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Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014

Fonctions exponentielles :
Cours

4ème
Tunis ,Tél :27509639

I.
Définition :
La fonction exponentielle est l’unique fonction f, définie et dérivable sur ℝ et vérifiant : f(0) = 1 et pour tout réel x,
f ‘(x) = f(x) .

 e  '  u '( x)e
u ( x)

II.

u ( x)

.

Propriétés analytiques :

La fonction exponentielle est définie et dérivable surℝ , et pour tout réel x on a :  e x   e x .
'

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante surℝ.
Pour tout réel x , e x  0 .
Limites aux bornes du domaine : lim e x   ; lim e x  0 .
x

x

x

e
  ; lim xe x  0 .
x  x
x
x
e 1
lim
1.
x 0
x

lim

III. Propriétés algébriques :
Pour tous réels x et y on a : ex+y =ex ×ey

1
ex
ex
Pour tous réels x et y on a : e x-y = y
e
Pour tous réels x ;

ex  0 ; e-x =

 

Pour tous réels x n ∈ ℕon a : e x

n

=enx

IV. Liens avec le logarithme népérien :
Pour tout réel x , ln ex = x et pour tout réel x strictement positif eln (x) = x.
V.
Résolution d’équations et d’inéquations :
Si a > 0, l’équation ex = a possède une solution et une seule.
Si a ≤ 0, l’équation ex = a n’a pas de solution.
Pour tous réels x et y, (ex = ey ⟺x = y).
Pour tout réel x et tout réel strictement positif a, ex = a ⟺ x = ln(a).
Pour tous réels x et y, (ex < ey ⟺x < y).
Pour tout réel x et tout réel strictement positif a, ex < a ⟺x < ln(a).
VI.

Tableau de variation de la fonction exponentielle :

VII.

Représentation graphique de la fonction exponentielle :


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