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Fonction logarithme népérien 4ème Mathématiques
Dans tous les exercices le plan est rapporté à un repère orthonormé
, .
Exercice 1
= ln −
>0
Soit la fonction définie sur 0 , +∞ par :
et soit
0 =0
1) a) Montrer que

sa courbe représentative.

est continue à droite en 0

b) Etudier la dérivabilité de

à droite en 0 et interpréter le résultat graphiquement.

2) a) Dresser le tableau de variation de
b) Etudier la branche infinie de

.

c) Déterminer le point I intersection de la courbe (C) avec l’axe des abscisses autre que O.
d) Construire la courbe .
3) Soit

la restriction de

a) Montrer que

à l’intervalle 1 , +∞ .

admet une fonction réciproque

b) Etudier la dérivabilité de
4) Tracer la courbe de
5 a Calculer %

'

définie sur un intervalle que l’on précisera.

à droite en −1

dans le même repère.

ln &

b) En déduire l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites
d’équations = 1 et = (.
Exercice 2
On pose pour tout ∈ *−1 , +∞ ;
,=%

1) a) Vérifier que pour tout

-

&

1+

∈ *−1 , +∞ on a :

et / = % ln

0

10

= 1−

b) En déduire que , = 1 − ln 2.
c) À l’aide d’une intégration par parties, calculer /.
2) Pour tout entier naturel non nul on pose :
34 = % ln
-

+1 +

-

+1 &

10

2 4
&
1+

a) Donner la valeur de 3
b) Montrer que la suite 34 est décroissante et que ∀6 ∈ ℕ∗ on a : 34 ≥ 0.
c) En déduire que la suite réelle 34 4∈ℕ∗ est une suite convergente.
3) a) Montrer que pour tout ∀6 ∈ ℕ∗ on a :
4
1
0≤%
& ≤
6+1
- 1+
b) En déduire la limite de 34 .
Exercice 3
A) Soit la fonction définie par :
= ln 1 + 2 et soit sa courbe représentative.
1) a) Déterminer le domaine de définition de .
b) Etudier les variations de .
2) Soit la fonction définie par :
=
− .

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a) Montrer que l’équation

= 0 admet dans ;− , +∞= exactement deux solutions 0 et > et que

b) En déduire le signe de

sur ;− , +∞=.

<

1<><2

<

et la droite ∆ ∶ B = .

c) Etudier les positions relatives de

3) a) Montrer que ∀ ∈ ;− , +∞= on a :

= ln + ln C + 2D.

<

0

b) Etudier alors la branche infinie de .
b) Tracer
et ∆.
4) a) Montrer que admet une fonction réciproque
b) Construire la courbe EF représentative de

définie sur un intervalle que l’on précisera.
dans le même repère.

5) Soit , > l’aire de la partie du plan limitée par les courbes et EF et les droites d’équations :
= 0 et = >
Montrer que , > = > < − >.
B) Soit la suite G4 définie sur ℕ par : G- = 1 et G41 = G4 ; ∀6 ∈ ℕ.
1) Montrer que ∀6 ∈ ℕ on a : 1 ≤ G4 ≤ >.
2) Montrer que la suite G4 est strictement croissante.
3) En déduire que la suite G4 est convergente et calculer sa limite.
Exercice 4
Pour chacune des questions suivantes une seule réponse est correcte.
définie sur *0 , +∞ par

1) La fonction

a) croissante sur *0 , +∞

2) lim
0→

KL 0 01

b) décroissante sur *0 , +∞

a) 0

3) Une primitive sur ℝ de la fonction
a) < ln

0→

0→1S

+1

ln C

a) +∞

c) n’est pas monotone sur *0 , +∞ .

b) 2
0

↦ 0O1

c) 1
est :

b) ln

<

+1

c) 2ln

<

+1

est égale à :

<01R

a) 0

5) lim

<

KL <01Q

O

est :

est égale à :

0

4) limP

= ln −

01
0

D

b) 1

c) +∞

d) −1

est égale à :
b) 1

c) −∞

Exercice 5
Soit la suite G4 déXinie sur ℕ∗ par G4 =
1) Montrer que ∀6 ∈ ℕ∗ on a : G4 ≥ 0.

1 '
% ln
6

2) a) Montrer que ∀6 ∈ ℕ∗ et ∀ ∈ 1 , (* on a :

41

b) En déduire que la suite G4 est décroissante.
c) En déduire que la suite G4 est convergente.

4

d) −1

&

ln

41

≤ 4 ln

4

'

3) a) Montrer que ∀6 ∈ ℕ∗ on a : G41 = 41 − 6G4
b) Calculer G , G< et GR

'

c) Montrer que ∀6 ∈ ℕ∗ on a : G4 ≤ 4

d) En déduire alors la limite de la suite G4 .

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Exercice 6
d’une fonction définie sur = , (;

1) Dans la figure ci-dessous, on représenté
ésenté la courbe
= Z6

par

R

'

− 3Z6 et les demi- tangentes à la courbe

aux points d’abscisses respectives

'

et (

(
'

réalise une bijection de =' , (; sur

a) En utilisant le graphique : montrer que

2 , 2*. On note

fonction réciproque de et EF la courbe représentative de
.
b) Tracer la courbe EF et les demidemi tangentes à EF aux points d’abscisses respectives
2) Soit la suite \4 4] définie par :
\4

a) Calculer \

'

% ln

4

'

b) En déduire _.
Exercice 7
Soit

&

la fonction définie sur *0 , ∞ par

1) Calculer lima

et montrer que lim

0
0→1S

0→-

2) a) Montrer que pour tout

∈ **0 , ∞ ; ′

1

<

∞.

2

<

ln .

4 ln .

b) Dresser le tableau de variation de .
3) a) Montrer que l’équation
b) Vérifier que 1,8 ? > ? 1,9.

0 admet dans *0 , ∞ une unique solution >.

c) Déduire le signe de g(x) sur **0 , ∞ .

4) On considère la fonction
a) Calculer lima
0→-

b) Montrer que

définie sur *0 , ∞ par

et montrer que lim

0→1S

0.

KL 0

10 O

est dérivable sur *0 , ∞ et ∀ ∈ *0 , ∞ ; ′

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2 et 2.

&

b) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que pour tout entier 6 9 1 ; \41
(
1
c) En déduire que \R 6 2(
3) Soit _ l’aire de la partie du plan limité par la courbe EF et les droites d’équations
a Calculer %

la

0

f 0

10 O O

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6

1 \4

0 et B

(

>

c) Vérifier que

<gO

5) a) Etudier les variations de .
b) Tracer la courbe

de .

Exercice 8
On pose ∀6 ∈ ℕ∗ 34 = %

-

1) a) Calculer 3

1
1+

4

&

et

b) Montrer que ∀ ≥ 0 on a : 1 −

4

≤

4

c) En déduire que ∀6 ∈ ℕ∗ on a : 1 −

=%

-

10 i

14

6 4
&
1+ 4

≤ 1.

≤ 34 ≤ 1. Déterminer alors lim 34 .
4→1S

2) a) A l’aide d’une intégration par partie montrer que :

40 i

[On pourra écrire pour 6 ≥ 2 ;

10 i

4

=

= ln 2 − % ln 1 +

40 iEF
10 i

× ]

-

4

&

b) Montrer que ∀ k ≥ 0 on a : 0 ≤ ln 1 + k ≤ k.
1
c En déduire que ∶ 0 ≤ % ln 1 + 4 & ≤
et que lim 4 = ln 2
4→1∞
1+6
∗
3) Montrer que ∀6 ∈ ℕ on a : 4 + 634 = 6 et en déduire lim 6 1 − 34 .
Exercice 9
A) Soit n la fonction définie sur *1 , +∞ par : n

4→1∞

=0

0

+ ln

−1 .

1) a) Montrer que n est dérivable sur *1 , +∞ et que ∀ ∈ *1 , +∞ ; n′
b) Déterminer liman

et lim n
0→1S

0→

=

la fonction définie sur *1 , +∞ par :

=

ln

− 1 et soit

est dérivable sur *1 , +∞ et que ∀ ∈ *1 , +∞ : ′

1) a) Montrer que

O

.

c) Dresser le tableau de variation de n et en déduire que ∀ ∈ *1 , +∞ ; n

B) Soit

0 <

0

> 0.

sa courbe représentative.
=n

.

c) Dresser le tableau de variation de .
2) a) Montrer que le point 3 2 , 0 est un point d’inflexion de
b) Donner une équation cartésienne de la tangente à
c) Déterminer l’intersection de

.

au point 3.

avec la droite o ∶ B =

et étudier les positions relatives de

(on précisera la nature de la branche infinie au voisinage de +∞ )

d) Construire
3) a) Montrer que
b) Montrer que

est une bijection de *1 , +∞ sur ℝ.
la fonction réciproque de

est dérivable sur ℝ et calculer

c) Tracer dans le même repère la courbe ′ représentative de

4) Soit _ l’aire de la partie du plan limitée par la courbe
= 2 et
=3
a) Vérifier que ∀
b) En déduire _

0O

>1;0

=

+1+

p

1+( .

.

l’axe des abscisses et les droites d’équations

0

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et o.

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Exercice 10
Dans le graphique ci-contre Г est la courbe représentative,
dans un repère orthonormé, d’une fonction définie
sur l’intervalle 0 , ∞ et dérivable sur *0 , ∞ .
*Les points q, , et / appartiennent à Г.
Г
*La droite , est la tangente à Г au point ,.
* Г admet une branche parabolique de direction
l’axe des ordonnées au voisinage de ∞.
∞
* Г admet une demi tangente verticale à droite en 0.
1) Par une lecture graphique :
a) Déterminer 0 , 2 , 2( , ′ 2 et ′ 2( .
b) Déterminer lima
0→-

0

0

; lim

et lim

Г

0

0→1S 0

0→1S

c) Justifier que la restriction de à l’intervalle 2 , ∞
admet une fonction réciproque
et préciser l’ensemble de définition de
.
2) On admet que est définie par
1 ln 2 ln , pour tout 9 2 . On désigne par
représentative de et par fEF celle de
dans un repère orthonormé.
Tracer f et fEF .
3) Soit D la partie du plan limité par les axes q , x et q , y et les courbes f et fEF .

f

la courbe

b) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties que
%

<'

<

c) Calculer l’aire D.

Exercice 11
A) Soit la fonction définie sur *0 , ∞ par :
1) a) Calculer lima
et lim
0→-

la fonction définie sur *0 , ∞ par

1) Déterminer

lim

0→-a

3

(<

1

Q

3 ln

0→1S

b) Dresser le tableau de variation dee .
c) Calculer 1 .
2) En déduire que : si 0 ? ? 1 alors
B) Soit

&

et lim

0→1S

2) a) Montrer que ∀ ∈ *0 , ∞ ;

′

=

? 0 et si

3−

1 alors
KL 0

0

0P

f 0
0v

b) Dresser le tableau de variation de .
3) Montrer que l’équation
0 admet dans *0 , ∞ exactement deux solutions > et r et tels que
0,5 ? > ? 0,6 et que 3 < r < 3,1
4) On désigne par la courbe représentative de (unité graphique 2 z{ )
a) Montrer que la droite o: B
3 est une asymptote à
b) Etudier la position de par rapport à o.
c) Tracer o et .
5) Soit t la fonction définie sur *0 , ∞ par : t

KL 0

a) Montrer que ∀ ∈ *0 , ∞ ; u′

0P

1< KL 0
Q0 O

b) Soit _ > l’aire de la partie du plan limité par la courbe

Montrer que _ >

<gv 1wgP 1gO
gO

z{<

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la droite o et les droites

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> et

1

Exercice 12
1) Dans la figure ci-contre, et Г sont
les courbes représentatives dans un repère orthonormé,
des deux fonctions | et } définies sur ℝ
M1 par |
=−

<

+

et }
ln pour
0;} 0
0
Par une lecture graphique :
naître la courbe de chacune des fonctions | et }.
a) Reconnaître
b) Donner le signe de |
} .
2) Soit la fonction définie sur ℝ1 par 0
0 et
R
3 < 1 <
=− +
−
ln
si
>0
2
3 4
est-elle dérivable à droite en 0 ?
3) a) Vérifier que pour tout 9 0 ; ′
|
}
b) Calculer l’aire de la partie du plan limitée par les courbes
et Г et les droites d’équations :
0 et
1.
4) On désigne par la courbe représentative de .
a) Etudier les variations de .
b) Montrer que la courbe coupe l’axe q , x en un seul point autre que q.
On notera > l’abscisse de se point. Vérifier que 1.5 ? > ? 1.6.
c) Tracer (on précisera la demi-tangente
tangente à au point q).
Exercice 13

Г

Pour chacune des questions suivantes une seule réponse est correcte.
KL

~0

1) lim •€L
0→-

est égale à :

-0

2) lim

KL Q01<

3) lim

0v

0→1S

d) −2

est égale à :

√0

a) 2

0→1S KL 0

c) − <

b) ∞

a) ~

b) 1

c) 0

d) ∞

est égale à :

a) 4

b) 1

c)

∞

d) 0

Exercice 14
1) Soit la fonction définie sur *0 , ∞ par
1
ln
a) Dresser le tableau de variation de .
b) Montrer que l’équation
0 admet une unique solution > dans *0 , ∞ et que 3,5 ? > ? 3,6
* , ∞
c) Déterminer le signe de
sur *0
2) Soit la fonction

définie sur *0 , ∞ par :

a) Montrer que ∀ ∈ *0 , ∞ ; on a ′

0

f 0

2

10 O

KL 0

10

et soit

et dresser
ser le tableau de variation de .

b) Soit la droite o ∶ B 2 ; étudier la position de
et o.
On donnera les coordonnées du point 3 intersection de et o.
c) Construire et o (unité graphique 2 z{).
Exercice 15
1) Soit a un réel strictement positif et x un réel de l’intervalle \ , \

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sa courbe représentative.
représentative

1.

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a) Ordonner du plus petit au plus grand les réels
b) En déduire que

‚1

: ln \

1

ln \ :

2) Soit ƒ4 la suite définie pour 6 9 2 par ƒ4
a) Montrer, en utilisant 1 , que ƒ4
b) En déduire lim ƒ4 puis
4→1S

lim

‚

0

,

1

‚

et

‚1

…

<

⋯

R

1 : ln 6 : ƒ4 .

4

KL 4

4→1S
S ‡i

3) On pose, pour tout entier naturel 6 9 2 , G4 ƒ4 ln 6 .
a) Montrer que la suite G4 est minorée.
b) Montrer que la suite G4 est décroissante.
c) En déduire que la suite G4 est convergente.
Exercice 16
On a représenté ci-contre la courbe
de la fonction logarithme népérien (« Z6 »).
1) Placer les points de la courbe d’abscisse ( et √(.
2) Soit la fonction définie sur *0 , ∞ par :
Z6<
Z6
1. On note
sa courbe
représentative.
a) Montrer que lima
∞
0→-

et que lim

0→1S

b) Calculer lim

∞.
0

0→1S 0

Interpréter graphiquement le résultat.
c) Montrer que pour tout réel

< KL 0

0; ′

0

d) Dresser le tableau de variation de .
3) a) Etudier la position relative des courbes
b) Tracer .
Exercice 17
Soit

la fonction définie par :

ln C

et .

10
0

D et soit

1) a) Montrer que le domaine de définition de
b) Montrer que

sa courbe représentative (unité graphique 2 z{)

est * 1 , 1 .

est dérivable sur * 1 , 1 et que ∀ ∈ * 1 , 1 on a ′

<

0O

c) Montrer que est impaire.
2) Dresser le tableau de variation de .
3) Déterminer une équation cartésienne de la tangente „ à la courbe au point q.
4) a) Montrer que pour tout réel k on a : ′ k 9 2.
b) En intégrant les deux membres de l’inégalité précédente sur un intervalle convenablement choisi,
montrer que pour tout 0 : : 1 on a
92 .
5) Construire „ et ainsi que les asymptotes de .
6) a) Soit > ∈ *0 , 1 , calculer en z{< , , > l’aire de la partie du plan limitée par la courbe et les droites
d’équations :
0;
> et B 0.
0
b) Calculer limE, > .
g→

7) a) Montrer que admet une fonction réciproque
b) Construire la courbe EF représentative de
.

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définie, continue et dérivable sur M.

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Exercice 18
1) Soit la fonction définie sur *0 , +∞ par :
a) Etudier le sens de variation de .
b) Calculer 1 puis déterminer le signe de
c) En déduire que : si 0 <

< 1 alors

=

− 1 + 2 ln .

sur *0 , +∞ .

C D > 0 et si
0

> 1 alors

= −
2) On considère la fonction définie sur *0 , +∞ par :
0 =0
On désigne par sa courbe représentative (unité graphique 2 z{)
a) Montre que est dérivable à droite en 0.
b) Calculer ′

pour tout

∈ *0 , +∞ et vérifier que pour tout

c) Dresser le tableau de variation de .

<

C D < 0.
0

ln

>0

> 0 on a : ′

=

C D
0

ˆ

= 0 admet dans *0 , +∞ une unique solution > et que : Q < > < 2
B=
3) a) Vérifier que la demi tangente ∆ à la courbe au point q a pour équation : ‰
≥0
b) Etudier la position de par rapport à ∆.
c) Tracer ∆ et dans le même repère.
4) Soit r un réel de l’intervalle *0 , 1 .
a) Calculer en z{< , l’aire _ r du domaine limité par la courbe la droite ∆ et les droites d’équations
respectives : = r et = 1.
b) Calculer lima , r .
d) Montrer que l’équation

Š→-

5) On considère la suite G4 4∈ℕ définie par G- ∈ *0 , 1 et ∀6 ∈ ℕ on a : G41 =
a) Montrer que pour tout entier naturel 6 on a : 0 < G4 < 1.
b) Montrer que la suite G4 4∈ℕ est croissante.
c) En déduire que la suite G4 4∈ℕ est convergente et calculer sa limite.
Exercice 19
On considère la suite G4 définie sur ℕ par :
1) a) Montrer que ∀6 ∈ ℕ ; G4 ≥ 0.

G4 = 2 %

-

<41

1+

<

G4

&

b) Montrer que ∀6 ∈ ℕ ; G41 + G4 = 41

2) Calculer G- , G et G<
3) Montrer que G4 est décroissante.
4) En déduire que G4 est convergente et déterminer sa limite.
Exercice 20
A) Soit la fonction définie sur *0 , +∞ par :
= + 1 + ln .
1) Etudier les variations de .
2) Montrer que l’équation
= 0 admet dans *0 , +∞ une unique solution > et que : 0,27 < > < 0,28
3) Déduire le signe de
pour ∈ ℝ∗1
B) Soit

la fonction définie sur *0 , +∞ par : Œ

=

0 KL 0
01

>0

0 =0
(unité graphique 4 z{)

On désigne par la courbe représentative de
1) a) Montrer que est continue à droite en 0.
b) Etudier la dérivabilité de à droite en 0 et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) a) Montrer que

f(0)
)O

est dérivable sur *0 , +∞ et que ∀ > 0 on a : ( ) = (01

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b) Vérifier que >
>.
c) Dresser le tableau de variation de .
0

3) a) Calculer lim

0→1S 0

et interpréter graphiquement le résultat obtenu

b) Tracer la courbe .
4) Soit • la restriction de à l’intervalle > , ∞ .
a) Montrer que • réalise une bijection
ction de > , ∞ sur > , ∞ .
b) Montrer que • la fonction réciproque de • est dérivable sur > , ∞ et calculer •
c) Etudier la dérivabilité de • à droite en – >.
5) Construire la courbe ′ de • dans le même repère.
Exercice 21
On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction f définie sur M1 par : 0
0
et

0 O 10 KL 010
01 O

pour

0.

Le réel > est l’abscisse du point d’intersection de la courbe
1) a) Par lecture graphique, donner le signe de
.
b) Montrer que ln >
> 1 .
2) On considère la fonction g définie sur > , ∞ par :
représentative de
Montrer que lim

0→1S

.
∞ et que lim

f 0

0
0
0→1S

0 KL 0
01

1 et on désigne par

0.

b) En déduire que _ = > <

> + 1.

&

*g

%

g

&

f

la courbe

0

0

b) Dresser le tableau de variation de .
4) a) Montrer que >
1 >.
b) Construire alors, sur l’annexe, le point de la courbe f d’abscisse >.
c) Tracer la courbe f .
5) On désigne par _ l’aire (en unité d’aire) de la partie du plan limité par les courbes
d’équations
> et
1.
a) Montrer, en utilisant une intégration par parties, que :
g

0

avec l’axe des abscisses autre que le point q.

3) a) Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle > , ∞ , ′

%

p

f

et

et les droites

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Exercice 22
Soit la fonction définie par :
1 + ln 2 − *
On désigne par sa courbe représentative (unité graphique 4 cm)
1) Montrer que *0 , 2 est le domaine de définition de et dresser le tableau de variation de
2) a) Montrer que la droite d’équation = 1 est un axe de symétrie de .
b) Déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbe avec la droite q , x .On notera la plus petite de ces abscisses.
3) Soit n la fonction définie sur *0 , 2 par : n
=
− .
a) Dresser le tableau de variation de la fonction n.
b) En déduire que l’équation n
= 0 admet dans *0 , 2 exactement deux solutions dont l’une est 1 et
l’autre sera notée >.
c) Vérifier que - < > < 0,3 et que ln >(2 >)* = > 1.
d) Donner le signe de n
et en déduire la position de la courbe et la droite ∆ ∶ B = .
4) Tracer et ∆ (on prendra - = 0,2)
5) Soit la restriction de à l’intervalle *0 , 1*.
a) Montrer que g réalise une bijection de *0 , 1* sur un intervalle que l’on précisera.
b) Calculer
pour tout ∈ *0 , 1*.
c) Tracer la courbe ′ de
.

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