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C.N.E.D. 2013-2014
Devoir 3

LM260

Programme : s´eries enti`eres, int´egrales `a param`etre.
Exercice 1
P+∞

n

Soit r > 0 et S(x) = n=0 an x la somme d’une s´erie enti`ere convergente sur
l’intervalle ] − r, r[, solution de l’´equation diff´erentielle avec conditions initiales
(1 + x2 )S 00 (x) = 2S(x),

S(0) = 0, S 0 (0) = 1.

´
1) Etablir
une relation liant an et an+2 pour tout entier n ≥ 0.
2) Montrer que, pour tout n ∈ N, on a :
(−1)n+1
a2n = 0,
a2n+1 =
.
(2n + 1)(2n − 1)
Quel est le rayon de convergence de la s´erie enti`ere S ?
3) Pour x ∈] − r, r[, on d´efinit T (x) par T (0) = 0 et T (x) = (S 0 (x) − 1)/x
si x 6= 0. Calculer le d´eveloppement en s´erie enti`ere de T 0 (x). En d´eduire une
formule explicite pour la fonction S.
Exercice 2
1) a) Montrer que la formule
x > 0,

f (x) =

Z

0

+∞

e−xt
dt
1 + t2

d´efinit une fonction f sur ]0, +∞[, puis que f est de classe C 2 .
b) D´eterminer la limite de f (x) quand x tend vers +∞.
c) Montrer qu’on a f 00 (x) + f (x) = 1/x pour tout x > 0.
2) On pose :
+∞

Z +∞
sin t
cos t
x > 0,
u(x) =
dt, v(x) =
dt.
t
t
x
x
a) En utilisant une int´egration par parties, d’abord sur un segment [x, T ],
montrer que les int´egrales g´en´eralis´ees pr´ec´edentes sont convergentes.
b) Montrer que u(x) et v(x) tendent vers 0 quand x tend vers +∞.
c) Quelles sont les d´eriv´ees des fonctions u et v ? En d´eduire que la fonction
Z

x > 0,

g(x) = u(x) cos x − v(x) sin x

v´erifie l’´equation diff´erentielle g 00 (x) + g(x) = 1/x.
d) Montrer qu’on a :
Z +∞
Z +∞
sin t
sin(t − x)
dt =
dt.
x > 0,
g(x) =
t
t+x
0
x
3) On sait que la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle y 00 + y = 0, par
exemple sur ]0, +∞[, s’´ecrit y(x) = a cos x + b sin x avec a, b ∈ C.
a) Que peut-on dire des coefficients a, b si y(x) −−−−→ 0 ?
x→+∞

1

2

b) En d´eduire que la fonction x 7→ g(x) − f (x) est nulle et donc qu’on a :
Z +∞
Z +∞ −xt
sin t
e
x > 0,
dt =
dt.
t+x
1 + t2
0
0
Exercice 3
1)a) Soit p ∈ N. En d´erivant p fois la formule de la s´erie g´eom´etrique
+∞

X
1
=
xn ,
1 − x n=0

|x| < 1,

d´emontrer l’in´egalit´e :
+∞
X
|x| < 1,
(n + 1)(n + 2) . . . (n + p)|x|n ≤ p! (1 − |x|)−p−1.
n=0

P
n
b) Soit r > 0 et f (x) = +∞
erie enti`ere convergente
n=0 an x la somme d’une s´
sur l’intervalle ] − r, r[.
´
Etant
donn´e ρ ∈] − r, r[, montrer qu’il existe M > 0 tel qu’on ait |an | ≤ Mρ−n
pour tout n ∈ N.
c) En d´eduire que, pour tout p ∈ N, on a :

−p−1
|x|
(p)
−p
.
|x| < ρ,
|f (x)| ≤ M ρ p! 1 −
ρ
2) (Formules de Taylor.) Dans cette question, on note f une fonction de classe
C ∞ sur un voisinage ] − r, r[ de 0.
a) Si p ∈ N et x ∈] − r, r[, on pose :
p
X
f (n) (0) n
Rp (x) = f (x) −
x .
n!
n=0
Montrer par r´ecurrence sur p qu’on a
x ∈] − r, r[,

Rp (x) =

Z

x

f (p+1) (t)

0

(x − t)p
dt.
p!

b) En d´eduire que si 0 < a < r, on a :
∀x ∈ [−a, a],

|x|p+1
|Rp (x)| ≤
(p + 1)!

sup |f (p+1) (t)|).
t∈[−a,a]

3) Soit ] − r, r[ un voisinage de 0 et f :] − r, r[→ C une fonction de classe C ∞ .
` l’aide des questions pr´ec´edentes, montrer que les deux propri´et´es suivantes
A
sont ´equivalentes :
1. il existe ∈]0, r[ tel que f est sur ] − , [ la somme d’une s´erie enti`ere
convergente ;
2. il existe a ∈]0, r[, M > 0 et C > 0, tels qu’on ait :
∀p ∈ N,

sup |f (p) (t)| ≤ MC p p!.
t∈[−a,a]


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