Série d'exercices corrigés bac sc exp .pdf
Nom original: Série d'exercices corrigés bac_sc-exp.pdf
Ce document au format PDF 1.5 a été généré par convertonlinefree.com, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 29/03/2014 à 01:19, depuis l'adresse IP 197.0.x.x.
La présente page de téléchargement du fichier a été vue 1463 fois.
Taille du document: 1.1 Mo (4 pages).
Confidentialité: fichier public
Aperçu du document
Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014
Série n°20
Exercices corrigés
4ème Sc-exp
Tunis ,Tél :27509639
Exercice n°1 :
Soit n un entier naturel non nul. On appelle 𝑓𝑛 la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : 𝑓𝑛 𝑥 = ln 1 + 𝑥 𝑛 . Et on
1
pose 𝐼𝑛 = f n ( x)dx .On note C n la courbe représentative de 𝑓𝑛 dans un repère orthonormé 𝑂, 𝑖, 𝑗 .
0
1) a) Déterminer la limite de 𝑓1 en +∞.
b) Étudier les variations de 𝑓1 sur [0 ; +∞[.
c) À l’aide d’une intégration par parties, calculer 𝐼1 et interpréter graphiquement le résultat.
x
1
(Pour le calcul de 𝐼1 on pourra utiliser le résultat suivant :pour tout x de [0,1]
)
1
x 1
x 1
2) a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a : 0 ≤ 𝐼𝑛 ≤ ln 2.
b) Étudier les variations de la suite (𝐼𝑛 ).
c) En déduire que la suite (𝐼𝑛 ) est convergente.
3) Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : g (x) = ln(1+x)−x
a) Étudier le sens de variation de g sur [0 ; +∞[.
b) En déduire le signe de g sur [0 ; +∞[. Montrer alors que, pour tout entier naturel n non nul, et pour tout x réel
positif, on a : ln 1 + 𝑥 𝑛 ≤ 𝑥 𝑛 .
c) En déduire la limite de la suite (𝐼𝑛 ).
Corrigé :
1) a) Pour tout x de [0 ; +∞[, 𝑓1 (𝑥) = ln(1+x). Soit X = 1+x si x→+∞ ; X → +∞; lim f1 ( x) lim ln( X )
x
X
b) 𝑓1 est la composée de deux fonctions :
𝑥 → 𝑥 + 1 continue et dérivable sur [0 ; +∞[, à valeurs dans [1 ; +∞[.
𝑥 → ln 𝑥 continue et dérivable sur [1 ; +∞[.
donc 𝑓1 est continue et dérivable sur [0 ; +∞[. f1 '( x)
donc 𝑓1 est strictement croissante sur [0 ; +∞[.
c) Soit : u′(x) = 1→ u(x) = x
v(x) = ln(1+x) → v′(x) =
1
donc pour tout x de [0 ; +∞[, f1 '( x) 0
x 1
1
x 1
1
1
x
1
dx
ln
2
0
0 1 x 1 dx = ln 2 x ln( x 1)0 2ln 2 1
0 x 1
0
𝑓1 (0) = 0 et 𝑓1 est strictement croissante sur [0 ; +∞[ donc 𝑓1 est positive sur [0 ; 1].
𝑓1 est continue sur [0 ; 1] donc 𝐼1 est l’aire (en unité d’aires) du domaine limité par l’axe des abscisses,
les droites d’équation x = 0, x = 1 et la courbe représentative de𝑓1 .
2) a) Pour tout entier naturel non nul , 𝑓𝑛 est la composée de deux fonctions continues sur [0 ; +∞[ : donc 𝑓𝑛 est
continue sur [0 ; +∞[. Pour tout x de [0 ; 1], 0 x n 1 donc 1 1 x n 2 La fonction logarithme népérien
est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ donc 0 ln1 ln 1 xn ln 2 . La fonction 𝑓𝑛 est continue sur [0 ; 1]
1
1
ln( x 1)dx x ln( x 1)
1
et pour tout x de [0 ; 1], 0 f n ln 2 . Donc pour tout entier naturel non nul n, 0 I n ln 2dx ln 2
1
0
n 1
b) Pour tout x de [0 ; 1], 0 x 1donc par produit par x n >0, 0 xn1 xn puis 1 1 x 1 xn . La fonction
logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ donc 0 ln1 ln 1 xn1 ln 1 xn ,
0 ln1 0 ln 1 x n1 dx 0 ln 1 x n dx et on déduire alors que I n1 I n La suite (𝐼𝑛 ) est décroissante et
1
1
minorée par 0.
c) La suite (𝐼𝑛 ) décroissante et minorée par 0 est donc convergente vers un nombre positif.
3) a) g est la différence de deux fonctions continues dérivables sur [0 ; +∞[ , donc g dérivable sur[0 ; +∞[ et
g '( x)
1
x
.Pour tout x > 0, g ′(x) < 0 et g ′(0) = 0 donc g est strictement décroissante sur [0 ; +∞[.
1
x 1
x 1
b) g est strictement décroissante sur [0 ; +∞[ et g (0) = 0 donc g est strictement
négative sur [0 ; +∞[.Si x est un réel positif alors pour tout entier naturel n non nul, xn est un réel positif
donc g ( x n ) 0 donc pour tout entier naturel n non nul, et pour tout x réel positif, on a : ln 1 x n xn
c) On a :
0 ln 1 xn xn On intègre sur [0,1] (𝑓𝑛 𝑒𝑡 xn sont deux fonctions continues sur [0,1] )
et on obtient
0 I n 0 x n dx
1
1
1
I 0
or lim
0 donc nlim
n
n
n 1
n 1
Exercice n°2 :
A) Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : g ( x) x 2 2 ln x
1) Étudier les variations de g sur ]0 ; +∞[ et préciser ses limites en 0+ et en +∞.
2) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique sur ]0 ; +∞[.On note α cette solution.
3) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
4) Montrer l’égalité : ln 2 2 .
B) On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ par : f ( x) x 2 (2 ln x) 2
On note f ′ la fonction dérivée de f sur ]0 ; +∞[.
1) Exprimer, pour tout x de ]0 ; +∞[, f ′(x) en fonction de g(x).
2) En déduire les variations de f sur ]0 ; +∞[.
C) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé 𝑂, 𝑖, 𝑗 on note :
Γ la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ;
A le point de coordonnées (0 ; 2) ;
M le point de Γ d’abscisse x appartenant à ]0 ; +∞[.
1) Montrer que la distance AM est donnée par AM = 𝑓(𝑥).
2) Soit h la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par h (x) = 𝑓(𝑥)
a) Montrer que les fonctions f et h ont les mêmes variations sur ]0 ; +∞[.
b) Montrer que la distance AM est minimale en un point de Γ , noté K dont on précisera les coordonnées .
c) Montrer que AK= 1 2 .
Corrigé :
A) Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par : g ( x) x 2 2 ln x .
1) g est dérivable sur ]0 ; +∞[ et g '( x) 2 x
1 2x2 1
>0 donc g est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
x
x
lim g ( x) ; lim g ( x) .
x
x0
2) La fonction g est continue sur ]0 ; +∞[, lim g ( x) lim g ( x) ( ) () 0 , selon le théorème
x
x0
des valeurs intermédiaires, la fonction g s’annule au moins une fois. Comme de plus, la fonction est
strictement croissante, elle ne s’annule qu’une seule fois. Donc l’équation g(x) = 0 admet une solution
unique sur ]0 ; +∞[.On note α cette solution.
3) Puisque g est croissante sur ]0 ; +∞[, pour tout x ∈]0 ; α[, g(x) < g(α) donc g(x) < 0 et pour tout
x > α, g(x) > g(α) donc g(x) > 0.
4) g(α) = 0 ⇔ α2 −2+ln(α) = 0 ⇔ ln(α) = 2−α2 .
B) On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +∞[ par : f ( x) x 2 (2 ln x) 2 .
1 2
1) f '( x) 2 x 2 2 ln x g ( x) .
x x
2
2)
étant toujours positif sur ]0 ; +∞[, f ′(x) est du signe de g(x), donc est strictement négative sur ]0 ; α[, et
x
strictement positive sur ]α ; +∞[ et s’annule en α. la fonction f est strictement décroissante sur ]0 ; α] et
strictement croissante sur [α ; +∞[ et atteint un minimum en α.
C) 1) Le point A a pour coordonnées (0 ; 2) et le point M(x ; lnx), donc AM
x 0 ln x 2
2
2
f ( x) .
2) a) La fonction racine étant strictement croissante sur son ensemble de définition, et la fonction f
prenant des valeurs toujours positives, les fonctions f et h ont même sens de variation.
b) La fonction h atteint donc son minimum en α. La distance AM est donc minimale pour x = α
soit au point K(α ; lnα). Or lnα = 2−α2 donc K a pour coordonnées (α ; 2−α2 ).
c) AK
0
2
2 2 2
2
2 4 1 2 (car 𝛼 > 0).
Exercice n°3 :
L’espace est rapporté au repère orthonormé 𝐴, 𝐴𝐵 , 𝐴𝐷, 𝐴𝐸 On considère le cube ABCDEFGH représenté cidessus. On désigne par I , J et K les milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF].
1) Déterminer les coordonnées des points I , J et K.
2
2) Démontrer que le vecteur 𝑛 1 est orthogonal à𝐼𝐾 et à 𝐼𝐽.
1
En déduire qu’une équation du plan (IJK) est 4x +2y +2z −5 = 0.
3) a) Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (CD).
3
b) En déduire que le point d’intersection R du plan (IJK) et de la droite (CD) est le point de coordonnées ,1, 0
4
6
4) a) Montrer que la distance du point G au plan (I JK) est
4
b) Soit S la sphère de centre G passant par F.
Justifier que la sphère S et le plan (IJK) sont sécants.
Corrigé :
1
1
1 1
1) B(1,0,0) et C(1,1,0) donc I 1, , 0 ; F(1,0,1) donc J 1, 0, ; H(0 ; 1 ; 1), F(1 ; 0 ; 1) donc K , ,1 .
2
2
2 2
2
2) 𝑛. 𝐼𝐾 = 0 et 𝑛 . 𝐼𝐽 = 0 donc 𝑛 1 est orthogonal à𝐼𝐾 et à 𝐼𝐽.
1
Les vecteurs 𝐼𝐾 et 𝐼𝐽 ne sont manifestement pas colinéaires ; ils définissent donc le plan (IJK). Le vecteur 𝑛
orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (IJK) est donc normal à ce plan.
Une équation du plan (IJK) est donc : M(x ; y ; z) ∈ (IJK) ⇔ 2x +y +z +d = 0.
5
5
1
Comme I appartient à ce plan on a I 1, , 0 donc d= donc (IJK) : 2x +y +z = 0
2
2
2
⇔ 4x +2y +2z −5 = 0.
𝑥=𝛼
1
𝑥−0=𝛼
3) a) On calcule 𝐷𝐶 0 Soit M(x,y,z)∈ 𝐷𝐶 ⇔ 𝐷𝑀 = 𝛼𝐷𝐶 ⇔ 𝑦 − 1 = 𝛼 × 0 𝛼 ∈ ℝ ⇔ 𝑦 = 1 𝛼 ∈ ℝ .
𝑧=0
0
𝑧 −0 = 𝛼 ×0
b) Les coordonnées de R vérifient l’équation de (IJK) et les équations paramétriques de (DC), donc
x
x
x
y 1
y 1
y 1
3
le système :
R ,1, 0
z0
4
z0
z0
3
4 x 2 y 2 z 5 0
4 2 5 0
4
4 2 25
3
3
6
4) a) Comme G(1,1,1) d(G,(IJK))=
.
4
24 2 6
42 22 22
.
b) La sphère S et le plan (IJK) sont sécants si la distance de G au plan (IJK) est inférieure au rayon
de la sphère. Ce rayon est égal à GF
6
GF 2 02 (1) 2 02 1 GF 1 or
1 donc S et (IJK) sont sécants .
4




Sur le même sujet..
entier
fonctions
point
croissante
equation
naturel
positif
deduire
fonction
derivable
montrer
strictement
definie
coordonnees
continue