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Nom original: série Exercices fonctions exponentielles bac Math.pdfAuteur: mak

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Série d’exercices :
Fonctions Exponentielles

Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014

4ème Math
Tunis ,Tél :27509639

Toute personne croyant qu'une croissance exponentielle peut durer indéfiniment
dans un monde fini est soit un fou, soit un économiste.
Exercice n°1 :
Calculer les limites suivantes :
; lim

lim

x

lim

x

; lim

x

;

x

; lim
x 0

; lim



lim

x

; lim

x

; lim

x1

; lim

x

.

x

Exercice n°2 :
Résoudre dans IR , les équations et les inéquations suivantes :
1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

.

Exercice n°3 :
1) Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
a)
b)
c)
2) Donner une primitive des fonctions suivantes:
a)

b)

d)

c)

d)

.

Exercice n°4:

3e  1
e 1
x

Soit f la fonction définie sur IR par :

x

fonction f, dans le plan muni d’un repère

.La représentation graphique (C) de la

est tracée sur la feuille jointe en annexe.

1) Etudier les variations de f.
2) a) Montrer que le point I(0,1) est un centre de symétrie de (C).
b) Donner une équation cartésienne de la tangente T à (C) au point I.
3) a) Montrer que pour tout réel t, on a :
.
b) Montrer a l’aide d’une intégration de l’inégalité précédente que : si x 0 alors
c) Déterminer alors la position de (C) par rapport à T.
4) a) Montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on déterminera.
b) Exprimer
en fonction de x pour tout x  J.
5) Tracer la courbe (C’) de
.
x

6) a) Vérifier que

IR , f(x)  4e  1
e 1
x

b) Calculer en unité d’aire, l’aire A de la région limitée par la courbe (C) et les droites
d’équations respectives x= -ln(3) , x=0 et y=0.

.

1

 1 t 

c) En déduire que :  ln 
dt  4ln(2)  3ln(3)
 3t 
0
Annexe

Exercice n°5 :
1

Soit la suite

définie par :

e

1

2 x

dx

;

0

 x ne

2 x

dx pour tout

0

1) Calculer . et .
2) a) Montrer a l’aide d’une intégration par parties que l’on a :
b) Déduire .
c) Déduire la valeur de J telle que :
3) a) Montrer que :
b) Déduire que:

IN* et pour tout x [0,1] on a :
1
puis calculer lim
x
n+1

IN*

Exercice n°6 :
nx

1

Soit la suite

définie par :

e
  1dx
e
x

0

1) Calculer

et

IN.

, en déduire

.

.

IN* : 2

.

2) Calculer
a) Montrer que

.
est une suite croissante.
n

b) Montrer que :
c) Déduire lim

x

n

n

n

n

e -1 .

e -1 e -1 e -1 e -1

2n

n(e+1) n(e+1) n(e+1) n(e+1)

et lim

.

x

Exercice n°7 :
Soit la fonction f définie sur IR par :
.
1) a) Montrer que le point I(0,1) est un centre de symétrie de Cf.
b) Dresser le tableau de variation de f.
c) Montrer que D :y=x+2 est une asymptote oblique au voisinage de
.
d) Montrer que Cf admet une autre asymptote oblique au voisinage de
.
2) a) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique dans IR.
b) Vérifier que
et
.
c) Soit
la fonction réciproque de f. Montrer que
3) Tracer Cf dans un repère orthonormé
.
Exercice n°8 :
Soit f la fonction numérique définie sur IR par :
.
1) Etudier les variations de f et construire sa courbe (C) dans un repère
2) Préciser le point d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses.
3) Soit t un réel inférieure à

(Unité :4cm)

. Calculer en cm2 ,l’aire A(t) de la région Dt du plan limitée par la

courbe (C) et les droites x=t , x=

et y=0. Calculer lim A(t).
t

4) Soit g la restriction de f à l’intervalle I

.

a) Montrer que g est une bijection de I sur un intervalle J à préciser. Expliquer
b) Construire la représentation graphique
de
dans
.
c) Déduire l’aire en cm2 du domaine définie par :
5) Démontrer que pour tout réel

et

, l’équation

admet une solution unique comprise entre

et

pour x J.

, d’inconnue x
.

Exercice n°9 :
*

Soit la fonction numérique définie sur IR par :

e

-x

x

1) Etudier les variations de la fonction f et construire sa courbe représentative (C) dans un plan
rapporté à un repère orthonormé
.
2) Soit

la suite réelle définie sur IN* par :

.

a) Montrer que si x est élément de l’intervalle [n,n+1] alors on a :
b) En déduire que

1
(e-1)e-(n+1)
2

c) Trouver lim

.

n

3) Soit

e

n+1

 f(x)  e

n

b) En déduire que la suite

.

.

est croissante et qu’elle vérifie :

a) Montrer que la suite

-x

(e-1) e-(n+1)

la suite réelle définie sur IN* par :

c) Prouver que

x

.

est convergente.

1
1
 lim V n  .
n
+

2e
e

Exercice n°10 :
Pour tout entier naturel non nul n et pour tout réel négatif x, on pose
1) Calculer

et déduire que lim

.

x

2) a) Montrer que pour tout entier non nul n , on a
b) Montrer par récurrence sur n, que
Dans la suite on pose
.
lim

.

admet une limite finie lorsque x tend vers

.

x

3) a) Vérifier que pour tout réel

.

En déduire que pour tout réel

, et pour tout entier non nul n on a :

b)Montrer alors que pour tout entier

et pour tout

, on a :

c)En déduire un encadrement de
pour n
.
4) Pour tout réel x négatif et pour tout entier naturel n , on pose
a) Calculer

et montrer que lim

b) Montrer

.

.

x

.

c) En déduire que :
5) On pose , pour tout entier naturel non nul n ,
a) Montrer que
b) Montrer que la suite (

.
converge et trouver sa limite.

Exercice n°11 :
A/On considère la fonction g définie sur

par :

.

.

1) Etudier les variations de la fonction g.
2) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
3) En déduire que pour tout x de
.
B/On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0,1] par :
. On note (C) sa
représentation graphique dans un repère orthonormé
.On admet que f est strictement
croissante sur [0,1].
1) Montrer que pour tout x de [0,1]
.
2) Soit (D) la droite d’équation y = x.
3) a) Montrer que pour tout x de [0,1]
.
b)Etudier la position relative de la droite (D) et la courbe (C) dans [0,1].
c) Tracer (C) et (D).
4) a) Déterminer une primitive F de f sur [0,1].
b)Calculer l’aire, en unité d’aire, du domaine du plan délimité par la courbe (C) , la droite (D) et
les droites d’équations x =0 et x =1.
Exercice n°12 :
Soit f la fonction définie sur IR+ par :
dans un repère orthonormé
.

. (C) désigne la courbe représentative de f

1) a) Etudier la continuité et la dérivabilité de f à droite en 0.
b) Dresser le tableau de variation de f.
2) Soit la fonction définie sur IR+ par :
.
a) Dresser le tableau de variation de la fonction dérivée
de ,en déduire que l’équation
admet une unique solution et que
.
b) Dresser le tableau de variation de , en déduire que l’équation f(x) =x admet dans IR*+ une
solution unique et que
.
c) Etudier la position relative de (C) par rapport à la droite d’équation y =x puis tracer (C) et
3) Montrer que f réalise une bijection de IR+ sur [0,1[ .On note g= .
Expliquer g(x) pour x
et tracer sa courbe (C’) dans le même repère que (C).
4) a) Vérifier que :

, on a :

.

b) En utilisant une intégration par parties, calculer l’intégrale
et vérifier que
.
c) En déduire l’aire A( de la partie limitée par (C) et (C’) et les droites d’équations x= et x=0.

Exercice n°13 :
Dans la figure ci-dessous Cf est la représentation graphique dans un repère orthonormé
d’une fonction f deux fois dérivable ,T est la tangente à la courbe au point d’abscisse 4 et Cf admet
une branche parabolique de direction
au voisinage de
.

1) En utilisant le graphique.
a) Donner f ‘(2) et f ‘’(4). Que représente le point A pour Cf.
b) Dresser le tableau de variation de f.
2) On admet que

. Déterminer f([0,1]).
1

3) Pour tout

*

IN , On pose

 1-x 

2 


1
x n e
n+1 
n!2 0

dx et

1
1
1
.

 .............. 
2
1! 2 1! 2
n! 2n
3
.
2

a) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que

Déduire l’aire du parties limité par la courbe Cf la droite y=0 et les droites d’équations x=1 et
x=0
1
(n  1)!2n 1

b) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout n IN*,
c) Montrer par récurrence , que pour tout n IN*,
d) Montrer que pour tout n IN* ,

.

1
. En déduire la limite de
n !2n1

.

Exercice n°14 :
On considère la fonction f définie sur [-1,

1) A partir d’une lecture graphique
a) Déterminer lim
,
x



1

par

et (C) sa courbe représentative.

et lim f(x).
x

b) Dresser le tableau de variation de f.
2) Soit un réel supérieur ou égale à 1.On note S(
a) Ecrire S( sous la forme d’une intégrale.
b) Montrer que pour tout x de IR ; 1+x
.
c) En déduire que pour tout x
d) Montrer que pour tout
3) On pose
a) Calculer I.

.
.

et

c) En déduire que pour tout

An  I 

dx
IN* ;

b) Montrer que pour tout

d) Montrer que

l’aire de la partie coloriée.

.

e

x
n

1

4 2  1n 
  1 .Déduire que
3 e


.
converge vers une limite que l’on

précisera.
Exercice n°15 :
Soit f la fonction définie sur [0;
[ par :
.
a) Déterminer la limite de la fonction f en
et étudier le sens de variation de f.
b) Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution sur l’intervalle [0,
[.
-2
Déterminer une valeur approchée de à 10 près.
c) Déterminer le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
2) On note C la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction logarithme
népérien dans le plan muni d’un repère orthonormé
.

Les courbes C et sont données en annexe.
Soit x un nombre réel strictement positif. On note M le point de C d’abscisse x et N le point
de d’abscisse x. On rappelle que pour tout réel x strictement positif,
.
a)Montrer que la longueur MN est minimale lorsque x =
b)En utilisant la question 1), montrer que :
c)En déduire que la tangente à C au point d’abscisse et la tangente à au point d’abscisse
sont parallèles.
3) Soit h la fonction définie sur ]0,+ [ par h(x) = x ln(x) − x. Montrer que la fonction h est une
primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0,+ [.
b)Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10-2 près, de l’aire (exprimée en unités
d’aire) de la surface hachurée sur la figure jointe en annexe .


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