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Nom original: Vecteurs C.pdfTitre: Vecteurs CAuteur: bouzy

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Chapitre I

Vecteurs et repères dans l’espace
(Rappels de géométrie vectorielle)

Sommaire

I Vecteurs et calcul vectoriel :
I – 1 : vecteurs libres, glissants, liés
I – 2 : orientation de l’espace
I – 3 : calcul vectoriel
I – 3 – 1 : produit scalaire
I – 3 – 1 - 1 : def.
I – 3 – 1 – 2 : propriétés
I – 3 – 1 – 3 : projection orthogonale sur un
plan, une droite
I – 3 – 2 : produit vectoriel
I – 3 – 2 – 1 : def.
I – 3 – 2 – 2 : propriétés

II Repères de l’espace
II – 1 : base, repère orthonormés
II – 1 - 1 : def.
II – 1 – 2 : application au calcul vectoriel
II – 2 : coordonnées cartésiennes

I Vecteurs et calcul vectoriel
Les vecteurs permettent de représenter les vitesses, les accélérations des
points, les rotations des solides, les forces,...

I – 1 : vecteurs libres, glissants, liés
I – 1 – 1 : Caractéristiques d’un vecteur
un vecteur AB se caractérise par
- origine ou point d’application A
Notations : AB =
- support ou droite d’action
module = AB (>0)
- orientation ou sens
mesure algébrique =
- module ou intensité
direction ≠ support
module ≠ mesure algébrique
Vecteurs équipollents, si
- supports parallèles ou confondus
- même sens
- même module

I – 1 - 2 : vecteurs libres, glissants, liés
Vecteur libre défini par
- direction
- sens
- intensité
Vecteur lié défini par
- point d’application
- support
- sens
- intensité

Vecteur glissant défini par
- support
- sens
- intensité

• Le point d’application est quelconque dans l’espace
• Les vecteurs équipollents ont le même vecteur libre.

Exemples : vecteur position, vitesse, accélération (cinématique) ou
moment d’une force par rapport à un point

on effectue des opérations que sur
des vecteurs libres mais on ne peut
dessiner que des vecteurs liés

Le point d’application est quelconque sur le support
Exemple : forces.

I – 2 : orientation de l’espace
Axe orienté : un axe orienté est une droite avec
- un sens positif
- un point origine
- une unité de longueur

Valeur algébrique notée
avec
>0 si
de même sens que
l’axe et
<0 sinon

Orientation de l’espace à 2 dimensions :
2 sens de rotation sont possibles
-sens des aiguilles d’une montre
- sens opposé = sens trigonométrique

Orientation du plan dans l’espace à 3D
½ espace de l’observateur défini par le sens
vers lequel pointe la normale au plan.
L’orientation du plan, vu de ce ½ espace par
l’observateur, est le sens trigonométrique.

En général, on choisit le sens
trigonométrique comme sens +

Orientation du plan est définie par le
sens de la normale au plan

I – 2 : calcul vectoriel
Somme de vecteurs, produit d’un vecteur par un réel (voir TD)
On rappelle la relation de Chasles : Soient 3 points quelconques A,B, C
AC = AB + BC
I – 2 - 1 : produit scalaire
I – 2 - 1 - 1 : définition : Soit θ l’angle arithmétique (compris
entre 0 et π), le produit scalaire des vecteurs U et V est le
nombre algébrique :
arithmétique ≠ algébrique
où U et V sont les modules des vecteurs
I – 2 - 1 – 2 : propriétés


notation :





ssi l’un (au moins ) des 2 vecteurs est nul
ou les 2 vecteurs sont perpendiculaires

I – 2 - 1 - 3 : projection orthogonale sur un plan, une droite
déf. : voir dessins
Théorème1 : Soit AB un vecteur et AH le vecteur projection orthogonale (sur un
plan ou sur une droite), le module AH = AB cos α où α est l’angle entre AB et AH
Théorème2 : projection orthogonale sur un axe orienté ∆ de vecteur unitaire u

où u est le vecteur unitaire (module = 1) de même support et de même sens que
l’axe orienté ∆
I – 2 – 2 : produit vectoriel
I – 2 – 2 – 1 : definition : Le produit vectoriel des deux vecteurs U et V est un vecteur
W noté
tel que :
• module W = UVsinθ où θ est l’angle algébrique ( compris entre 0 et π) entre U et V.
• direction de W est telle que W est perpendiculaire à U et V.
• sens de W est donné par la règle du tire-bouchon ou la règle des 3 doigts.

I – 2 – 2 – 2 : propriétés






ssi l’un (au moins ) des 2 vecteurs est nul
ou les 2 vecteurs sont colinéaires

II Repères de l’espace
II – 1 : base, repère orthonormés
II – 1 - 1 : definitions
Base orthonormée directe : une base B =
est une base orthonormée ssi :
= 0
Elle est directe ssi :
(règle du tire-bouchon ou des 3 doigts de la
main)
Repère orthonormé direct R: défini par
- une origine O
- une base orthonormée directe B =

Par permutation circulaire,
Représentation plane
-Vecteur rentrant dans le plan de la
feuille
- vecteur “pointant” vers
l’observateur

Notation: R, (O,x,y,z) ou
(O,
)

II – 1 – 2 : application au calcul vectoriel

Soient 2 vecteurs dont l’expression dans la b.o.n. directe B est :
noté U= x ex+y ey+z ez
et V= x’ex+y’ey+z’ez
Produit scalaire :
U.V = xx’+yy’+zz’
En particulier U2= x2+y2+z2

Produit vectoriel :

U=(x2+y2+z2)1/2

II – 2 : coordonnées cartésiennes

Soit R =

un repère orthonormé direct

A tout point M, on associe le vecteur position OM.
Les composantes de OM sur la base B (ex ,ey ,ez ) sont
appelées coordonnées cartésiennes du point M dans le
repère R et sont notées (x, y, z).

OM = xex + yey +zez

Un vecteur (point) a des composantes
(coordonnées) différentes selon la base
(repère) utilisée. Il faut donc la (le) préciser.

x ex = projection orthogonale de
OM sur l’axe orienté Ox
x = OM. ex

De même pour y et z par permutation
circulaire


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