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Cours4 2diapos .pdf



Nom original: Cours4-2diapos.pdf
Titre: Microsoft PowerPoint - Cours4
Auteur: Physique

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Université Abou Bekr Belkaïd – Tlemcen (Algérie)

Cours 4: Les matrices

Cours N°4

D

M
L

1. Introduction
Définition :

è
1

e
r

M
S

~
3

1
0

2

2013-2014©Faculté des Sciences

Cours 4: Les matrices

Université Abou Bekr Belkaïd – Tlemcen (Algérie)

0
2

Les Matrices

Informatique

4
1

1

Semestre 2 LMD SM

Une matrice nm est un tableau de nombres à n lignes et
m colonnes. n et m sont les dimensions de la matrice.
Exemple avec n = 2 et m=3

1
A 
2

5
1

3
4 
2

Informatique

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Semestre 2 LMD SM

Cours 4: Les matrices

Université Abou Bekr Belkaïd – Tlemcen (Algérie)

1. Introduction (suite)
Dans une matrice A, on note Aij l’élément situé à l’intersection de la
ligne i et de la colonne j (la ligne est toujours nommée en premier).

 A11

 A 21
A 


A
 n1

A12



A 22







An 2



A1 m 

A2 m 

 

A nm 

0
2

~
3

1
0

4
1

On note [Aij] la matrice d’élément général Aij. On a donc: A = [Aij]

Informatique

D

Cours 4: Les matrices

Université Abou Bekr Belkaïd – Tlemcen (Algérie)

2

2013-2014©Faculté des Sciences

M
L

M
S

3

Semestre 2 LMD SM

1. Introduction (suite)

Si m =1 ou n = 1, la matrice est appelée vecteur. Plus précisément:

è
1

e
r

Si m = 1, la matrice est un vecteur-colonne.
Si n = 1, la matrice est un vecteur-ligne.

Si m = n, la matrice est appelée matrice carré.

 x1 
x 
2
x 

 
 xn 

x  x1

x2  xm 

4
Informatique

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Semestre 2 LMD SM

Cours 4: Les matrices

Université Abou Bekr Belkaïd – Tlemcen (Algérie)

2. Quelques matrices carré
carrées particuliè
particulières
A. Matrice diagonale

 D11
 0
D
 0

 0

0
D22
0
0

Informatique

D

M
L

M
S

0 
0 
0 

D44 

4
1

0
2

~
3

1
0

2

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Cours 4: Les matrices

Université Abou Bekr Belkaïd – Tlemcen (Algérie)

0
0
D33
0

5

Semestre 2 LMD SM

2. Quelques matrices carré
carrées particuliè
particulières(suite)
B. Matrice unité

e
r

è
1

1
0
I 
0

0

0 0 0
1 0 0
0 1 0

0 0 1
6

Informatique

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Semestre 2 LMD SM

Cours 4: Les matrices

Université Abou Bekr Belkaïd – Tlemcen (Algérie)

2. Quelques matrices carré
carrées particuliè
particulières(suite)
C. Matrice triangulaire supérieure

U 11 U 12 U13
 0 U
U 23
22

U
 0
0 U 33

0
0
 0
Informatique

D

Université Abou Bekr Belkaïd – Tlemcen (Algérie)

Cours 4: Les matrices

M
L

M
S

4
1

0
2

~
3

1
0

2

2013-2014©Faculté des Sciences

U14 
U 24 
U 34 

U 44 

7

Semestre 2 LMD SM

2. Quelques matrices carré
carrées particuliè
particulières(suite)
D. Matrice triangulaire inférieure

e
r

è
1

 L11
L
L   21
 L31

 L41

0
L22
L32
L42

0
0
L33
L43

0 
0 
0 

L44 
8

Informatique

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Semestre 2 LMD SM

Cours 4: Les matrices

Université Abou Bekr Belkaïd – Tlemcen (Algérie)

2. Quelques matrices carré
carrées particuliè
particulières(suite)
E. Matrice Symétrique
Une matrice carrée A est dite symétrique si: Aji = Aij.

2
3
6 1
1 5  2 3 

A
 2  2 5  4


3
3

4
6


Informatique

D

Université Abou Bekr Belkaïd – Tlemcen (Algérie)

Cours 4: Les matrices

M
L

M
S

0
2

~
3

1
0

2

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4
1

9

Semestre 2 LMD SM

3. Opé
Opérations sur les matrices
A. Addition, soustraction
L’addition et la soustraction des matrices se font terme à terme. Les
matrices doivent avoir les même dimensions:

è
1

e
r

4 6 2 1 3 6  3 9 8 
0 1 3   2  5 12  2  4 15

 
 

4 6 2 1 3 6   5 3  4
0 1 3   2  5 12   2 6  9

 
 

10

Informatique

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Semestre 2 LMD SM

Cours 4: Les matrices

Université Abou Bekr Belkaïd – Tlemcen (Algérie)

3. Opé
Opérations sur les matrices (suite)
B. Multiplication par un nombre
Chaque terme de la matrice est multiplié par un nombre:

4 6 2 12 18 6
3 



0
1
3
0
3
9

 


Informatique

D

Université Abou Bekr Belkaïd – Tlemcen (Algérie)

Cours 4: Les matrices

M
L

M
S

0
2

~
3

1
0

2

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4
1

11

Semestre 2 LMD SM

3. Opé
Opérations sur les matrices (suite)
C. Transposition

La transposée AT d’une matrice A est la matrice obtenue en
échangeant les lignes et les colonnes de A:

e
r

è
1

4
4
6
2


A 
AT 6

0 1 3
2

0
1
3

La transposée d’un vecteur-colonne est un vecteur-ligne.

12
Informatique

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Semestre 2 LMD SM

Cours 4: Les matrices

Université Abou Bekr Belkaïd – Tlemcen (Algérie)

3. Opé
Opérations sur les matrices (suite)
D. Multiplication des matrices
Le produit de la matrice A(n  m) par la matrice B(m  p) est la
matrice C(n  p) telle que l’élément Cij est égal au produit scalaire de
la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B:

C ij 



A ik  B kj

i  1 .. n

j  1 .. p

0
2

k 1

2 0 
4 6 2 
  34

3

1
0 1 3 
 

 4 3  15


Informatique

D

M
L

M
S

0
8

~
3

1
0

2

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Cours 4: Les matrices

Université Abou Bekr Belkaïd – Tlemcen (Algérie)

4
1

m

13

Semestre 2 LMD SM

3. Opé
Opérations sur les matrices (suite)
E. Déterminant d’une matrice carrée 2  2

è
1

e
r

Le déterminant détermine l'unicité de la solution d'un système
d'équations linéaires.
Le déterminant d’une matrice carrée 2  2 est la quantité:

a b
a b 


A

det
A

A

 ad  bc

c
d
c
d


La matrice A est singulière si det(A) = 0, régulière dans le cas
contraire.

14
Informatique

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Semestre 2 LMD SM

Cours 4: Les matrices

Université Abou Bekr Belkaïd – Tlemcen (Algérie)

3. Opé
Opérations sur les matrices (suite)
F. Déterminant d’une matrice carrée 3  3
Le déterminant peut se calculer de manière récursive en développant,
par exemple, par rapport à la première ligne:

a b
d e
g h

c
e
f a
h
i

f
d
b
i
g

f
d
c
i
g

e
h

0
 2
~
3

 aei  fh   bdi  fg   cdh  eg
 aei  afh  bdi  bfg  cdh  ceg
Informatique

D

è
1

e
r

M
L

M
S

1
0

2

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4
1

15

Semestre 2 LMD SM


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