Algèbre linéaire Résumé.pdf


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CPGE Laayoune

Lissane Eddine

Essaidi Ali

– Soit ϕ ∈ L(E, F ; R) :
ϕ : E →
R
– ∀y ∈ F , on pose y
. Alors ∀y ∈ F, ϕy ∈ E ∗ .
x 7→ ϕ(x, y)
ϕ˜ : F → E ∗
– On pose
. Alors ϕ˜ ∈ L(F, E ∗ ).
y 7→ ϕy
L(E, F ; R) → L(F, E ∗ )
– L’application
est un isomorphisme d’espaces vectoriels. On l’appelle l’isomorphisme
ϕ
7→
ϕ˜

canonique de L(E, F ; R) vers L(F, E ) et on dit que L(E, F ; R) et L(F, E ∗ ) sont canoniquement isomorphes.
Définition 5.1 Soient E, F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles respectives m et n. Soient BE =
(e1 , . . . , em ) une base de E, BF = (ε1 , . . . , εn ) une base de F et ϕ ∈ L(E, F ; R).
On appelle matrice de ϕ dans les bases BE et BF la matrice (ϕ(ei , εj ))1≤i≤m;1≤j≤n et on la note mat(ϕ, BE , BF ).
Si E = F et BE = BF alors mat(ϕ, BE , BF ) se note tout simplement mat(ϕ, BE ).
Caractérisation 5.1 Soient E, F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles respectives m et n.
Si BE est une base de E, BF une base F , ϕ ∈ L(E, F ; R) et A ∈ Mmn (R) alors :
A = mat(ϕ, BE , BF ) ⇐⇒ ∀x ∈ E, ∀y ∈ F, ϕ(x, y) = tXAY avec X = [x]BE et Y = [y]BF .
Proposition 5.3 (Formule de changement de bases) Soient E, F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles,
0
BE , BE
deux bases de E, BF , BF0 deux bases de F et ϕ ∈ L(E, F ; R).
0
On pose P la matrice de passage de BE vers BE
et Q la matrice de passage de BF vers BF0 . Si M = mat(ϕ, BE , BF ) et
0
N = mat(ϕ, BE
, BF0 ) alors N = tP M Q.
Proposition 5.4 Soit E un R-espace vectoriel. L’ensemble des formes bilinéaires symétriques sur E noté BS(E) est un sousespace vectoriel de L(E, E; R).
Définition 5.2 Soit E un R-espace vectoriel. On appelle forme quadratique sur E toute application q : E → R telle que
∃ϕ ∈ BS(E), ∀x ∈ E, q(x) = ϕ(x, x). Dans ce cas, q s’appelle la forme quadratique associé à la forme bilinéaire symétrique
ϕ.
L’ensemble des formes quadratiques sur E est noté Q(E).
Proposition 5.5 (Règles de calcul) Soit E un R-espace vectoriel, ϕ ∈ BS(E) et q sa forme quadratique associée.
– ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R, q(λx) = λ2 q(x). En particulier, q(0) = 0 et ∀x ∈ E, q(−x) = q(x).
– ∀x, y ∈ E, q(x + y) = q(x) + 2ϕ(x, y) + q(y).
– ∀x, y ∈ E, ϕ(x + y, x − y) = q(x) − q(y).
– Identité du parallèlogramme : ∀x, y ∈ E, q(x + y) + q(x − y) = 2(q(x) + q(y)).
– Formule de polarisation ∀x, y ∈ E, ϕ(x, y) = 41 (q(x + y) − q(x − y)) = 21 (q(x + y) − q(x) − q(y)).
Définition 5.3 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie non nulle, B une base sur E et q ∈ Q(E). On appelle matrice
de q dans la base B la matrice de sa forme polaire dans la base B. On la note mat(q, B).
Caractérisation 5.2 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie n ≥ 1, B une base de E, q ∈ Q(E) et A ∈ Mn (R).
A = mat(q, B) ⇐⇒ A est symétrique et ∀x ∈ E, q(x) = tXAX avec X = [x]B
Proposition 5.6 (Formule de changement de bases) Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie ≥ 1, B, B 0 deux bases
de E et q ∈ Q(E). Si P la matrice de passage de B à B 0 , A = mat(q, B) et A0 = mat(q, B 0 ) alors A0 = tP AP .
Définition 5.4 Deux matrices A, B ∈ S(n) sont dites congruentes si ∃P ∈ GLn (R) tel que B = t P AP .
Corollaire et définition 5.7 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie ≥ 1, q ∈ Q(E) (resp. ϕ ∈ BS(E)), B une base
de E.
Si M = mat(q, B) (resp. M = mat(ϕ, B)) alors rg M est indépendant du choix de la base B. On l’appelle rang de q (resp. ϕ).
On le note rg q (resp. rg ϕ).
Définition 5.5 Soient E un R-espace vectoriel et ϕ ∈ BS(E) de forme quadratique associée q.
ϕ˜ : E → E ∗
ϕ : E
On appelle noyau de q ou ϕ le noyau de l’application linéaire
où ∀x ∈ E, x
x 7→ ϕx
y
On le note ker q ou ker ϕ.
Si ker q = {0} alors on dit que q ou ϕ est non dégénérée, sinon, on dit que q ou ϕ est dégénérée.


R
.
7→ ϕ(x, y)

Proposition 5.8 Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N∗ , q ∈ Q(E) et B une base de E. Alors :
q non dégénéré ⇐⇒ mat(q, B) ∈ GLn (R) ⇐⇒ rg q = n
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