Fichier PDF

Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014

Série n°20
Exercices corrigés

4ème Sc-exp
Tunis ,Tél :27509639

Exercice n°1 :
Soit n un entier naturel non nul. On appelle 𝑓𝑛 la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : 𝑓𝑛 𝑥 = ln 1 + 𝑥 𝑛 . Et on
1

pose 𝐼𝑛 =  f n ( x)dx .On note C n la courbe représentative de 𝑓𝑛 dans un repère orthonormé 𝑂, 𝑖, 𝑗 .
0

1) a) Déterminer la limite de 𝑓1 en +∞.
b) Étudier les variations de 𝑓1 sur [0 ; +∞[.
c) À l’aide d’une intégration par parties, calculer 𝐼1 et interpréter graphiquement le résultat.
x
1
(Pour le calcul de 𝐼1 on pourra utiliser le résultat suivant :pour tout x de [0,1]
)
 1
x 1
x 1
2) a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a : 0 ≤ 𝐼𝑛 ≤ ln 2.
b) Étudier les variations de la suite (𝐼𝑛 ).
c) En déduire que la suite (𝐼𝑛 ) est convergente.
3) Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : g (x) = ln(1+x)−x
a) Étudier le sens de variation de g sur [0 ; +∞[.
b) En déduire le signe de g sur [0 ; +∞[. Montrer alors que, pour tout entier naturel n non nul, et pour tout x réel
positif, on a : ln 1 + 𝑥 𝑛 ≤ 𝑥 𝑛 .
c) En déduire la limite de la suite (𝐼𝑛 ).
Corrigé :
1) a) Pour tout x de [0 ; +∞[, 𝑓1 (𝑥) = ln(1+x). Soit X = 1+x si x→+∞ ; X → +∞; lim f1 ( x)  lim ln( X )  
x

X 

b) 𝑓1 est la composée de deux fonctions :
 𝑥 → 𝑥 + 1 continue et dérivable sur [0 ; +∞[, à valeurs dans [1 ; +∞[.
 𝑥 → ln 𝑥 continue et dérivable sur [1 ; +∞[.
donc 𝑓1 est continue et dérivable sur [0 ; +∞[. f1 '( x) 
donc 𝑓1 est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
c) Soit : u′(x) = 1→ u(x) = x
v(x) = ln(1+x) → v′(x) =

1
donc pour tout x de [0 ; +∞[, f1 '( x)  0
x 1

1
x 1

1
1
x
1 
dx

ln
2

0
0 1  x  1 dx = ln 2   x  ln( x  1)0  2ln 2 1
0 x 1
0
𝑓1 (0) = 0 et 𝑓1 est strictement croissante sur [0 ; +∞[ donc 𝑓1 est positive sur [0 ; 1].
𝑓1 est continue sur [0 ; 1] donc 𝐼1 est l’aire (en unité d’aires) du domaine limité par l’axe des abscisses,
les droites d’équation x = 0, x = 1 et la courbe représentative de𝑓1 .
2) a) Pour tout entier naturel non nul , 𝑓𝑛 est la composée de deux fonctions continues sur [0 ; +∞[ : donc 𝑓𝑛 est
continue sur [0 ; +∞[. Pour tout x de [0 ; 1], 0  x n  1 donc 1  1  x n  2 La fonction logarithme népérien
est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ donc 0  ln1  ln 1  xn  ln 2 . La fonction 𝑓𝑛 est continue sur [0 ; 1]
1

1

ln( x  1)dx   x ln( x  1)   

1





et pour tout x de [0 ; 1], 0  f n  ln 2 . Donc pour tout entier naturel non nul n, 0  I n   ln 2dx  ln 2
1

0
n 1

b) Pour tout x de [0 ; 1], 0  x  1donc par produit par x n >0, 0  xn1  xn puis 1  1 x  1 xn . La fonction
logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ donc 0  ln1  ln 1  xn1   ln 1  xn  ,

0  ln1  0 ln 1  x n1  dx  0 ln 1  x n  dx et on déduire alors que I n1  I n La suite (𝐼𝑛 ) est décroissante et
1

1

minorée par 0.
c) La suite (𝐼𝑛 ) décroissante et minorée par 0 est donc convergente vers un nombre positif.

3) a) g est la différence de deux fonctions continues dérivables sur [0 ; +∞[ , donc g dérivable sur[0 ; +∞[ et

g '( x) 

1
x
.Pour tout x > 0, g ′(x) < 0 et g ′(0) = 0 donc g est strictement décroissante sur [0 ; +∞[.
1 
x 1
x 1

b) g est strictement décroissante sur [0 ; +∞[ et g (0) = 0 donc g est strictement
négative sur [0 ; +∞[.Si x est un réel positif alors pour tout entier naturel n non nul, xn est un réel positif
donc g ( x n )  0 donc pour tout entier naturel n non nul, et pour tout x réel positif, on a : ln 1  x n   xn
c) On a :

0  ln 1  xn   xn On intègre sur [0,1] (𝑓𝑛 𝑒𝑡 xn sont deux fonctions continues sur [0,1] )

et on obtient

0  I n  0 x n dx 
1

1
 1 
I 0
or lim 
  0 donc nlim
 n
n

n 1
 n 1 

Exercice n°2 :
A) Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : g ( x)  x 2  2  ln x
1) Étudier les variations de g sur ]0 ; +∞[ et préciser ses limites en 0+ et en +∞.
2) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique sur ]0 ; +∞[.On note α cette solution.
3) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
4) Montrer l’égalité : ln   2   2 .
B) On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ par : f ( x)  x 2  (2  ln x) 2
On note f ′ la fonction dérivée de f sur ]0 ; +∞[.
1) Exprimer, pour tout x de ]0 ; +∞[, f ′(x) en fonction de g(x).
2) En déduire les variations de f sur ]0 ; +∞[.
C) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé 𝑂, 𝑖, 𝑗 on note :
 Γ la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ;
 A le point de coordonnées (0 ; 2) ;
 M le point de Γ d’abscisse x appartenant à ]0 ; +∞[.
1) Montrer que la distance AM est donnée par AM = 𝑓(𝑥).
2) Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par h (x) = 𝑓(𝑥)
a) Montrer que les fonctions f et h ont les mêmes variations sur ]0 ; +∞[.
b) Montrer que la distance AM est minimale en un point de Γ , noté K dont on précisera les coordonnées .
c) Montrer que AK=  1   2 .
Corrigé :
A) Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : g ( x)  x 2  2  ln x .
1) g est dérivable sur ]0 ; +∞[ et g '( x)  2 x 

1 2x2  1

>0 donc g est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
x
x

lim g ( x)   ; lim g ( x)   .

x

x0

2) La fonction g est continue sur ]0 ; +∞[, lim g ( x)  lim g ( x)  ( )  ()    0 , selon le théorème
x

x0

des valeurs intermédiaires, la fonction g s’annule au moins une fois. Comme de plus, la fonction est
strictement croissante, elle ne s’annule qu’une seule fois. Donc l’équation g(x) = 0 admet une solution
unique sur ]0 ; +∞[.On note α cette solution.
3) Puisque g est croissante sur ]0 ; +∞[, pour tout x ∈]0 ; α[, g(x) < g(α) donc g(x) < 0 et pour tout
x > α, g(x) > g(α) donc g(x) > 0.
4) g(α) = 0 ⇔ α2 −2+ln(α) = 0 ⇔ ln(α) = 2−α2 .

B) On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ par : f ( x)  x 2  (2  ln x) 2 .
 1 2
1) f '( x)  2 x  2  2  ln x       g ( x) .
 x x
2
2)
étant toujours positif sur ]0 ; +∞[, f ′(x) est du signe de g(x), donc est strictement négative sur ]0 ; α[, et
x
strictement positive sur ]α ; +∞[ et s’annule en α. la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; α] et
strictement croissante sur [α ; +∞[ et atteint un minimum en α.
C) 1) Le point A a pour coordonnées (0 ; 2) et le point M(x ; lnx), donc AM 

 x  0    ln x  2 
2

2



f ( x) .

2) a) La fonction racine étant strictement croissante sur son ensemble de définition, et la fonction f
prenant des valeurs toujours positives, les fonctions f et h ont même sens de variation.
b) La fonction h atteint donc son minimum en α. La distance AM est donc minimale pour x = α
soit au point K(α ; lnα). Or lnα = 2−α2 donc K a pour coordonnées (α ; 2−α2 ).
c) AK 

  0

2



 2  2  2



2

  2   4   1   2 (car 𝛼 > 0).

Exercice n°3 :

L’espace est rapporté au repère orthonormé 𝐴, 𝐴𝐵 , 𝐴𝐷, 𝐴𝐸 On considère le cube ABCDEFGH représenté cidessus. On désigne par I , J et K les milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF].
1) Déterminer les coordonnées des points I , J et K.

2
2) Démontrer que le vecteur 𝑛 1 est orthogonal à𝐼𝐾 et à 𝐼𝐽.
1
En déduire qu’une équation du plan (IJK) est 4x +2y +2z −5 = 0.
3) a) Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (CD).
3

b) En déduire que le point d’intersection R du plan (IJK) et de la droite (CD) est le point de coordonnées  ,1, 0 
4

6
4) a) Montrer que la distance du point G au plan (I JK) est
4
b) Soit S la sphère de centre G passant par F.
Justifier que la sphère S et le plan (IJK) sont sécants.
Corrigé :
1
 1 

1 1 
1) B(1,0,0) et C(1,1,0) donc I  1, , 0  ; F(1,0,1) donc J 1, 0,  ; H(0 ; 1 ; 1), F(1 ; 0 ; 1) donc K  , ,1  .
2
 2 

2 2 
2
2) 𝑛. 𝐼𝐾 = 0 et 𝑛 . 𝐼𝐽 = 0 donc 𝑛 1 est orthogonal à𝐼𝐾 et à 𝐼𝐽.
1
Les vecteurs 𝐼𝐾 et 𝐼𝐽 ne sont manifestement pas colinéaires ; ils définissent donc le plan (IJK). Le vecteur 𝑛
orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK) est donc normal à ce plan.
Une équation du plan (IJK) est donc : M(x ; y ; z) ∈ (IJK) ⇔ 2x +y +z +d = 0.
5
5
 1 
Comme I appartient à ce plan on a I  1, , 0  donc d=  donc (IJK) : 2x +y +z  = 0
2
2
 2 
⇔ 4x +2y +2z −5 = 0.
𝑥=𝛼
1
𝑥−0=𝛼
3) a) On calcule 𝐷𝐶 0 Soit M(x,y,z)∈ 𝐷𝐶 ⇔ 𝐷𝑀 = 𝛼𝐷𝐶 ⇔ 𝑦 − 1 = 𝛼 × 0 𝛼 ∈ ℝ ⇔ 𝑦 = 1 𝛼 ∈ ℝ .
𝑧=0
0
𝑧 −0 = 𝛼 ×0
b) Les coordonnées de R vérifient l’équation de (IJK) et les équations paramétriques de (DC), donc
 x 
 x 
 x 
 y 1
 y 1
 y 1



3


le système : 
R  ,1, 0 
 z0
4

 z0
 z0

3
4 x  2 y  2 z  5  0
 4  2  5  0
 

4
4 2 25
3
3
6
4) a) Comme G(1,1,1) d(G,(IJK))=
.



4
24 2 6
42  22  22
.

b) La sphère S et le plan (IJK) sont sécants si la distance de G au plan (IJK) est inférieure au rayon
de la sphère. Ce rayon est égal à GF
6
GF 2  02  (1) 2  02  1  GF  1 or
 1 donc S et (IJK) sont sécants .
4