe la droite ∆ et les droites d’équations
respectives : = r et = 1.
b) Calculer lima , r .
d) Montrer que l’équation
Š→-
5) On considère la suite G4 4∈ℕ définie par G- ∈ *0 , 1 et ∀6 ∈ ℕ on a : G41 =
a) Montrer que pour tout entier naturel 6 on a : 0 < G4 < 1.
b) Montrer que la suite G4 4∈ℕ est croissante.
c) En déduire que la suite G4 4∈ℕ est convergente et calculer sa limite.
Exercice 19
On considère la suite G4 définie sur ℕ par :
1) a) Montrer que ∀6 ∈ ℕ ; G4 ≥ 0.
G4 = 2 %
-
<41
1+
<
G4
&
b) Montrer que ∀6 ∈ ℕ ; G41 + G4 = 41
2) Calculer G- , G et G<
3) Montrer que G4 est décroissante.
4) En déduire que G4 est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 20
A) Soit la fonction définie sur *0 , +∞ par :
= + 1 + ln .
1) Etudier les variations de .
2) Montrer que l’équation
= 0 admet dans *0 , +∞ une unique solution > et que : 0,27 < > < 0,28
3) Déduire le signe de
pour ∈ ℝ∗1
B) Soit
la fonction définie sur *0 , +∞ par : Œ
=
0 KL 0
01
>0
0 =0
(unité graphique 4 z{)
On désigne par la courbe représentative de
1) a) Montrer que est continue à droite en 0.
b) Etudier la dérivabilité de à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) a) Montrer que
f(0)
)O
est dérivable sur *0 , +∞ et que ∀ > 0 on a : ( ) = (01
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b) Vérifier que >
>.
c) Dresser le tableau de variation de .
0
3) a) Calculer lim
0→1S 0
et interpréter graphiquement le résultat obtenu
b) Tracer la courbe .
4) Soit • la restriction de à l’intervalle > , ∞ .
a) Montrer que • réalise une bijection
ction de > , ∞ sur > , ∞ .
b) Montrer que • la fonction réciproque de • est dérivable sur > , ∞ et calculer •
c) Etudier la dérivabilité de • à droite en – >.
5) Construire la courbe ′ de • dans le même repère.
Exercice 21
On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction f définie sur M1 par : 0
0
et
0 O 10 KL 010
01 O
pour
0.
Le réel > est l’abscisse du point d’intersection de la courbe
1) a) Par lecture graphique, donner le signe de
.
b) Montrer que ln >
> 1 .
2) On considère la fonction g définie sur > , ∞ par :
représentative de
Montrer que lim
0→1S
.
∞ et que lim
f 0
0
0
0→1S
0 KL 0
01
1 et on désigne par
0.
b) En déduire que _ = > <
> + 1.
&
*g
%
g
&
f
la courbe
0
0
b) Dresser le tableau de variation de .
4) a) Montrer que >
1 >.
b) Construire alors, sur l’annexe, le point de la courbe f d’abscisse >.
c) Tracer la courbe f .
5) On désigne par _ l’aire (en unité d’aire) de la partie du plan limité par les courbes
d’équations
> et
1.
a) Montrer, en utilisant une intégration par parties, que :
g
0
avec l’axe des abscisses autre que le point q.
3) a) Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle > , ∞ , ′
%
p
f
et
et les droites
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Exercice 22
Soit la fonction définie par :
1 + ln 2 − *
On désigne par sa courbe représentative (unité graphique 4 cm)
1) Montrer que *0 , 2 est le domaine de définition de et dresser le tableau de variation de
2) a) Montrer que la droite d’équation = 1 est un axe de symétrie de .
b) Déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite q , x .On notera la plus petite de ces abscisses.
3) Soit n la fonction définie sur *0 , 2 par : n
=
− .
a) Dresser le tableau de variation de la fonction n.
b) En déduire que l’équation n
= 0 admet dans *0 , 2 exactement deux solutions dont l’une est 1 et
l’autre sera notée >.
c) Vérifier que - < > < 0,3 et que ln >(2 >)* = > 1.
d) Donner le signe de n
et en déduire la position de la courbe et la droite ∆ ∶ B = .
4) Tracer et ∆ (on prendra - = 0,2)
5) Soit la restriction de à l’intervalle *0 , 1*.
a) Montrer que g réalise une bijection de *0 , 1* sur un intervalle que l’on précisera.
b) Calculer
pour tout ∈ *0 , 1*.
c) Tracer la courbe ′ de
.
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